CN107016649A - 一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，包括以下步骤：1)获取待补全的原始视觉数据，并将原始视觉数据映射到大小为n₁×n₂×n₃的三维张量空间上形成有缺失值的原始张量2)根据原始张量初始化目标张量使其满足其中，为目标张量中的非缺失值数据，为原始张量中的非缺失值数据，为目标张量中的缺失值数据，并且有重叠地将目标张量分解为n_g个子张量M_ij；3)分别对每个子张量M_ij求解，使得其迹范数加权和最小化，最终得到目标张量的最优解；4)将目标张量的最优解转换为视觉数据的对应格式，得到最终的补全结果。与现有技术相比，本发明具有补全效果好、估计准确等优点。

Description

一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法

技术领域

本发明涉及一种视觉数据补全方法，尤其是涉及一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法。

背景技术

国外对于基于张量分解的缺失数据插补方法进行了广泛地研究，提出了一系列的算法。2005年，Tomasi等采用迭代的最小二乘法的思想，提出了一个基于张量的CP分解模型的具体的缺失张量插补算法，称为PARAFAC-ALS算法。但是，PARAFAC-ALS算法采用的是迭代和不断逼近的思路，收敛速度慢，当数据缺失比例较大时，甚至有可能完全不收敛，得出错误的插补结果。为了解决这个问题，Tomasi等还提出了PARAFAC-LM算法，利用非线性最小二乘的思想和CP分解模型，同样有效解决了缺失张量的插补问题，并被成功应用于化学领域。作者将这种算法同PARAFAC-ALS算法进行了比较，在插补效果上，它们几乎差不多，但是对于复杂数据，PARAFAC-LM算法效果更好。在运行时间上，PARAFAC-ALS算法通常速度更快，但是当缺失数据比例增大时，PARAFAC-LM算法的二次收敛特性使得其明显快于PARAFAC-ALS算法。但是，PARAFAC-LM算法仍然存在计算速度慢的问题，因为它在计算过程中，需要求误差函数的因子矩阵的二阶偏导数。当数据量很大时，PARAFAC-LM算法每一步迭代的代价都非常大，虽然收敛速度快，但是总体速度还是很慢。因此，PARAFAC-ALS算法和PARAFAC-LM算法只适合解决小规模张量的缺失数据插补问题。

2011年，Acar等提出了CP-WOPT算法，该算法利用CP分解模型和梯度优化的方法，有效解决了收敛和计算复杂度的问题。当张量为稠密的时，CP-WOPT算法只计算误差函数对因子矩阵变量的一阶偏导数，并且优先计算第一维数据对应的因子矩阵。这一点和PARAFAC-LM算法不同，PARAFAC-LM算法是基于二阶偏导数解决优化问题的，并且优先计算第二维数据对应的因子矩阵。稠密张量的CP-WOPT算法适合解决中小规模的缺失张量插补问题。针对大规模稀疏张量，CP-WOPT算法采用稀疏的张量表示法，可以解决大规模、高缺失比的张量插补问题，这也是CP-WOPT算法的一个优点，使得插补的灵活性更高。

国内对于基于张量的缺失数据插补算法的研究较少。2007年，黄应提出了两种改进的张量投票算法，并将其应用于图像修复，获得了更好的图像修复效果。2013年，王文娟对张量分解的插补算法进行了详细研究，根据CP分解模型重新定义了张量范数，作为张量秩约束的凸松弛。同时，她还证明了张量的n-模秩与张量插补的效果没有必然联系，主要还是取决于原始张量的秩。同年，刘园园对低秩矩阵和张量恢复进行了深入研究，提出了基于矩阵三分解的快速核范数最小化框架、矩阵双分解核范数正则的线性化框架，并进行了推广和应用。为了解决张量核范数最小化问题计算复杂度过高的问题，刘园园还提出了一种新的CP分解模型计算方法，并应用于缺失张量的插补问题。

以上方法均为利用张量数据全局结构信息对缺失值进行估计，而忽视了真实视觉数据中局部高相关性的特性，因此丢失了局部结构信息。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种补全效果好、估计准确的基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

1.一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)获取待补全的原始视觉数据，并将原始视觉数据映射到大小为n₁×n₂×n₃的三维张量空间上形成有缺失值的原始张量

2)根据原始张量初始化目标张量使其满足其中，为目标张量中的非缺失值数据，为原始张量中的非缺失值数据，为目标张量中的缺失值数据，并且有重叠地将目标张量分解为n_g个子张量M_ij；

3)分别对每个子张量M_ij求解，使得其迹范数加权和最小化，最终得到目标张量的最优解；

4)将目标张量的最优解转换为视觉数据的对应格式，得到最终的补全结果。

2.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤2)中，有重叠的分解为子张量M_ij的具体分解方法为：

21)确定每个子张量的大小为l₁×l₂×l₃，且满足条件(n_g*l₁)＞n₁||(n_g*l₂)＞n₂||(n_g*l₃)＞n₃；

22)初始化第i个子张量对应的元素索引集合Ω_i为全零，其大小为n₁×n₂×n₃；

23)按长宽高将Ω_i中连续的l₁×l₂×l₃个元素索引置为1，用以标记子张量的元素位置。

3.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤22和23)中，确保元素索引集合Ω_i,1≤i≤n_g，覆盖全部n₁×n₂×n₃个元素，且索引集合Ω_i相互之间有所重叠。

4.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤3)中，迹范数加权和最小化的目标函数和约束条件为：

其中，α_j为第j维度上的权重参数，为子张量的迹范数，为对应子张量的全部元素，i为第i个子张量，j为维度上的索引。

5.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的迹范数表示为子张量各个展开矩阵的迹范数权重和，局部低秩张量估计方法表示为子张量的迹范数权重和最小化方法。又因张量迹范数的可定义为各展开矩阵的权重和，因此该方法又表示为子张量各个展开矩阵的迹范数权重和。

6.根据权利要求4所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤3)中，采用增广拉格朗日方法引入辅助张量方法和交替方向乘子方法求解目标函数。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

一、有重叠地分解张量数据：本方法通过将张量分数据有重叠地分解为多个子张量，使得每个数据元素都得以从多于一个方向上被低秩估计约束，多于一个方向的约束指，对含有某个数据元素的若干个子张量都进行了低秩估计，以确保元素与其周围不同方向的元素具有高相关性，因此能够取得优于已有的张量数据补全方法的效果。

二、以子张量的迹范数加权和最小化为目标函数求解：由于对重叠的子张量进行低秩估计可以得到缺失元素的若干个值，本方法以子张量迹范数的加权和最小化为目标函数，以保证缺失元素在不同子张量中都取得合理值，再对这些取值求加权平均，最终使缺失元素的估计值得到平衡。

附图说明

图1为将有缺失值的张量数据有重叠地分解为个子张量的过程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

实施例：

本发明基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法具体的实施步骤包含：

(1)获取视觉数据，并将其存储为有缺失值的张量数据形式取目标张量Ω为非缺失值数据的坐标集合。

(2)将目标张量有重叠地分解为n_g个子张量且有Ω_i对应按行列高抽取子张量元素的坐标，如图1所示，图为将有缺失值的张量数据有重叠地分解为个子张量的过程，其中，目标张量被分解为n个子张量这些子张量所包含的元素相互有所重叠，本方法对每个子张量分别进行矩阵展开，并进行低秩估计，以求解目标张量中的缺失元素值，其具体步骤为：

21)确定子张量的大小为l₁×l₂×l₃，以满足条件(n_g*l₁)＞n₁||(n_g*l₂)＞n₂||(n_g*l₃)＞n₃；

22)初始化第i个子张量的元素索引集合Ω_i为全零，大小为n₁×n₂×n₃；

23)按长宽高将Ω_i中连续的l₁×l₂×l₃个元素索引置为1，以标记子张量的元素位置。

24)所述的步骤22)和23)中，应确保n_g元素索引集合Ω_i,1≤i≤n_g，覆盖全部n₁×n₂×n₃个元素，且索引集合Ω_i相互之间有所重叠。

(3)对每个子张量求使得其迹范数加权和最小化的解，其中张量迹范数表示为张量各个展开矩阵的核范数对权重和，得到目标函数如下：

(4)对所述步骤3中的低秩张量估计目标函数，通过增广拉格朗日方法引入辅助张量求解：

(5)对所述步骤4中的增广拉格朗日函数，通过交替方向乘子方法(ADMM)进行交替优化求解：

(51)固定优化

定义和大小相同的张量以及 中任意一项(i,j,k)定义如下：

其中，为指示函数，里面的项为真时(就是Ω_l包含(i,j,k)时)返回，反之则返回0。则定义为

基于以上定义，优化的最优解为：

上式中，⊙代表按位点乘。

(52)固定优化

容易看出在上式中，的优化是可以独立进行的，因此我们只需求解：

其最优解为：

(6)交替优化结果在迭代中必然收敛，当结果变化趋于稳定时则停止迭代，所得到对目标张量即为低秩估计最终结果，最后将目标张量转换为视觉数据源对应格式，则得到最终的补全结果。

Claims (6)

1.一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)获取待补全的原始视觉数据，并将原始视觉数据映射到大小为n₁×n₂×n₃的三维张量空间上形成有缺失值的原始张量

2)根据原始张量初始化目标张量使其满足其中，为目标张量中的非缺失值数据，为原始张量中的非缺失值数据，为目标张量中的缺失值数据，并且有重叠地将目标张量分解为n_g个子张量M_ij；

3)分别对每个子张量M_ij求解，使得其迹范数加权和最小化，最终得到目标张量的最优解；

4)将目标张量的最优解转换为视觉数据的对应格式，得到最终的补全结果。

2.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤2)中，有重叠的分解为子张量M_ij的具体分解方法为：

21)确定每个子张量的大小为l₁×l₂×l₃，且满足条件(n_g*l₁)＞n₁||(n_g*l₂)＞n₂||(n_g*l₃)＞n₃；

22)初始化第i个子张量对应的元素索引集合Ω_i为全零，其大小为n₁×n₂×n₃；

23)按长宽高将Ω_i中连续的l₁×l₂×l₃个元素索引置为1，用以标记子张量的元素位置。

3.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤22和23)中，元素索引集合Ω_i覆盖全部n₁×n₂×n₃个元素，且索引集合Ω_i相互之间有所重叠。

4.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤3)中，迹范数加权和最小化的目标函数和约束条件为：

其中，α_j为第j维度上的权重参数，为子张量的迹范数，为对应子张量的全部元素，i为第i个子张量，j为维度上的索引。

5.根据权利要求1所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的迹范数表示为子张量各个展开矩阵的迹范数权重和。

6.根据权利要求4所述的一种基于局部低秩张量估计的视觉数据补全方法，其特征在于，所述的步骤3)中，采用增广拉格朗日方法引入辅助张量方法和交替方向乘子方法求解目标函数。