CN107127035A - 一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机及参数确定方法 - Google Patents

一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机及参数确定方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机，该装置包括上、下隔振弹簧，上、下工作体外锥，上、下工作体内锥，上、下工作体主轴，上、下球柄，连接块，横梁，半球体，电动机A、B，联轴器A、B，激振器A、B。对上下两个进料口进行送料，同时，两个电动机同向回转，驱动激振器激励横梁和连接块以及和主轴连接的上下工作体内锥进行摆动，与上下工作体外锥对放入其中的物料进行压碎、研磨。该装置采用上下两个通道对物料进行破碎，极大的提高了效率。采用双机自同步驱动，并且双机同向回转，提高了机器的功率，实现了设备的大型化，提高了产量，自同步驱动达到节能；振动破碎提高了破碎比，且能破碎超硬质矿石物料，如铬合金矿石等。

Description

一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机及参数确定方法
技术领域
本发明属于振动破碎装置领域，涉及一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机及参数确定方法。
背景技术
振动破碎机采用振动的原理，振动电机产生激振力矩，使石块按一定的振动规律振动，通过相互碰撞、磨擦使砂粒达到破碎的目的，同时实现待破碎物料在破碎腔道内实现料层选择破碎并产生一种脉动力。
在冶金、矿山、化工、水泥等工业部门，每年都有大量的原料和再利用的废料都需要用破碎机进行加工处理。如在选矿厂，为使矿石中的有用矿物达到单体分离，就需要用破碎机将原矿破碎到磨矿工艺所要求的粒度。需要用破碎机械将原料破碎到下一步作业要求的粒度。在炼焦厂、烧结厂、陶瓷厂、玻璃工业、粉末冶金等部门，须用破碎机械将原料破碎到下一步作业要求的粒度。
在化工、电力部门，破碎粉磨机械将原料破碎，粉磨，增加了物料的表面积，为缩短物料的化学反应的时间创造有利条件。随着工业的迅速发展和资源的迅速减小，各部门生产中废料的再利用是很重要的，这些废料的再加工处理需用破碎机械进行破碎。
而现有的破碎机存在俩个问题：
1、采用单通道对物料进行破碎，效率较低，产量小。
2、单机驱动，导致设备不能大型化。
发明内容
针对普通破碎机只有单通道破碎的问题，本发明采用上下两个通道对物料进行破碎，提高了生产效率和产量。同时，利用两个电动机对设备进行自同步驱动，提高了机体的有效功率。
本发明是通过以下技术方案来实现的：
一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机，包括下隔振弹簧、下工作体外锥、下工作体内锥、下工作体主轴、下球柄、连接块、横梁、上球柄、上工作体主轴、上工作体内锥、上工作体外锥、上隔振弹簧、半球体、电动机A、电动机B、联轴器A、联轴器B、激振器A、激振器B和支座；其中上工作体主轴一端通过半球体球面支撑固定在支座上，支座固定在地面上；上工作体主轴穿过连接着的上工作体内锥；上工作体外锥环绕在上工作体内锥四周，通过上隔振弹簧与支座连接；连接上工作体主轴另一端的上球柄侧面和连接块相切，上球柄底面与连接块留有3～5mm 的距离用以润滑；连接块的上下两侧对称设置上、下球柄，与下球柄连接的下工作体主轴伸入固定在下工作体内锥里面，下工作体外锥环绕在下工作体内锥四周；下工作体外锥与地面通过下隔振弹簧相连；上、下工作体主轴同轴线布置；在上、下工作体主轴轴线两侧对称设置两个振动单元，振动单元通过横梁与连接块固定；所述振动单元为电动机通过联轴器与激振器相连，联轴器与横梁固定连接。
对振动系统的简化动力学模型而言，弹簧连接到刚性框架，两个电机同时提供相同的电源，并对称地安装在刚性框架中，沿相同方向旋转并驱动两个激励器以激励振动系统。框架是固定框架，其原点是刚性框架的重心的平衡点。刚性框架的运动是在x和y方向上的振动，由x和y表示，并且围绕其质心摆动，由ψ表示。每个偏心块围绕其旋转轴线旋转，表示为i＝1，2。l0是激振器的旋转中心和刚性框架的质心之间的距离。le是围绕刚性框架的质心的振动系统的等效旋转半径。要满足
本发明的有益效果：
采用双机自同步驱动，并且双机同向回转，提高了机器的功率，实现了设备的大型化，提高了产量，自同步驱动达到节能；振动破碎提高了破碎比，且能破碎超硬质矿石物料，如铬合金矿石等。
附图说明
图1为立式双通道双机自同步振动惯性破碎机结构示意图。
图2为立式双通道双机自同步振动惯性破碎机动力学模型图。
图中：1下隔振弹簧；2下工作体内锥；3下工作体主轴；4下工作体外锥；5 电动机A；6联轴器A；7横梁；8激振器A；9上工作体外锥；10上隔振弹簧；11 支座；12半球体；13上工作体主轴；14上工作体内锥；15上球柄；16连接块；17 下球柄；18激振器B；19联轴器B；20电动机B。
具体实施方式
一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机，包括下隔振弹簧1、下工作体外锥4、下工作体内锥2、下工作体主轴3、下球柄17、连接块16、横梁7、上球柄 15、上工作体主轴13、上工作体内锥14、上工作体外锥9、上隔振弹簧10、半球体 12、电动机A5、电动机B20、联轴器A6、联轴器B19、激振器A8、激振器B18 和支座11；其中上工作体主轴一端通过半球体球面支撑固定在支座上，支座固定在地面上；上工作体主轴穿过连接着的上工作体内锥；上工作体外锥环绕在上工作体内锥四周，通过上隔振弹簧与支座连接；连接上工作体主轴另一端的上球柄侧面和连接块相切，上球柄底面与连接块留有3～5mm的距离用以润滑；连接块的上下两侧对称设置上、下球柄，与下球柄连接的下工作体主轴伸入固定在下工作体内锥里面，下工作体外锥环绕在下工作体内锥四周；下工作体外锥与地面通过下隔振弹簧相连；上、下工作体主轴同轴线布置；在上、下工作体主轴轴线两侧对称设置两个振动单元，振动单元通过横梁与连接块固定；所述振动单元为电动机通过联轴器与激振器相连，联轴器与横梁固定连接。
对上下两个进料口进行送料，同时，两个电动机同向回转，驱动激振器激励横梁和连接块以及和主轴连接的上下工作体内锥进行摆动，与上下工作体外锥对放入其中的物料进行压碎、研磨。
1)建立运动微分方程：
设定：m是刚性框架的质量，mi是激振器的质量，i＝1,2；l0是激振器的旋转中心和刚性框架的质心之间的距离；r1＝r2＝r是两个偏心块的偏心半径；kx,ky和kψ是弹簧常数，fx，fy和fψ是在x，y和ψ方向的阻尼常数；fj是电机j的阻尼常数，J0j是惯性矩；joj joj是可忽略的电动机轴的惯性矩，j＝1,2；le是围绕刚性框架的质心的振动系统的等效旋转半径；Tej是电机j的转矩。和分别表示d·/dt和d2·/dt2。
系统运动微分方程如下：
其中，
2)两个激振器的频率俘获和同步状态的稳定性
如图1所示，两个激振器的平均相位及其相位差为和2α，得到
因此，两个激振器的平均角速度是由于振动系统的周期性运动，两个电机的角速度周期性地变化。如果假定两个电动机的最小公倍数周期是TLCMP，它们的平均角速度随时间TLCMP变化的平均值一定是常数，即
和的瞬时变化系数为ε1和ε2(ε1和ε2是时间t的函数)，得到
如果ε1和ε2在单个周期下(T0＝2π/ωm0)的平均值为和即两个激振器可以同步操作。通常在工程中，偏心块的质量远小于刚性框架的质量，所以，方程(1) 的前两个公式中的耦合项和第三个公式中的和被忽略。另一方面，感应电动机的滑差通常在2％至8％的范围内，即所以和因此可以在公式3 的前三个公式中忽略。当振动系统稳定工作时，m1等于m0，m2是ηm0(η＝1)，公式(4) 代入前三个公式中，得
对于非共振振动机械，系统的工作频率约为其固有频率的(3～10)倍，弹簧的阻尼常数非常小，(5)可以表示为：
其中， ξnx,ξny和ξnψ是弹簧的阻尼比(ξnx≤0.07，ξny≤0.07，ξnψ≤0.07)，π-γi，表示i方向上的相位角，i＝x,y,ψ。
在方程(6)中，x,y和ψ的微分与时间t有关系，得到和的表达式，插入到方程中，其中忽略ε1和ε2的高阶项，两个激振器的平衡方程可以表示为
和
其中
χ′11＝m0r2ωm0[-Wc0-Wssin(2α+θs)+Wccos(2α+θc)]/2，
χ′12＝m0r2ωm0[-Wc0+Wssin(2α+θs)-Wccos(2α+θc)]/2，
χ′21＝m0r2ωm0[-Wc0+Wssin(2α+θs)+Wccos(2α+θc)]/2，
χ′22＝m0r2ωm0[Wc0+Wssin(2α+θs)+Wccos(2α+θc)]/2，
相对于和时间t的变化相比，ε1，ε2，和非常小。因此，ε1和ε2，被认为是慢变的参数，而是快速变化的参数。根据直接分离运动的方法，ε1，ε2，和α被认为是他们积分的中间值
如果两个电机提供相同的电源并具有相同的极对数，则它们的电磁转矩可以表示如下：
其中Te01和Te02是电磁转矩，ke01和ke02是电机的刚度。
选择激振器A作为标准(m1＝m0,m2＝ηm0,0<η≤1)来归一化方程(7)：首先将方程(8) 和(9)代入方程(7)，然后，方程(7)除以标准激振器的力矩m0r2ωm0，之后，将两个公式作为第一行，从第一行中减去第二个公式作为第二行，引入无量纲参数ρ1ρ2，κ1，κ2，和
最后将它们写入矩阵形式，两个激振器的频率俘获方程可以表示为：
其中
等式(10)描述了两个激振器的耦合关系，并且被称为两个激振器的无量纲耦合等式。
3)实现频率俘获的标准
将和代入方程(10)中，得到u1＝0和u2＝0，计算u1和u2的和与差，将它们重新排列，
在方程(11)中，Te01+Te02是两个电机的电磁转矩的总和；(f1+f2)ωm0是两个电动机的转子阻尼转矩；χf1+χf2是振动系统作用在两个电机上的负载转矩的总和。等式(11)，是在稳定状态下工作的振动系统的扭矩平衡方程。重写等式(12)，有
其中，
TC是频率捕获的转矩；TD是两个电动机的剩余电磁转矩之间的差；TR1和TR2分别为电动机1和2的剩余电磁转矩。因为实现振动同步的标准是
TC≥|TD| (14)
等式(14)表示两个激振器的同步标准是频率捕获的转矩等于或大于两个电机的剩余电磁转矩之间的差的绝对值。
方程(11)和(12)是ωm0和的非线性函数，它们的解和可以通过数值方法来确定。
4)同步状态的稳定性
在处线性化方程(10)，附加第三行然后将它们写为三个一阶微分方程的系统，并使用符号
其中，
应当注意，a′ij和b′ij表示矩阵aij和bij的值，A和B表示和
插入到方程(15)中。det(A′-1B′-λI)＝0，推导出特征值λ的特征方程
λ3+c1λ2+c2λ+c3＝0 (16)
其中，
在工程中，Wc和c1,c2与c3相比非常小，可以忽略。可以简化为：
基于Routh-Hurwitz准则，当且仅当方程(16)中的λ有负实部，方程(19)有解，方程(15)的零解z＝0，是稳定的，即系统稳定性条件为:
c1>0，c3>0，c1c2>c3 (19)
方程(19)可以被重写为(20)和(21)
H′0>0，H′1>0，H′3>0，4H′1H′2-H′0H′3>0 (20)
H′0<0，H′1<0，H′3<0，4H′1H′2-H′0H′3>0 (21)
由于H′0>0和H′1>0(κ1>0，κ2>0)，能够推断出
又因为H′3>0，得到
把H′0，H′1，H′2和H′3代入4H′1H′2-H′0H′3>0得
如式(24)所示，如果方程(24)的左边远大于0，右边小于0，ρ1>0，ρ2>0。因此，方程(22)和(23)满足方程(24)。
当H′0<0，由于H′1<0，得到ρ1k2+ρ2k1<0，H′3<0要求在这种情况下，方程式(24)的左边小于0，右边大于0。H′0<0，H′1<0，H′3<0，不满足4H′1H′2-H′0H′3>0。
此外满足方程(23)，有θc决定。因此，等式(22)和(23) 是两个激振器的同步状态的稳定性标准。

Claims (2)

1.一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机，其特征在于，包括下隔振弹簧、下工作体外锥、下工作体内锥、下工作体主轴、下球柄、连接块、横梁、上球柄、上工作体主轴、上工作体内锥、上工作体外锥、上隔振弹簧、半球体、电动机A、电动机B、联轴器A、联轴器B、激振器A、激振器B和支座；其中上工作体主轴一端通过半球体球面支撑固定在支座上，支座固定在地面上；上工作体主轴穿过连接着的上工作体内锥；上工作体外锥环绕在上工作体内锥四周，通过上隔振弹簧与支座连接；连接上工作体主轴另一端的上球柄侧面和连接块相切，上球柄底面与连接块留有3～5mm的距离用以润滑；连接块的上下两侧对称设置上、下球柄，与下球柄连接的下工作体主轴伸入固定在下工作体内锥里面，下工作体外锥环绕在下工作体内锥四周；下工作体外锥与地面通过下隔振弹簧相连；上、下工作体主轴同轴线布置；在上、下工作体主轴轴线两侧对称设置两个振动单元，振动单元通过横梁与连接块固定；所述振动单元为电动机通过联轴器与激振器相连，联轴器与横梁固定连接。
2.权利要求1所述的一种立式双通道双机自同步振动惯性破碎机的参数确定方法，其特征在于，包括如下步骤：
1)建立运动微分方程：
m是刚性框架的质量，mi是激振器的质量，i＝1,2；l0是激振器的旋转中心和刚性框架的质心之间的距离；r1＝r2＝r是两个偏心块的偏心半径；kx,ky和kψ是弹簧常数，fx，fy和fψ是在x，y和ψ方向的阻尼常数；fj是电机j的阻尼常数，J0j是惯性矩；joj joj是可忽略的电动机轴的惯性矩，j＝1,2；le是围绕刚性框架的质心的振动系统的等效旋转半径；Tej是电机j的转矩；和分别表示d·/dt和d2·/dt2；
运动微分方程如下：
其中，
J0j＝mir2+joj，满足
2)两个激振器的频率捕获和同步状态的稳定性
两个激振器的平均相位及其相位差为和2α，得到
两个激振器的平均角速度是由于振动系统的周期性运动，两个电机的角速度周期性地变化；如果假定两个电动机的最小公倍数周期是TLCMP，它们的平均角速度随时间TLCMP变化的平均值一定是常数，即
和的瞬时变化系数为ε1和ε2(ε1和ε2是时间t的函数)，得到
如果ε1和ε2在单个周期下(T0＝2π/ωm0)的平均值为和即两个激振器同步操作；公式(4)代入前三个公式中，得
对于非共振振动机械，系统的工作频率约为其固有频率的(3～10)倍，弹簧的阻尼非常小，(5)表示为：
其中，
ξnx,ξny和ξnψ是弹簧的阻尼比(ξnx≤0.07，ξny≤0.07，ξnψ≤0.07)，π-γi，表示i方向上的相位角，i＝x,y,ψ；
在方程(6)中，x,y和ψ的微分与时间t有关系，得到和的表达式，插入到方程中，其中忽略ε1和ε2的高阶项，两个激振器的平衡方程表示为
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和
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其中
χ′11＝m0r2ωm0[-Wc0-Wssin(2α+θs)+Wccos(2α+θc)]/2，
χ′12＝m0r2ωm0[-Wc0+Wssin(2α+θs)-Wccos(2α+θc)]/2，
χ′21＝m0r2ωm0[-Wc0+Wssin(2α+θs)+Wccos(2α+θc)]/2，
χ′22＝m0r2ωm0[Wc0+Wssin(2α+θs)+Wccos(2α+θc)]/2，
<mrow> <msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>
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<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>sin&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>cos&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </msub> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>
ε1和ε2，被认为是慢变的参数，而是快速变化的参数；根据直接分离运动的方法，ε1，ε2，和α被认为是他们积分的中间值
如果两个电机提供相同的电源并具有相同的极对数，则它们的电磁转矩表示如下：
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Te01和Te02是电磁转矩，ke01和ke02是电机的刚度；
选择激振器A作为标准(m1＝m0,m2＝ηm0,0<η≤1)来归一化方程(7)：首先将方程(8)和(9)代入方程(7)，然后，方程(7)除以标准激振器的力矩m0r2ωm0，之后，将两个公式作为第一行，从第一行中减去第二个公式作为第二行，引入无量纲参数ρ1ρ2，κ1，κ2，和
ρ1＝1-Wc0/2，ρ2＝1-Wc0/2，
<mrow> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>r&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
最后将它们写入矩阵形式，两个激振器的频率俘获方程可以表示为：
<mrow> <mi>A</mi> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
u＝{u1,u2}T，
<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
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<mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
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等式(10)描述了两个激振器的耦合关系，并且被称为两个激振器的无量纲耦合等式；
3)实现频率俘获的标准
将和代入方程(10)中，得到u1＝0和u2＝0，计算u1和u2的和与差，将它们重新排列，
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>W</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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在方程(11)中，Te01+Te02是两个电机的电磁转矩的总和；(f1+f2)ωm0是两个电动机的转子阻尼转矩；χf1+χf2是振动系统作用在两个电机上的负载转矩的总和；等式(11)，是在稳定状态下工作的振动系统的扭矩平衡方程；重写等式(12)，有
<mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>D</mi> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>D</mi> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
TD＝TR1-TR2，TC是频率捕获的转矩；TD是两个电动机的剩余电磁转矩之间的差；TR1和TR2分别为电动机1和2的剩余电磁转矩；因为实现振动同步的标准是
TC≥|TD| (14)
等式(14)表示两个激振器的同步标准是频率俘获的转矩等于或大于两个电机的剩余电磁转矩之间的差的绝对值；
方程(11)和(12)是ωm0和的非线性函数，它们的解和可以通过数值方法来确定；
4)同步状态的稳定性
在处线性化方程(10)，附加第三行为再将它们写为三个一阶微分方程的系统，并使用符号
<mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，
<mrow> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>11</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>12</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>21</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>22</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <msup> <mi>B</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>11</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>12</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>21</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>22</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
a′ij和b′ij表示矩阵aij和bij的值，A和B表示和
插入到方程(15)中；det(A′-1B′-λI)＝0，推导出特征值λ的特征方程
λ3+c1λ2+c2λ+c3＝0 (16)
其中，
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
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简化为：
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基于Routh-Hurwitz准则，当且仅当方程(16)中的λ有负实部，方程(19)有解，方程(15)的零解z＝0，是稳定的；应当指出的是，由于具有相同的额定转速和相同的电源供给，两个电机速度之间的差值是相当小的；此外，由于两个电动机的周期性旋转，并且基于通过平均直接分离运动的方法，当时间t→+∞，方程(19)可以保证振动系统由于频率捕获的转矩引起的同步状态稳定，表示和得到
c1>0，c3>0，c1c2>c3 (19)
根据H′0，方程(19)可以被重写为(20)和(21)
H′0>0，H′1>0，H′3>0，4H′1H′2-H′0H′3>0 (20)
H′0<0，H′1<0，H′3<0，4H′1H′2-H′0H′3>0 (21)
从H′0>0和H′1>0(κ1>0，κ2>0)，能够推断出
ρ1>0，ρ2>0，
又H′3>0，得到
<mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
把H′0，H′1，H′2和H′3代入4H′1H′2-H′0H′3>0得
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>4</mn> <msubsup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msubsup> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
如等式(24)所示，如果方程(24)的左边远大于0，右边小于0，ρ1>0，ρ2>0；因此，方程(22)和(23)满足方程(24)；
当H′0<0，由于H′1<0，得到ρ1k2+ρ2k1<0，H′3<0要求在这种情况下，方程式(24)的左边小于0，右边大于0；H′0<0，H′1<0，H′3<0，不满足4H′1H′2-H′0H′3>0；
此外，满足方程(23)，有θc决定；因此，等式(22)和(23)是两个激振器的同步状态的稳定性标准。
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