CN106972862A - 基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理和稀疏表示技术领域，具体涉及一种应用于压缩感知的图像重构方法。本发明深入发掘图像的非局部自相似性，提出了一种基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法。该方法同时利用了自然图像的稀疏性与低秩性，结合截断核范数最小化和组稀疏表示模型，利用交替方向乘子法对压缩感知中图像的重构问题进行求解。截断核范数最小化模型与传统的核范数最小化模型相比，可以更有效地利用图像的低秩性。实验结果表明，本发明提出的基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知重构方法具有很好的收敛性，与现有方法相比，可以有效提升图像的重构效果。

Description

基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法

【技术领域】本发明公开了一种基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法，属于信号处理和稀疏表示技术领域，具体涉及一种应用于压缩感知的图像重构方法。

【背景技术】压缩感知(Compressive Sensing，CS)与传统的采样后压缩的信号采集方式不同，通过利用信号普遍存在的某种冗余性，它使采样和压缩同时进行，并突破了奈奎斯特采样定理的局限。压缩感知理论证明，若信号本身具有稀疏性(或在某变换域上稀疏)，则信号可以从很少的采样中被重构。在压缩感知理论中，信号的稀疏程度对信号的重构效果有着显著的影响。信号的稀疏程度越高，则重构的质量越好。因此，如何找到一个稀疏域，使得信号在该域内的投影更为稀疏，一直以来都是压缩感知重构过程中要解决的关键问题。

近年来，基于局部块稀疏表示的方法取得了较好的稀疏效果，这种方法通常利用了从自然图像中学习到的字典来对图像进行稀疏表示。与固定字典相比，学习型字典对于图像有更好的适应性，稀疏变换后，能够更大程度地提高图像的稀疏性。然而字典学习通常是一个大规模问题，并伴随着较高的计算复杂度。同时，传统的字典学习方法独立地考虑图像的每个块，从而忽略了块与块之间的联系。

除了图像的稀疏性，J.Mairal和A.Buades等人将图像的另一个显著特性——非局部自相似性应用到了图像恢复之中，该特性描述了自然图像在非局部区域中呈现出的纹理与结构的重复性，这种重复性可以有效保留图像的边缘与锐度以保持图像的非局部一致性。由于由非局部相似块组成的矩阵具有低秩性，因此低秩矩阵近似的方法取得了较好的重构效果。现有方法通常采用核范数最小化的方法来对矩阵进行低秩近似，但传统的核范数最小化模型同等地对待每一个奇异值，并不能充分利用图像的低秩特性。

本发明引入截断核范数最小化(Truncated Nuclear Norm Minimization，TNNM)模型，深入发掘图像的非局部自相似性，利用组稀疏表示(Group Sparse Representation，GSR)方法，提出了一种基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法。截断核范数最小化模型与传统的核范数最小化模型相比，可以更有效地利用图像的低秩性。该方法同时利用了自然图像的稀疏性与低秩性，利用交替方向乘子法(Alternating DirectionMethod of Multipliers，ADMM)对压缩感知中图像的重构问题进行求解。同时设计了一种高效的字典学习方法，从图像的组稀疏域中构建结构性自相似组，从每个组中训练自适应字典，进而应用交替方向乘子法对提出的截断核范数最小化模型进行高效求解。实验结果表明，本发明提出的基于截断核范数最小化的组稀疏(Group Sparse Representationbased on Truncated Nuclear Norm Minimization，GSR-TNNM)压缩感知图像重构方法具有很好的收敛性，与现有方法相比，可以有效提升图像的重构效果。

【发明内容】本发明的目的在于将截断核范数最小化模型与组稀疏表示方法相结合，提出一种基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法。

与传统的基于单个图像块的稀疏表示模型不同，本发明同时利用图像的低秩性与稀疏性，引入组稀疏模型，每个组由从图像本身选出的具有相似结构的非局部图像块组成，并从每个组中自适应地学习对应的稀疏字典。同时引入截断核范数最小化模型，通过交替方向乘子法对模型进行求解。本发明的目的是求解如下模型：

其中A为测量矩阵，b为测量值，D和α分别是待求图像x的稀疏字典以及系数向量，且有x＝Dα，λ为正则化参数，||α||_1，r为α的截断l₁范数，被定义为即截断向量α中绝对值最大的r个数后的l₁范数，截断l₁范数与本发明引入的截断核范数相对应，矩阵的截断核范数被定义为

本发明的目的是通过下述技术方案来实现的：

(1)输入：测量矩阵测量值

(2)初始化：总体最大迭代次数Max_iter，梯度下降迭代次数Inloop，分裂因子θ，子变量u，块尺寸p_s，搜索窗口尺寸L×L，相似块个数c，参数∈，ρ，截断常数r，初步估计x的近似

(3)用梯度下降法更新子变量其中d＝(A^TAu-A^Tb+ρ(u-Dα-θ))为的梯度，η＝d^Td./(d^T(A^TA+ρI)d)为最优步长；

(4)计算y＝u-θ，这里可以把y看作x的近似；

(5)将y分成的图像块y_k，k＝1，2，...，n，块与块之间的重叠长度为对于每个图像块y_k，在其邻域L×L的搜索窗口中匹配相似块，并按列组合成群组

(6)对每个群组训练自适应字典D_k：对每个组进行奇异值分解， 令则其中是一个对角矩阵，对角元素为ζ_k中的元素依次排列，分别是矩阵和的列，那么自适应字典D_k中的第j个原子j＝1，2，...，m；

(7)基于最大后验概率设定正则化参数λ：其中σ_n是预估的中加性高斯白噪声的标准差，是的标准差；

(8)计算稀疏系数其中soft(·)为软阈值算子，r为截断常数，w_k为权值常数，τ_k＝λ_kK/ρN；

(9)级联所有字典D_k组成字典D；

(10)级联所有稀疏系数组成稀疏系数α；

(11)更新θ＝θ-(u-Dα)；

(12)判断是否到达最大迭代次数Max_iter，未到达则返回步骤(3)，已到达则输出重构图像

【本发明的优点和积极效果】与现有技术相比，本发明具有如下优点和积极效果：

第一，本发明深入发掘图像的非局部自相似性，利用图像的稀疏性与低秩性联合重构。提出了一种基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法。基于截断核范数的最小化模型与传统的基于核范数的最小化模型相比，根据矩阵奇异值大小的不同，采用截断形式的软阈值算子对其进行区分处理，可以更有效地利用图像的低秩性，大大提升图像重构质量；

第二，在基于截断核范数最小化的组稀疏模型的基础上，针对图像的压缩感知重构问题，设计了一种基于交替方向乘子法框架的高效重构算法进行求解，该算法具有快速收敛性，可以高效、快速地重构出图像信号；

第三，为进一步提升重构速度，设计了一种高效的字典学习方法，该方法从图像的组稀疏域中构建结构性自相似组，进而从每个组中快速学习自适应字典，与传统的借助额外图像信息的字典学习方法相比，该方法大大降低了字典学习过程的计算复杂度，从而提升了重构效率。

【附图说明】图1是本发明提出的基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知图像重构方法流程图；

图2是本发明重构方法的收敛性测试图。

【具体实施方式】为使本发明的实施方案与意义优势表述得更为清楚，下面结合后文附图及实施样例，对本发明进行更为详细的说明。

(1)输入：测量矩阵测量值

(2)在本发明的实施样例中，对重构所需参数进行了如下初始化：总体最大迭代次数Max_iter＝120，梯度下降迭代次数Inloop＝200，分裂因子θ＝0^N×1，子变量u＝0^N×1，块尺寸p_s＝64，搜索窗口尺寸L×L＝20×20，相似块个数c＝60，参数∈＝0.35，ρ＝0.0025，截断常数r＝2，并采用C.Chen等人提出的MH算法对x进行初始化；

(3)通过梯度下降更新子变量其中d＝(A^TAu-A^Tb+ρ(u-Dα-θ))为的梯度，η＝d^Td./(d^T(A^TA+ρI)d)为最优步长，循环Inloop次；

(4)计算y＝u-θ，这里可以把y看作x的近似；

(5)将y分成的图像块y_k，k＝1，2，...，n，块与块之间的重叠长度为对于每个图像块y_k，在其邻域L×L的搜索窗口中匹配相似块，并按列组合成群组

(6)对每个群组训练自适应字典D_k：对每个组进行奇异值分解， 令则其中是一个对角矩阵，对角元素为ζ_k中的元素依次排列，分别是矩阵和的列，那么自适应字典D_k中的第j个原子

(7)基于最大后验概率设定正则化参数λ：其中σ_n是预估的中加性高斯白噪声的标准差，是的标准差；

(8)计算稀疏系数其中soft(·)为软阈值算子，r为截断常数，w_k为权值常数，τ_k＝λ_kK/ρN；

(9)级联所有字典D_k组成字典D；

(10)级联所有稀疏系数组成稀疏系数α；

(11)更新θ^l+1＝θ^l-(u^l+1-Dα^l+1)；

(12)判断是否到达最大迭代次数Max_iter，未到达则返回步骤(3)，已到达则输出重构图像

本发明的仿真实验是在Intel(R)Xeon(R)E7-4820v3@1.90GHz CPU，Red HatEnterprise Linux Server release 6.5(Santiago)操作系统的仿真条件下运行的，仿真软件采用MATLAB。

在仿真实验中，实验对象分别为Barbara(256×256)、Boats(256×256)、Foreman(256×256)、House(256×256)四幅图像，对比实验将本发明提出的基于截断核范数最小化的组稀疏表示方法(Group Sparse Representation based on Truncated Nuclear NormMinimization，GSR-TNNM)分别与现有的分块压缩感知(Block-based CompressedSensing，BCS)、自适应稀疏域方法(Adaptive Sparse Domain，ADS)、多假设方法(Multi-hypothesis，MH)、结构性组稀疏表示方法(Structural Group Sparse Representation，SGSR)、多尺度Kronecker方法(Multi-resolution Kronecker，MRK)以及基于核范数最小化的组稀疏表示方法(Group Sparse Representation based on Nuclear NormMinimization，GSR-NNM)进行对比。值得指出的是，本发明所比较的ADS、SGSR以及MRK方法均是现有最先进的图像重构方法之一。

我们将采样率分别设定为10％、20％、30％和40％，本发明的参数选择具有一定的普适性，本实验的四幅图像使用了同一组参数，同时这组参数也可以扩展到其他自然图像的重构过程中。本发明中，我们采用MH算法的结果作为x的初始值x⁽⁰⁾。表1为各种重构方法在不同采样率下重构每幅图像的PSNR(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR，单位dB)，粗体表示相同采样率下同一幅图像的最大PSNR值。可以看出，本发明方法在所有情况下均能达到最优的重构效果，而次优的重构算法产生于ADS、SGSR、MRK三者之中。更具体地，在采样率为0.2的情况下，本发明方法相比于次优的ADS方法，在平均PSNR上的增益为1.54dB，相比于SGSR、MRK、GSR-NNM、MH以及BCS方法的增益分别为2.80dB、2.92dB、4.01dB、4.54dB以及7.59dB。除此以外，本发明还具有很好的收敛性，图2展示了对于Barbara、House两幅图像，本发明方法重构结果的PSNR曲线图，由图2可知，本发明方法具有很好的收敛性和稳定性。综上所述，本发明方法的图像重构质量高、收敛速度快、稳定性好，是一种有效的压缩感知图像重构方法。

表1各方法重构图像的PSNR对比结果(dB)

Claims (1)

1.一种基于截断核范数最小化的组稀疏压缩感知重构方法，包括如下步骤：

(1)输入：测量矩阵测量值

(2)初始化：总体最大迭代次数Max_iter，梯度下降迭代次数Inloop，分裂因子θ，子变量u，块尺寸p_s，搜索窗口尺寸L×L，相似块个数c，参数∈，ρ，截断常数r，初步估计x的近似x⁽⁰⁾；

(3)用梯度下降法更新子变量其中d＝(A^TAu-A^Tb+ρ(u-Dα-θ))为的梯度，η＝d^Td./(d^T(A^TA+ρI)d)为最优步长；

(4)计算y＝u-θ，这里可以把y看作x的近似；

(5)将y分成的图像块y_k，k＝1，2，...，n，块与块之间的重叠长度为对于每个图像块y_k，在其邻域L×L的搜索窗口中匹配相似块，并按列组合成群组

(6)对每个群组训练自适应字典D_k：对每个组进行奇异值分解， 令则其中是一个对角矩阵，对角元素为ζ_k中的元素依次排列，分别是矩阵和的列，那么自适应字典D_k中的第j个原子

(7)基于最大后验概率设定正则化参数λ：其中σ_n是预估的中加性高斯白噪声的标准差，是的标准差；

(8)计算稀疏系数其中soft(·)为软阈值算子，r为截断常数，w_k为权值常数，τ_k＝λ_kK/ρN；

(9)级联所有字典D_k组成字典D；

(10)级联所有稀疏系数组成稀疏系数α；

(11)更新θ＝θ-(u-Dα)；

(12)判断是否到达最大迭代次数Max_iter，未到达则返回步骤(3)，已到达则输出重构图像