CN107301317A

CN107301317A - 一种基于ukf的改进可观测分析方法

Info

Publication number: CN107301317A
Application number: CN201710478735.9A
Authority: CN
Inventors: 宁晓琳; 桂明臻; 吴伟仁; 房建成; 刘刚
Original assignee: Beihang University
Current assignee: Beihang University
Priority date: 2017-06-22
Filing date: 2017-06-22
Publication date: 2017-10-27

Abstract

本发明涉及一种基于UKF的改进可观测分析方法。通过sigma点获得等效状态转移矩阵，借助于互协方差矩阵和先验估计协方差矩阵获取等效量测矩阵，从而构建可观测矩阵，用可观测矩阵的条件数进行可观测度分析。本发明弥补了现有构造可观测矩阵方法不够准确的问题，在减少计算量的基础上，使构造的可观测矩阵更加准确。

Description

一种基于UKF的改进可观测分析方法

技术领域

本发明属于航天器自主导航领域，涉及一种基于UKF的改进可观测分析方法。

背景技术

滤波器估计效果与系统状态的可观测程度直接相关，系统的可观测性分析主要解决两方面的问题，一是确定系统能否观测的问题；二是确定系统的可观测程度问题，这与系统状态估计的精度紧密相关。线性定常系统的可观测性分析容易实现，可通过分析系统的可观测性矩阵的秩是否满秩来判断。对于线性时变系统，可使用PWCS系统可观测分析方法。

针对非线性时变系统的可观测分析，一般通过计算雅克比矩阵对系统线性化，获得状态转移矩阵及量测矩阵，再将每时段内的状态转移矩阵及量测矩阵用定常矩阵代替以构造可观测矩阵。然而，这种线性化方法仅能精确到一阶泰勒级数展开，且用定常矩阵代替时变矩阵也将引入误差。因此，构造的可观测矩阵不够准确。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：为弥补现有构造可观测矩阵方法的不足，提出一种基于UKF的改进可观测分析方法，提供更加准确的可观测分析结果。

本发明提出一种基于UKF的改进可观测分析方法，通过sigma点获得等效状态转移矩阵，借助于互协方差矩阵和先验估计协方差矩阵获取等效量测矩阵，从而构建可观测矩阵，用可观测矩阵的条件数进行可观测度分析。

具体包括以下步骤：

1.建立系统状态模型及量测模型

设非线性时变系统的状态模型如下：

其中X是系统的状态量，为时刻t的状态量X的导数，f(X(t),t)为系统非线性连续状态转移函数，w为过程噪声，w(t)为时刻t的w。

非线性时变系统的量测模型如下：

Z(t)＝h[X(t),t]+v(t) (15)

其中Z表示系统的量测量，Z(t)表示时刻t的Z。h[X(t),t]表示非线性连续量测函数，v(t)表示t时刻脉冲到达时间的量测噪声。

2.进行离散化及滤波

对步骤①获得的状态模型及量测模型进行离散化：

其中X_k及Z_k分别表示k时刻系统的状态量及量测量，F(X_k-1,k-1)为f(X(t),t)离散后的非线性状态转移函数，H(X_k,k)为h[X(t),t]离散后的非线性量测函数，W_k-1及V_k分别表示离散后的等效过程噪声及量测噪声。对离散化后的系统模型式(3)通过UKF进行滤波。

3.通过sigma点获得等效状态转移矩阵

在k-1时刻获得的后验状态估计附近选取2n+1个采样点，其中n表示状态变量的维数。这些样本点的均值等于后验状态估计协方差等于k-1时刻获得的后验误差协方差那么选取的采样点及其权重w₀,w₁…,w_2n分别如下：

其中τ表示缩放参数，表示取平方根矩阵的第i行或列。

传递sigma采样点，得到每个采样点的一步预测为：

其中f(·)为系统非线性连续状态转移函数。由2n+1个sigma采样点构成矩阵：

再由2n+1个sigma采样点的一步预测构成矩阵：

可通过矩阵χ_k-1的广义逆矩阵求得等效状态转移矩阵

4.获得等效量测矩阵

通过卡尔曼滤波的统计学推导可知：

其中P_xy,k是互协方差矩阵，是先验估计协方差矩阵，表示等效量测矩阵。由式(9)可计算

5.构建可观测矩阵

基于步骤3及步骤4得到的及构造每时段的可观测矩阵：

其中j＝1,2,...,l。构造系统条带化可观测矩阵Q_s：

6.以矩阵条件数为依据进行系统可观测度分析

条件数反映测量误差对状态变量的影响，因此可作为衡量系统可观测度的指标。由下式定义条件数：

其中A是任意矩阵，σ_A是A的奇异值。条件数较小，则系统可观测性较好；条件数较大，则系统可观测性较差。以cond(Q_s(l))作为衡量系统可观测度的指标。

本发明的原理是：利用UKF滤波过程中的参数，通过sigma点获得等效状态转移矩阵，借助于互协方差矩阵和先验估计协方差矩阵获取等效量测矩阵，从而构建可观测矩阵，使构造的可观测矩阵更加准确。利用可观测分析方法得到的条件数作为判定系统可观测性能优劣的指标，为判定系统可观测程度提供定量依据。

本发明与现有技术相比的优点在于：(1)省略了现有方法中求解雅克比矩阵的过程，减少了计算量。(2)利用UKF滤波过程中的参数获得等效的状态转移矩阵及量测矩阵，使构造的可观测矩阵更加准确。

附图说明

图1为本发明中基于UKF的改进可观测分析方法流程图。

具体实施方式

如图1所示，本发明以可观测矩阵条件数作为衡量系统可观测度的指标，为判定系统可观测程度提供定量依据。可适用于任何使用UKF滤波的系统模型。下面详细说明本发明的具体实施过程：

1.建立系统状态模型及量测模型

设非线性时变系统的状态模型如下：

非线性时变系统的量测模型如下：

Z(t)＝h[X(t),t]+v(t)(28)其中Z表示系统的量测量，Z(t)表示时刻t的Z。h[X(t),t]表示非线性连续量测函数，v(t)表示t时刻脉冲到达时间的量测噪声。

2.进行离散化及滤波

对步骤1获得的状态模型及量测模型进行离散化：

3.通过sigma点获得等效状态转移矩阵

初始化状态量和状态误差方差阵P₀：

式中，是第0时刻(初始时刻)的状态量的估计值，X₀是第0时刻状态量的真实值。

其中τ表示缩放参数，表示取平方根矩阵的第i行或列。

传递sigma采样点，得到每个采样点的一步预测为：

再由2n+1个sigma采样点的一步预测构成矩阵：

可通过矩阵χ_k-1的广义逆矩阵求得等效状态转移矩阵

4.获得等效量测矩阵

合并所有获得先验状态估计为：

先验误差协方差为：

式中，Q_k为k时刻系统状态模型噪声协方差阵。

根据量测方程，计算每个采样点的预测量测量为：

合并所有获得预测量测Y_k为：

计算预测量测协方差P_yy,k及互协方差P_xy,k：

其中R_k为k时刻系统的量测噪声协方差阵。

通过卡尔曼滤波的统计学推导可知：

其中表示等效量测矩阵。由式(15)可计算

5.构建可观测矩阵

基于步骤3及步骤4得到的及构造每时段的可观测矩阵：

其中j＝1,2,...,l。构造系统条带化可观测矩阵Q_s：

6.以矩阵条件数为依据进行系统可观测度分析

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims

1.一种基于UKF的改进可观测分析方法，其特征在于：通过sigma点获得等效状态转移矩阵，借助于互协方差矩阵和先验估计协方差矩阵获取等效量测矩阵，从而构建可观测矩阵，用可观测矩阵的条件数进行可观测度分析，具体包括以下步骤：

①建立系统状态模型及量测模型

设非线性时变系统的状态模型如下：

<mrow> <mover> <mi>X</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中X是系统的状态量，为时刻t的状态量X的导数，f(X(t),t)为系统非线性连续状态转移函数，w为过程噪声，w(t)为时刻t的w；

非线性时变系统的量测模型如下：

Z(t)＝h[X(t),t]+v(t) (2)

其中Z表示系统的量测量，Z(t)表示时刻t的Z；h[X(t),t]表示非线性连续量测函数，v(t)表示t时刻脉冲到达时间的量测噪声；

②进行离散化及滤波

对步骤①获得的状态模型及量测模型进行离散化：

其中X_k及Z_k分别表示k时刻系统的状态量及量测量，F(X_k-1,k-1)为f(X(t),t)离散后的非线性状态转移函数，H(X_k,k)为h[X(t),t]离散后的非线性量测函数，W_k-1及V_k分别表示离散后的等效过程噪声及量测噪声；对离散化后的系统模型式(3)通过UKF进行滤波；

③通过sigma点获得等效状态转移矩阵

在k-1时刻获得的后验状态估计附近选取2n+1个采样点，其中n表示状态变量的维数，这些样本点的均值等于后验状态估计协方差等于k-1时刻获得的后验误差协方差那么选取的采样点及其权重w₀,w₁…,w_2n分别如下：

其中τ表示缩放参数，表示取平方根矩阵的第i行或列；

传递sigma采样点，得到每个采样点的一步预测为：

再由2n+1个sigma采样点的一步预测构成矩阵：

<mrow> <msub> <mi>&chi;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&chi;</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&chi;</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&chi;</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1

可通过矩阵χ_k-1的广义逆矩阵求得等效状态转移矩阵

④获得等效量测矩阵

通过卡尔曼滤波的统计学推导可知：

其中P_xy,k是互协方差矩阵，是先验估计协方差矩阵，表示等效量测矩阵；由式(9)可计算

<mrow> <msub> <mover> <mi>H</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

⑤构建可观测矩阵

基于步骤③及步骤④得到的及构造每时段的可观测矩阵：

其中j＝1,2,...,l；构造系统条带化可观测矩阵Q_s：

⑥以矩阵条件数为依据进行系统可观测度分析

条件数反映测量误差对状态变量的影响，因此可作为衡量系统可观测度的指标；由下式定义条件数：

<mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>max&sigma;</mi> <mi>A</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>min&sigma;</mi> <mi>A</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中A是任意矩阵，σ_A是A的奇异值，以cond(Q_s(l))作为衡量系统可观测度的指标。