CN107145470B - 一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法 - Google Patents

Abstract

一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法，1、对堆芯扩散方程进行粗网有限差分近似，进而通过裂变源迭代求解粗网有限差分方程，便获得反应堆有效增殖系数以及每个节块每个能群的平均中子通量密度，进而获得每个节块每个表面的差分近似中子流密度；2、将步骤1中获得的有效增殖系数以及某个节块某一坐标方向上左右两个表面的中子流密度分别代入一维扩散方程的系数矩阵以及解析表达式中，便求解出当前边界条件下该节块内该坐标方向中子通量密度分布的解析解；3、对步骤2中获得的中子通量密度分布的解析解使用剩余权重法进行展开，并对其展开多项式逐阶地进行误差分析，进而确定该节块内该坐标方向中子通量密度分布展开在一定误差限内所需要的展开阶数。

Description

一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法

技术领域

本发明涉及几核反应堆堆芯设计和反应堆物理计算技术领域，具体涉及一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法。

背景技术

为了保证反应堆堆芯设计安全和运行安全，需要准确快速地计算出反应堆及相关的设备内中子通量密度分布的情况。

目前广泛采用的计算反应堆中子通量密度分布的方法是节块方法，其中的变节块法虽然有适用性广、更高的精度以及可直接获得中子通量密度精细分布等优点。但是变分节块法节块内展开阶数越高，其计算精度越高，而计算效率越低，所以为了获得较高的精度，便需要使用更高的展开阶数来进行计算，这使得其计算效率大幅度地降低。

发明内容

为了提高扩散方程变分节块法的计算效率，本发明提供一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法，本发明方法将对节块内中子通量密度分布的展开式进行误差分析，进而得出所需展开阶数；

为了实现上述目的，本发明采取了以下技术方案予以实施：

一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法，包括如下步骤：

步骤1：对堆芯扩散方程进行粗网有限差分CMFD近似，进而通过裂变源迭代求解粗网有限差分方程，便获得反应堆有效增殖系数以及每个节块每个能群的平均中子通量密度，进而获得每个节块每个表面的差分近似中子流密度；

步骤2：将步骤1中获得的有效增殖系数以及某个节块某一坐标方向上左右两个表面的中子流密度分别代入一维扩散方程的系数矩阵以及解析表达式中，便求解出当前边界条件下该节块内该坐标方向中子通量密度分布的解析解；

步骤3：对步骤2中获得的中子通量密度分布的解析解使用剩余权重法进行展开，并对其展开多项式逐阶地进行误差分析，进而确定该节块内该坐标方向中子通量密度分布展开在一定误差限内所需要的展开阶数。

与现有技术相比，本发明有如下突出特点：

本发明使用预估每个节块内中子通量密度分布的解析表达式，对其使用多项式展开，并使用剩余权重方法对其进行误差分析进而得到所需展开阶；使得每个节块都有自己独立的展开阶数，较现有所有节块都使用同一阶数相比省去了大量的高阶展开项，在不损失计算精度的前提下，提高了其计算效率。

具体实施方式

为了提高扩散方程变分节块法的计算效率，本发明一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法将对节块内中子通量密度分布的展开式进行误差分析，进而得出所需展开阶数。该方法具体计算流程包括以下方面：

步骤1：对堆芯扩散方程进行粗网有限差分(CMFD)近似，进而通过裂变源迭代求解粗网有限差分方程，便可获得反应堆有效增殖系数以及每个节块每个能群的平均中子通量密度，进而获得每个节块每个表面的差分近似中子流密度，其具体步骤如下：

笛卡尔坐标系下的稳态多维多群中子扩散方程为：

式中：

g＝1～G(总能群数)；

D_g(r)＝g能群扩散系数(1/cm)；

Φ_g(r)＝g能群中子通量(1/cm²·s)；

Σ_tg(r)＝g能群宏观总截面(1/cm)；

Σ_g'g(r)＝从g'能群散射到g能群宏观散射转移截面(1/cm)；

χ_g＝g能群中子裂变份额；

νΣ_fg(r)＝g能群宏观ν-裂变截面(1/cm)

k_eff＝反应堆有效增殖系数。

将反应堆划分为N个节块，局部坐标系原点设置在节块的几何中心点，则节块k就可以描述为：

Ω^k＝[-Δx_k/2,Δx_k/2]×[-Δy_k/2,Δy_k/2]×[-Δz_k/2,Δz_k/2]

其中Δx_k、Δy_k、Δy_k是节块k在相应坐标方向上的宽度。

假定在每个节块内具有均匀化参数，则节块k的中子扩散方程可写为：

(x,y,z)∈Ω^k，g＝1～G

其中

为均匀化节块宏观截面。

根据Fick定律：

式中：

在节块k上对方程(2)进行体积积分，得到均匀化节块k的节块中子平衡方程：

式中：

u∈{x,y,z}，v∈{x,y,z}，w∈{x,y,z}，u≠v≠w；

u∈{x,y,z}，v∈{x,y,z}，w∈{x,y,z}，u≠v≠w；

V_k＝Δx_kΔy_kΔz_k＝节块k的体积。

为方便说明，除特别声明外，在以后部分将用通用坐标轴u来表示坐标轴x、y、z，即u∈{x,y,z}。

利用节块表面中子流连续条件：

对节块表面净中子流作差分近似：

式中：

k+1＝节块k在u正方向上的相邻节块；

又根据现代先进节块均匀化理论，节块表面平均通量连续条件为：

式中:

由式(6)和式(7)可以得到：

由此，根据式(6)和式(7)，就可以得到节块表面净中子流和节块平均通量的差分关系式：

式中：

节块平均通量应满足节块中子平衡方程(4)，节块表面净中子流方程(9)带入节块中子平衡方程，得到关于节块平均通量的七点式粗网有限差分方程(CMFD)，该方程的一般形式为：

k＝1～N；g＝1～G (10)

式中，ku±(u∈{x,y,z})为节块k在±u方向上的相邻节块,N表示总的节块数，G表示总的能群数目。通过裂变源迭代求解CMFD方程(10)，便可获得反应堆有效增殖系数和每个节块每个能群的平均通量

再通过节块表面净中子流方程(9)，便可以获得节块表面某一坐标轴方向上左右表面的差分近似中子净流

步骤2：将步骤1中获得的有效增殖系数以及某个节块某一坐标方向上左右两个表面的中子流密度代入一维扩散方程的系数矩阵以及解析表达式中，便可求解出当前边界条件下该节块内该坐标方向中子通量密度分布的解析解,其具体步骤如下：

笛卡尔坐标系下的稳态一维多群中子扩散方程为：

将其进行变换，可得：

其中

F^k＝χ_gνΣ_fg'＝中子裂变源项；

设矩阵A^k有特征值

和相应的特征函数

构成的向量ξ^k(t)，当该特征值非零且为实数时，节块内的多群一维中子扩散方程可以写成如下形式：

则可得到解析解：

其中

向量函数

和Φ^k(t)之间有如下关系，即可用函数组

(g’＝1～G)展开函数组Φ^k(t)(g＝1～G)中的任一函数：

Φ^k(t)＝U^kξ^k(t) (15)

其中，U^k为相应的系数

组成的系数矩阵，即有节块k内第g群中子通量密度分布为：

当有边界条件：

至此，将步骤1中获得的反应堆有效增殖系数代入系数矩阵A^k中，便可求得其特征值

将步骤1中获得的节块表面某一坐标轴方向上左右表面中子净流

便可以作为上述的边界条件，便可求出所有的

和

系数，从而获得方程(16)的完全表达式。

步骤3：对步骤2中获得的中子通量密度分布的解析解使用剩余权重法进行展开，并对其展开多项式逐阶地进行误差分析，进而确定该节块内该坐标方向中子通量密度分布展开在一定误差限内所需要的展开阶数，其具体步骤如下：

对于中子通量密度Φ^k(t)，可以用多项式函数使用剩余权重法展开：

其中，

i＝多项式阶数(i＝0～∞)；

P_i(t)＝勒让德第i阶多项式；

在上式剩余权重法展开中，若使用无限阶展开，则其与原表达式没有任何误差，但在实际应用当中，不可能无限阶展开，只能采用有限阶展开，对于n阶展开的多项式，其表达式如下：

此时，便产生了截断误差，本发明的目标便是使用最低的阶数，可以使此截断误差在某一确定的误差限ε以下。所以，从0开始，逐阶升高展开阶数n，使得：

如此，便确定了k节块u方向的展开阶数n。

Claims (1)

1.一种扩散方程变分节块法的展开阶数自适应方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：对堆芯扩散方程进行粗网有限差分近似，进而通过裂变源迭代求解粗网有限差分方程，便获得反应堆有效增殖系数以及每个节块每个能群的平均中子通量密度，进而获得每个节块每个表面的差分近似后的净中子流，其具体步骤如下：

笛卡尔坐标系下的稳态多维多群中子扩散方程为：

式中：

g＝1～G，G为总能群数；

D_g(r)为g能群扩散系数，单位为：1/cm；

Φ_g(r)为g能群中子通量，单位为：1/cm²·s；

Σ_ag(r)为g能群宏观总截面，单位为：1/cm；

Σ_g'g(r)为从g'能群散射到g能群宏观散射转移截面，单位为：1/cm；

χ_g为g能群中子裂变份额；

νΣ_fg(r)为g能群宏观ν-裂变截面，单位为：1/cm

k_eff为反应堆有效增殖系数；

将反应堆划分为N个节块，局部坐标系原点设置在节块的几何中心点，则节块k描述为：

Ω^k＝[-Δx_k/2,Δx_k/2]×[-Δy_k/2,Δy_k/2]×[-Δz_k/2,Δz_k/2]

其中Δx_k、Δy_k、Δz_k是节块k在相应x、y、z坐标方向上的宽度；

假定在每个节块内具有均匀化参数，则节块k的中子扩散方程写为：

(x,y,z)∈Ω^k；

根据Fick定律：

式中：

为净中子流在u方向上的分中子流；

在节块k上对方程(2)进行体积积分，得到均匀化节块k的节块中子平衡方程：

式中：

为节块k的体积平均中子通量；

v∈{x,y,z}，w∈{x,y,z}，u≠v≠w；

为节块k在u坐标方向±Δu_k/2处的表面净中子流，

V_k＝Δx_kΔy_kΔz_k，V_k为节块k的体积；

利用节块表面净中子流连续条件：

对节块表面净中子流作差分近似：

式中：

k+1为节块k在u正方向上的相邻节块；

为节块k在±u方向上的节块表面平均通量；

又根据现代先进节块均匀化理论，节块表面平均通量连续条件为：

式中:

为节块k在±u方向的不连续因子，

由式(6)和式(7)得到：

由此，根据式(6)和式(7)，就得到节块表面净中子流和节块平均中子通量的差分方程：

式中：

节块平均中子通量应满足方程(4)，将方程(9)带入方程(4)，得到关于节块平均中子通量的七点式粗网有限差分方程，该方程的一般形式为：

式中，ku±为节块k在±u方向上的相邻节块；通过裂变源迭代求解方程(10)，便获得反应堆有效增殖系数和每个节块每个能群的平均中子通量

再通过方程(9)，便获得节块表面某一坐标轴方向上左右表面的差分近似后的净中子流

步骤2：将步骤1中获得的有效增殖系数以及节块表面某一坐标轴方向上左右表面的差分近似后的净中子流代入一维中子扩散方程的系数矩阵以及解析表达式中，便可求解出当前边界条件下该节块内该坐标方向中子通量密度分布的解析解,其具体步骤如下：

笛卡尔坐标系下的稳态多群一维中子扩散方程为：

将其进行变换，得：

其中

A^k为系数矩阵；

t为变量替换后的坐标；

F^k＝χ_gνΣ_fg'，F^k为中子裂变源项；

为中子散射源项；

设矩阵A^k有特征值

和相应的特征函数

构成的向量ξ^k(t)，当该特征值非零且为实数时，节块内的多群一维中子扩散方程写成如下形式：

则得到解析解：

其中

均为待求解系数；

特征函数

和Φ^k(t)之间有如下关系，即用函数组

展开函数组Φ^k(t)中的任一函数：

Φ^k(t)＝U^kξ^k(t) (15)

其中，U^k为相应的系数

组成的系数矩阵，即有节块k第g能群中子通量密度分布为：

当有边界条件：

至此，将步骤1中获得的反应堆有效增殖系数代入系数矩阵A^k中，便求得其特征值

将步骤1中获得的节块表面某一坐标轴方向上左右表面的差分近似后的净中子流

作为上述的边界条件，便求出所有的

和

系数，从而获得方程(1)的完全表达式；

步骤3：对步骤2中获得的中子通量密度分布的解析解使用剩余权重法进行展开，并对其展开多项式逐阶地进行误差分析，进而确定该节块内该坐标方向中子通量密度分布展开在一定误差限内所需要的展开阶数，其具体步骤如下：对于中子通量密度Φ^k(t)，用多项式函数使用剩余权重法展开：

其中，

i为多项式阶数(i＝0～∞)；

为第i阶多项式系数；

P_i(t)为勒让德第i阶多项式；

在上式剩余权重法展开中，对于n阶展开的多项式，其表达式如下：

此时，便产生了截断误差，使用最低的阶数，使此截断误差在某一确定的误差限ε以下；所以，从0开始，逐阶升高展开阶数n，使得：

如此，便确定了节块k在u方向的展开阶数n。