CN106991876B - 一种斐波那契螺旋线轨迹展示仪 - Google Patents

Abstract

本发明涉及斐波那契螺旋线轨迹展示仪，包括箱体，箱体的左端装有连接体，连接体上有水平转轴，转轴左端有摩擦轮，转轴上设有螺旋凹槽，转轴上装有移动块，移动块上有置于凹槽内的导向柱，移动块上部装有第一齿条和第二齿条，第一齿条的前侧装有第三齿条，第二齿条的后侧装有第四齿条，第一齿条、第二齿条、第三齿条和第四齿条的一段卡装在箱体的腔体内；箱体的腔体内有齿轮轴，齿轮轴上安装有第一齿轮和第二齿轮，第一齿轮与第一齿条和第三齿条啮合，第二齿轮与第二齿条和第四齿条啮合；第三齿条和第四齿条上分别装有第一定位针和第二定位针；本发明结构精准，绘图精确，只需在每转过90°时调换一次定位针的位置即可实现斐波那契螺旋线的演示。

Description

一种斐波那契螺旋线轨迹展示仪

技术领域

本发明涉及数学模型，特别是一种斐波那契螺旋线轨迹展示仪。

背景技术

斐波那契螺旋线作为一种经典的数学曲线，广泛存在于我们的日常生活和自然界中，向日葵果实的螺旋状排列和一些贝壳生物的贝壳上的螺旋花纹等都是典型的斐波那契螺旋线，但是，这种螺旋线由何而来，与斐波那契数列之间有什么对应关系，很多同学往往难以理解。因此，需要一种可以快速展示斐波那契螺旋线生成轨迹，并能够直观理解其与斐波那契数列之间的关系的作图工具，来帮助同学们认识和理解斐波那契数列与斐波那契螺旋线。目前的数学教学中，没有专门针对斐波那契螺旋线的作图工具，使得绘制斐波那契螺旋线时要用传统的正方形辅助构图法，费时费力且需要很多辅助工具。

发明内容

针对上述情况，为弥补现有技术所存在的技术不足，本发明提供一种斐波那契螺旋线轨迹展示仪。

其解决的技术方案是：包括箱体，箱体上设有左右贯穿的腔体，箱体的左端安装有置于箱体下方的连接体，连接体上插装有水平设置的转轴，转轴的左端安装有摩擦轮，构成摩擦轮随转轴在连接体上转动的结构；转轴的外缘面上设有沿转轴长度方向螺旋状设置的螺旋凹槽，螺旋凹槽的螺距为摩擦轮最大半径的倍；转轴上套装有置于箱体下方的移动块，移动块上有置于螺旋凹槽内的导向柱，构成当转轴转动时，导向柱在螺旋凹槽内滑动，导向柱使移动块在转轴上水平滑动的结构；

移动块上装有水平设置的第一齿条和第二齿条，第一齿条和第二齿条纵向并列置于摩擦轮的上方；第一齿条的前侧装有与第一齿条平行并列的第三齿条，第二齿条的后侧装有与第二齿条平行并列第四齿条，第一齿条、第二齿条、第三齿条和第四齿条的一段卡装在箱体的腔体内，构成第一齿条、第二齿条、第三齿条和第四齿条可在箱体上左右滑动的结构；箱体的腔体内固定有纵向设置的第一齿轮轴，第一齿轮轴上安装有第一齿轮和第二齿轮，第一齿轮与第一齿条和第三齿条啮合，第二齿轮与第二齿条和第四齿条啮合；

第三齿条和第四齿条上装有分别置于移动块前后两侧的第一定位架和第二定位架，第一定位架和第二定位架上分别装有第一定位针和第二定位针，第一定位针和第二定位针的针尖重合且与摩擦轮的最大外径的最下点位于与转轴长度方向一致的同一水平线上；

第一齿条和第二齿条为互补的间歇进给非全齿齿条，第一齿条上的第一段进给齿的右端第一齿与第一齿轮接触，第一齿条上的第一段进给齿的有效进给距离与第一定位针的针尖和摩擦轮的最大外径的最下点的距离相等；以第一段进给齿的有效进给距离为一个进给单位，第一齿条上从右向左的进给距离与间歇距离依次按照斐波那契数列设置，即：第一段为一个进给单位的进给距离，第二段为两个进给单位的间歇距离，第三段为三个进给单位的进给距离，第四段为五个进给单位的间歇距离，第五段为八个进给单位的进给距离，依次递增；第二齿条上的进给距离和间歇距离分别与第一齿条上的间歇距离和进给距离相对应。

本发明结构精准，绘图精确，只需在每转过90°时调换一次定位针的位置即可实现斐波那契螺旋线的连续轨迹演示。

附图说明

图1为本发明的主视图。

图2为本发明的右视剖面图。

图3为本发明的左视剖面图。

图4为本发明的仰视图。

图5为本发明的图1中A部分的放大视图。

图6为本发明的图4中B部分的放大视图。

图7为本发明的移动块与第一齿条和第二齿条连接在一起时的主视图。

图8为本发明的移动块与第一齿条和第二齿条连接在一起时的俯视图。

图9为本发明的移动块与第一齿条和第二齿条连接在一起时的右视图。

图10为本发明的箱体局部剖后的轴测图。

图11为本发明的图10中C部分的放大视图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。

由图1至图9给出，本发明包括箱体1，箱体1上设有左右贯穿的腔体，箱体1的左端安装有置于箱体1下方的连接体2，连接体2上插装有水平设置的转轴3，转轴3的左端安装有摩擦轮4，构成摩擦轮4随转轴3在连接体2上转动的结构；转轴3的外缘面上设有沿转轴3长度方向螺旋状设置的螺旋凹槽5，螺旋凹槽5的螺距为摩擦轮4最大半径的4倍；转轴4上套装有置于箱体1下方的移动块6，移动块6上有置于螺旋凹槽5内的导向柱7，构成当转轴3转动时，导向柱7在螺旋凹槽5内滑动，导向柱7使移动块6在转轴3上水平滑动的结构；

移动块6上装有水平设置的第一齿条8和第二齿条9，第一齿条8和第二齿条9纵向并列置于摩擦轮4的上方；第一齿条8的前侧装有与第一齿条8平行并列的第三齿条10，第二齿条9的后侧装有与第二齿条9平行并列第四齿条11，第一齿条8、第二齿条9、第三齿条10和第四齿条11的一段卡装在箱体1的腔体内，构成第一齿条8、第二齿条9、第三齿条10和第四齿条11可在箱体1上左右滑动的结构；箱体1的腔体内固定有纵向设置的第一齿轮轴12，第一齿轮轴12上安装有第一齿轮13和第二齿轮14，第一齿轮13与第一齿条8和第三齿条10啮合，第二齿轮14与第二齿条9和第四齿条11啮合；

第三齿条10和第四齿条11上装有分别置于移动块6前后两侧的第一定位架15和第二定位架16，第一定位架15和第二定位架16上分别装有第一定位针17和第二定位针18，第一定位针17和第二定位针18的针尖重合且与摩擦轮4的最大外径的最下点位于与转轴3长度方向一致的同一水平线上；

第一齿条8和第二齿条9为互补的间歇进给非全齿齿条，第一齿条8上的第一段进给齿的右端第一齿与第一齿轮13接触，第一齿条8上的第一段进给齿的有效进给距离与第一定位针17的针尖和摩擦轮4的最大外径的最下点的距离相等；以第一段进给齿的有效进给距离为一个进给单位，第一齿条8上从右向左的进给距离与间歇距离依次按照斐波那契数列设置，即：第一段为一个进给单位的进给距离，第二段为两个进给单位的间歇距离，第三段为三个进给单位的进给距离，第四段为五个进给单位的间歇距离，第五段为八个进给单位的进给距离，依次递增；第二齿条9上的进给距离和间歇距离分别与第一齿条8上的间歇距离和进给距离相对应。

为了使本发明达到更好的使用效果，所述的摩擦轮4上有与摩擦轮4同轴设置的第三齿轮19，连接体2上插装有水平设置的第二齿轮轴20，第二齿轮轴20的一端套装有与第三齿轮19啮合的第四齿轮21，另一端套装有第五齿轮22，转轴3上套装有与第五齿轮22啮合的第六齿轮23，第三齿轮19、第四齿轮21、第五齿轮22和第六齿轮23构成齿轮传动副，构成摩擦轮4经齿轮传动副随转轴3在连接体2上转动的结构；所述的齿轮传动副的总传动比与摩擦轮最大半径的4倍的乘积等于螺旋凹槽5的螺距，所述的第一齿条8上的第一段进给齿的有效进给距离为第一定位针17的针尖和摩擦轮4的最大外径的最下点的距离。

本发明使用时，首先将第二定位针18定位在作图平面上，使摩擦轮4与作图平面接触并保持第一齿条8、第二齿条9、第三齿条10和第四齿条11所在的平面与作图平面平行；上提第一定位针17使其针尖离开作图平面，使摩擦轮4沿第二定位针18的针尖所在的竖向轴做纯圆周滚动，摩擦轮4滚动时经动齿轮传动副的传动带动转轴3同时转动，转轴3的转动使导向柱7在螺旋凹槽5内滑动并带动移动块6向右平移运动；移动块6的平移带动第一齿条8和第二齿条9同时向右平移，此时第一齿条8与第一齿轮13啮合使第一齿轮13转动，第一齿轮13的转动带动与之啮合的第三齿条10向右平移，与第三齿条连接的第一定位架15带动第一定位针17同时平移并远离第二定位针18；

当摩擦轮4的圆周滚动转过90°时，第一齿条8与第一齿轮13的啮合段结束，第一齿轮13和第三齿条10的运动停止，同时第二齿条9与第二齿轮14开始啮合；将第一定位针17定位在作图平面上并上提第二定位针18，使摩擦轮4沿第一定位针17的针尖所在的竖向轴做纯圆周滚动，此时经齿轮传动副传动使转轴3继续转动，移动块6继续做向右的平移运动，此时与移动块6连接的第二齿条9与第二齿轮14啮合使与第二齿轮14啮合的第四齿条11做同步的向右平移；

当摩擦轮4的圆周滚动再次转过90°时，第二齿条9与第二齿轮14的啮合段结束，第二齿轮14和第四齿条11的运动停止，同时第一齿条8与第一齿轮13再次开始啮合；按上述方法切换第一定位针17和第二定位针18并继续转动摩擦轮4。

如上所述，当摩擦4每转过90°，切换定位针并继续使摩擦轮4做圆周滚动，由于每次切换定位针后摩擦轮4的滚动半径均会变化，故摩擦轮4的运动轨迹为多段圆弧相切连接而成的螺旋线。

根据斐波那契螺旋线的生成特性，其每段圆弧的半径依次排列构成斐波那契数列，以a为一个单位长度，斐波那契数列按下述方式排列：

a,a,2a,3a,5a,8a,13a,21a,……

即从第三项开始，每一项都是该项的前两项的和。

由于第一项与第二项相同，斐波那契螺旋线的第一段为长度为a的线段，本发明所绘制的螺旋线从第二项开始。根据该数列的第二项，则第一齿条8上的第一段进给齿的有效进给距离为a，设螺旋凹槽5的螺距为P，摩擦轮4的最大半径为R，摩擦轮4第一次即滚动90°时其自身转动的圈数为n，齿轮传动副的总传动比为i，则：

未使用状态下，第一定位针17的针尖和摩擦轮4的最大外径的最下点的距离为r1=a；

转轴3随摩擦轮4转动过的圈数为n/i；

摩擦轮4第一次滚动90°时，其滚动半径为r1，摩擦轮4最大半径上任一固定点自身转动过的周长为2nπR，摩擦轮4的滚动距离为1/4×2πr1即πa/2，由于摩擦轮4的运动为纯滚动，故其转动的周长与滚动的距离相等即2nπR=πa/2，化简为4nR=a；

根据该数列的第二项，摩擦轮4第一次滚动过90°后，第一定位针17的针尖移动的距离即第一齿条8的第一段有效进给距离a，使此时的作图半径为2a，第一齿条8的第一段有效进给距离即转轴3的转动使移动块6移动过的距离，转轴3转过n/i圈，移动块6移动的距离为P×n/i，故a=P×n/i；

将上述关系代入后合并得到：4nR=a= nP/i，化简后得出：4iR=P，该数学关系为本发明能够准确得出斐波那契螺旋线的必要前提。

当进行绘图时，绘图半径按以下运动变化：

当摩擦轮4以r1=a为半径转过90°，摩擦轮4滚动过的距离为aπ/2，其自身滚动过的圈数为aπ/4πR，转轴3转过的圈数为aπ/4iπR，第一定位针17的移动距离为L1=P×aπ/4iπR=a，此时以第一定位针17的针尖为圆心的作图半径为r2=r1+a=2a，第一定位针17与第二定位针18的针尖距离为B1=L1=a；

当摩擦轮4以r2为半径转过90°，摩擦轮4滚动过的距离为aπ，其自身滚动过的圈数为aπ/2πR，转轴3转过的圈数为aπ/2iπR，第二定位针18的移动距离为L2=Paπ/2iπR=2a，此时以第二定位针18的针尖为圆心的作图半径为r3=r1+L2=3a，第一定位针17与第二定位针18的针尖距离为B2=L2-B1=a；

当摩擦轮4以r3为半径转过90°，摩擦轮4滚动过的距离为3aπ/2，其自身滚动过的圈数为3aπ/4πR，转轴3转过的圈数为3aπ/4iπR，第一定位针17的移动距离为L3=P×3aπ/4iπR =3a，此时以第一定位针17的针尖为圆心的作图半径为r4=r2+L3=5a，第一定位针17与第二定位针18的针尖距离为B3=L3-B2=2a；

当摩擦轮4以r4为半径转过90°，摩擦轮4滚动过的距离为5aπ/2，其自身滚动过的圈数为5aπ/4πR，转轴3转过的圈数为5aπ/4iπR，第二定位针18的移动距离为L4=5Paπ/4iπR=5a，此时以第二定位针18的针尖为圆心的作图半径为r5=r3+L4=8a，第一定位针17与第二定位针18的针尖距离为B4=r4-B3=2a；

由此不难得出：r6=r4+L5=13a,r7=r5+L6=21a,r8=34a,r9=55a,……

作图半径的变化符合斐波那契数列分布规律，且由此可反向验证本发明的准确性。

本发明结构精准，绘图精确，只需在每转过90°时调换一次定位针的位置即可实现斐波那契螺旋线的连续轨迹演示，不仅能够得出所需要的螺旋线，而且可以让同学们更加直观地理解斐波那契螺旋线的生成过程，将数字与图形相结合，更有利于加深对斐波那契数列的认识。

Claims (2)

1.一种斐波那契螺旋线轨迹展示仪，其特征在于，包括箱体（1），箱体（1）上设有左右贯穿的腔体，箱体（1）的左端安装有置于箱体（1）下方的连接体（2），连接体（2）上插装有水平设置的转轴（3），转轴（3）的左端安装有摩擦轮（4），构成摩擦轮（4）随转轴（3）在连接体（2）上转动的结构，转轴（3）的外缘面上设有沿转轴（3）长度方向螺旋状设置的螺旋凹槽（5），螺旋凹槽（5）的螺距为摩擦轮（4）最大半径的4倍；转轴（3）上套装有置于箱体（1）下方的移动块（6），移动块（6）上有置于螺旋凹槽（5）内的导向柱（7），构成当转轴（3）转动时，导向柱（7）在螺旋凹槽（5）内滑动，导向柱（7）使移动块（6）在转轴（3）上水平滑动的结构；

移动块（6）上装有水平设置的第一齿条（8）和第二齿条（9），第一齿条（8）和第二齿条（9）呈纵向并列分布并置于摩擦轮（4）的上方；第一齿条（8）的前侧装有与第一齿条（8）平行并列的第三齿条（10），第二齿条（9）的后侧装有与第二齿条（9）平行并列第四齿条（11），第一齿条（8）、第二齿条（9）、第三齿条（10）和第四齿条（11）的一段卡装在箱体（1）的腔体内，构成第一齿条（8）、第二齿条（9）、第三齿条（10）和第四齿条（11）可在箱体（1）上左右滑动的结构；箱体（1）的腔体内固定有纵向设置的第一齿轮轴（12），第一齿轮轴（12）上安装有第一齿轮（13）和第二齿轮（14），第一齿轮（13）与第一齿条（8）和第三齿条（10）啮合，第二齿轮（14）与第二齿条（9）和第四齿条（11）啮合；

第三齿条（10）和第四齿条（11）上装有分别置于移动块（6）前后两侧的第一定位架（15）和第二定位架（16），第一定位架（15）和第二定位架（16）上分别装有第一定位针（17）和第二定位针（18），第一定位针（17）和第二定位针（18）的针尖重合且与摩擦轮（4）的最大外径的最下点位于与转轴（3）长度方向一致的同一水平线上；

第一齿条（8）和第二齿条（9）为互补的间歇进给非全齿齿条，第一齿条（8）上的第一段进给齿的右端第一齿与第一齿轮（13）接触，第一齿条（8）上的第一段进给齿的有效进给距离与第一定位针（17）的针尖和摩擦轮（4）的最大外径的最下点的距离相等；以第一段进给齿的有效进给距离为一个进给单位，第一齿条（8）上从右向左的进给距离与间歇距离依次按照斐波那契数列设置，即：第一段为一个进给单位的进给距离，第二段为两个进给单位的间歇距离，第三段为三个进给单位的进给距离，第四段为五个进给单位的间歇距离，第五段为八个进给单位的进给距离，依次递增；第二齿条（9）上的进给距离和间歇距离分别与第一齿条（8）上的间歇距离和进给距离相对应。

2.根据权利要求1所述的一种斐波那契螺旋线轨迹展示仪，其特征在于，摩擦轮（4）上有与摩擦轮（4）同轴设置的第三齿轮（19），连接体（2）上插装有水平设置的第二齿轮轴（20），第二齿轮轴（20）的一端套装有与第三齿轮（19）啮合的第四齿轮（21），另一端套装有第五齿轮（22），转轴（3）上套装有与第五齿轮（22）啮合的第六齿轮（23），第三齿轮（19）、第四齿轮（21）、第五齿轮（22）和第六齿轮（23）构成齿轮传动副，构成摩擦轮（4）经齿轮传动副随转轴（3）在连接体（2）上转动的结构；所述的齿轮传动副的总传动比与摩擦轮最大半径的4倍的乘积等于螺旋凹槽（5）的螺距，所述的第一齿条（8）上的第一段进给齿的有效进给距离为第一定位针（17）的针尖和摩擦轮（4）的最大外径的最下点的距离。