CN107133648A - 基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法 - Google Patents
基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开一种基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法。首先，对实测一维距离像信号样本进行预处理；然后，通过一维高斯尺度算子进行多尺度空间映射；接着，利用稀疏保持投影法对各空间特征进行稀疏表示，得到各空间上的稀疏系数矩阵；最后，通过本发明所提的空间权重算法计算各尺度空间权重系数，得到多尺度融合稀疏系数矩阵，再由稀疏保持投影约束获得低维空间投影矩阵将训练样本和测试样本投影到低维空间，用支持向量机对其进行训练和分类。本发明基于多尺度空间理论和稀疏保持投影，结合自创的空间权重算法对各尺度空间包含的识别信息进行高效融合，大幅提高了一维距离像信号的识别精度和抗噪声能力，降低了特征维度。
Description
技术领域
本发明涉及一维信号目标识别的方法，尤其涉及一种基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法。
背景技术
雷达高分辨率距离像(HRRP)是在雷达每个距离单元内目标散射点反射的复信号矢量和，与合成孔径雷达(SAR)和逆合成孔径雷达(ISAR)图像相比，一维距离像作为一种一维信号，具有更易采集、存储容量更小、处理速度更快等优点。此外，雷达一维距离像提供了包括目标尺寸、散射点分布等目标的详细结构信息，因此，近年来，雷达一维距离像目标识别相关领域获得了许多学者的注意。
鉴于雷达HRRP具有方位敏感性、幅度敏感性、平移敏感性等固有问题，直接将测试样本和模版库进行匹配是一个3D搜索问题，将导致巨大的计算负担，且由于实际环境中噪声的影响，直接用原信号匹配识别精度较低，受噪声干扰较大，难以满足实际需求。在信号特征提取方面，国内外学者已提出多种特征提取方案，如主成分分析法(PCA)、线性判别分析(LDA)等线性降维方法，这些方法虽然能对数据进行降维且一定程度上提高识别率，但是其不能处理非线性数据，而现实数据大多为非线性结构；邻域保持投影法(NPP)、局部保持投影法(LPP)等流形学习方法能够发现数据内部的非线性结构并将其保持融入到特征提取过程当中，在多数情况下能够取得比线性方法更好的识别效率。
近些年来，由于稀疏表示理论的快速发展，结合该理论提出的稀疏保持投影法(SPP)利用了目标信号自身的稀疏重构特性将其融入到特征提取中，在人脸数据实验中取得了很好的识别效果，其表现出优于传统流形识别方法的特性，但该方法也有其固有局限，如对于数据结构的探究始终局限在单一空间中，导致识别信息有限，无法深入挖掘数据内部构造。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种雷达一维距离像信号高效稳健识别的方案，能够以低维特征获得较高的识别精度，该算法识别阶段耗时短且鲁棒性强，具有一定的实际应用价值。
技术方案：一种基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，包括以下步骤：
(1)训练阶段：
(11)对训练样本集提取其归一化幅度特征集并进行平移对齐，得到平移对齐后的幅度特征集
(12)利用高斯尺度算子G对平移对齐后的幅度特征集H进行多尺度空间映射，得到训练样本多尺度空间幅度特征向量集
(13)由稀疏保持投影法对多尺度空间幅度特征样本分别进行稀疏重构，得到各尺度空间上的稀疏系数矩阵；
(14)利用空间权重算法计算各尺度空间权重系数，结合各尺度空间稀疏系数矩阵，得到多尺度融合稀疏系数矩阵；
(15)由稀疏保持投影约束得到低维空间投影矩阵W对平移对齐后的幅度特征集H进行低维空间投影，得到训练样本低维幅度特征向量集
(16)由训练样本低维幅度特征向量集对支持向量机进行训练。
(2)测试阶段：
(21)对测试样本y提取其归一化幅度特征并与训练样本幅度特征集H进行平移对齐，得到平移对齐后的幅度特征hy；
(22)利用步骤(15)求得的低维空间投影矩阵W对测试样本平移对齐后的幅度特征hy进行低维投影，得到测试样本低维幅度特征向量py：
py＝WThy
(23)利用训练完成的分类器对测试样本低维幅度特征进行分类，输出测试样本分类结果。
进一步的，所述步骤(12)中对平移对齐后的幅度特征集H利用高斯尺度算子进行多尺度空间映射；其中，对于一个一维距离像幅度特征来说，其多尺度空间映射表示为：
其中，表示卷积运算，表示总尺度个数；G(g,σm)为一维高斯尺度算子，其计算公式如下：
式中，g为一维距离像幅度特征的空间坐标，σm为尺度因子，通过赋予σm不同的值以实现多尺度空间映射；由此可以得到训练样本多尺度空间幅度特征向量集其中， 表示单个尺度空间下的幅度特征总个数。
进一步的，所述步骤(13)中根据稀疏保持投影法，对任一尺度因子σm而言，该空间下的任一训练样本幅度特征都可由除其自身以外的剩余训练样本幅度特征对其进行稀疏重构，建立稀疏重构方程：
1＝eTri
其中，为满足条件的最佳稀疏表示系数向量，e表示所有元素均为1的列向量，表示满足条件的稀疏表示系数向量，ri,j表示训练样本特征向量对重构的贡献量，ε为噪声松弛量，||·||1表示取1范数。
计算所有训练样本最佳稀疏表示系数向量得到该尺度空间下的稀疏系数矩阵则用相同的方法可得到各尺度空间上的稀疏系数矩阵
进一步的，所述步骤(14)中利用空间权重算法自适应调节各尺度空间权重系数；对于任一固定尺度因子σm而言，其类间距离和类内距离反映了该空间的样本类别可分性，通过其比值可自适应调节该尺度空间在目标分类过程中的影响权重；假设训练样本中包含的目标类别数为第c个目标类别中包含的样本数nc，则可以计算尺度σm下的样本特征类间距离：
其中，分别表示该空间下属于c1和c2类别训练样本幅度特征的平均向量，表示和的欧氏距离；相应地，可以计算尺度因子σm下的样本特征类内距离：
其中，表示空间σm中属于类别的第k个训练样本幅度特征，表示和间的欧式距离；则该空间的权重系数为：
同理可得各尺度下的权重系数为：因此，通过权重系数调节各尺度空间识别权重，由于各空间识别信息大多包含在空间稀疏系数矩阵中，则利用权重系数结合稀疏系数矩阵将各空间识别信息有机融合得到多尺度融合稀疏系数矩阵：
进一步的，所述步骤(15)中，由稀疏保持投影法和多尺度融合稀疏系数矩阵可得多尺度融合稀疏保持投影约束：
该约束可以转化为：
该最小化问题可以转化为最大化问题：
利用拉格朗日乘数法，该问题可以转化为以下广义特征值问题：
其中，α为特征值，为其对应的特征向量，则对应最大d个特征值的特征向量组成低维空间投影矩阵W；由求得的投影矩阵W对训练样本幅度特征集和测试样本幅度特征进行低维空间投影：
P＝WTH
py＝WThy
由此得到训练样本低维幅度特征向量集P和测试样本低维幅度特征向量py，后续分别将其作为最终特征进行分类器的训练和分类。
有益效果：与现有技术相比，本发明的方法将稀疏保持投影和多尺度空间融合，通过创新的尺度权重算法将信号多尺度空间稀疏结构有机结合，融入到特征提取过程中，相比单一的SPP或传统降维方法，多尺度空间法识别精度平均提高3-10个百分点。其次，通过稀疏保持投影法降维，将原有信号维度从256维降低到40维，特征维度较低，在取得很好识别精度的同时避免了特征的大量冗余，在一定程度上提高了识别效率。再者，通过自适应调整不同尺度空间的识别权重，将多尺度空间识别信息有机结合，相比于其它方法在信噪比较低的情况下依然拥有足够的鉴别信息，特征鲁棒性好，对噪声抗性强。基于实测雷达一维距离像信号的仿真实验表明，将本发明所提特征用于分类器识别精度更高、抗噪声能力更强且速度较快。另外，本发明提出的一维距离像识别方法可以通过适当变换应用到多种一维信号处理问题，如人脸识别、语音信号识别等。
附图说明
图1是本发明解决一维距离像识别问题的流程示意图；
图2是本发明处理的一维距离像原始信号的示意图；
图3是本发明提取一维距离像归一化幅度特征的示意图；
图4是本发明提取的样本信号多尺度空间幅度特征示意图；
图5是本发明由稀疏保持投影获得的示例样本空间尺度0.6的稀疏系数示意图；
图6是本发明由稀疏保持投影获得的示例样本空间尺度1.2的稀疏系数示意图；
图7是本发明由稀疏保持投影获得的示例样本空间尺度1.8的稀疏系数示意图；
图8是本发明由稀疏保持投影获得的示例样本空间尺度2.4的稀疏系数示意图；
图9是本发明由空间权重算法得到的多尺度融合稀疏系数示意图；
图10是本发明在不同信噪比条件下取得的分类精度和其他方法的对比结果。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明确，以下参照附图对本发明进行进一步详细说明。
如图1所示，本发明的一种基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，包括训练阶段和测试阶段。
现有一飞机目标一维距离像回波数据如图2所示，图中反映了该飞机散射点反射强度的分布情况，尖峰代表飞机目标的强散射点反射强度，实际情况中不同型号的飞机回波各不相同，同一型号飞机不同角度的回波信号也有所差异，本发明主要目的就是完成这类回波信号的特征提取和类别判断。为了解决该类一维回波信号的识别分类问题。具体如图1所示包括以下几个步骤：
训练阶段：
第1步：对训练样本集X＝[x1,x2,...,xN](xi∈Rl)，提取其归一化幅度特征集其中，l表示原始向量维数，这里所用飞机数据一维距离像信号维度为256；
其中，|·|表示取模，||·||2表示取2范数，表示训练样本总数；由于幅度特征的平移敏感性，需要对其进行平移对齐操作，这里采用较为常用的最大相关平移对齐法，信号和的互相关系数为：
其中，<·>表示内积运算；则每个信号以前一个幅度特征作为标准，后面依次平移直到与前一个幅度特征信号的互相关系数达到最大，设前一个信号幅度特征为则需平移t个距离单位，t满足：
由此得到平移对齐后的训练样本归一化幅度特征向量集一样本信号归一化幅度特征曲线示意图如图3所示，图中使用2范数将原始幅度特征进行归一化，在不改变原始幅度分布情况的前提下消除量纲对最终结果的影响，使不同测量环境下的数据具有可比性。
第2步：基于第1步获得的训练样本归一化幅度特征向量集H，对于其任一幅度特征利用一维高斯尺度算子对其进行多尺度映射：
其中，表示卷积运算，表示总尺度个数，G(g,σm)为一维高斯尺度算子：
其中，g为一维距离像幅度特征的空间坐标，σm为尺度因子，通过赋予σm不同的值即可实现多尺度空间映射，本实验中取且σ1＝0.6,σ2＝1.2,σ3＝1.8,σ4＝2.4。由此可以得到训练样本幅度特征的多尺度幅度特征向量集这里 表示单个尺度空间下的特征总个数，图4展示了一样本信号多尺度归一化幅度特征示意图，可以看出不同尺度空间下样本的突出特征有所不同，大尺度空间对信号的轮廓特征有较好的展示，而小尺度下信号的细节特征得到了较好的保留，通过结合多尺度空间性质进行特征提取可使所提特征包含更多的识别信息。
第3步：基于第2步获得的训练样本多尺度幅度特征向量集由稀疏保持投影法，对任一尺度因子σm而言，该空间下的任一训练样本幅度特征都可由除其自身以外的剩余训练样本幅度特征对其进行稀疏重构，建立稀疏重构方程：
其中，为满足条件的最佳稀疏表示系数向量，e表示所有元素均为1的列向量，表示满足条件的稀疏表示系数向量，ri,j表示训练样本特征向量对重构的贡献量，ε为噪声松弛量，这里取ε＝0.08，||·||1表示取1范数；计算所有训练样本最佳稀疏表示系数向量得到该尺度空间下的稀疏系数矩阵则用相同的方法可得到各尺度空间上的稀疏系数矩阵图5至图8展示了一样本信号在不同尺度空间下的最佳稀疏系数(即)分布，可以看出不同尺度空间下的系数分布既有相似又有不同，固定空间中的样本其稀疏系数分布也是唯一的，代表了不同空间中样本独有的内部结构，将其进行有机融合便可综合利用其包含的识别信息对目标进行有效识别。
第4步：基于第2步获得的训练样本多尺度幅度特征向量集对于任一固定尺度因子σm而言，其类间距离和类内距离反映了该空间的样本类别可分性，通过其比值可自适应调节该尺度空间在目标分类过程中的影响权重，类间类内比值越大表示该空间里样本类别可分性越强，在识别中应占有较大的识别权重；假设训练样本中包含的目标类别数为第c个目标类别中包含的样本数nc，则可以计算尺度因子σm下的样本特征类间距离：
其中，分别表示该空间下属于c1和c2类别训练样本幅度特征的平均向量，表示和的欧氏距离；相应地，可以计算尺度因子σm下的样本特征类内距离：
其中，表示空间σm中属于类别的第k个训练样本幅度特征，表示和间的欧式距离；则该空间的权重系数为：
同理，可得各尺度下的权重系数为：因此，通过权重系数调节各尺度空间识别权重，由于各空间识别信息大多包含在空间稀疏系数矩阵中，则本发明利用权重系数结合稀疏系数矩阵将各空间识别信息有机融合得到多尺度融合稀疏系数矩阵：
图9展示了一样本信号多尺度融合稀疏系数分布，可以看出，该分布结合了多个尺度空间固有结构信息，任意固定的样本集其稀疏系数分布也是唯一的，其中系数绝对值大代表该样本对重构过程的贡献大，值较小或为0的代表对重构过程几乎没有贡献，此稀疏系数分布中包含大量的目标识别信息，将其融入到特征提取过程中令提取的特征更具可分性。
第5步：由第4步求得的多尺度融合稀疏系数矩阵，利用稀疏保持投影约束计算低维投影矩阵W：
该约束可以转化为：
该最小化问题可以转化为最大化问题：
利用拉格朗日乘数法，该问题可以转化为以下广义特征值问题：
其中，α为特征值，为其对应的特征向量，则对应最大d个特征值的特征向量组成低维空间投影矩阵W；由求得的投影矩阵W对训练样本幅度特征集H进行低维空间投影：
P＝WTH (15)
由此得到训练样本低维幅度特征向量集P，后续分别将其作为最终特征进行分类器的训练。
第6步：由训练样本低维幅度特征向量集P进行线性支持向量机的参数训练。
测试阶段：
第1步：对测试样本y提取其归一化幅度特征并与训练样本幅度特征集H进行平移对齐，得到平移对齐后的幅度特征hy，方法如上训练阶段第1步所示。
第2步：利用训练阶段求得的投影矩阵W对测试样本幅度特征hy进行低维投影，得到测试样本低维幅度特征向量py：
py＝WThy (16)
第3步：利用训练完成的分类器对测试样本低维幅度特征py进行分类识别，输出测试样本分类结果。
图10给出了本方法和其他主要特征降维算法及多尺度空间特征提取法在不同信噪比下的识别精度对比示意图(d为最终特征维数)，由以上数据可以看出，本发明所提出的一维距离像识别方法相比传统的PCA、SPP等方法及多尺度空间算法识别精度有很大提高，在最终特征维度相同的情况下经过多次实验，平均识别率提高3-10个百分点，因其充分利用多尺度空间识别信息构造多尺度自适应稀疏系数矩阵，使其在复杂环境中识别率更加稳定，其相比于直接利用原始信号幅度特征识别降低了特征维度，缩短了识别时间，在实际工程应用中有很好的发展前景。
Claims (5)
1.基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)训练阶段：
(11)对训练样本集提取其归一化幅度特征集并进行平移对齐，得到平移对齐后的幅度特征集
(12)利用高斯尺度算子G对平移对齐后的幅度特征集H进行多尺度空间映射，得到训练样本多尺度空间幅度特征向量集
(13)由稀疏保持投影法对多尺度空间幅度特征样本分别进行稀疏重构，得到各尺度空间上的稀疏系数矩阵；
(14)利用空间权重算法计算各尺度空间权重系数，结合各尺度空间稀疏系数矩阵，得到多尺度融合稀疏系数矩阵；
(15)由稀疏保持投影约束得到低维空间投影矩阵W对平移对齐后的幅度特征集H进行低维空间投影，得到训练样本低维幅度特征向量集
(16)由训练样本低维幅度特征向量集对支持向量机进行训练；
(2)测试阶段：
(21)对测试样本y提取其归一化幅度特征并与训练样本幅度特征集H进行平移对齐，得到平移对齐后的幅度特征hy；
(22)利用步骤(15)求得的低维空间投影矩阵W对测试样本平移对齐后的幅度特征hy进行低维投影，得到测试样本低维幅度特征向量py：
py＝WThy
(23)利用训练完成的分类器对测试样本低维幅度特征进行分类，输出测试样本分类结果。
2.根据权利要求1所述的基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，其特征在于：所述步骤(12)中对平移对齐后的幅度特征集H利用高斯尺度算子进行多尺度空间映射；其中，对于一个一维距离像幅度特征来说，其多尺度空间映射表示为：
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其中，表示卷积运算，表示总尺度个数；G(g,σm)为一维高斯尺度算子，其计算公式如下：
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式中，g为一维距离像幅度特征的空间坐标，σm为尺度因子，通过赋予σm不同的值以实现多尺度空间映射；由此可以得到训练样本多尺度空间幅度特征向量集其中， 表示单个尺度空间下的幅度特征总个数。
3.根据权利要求1所述的基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，其特征在于：所述步骤(13)中根据稀疏保持投影法，对任一尺度因子σm而言，该空间下的任一训练样本幅度特征都可由除其自身以外的剩余训练样本幅度特征对其进行稀疏重构，建立稀疏重构方程：
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1＝eTri
其中，为满足条件的最佳稀疏表示系数向量，e表示所有元素均为1的列向量，表示满足条件的稀疏表示系数向量，ri,j表示训练样本特征向量对重构的贡献量，ε为噪声松弛量，||·||1表示取1范数；
计算所有训练样本最佳稀疏表示系数向量得到该尺度空间下的稀疏系数矩阵则用相同的方法可得到各尺度空间上的稀疏系数矩阵
4.根据权利要求1所述的基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，其特征在于：所述步骤(14)中利用空间权重算法自适应调节各尺度空间权重系数；对于任一固定尺度因子σm而言，其类间距离和类内距离反映了该空间的样本类别可分性，通过其比值可自适应调节该尺度空间在目标分类过程中的影响权重；假设训练样本中包含的目标类别数为第c个目标类别中包含的样本数nc，则可以计算尺度σm下的样本特征类间距离：
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</mrow>
</mrow>
其中，分别表示该空间下属于c1和c2类别训练样本幅度特征的平均向量，表示和的欧氏距离；相应地，可以计算尺度因子σm下的样本特征类内距离：
<mrow>
<msubsup>
<mi>D</mi>
<mi>w</mi>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</munderover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msub>
<mi>n</mi>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</msub>
</mfrac>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<msub>
<mi>n</mi>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</msub>
</munderover>
<mi>d</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msubsup>
<mi>h</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>n</mi>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</msub>
</mrow>
<mi>k</mi>
</msubsup>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，表示空间σm中属于类别的第k个训练样本幅度特征，表示和间的欧式距离；则该空间的权重系数为：
<mrow>
<msub>
<mi>&lambda;</mi>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msubsup>
<mi>D</mi>
<mi>b</mi>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>D</mi>
<mi>w</mi>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</msubsup>
</mfrac>
</mrow>
同理可得各尺度下的权重系数为：因此，通过权重系数调节各尺度空间识别权重，由于各空间识别信息大多包含在空间稀疏系数矩阵中，则利用权重系数结合稀疏系数矩阵将各空间识别信息有机融合得到多尺度融合稀疏系数矩阵：
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mover>
<mi>M</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</munderover>
<msub>
<mi>&lambda;</mi>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</msub>
<msub>
<mi>R</mi>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</msub>
<mo>.</mo>
</mrow>
5.根据权利要求1所述的基于自适应多尺度融合稀疏保持投影的一维距离像识别方法，其特征在于：所述步骤(15)中，由稀疏保持投影法和多尺度融合稀疏系数矩阵可得多尺度融合稀疏保持投影约束：
<mrow>
<munder>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
</mrow>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</munder>
<msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>I</mi>
<mo>-</mo>
<mi>R</mi>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>H</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
<mfenced open = "" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>.</mo>
<mi>t</mi>
<mo>.</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>HH</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
该约束可以转化为：
<mrow>
<munder>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
</mrow>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</munder>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>I</mi>
<mo>-</mo>
<mi>R</mi>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>H</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>HH</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
该最小化问题可以转化为最大化问题：
<mrow>
<munder>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</munder>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>R</mi>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>H</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>HH</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
利用拉格朗日乘数法，该问题可以转化为以下广义特征值问题：
<mrow>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>R</mi>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>R</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>H</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>&alpha;HH</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mover>
<mi>w</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
其中，α为特征值，为其对应的特征向量，则对应最大d个特征值的特征向量组成低维空间投影矩阵W；由求得的投影矩阵W对训练样本幅度特征集和测试样本幅度特征进行低维空间投影：
P＝WTH
py＝WThy
由此得到训练样本低维幅度特征向量集P和测试样本低维幅度特征向量py，后续分别将其作为最终特征进行分类器的训练和分类。
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