CN106972493A - 一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法 - Google Patents

Abstract

一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法，其特点是，包括基于矩阵扰动理论的雅可比矩阵条件数的构建和病态数据溯源模型的建立步骤，此方法用于现代电力系统运行与规划计算时的优点体现在：雅可比矩阵条件数及其灵敏度数学推导过程严谨，模型的物理意义明确；雅可比矩阵条件数及其灵敏度的计算简单，耗时少；在实际电网潮流计算时可以快速定位病态数据所在位置，提高计算人员的工作效率，增加计算精度。此方法将矩阵扰动理论应用于电力系统潮流计算病态数据查找中，在改善传统潮流计算中人工查找与定位病态数据弊端的同时，不仅为电力系统电压稳定性研究与分析开辟新途径，而且可为其它工程应用提供其简单、高效的计算方法参考。

Description

一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法

技术领域

本发明涉及电力系统电压稳定预防与控制技术领域，是一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法。

背景技术

现代电力系统逐步形成了超高压、长距离、重负荷、交直流混合的互联大电网格局，且电力市场环境下的运营模式使发、输电设备的运行工况更接近极限值，这些复杂多变的运行方式更易导致潮流计算的不收敛。目前这种情况下，工作人员通常只能凭借运行经验通过判断计算数据、反复调整方式和规划数据以获得潮流解。这种传统的人工调整方法工作强度大、耗时长、效率低且效果不明显，已不适应现代大型电网调度自动化和规划的发展需要。

实际计算网络潮流时由于系统的某些初值要求过高或者工作人员的输入错误等原因都可能导致计算值不收敛，这时通过传统方法很难判断出原因进而导致无法得到潮流解。

发明内容

本发明的目的是克服电力系统潮流计算无解时的缺点，提供一种具有计算简单，结果准确，易于查找和判断病态数据所在位置，且无需重复计算病态数据所在位置的基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法。

实现本发明目的所采用的技术方案是，一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法，其特征是，它包括以下步骤：

1)基于矩阵扰动理论的雅可比矩阵条件数的构建

在电力进行潮流计算时，采用极坐标形式下的潮流方程为：

其中i、j为系统中节点编号，j∈i表示j在i的集合中取值；θ_ij＝θ_i-θ_j为节点i、j电压相角的差值；sinθ_ij为θ_ij的正弦值、cosθ_ij为θ_ij的余弦值；U_i节点i的电压、U_j为节点j的电压；G_ij为支路i-j的电导、B_ij分别为支路i-j的电纳；P_is为节点i给定的有功功率、Q_is为节点i给定的无功功率，在运行点附近将系统的潮流方程(1)线性化，则可得到修正方程为：

用矩阵J表示方程(2)中的雅可比矩阵，则J∈R^m×m，为计算方便，以V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，J_pθ为矩阵J对P、θ的偏导数，J_pV为矩阵J对P、V的偏导数，J_Qθ为矩阵J对Q、θ的偏导数，J_QV为矩阵J对Q、V的偏导数；以W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T，在平衡点进行线性化，得潮流方程的简化形式：

JV＝W (3)

其中：J为用于系统潮流计算的雅可比矩阵，

V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，

W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T；

在系统受到外界的一个扰动时，系统会在目前运行点的基础上有功和无功功率重新分布，使系统潮流达到一个新的运行点，此时全系统用于潮流迭代的雅可比矩阵中的元素也发生了相应的变化，潮流方程在新的运行点处达到平衡，系统在新的运行点处有如下关系：

(J+ΔJ)(V+ΔV)＝(W+ΔW) (4)

其中：ΔJ为系统受扰动后雅可比矩阵的改变量，

ΔV为系统受扰动后节点电压改变列向量，

ΔW为系统受扰动后节点功率改变列向量，

令J′＝J+ΔJ，则J′为系统在新运行点处潮流方程的雅可比矩阵；

对应于潮流收敛的两个运行点处的雅可比矩阵J和J′一定都是非奇异矩阵，且在系统结构不发生变化时，J和J′维数相同，根据矩阵扰动理论中矩阵逆和方程组的扰动界限定理得：

和

其中：

τ＝||J||₂*||J^-1||₂ (7)

则根据矩阵扰动理论，将(7)式定义雅可比矩阵的条件数；

其中：J为潮流方程中雅可比矩阵，

J^-1为J的逆阵，

||J||₂表示矩阵J的2-范数，

||J^-1||₂表示矩阵J^-1的2-范数；

显然，在方程(5)中，左边表示系统受扰动前后雅可比矩阵逆阵J^-1的相对变化率，而雅可比矩阵条件数τ作为方程右边的一个乘子，其大小即反应了J^-1对于J的扰动的敏感性，方程(6)描述了△W相对于W的变化率的上限范围，即雅可比矩阵的条件数τ反映了潮流迭代方程组JV＝W的解V的相对误差对于J和W的相对误差的依赖程度；

电力系统潮流计算的过程中，经常希望雅可比矩阵的条件数越小越好，当雅可比矩阵的条件数τ无穷大时，雅可比矩阵J发生奇异，潮流方程表现为“病态”，此时即为传统电压稳定分析中的雅可比矩阵发生奇异，系统处于电压崩溃的临界状态；

在分析电力系统电压稳定性时，若雅可比矩阵条件数τ很大，系统中节点功率W一个微小的变化，就会导致潮流计算中雅可比矩阵J中元素发生很大的波动，进而导致J^-1和方程组JV＝W的解，即节点电压产生较大的偏差，因此当(5)式中雅可比矩阵J的雅可比矩阵条件数τ较大时定义为病态潮流；

2)病态数据溯源模型的建立

通过潮流不可解时在P-V曲线上的位置的分析，再结合式(5)、式(6)的推导证明，可以利用雅可比矩阵的条件数的大小来判断系统潮流方程是否属于病态，通过电力系统以往电压稳定分析中形成的P-V曲线，可将潮流不收敛分为三种类型，类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛；类型2：系统负荷水平处在P-V曲线鼻子点附近的情况下，即使存在潮流解，但常规的牛顿法很难求出其解，雅可比矩阵条件数较大，属于病态潮流范畴；类型3：负荷水平远超过系统的最大负荷能力，潮流解不存在的情况下，无论如何改进算法都无法求解出潮流方程的解；

对于系统中出现了类型2和类型3的情况，此时计算得到的潮流分布将对电网的安全和稳定构成了极大的威胁，需要改变电网结构和增设电网电源才能从根本上解决此类问题；

对于类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛，需要找到初值要求过高或者错误线路参数所在的位置，为此，将式(5)中的雅可比矩阵J进行分块，则有，

其中，H，N，K，L为矩阵J的部分元素组成的矩阵；

同时将式(3)中的雅可比矩阵J进行分解成对称阵与反对称阵之和的形式，即：

J^T为矩阵J的转置矩阵。则在式(9)中，为对称阵，为反对称阵，由于J的对角线元素不影响其对称性，故只考虑矩阵₁、J₂的非对角线元素，

结合(8)式和(9)式，能够推出J₁和J₂中的元素，则对称阵J₁中的非对角线元素为：

反对称阵J₂的非对角线元素为：

式(10)、式(11)中，J₁(i,j)为矩阵J₁的第i行第j列元素、J₂(i,j)为矩阵J₂的第i行第j列元素，由J＝J₁+J₂可知，雅可比矩阵J的对称程度只与矩阵J₂相关，又由矩阵J₂中的元素与各支路的G_ij强相关，由于矩阵J₁为对称阵，在考虑雅可比矩阵J的对称性时，只考虑矩阵J₂对其的影响，

定义异常数据矩阵r为：

r＝|J₂|

|J₂|为矩阵J₂的绝对值，

则有矩阵r中的各元素为：

在(13)式中，当出现病态节点电压V或者支路参数电导G大小差别明显时，矩阵r中对应的位置数值变大，可见，矩阵r对计算潮流时异常数据的查找具有指导意义。

本发明的一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法，是从电压稳定分析对病态潮流问题进行全面分析，将潮流不可解的问题划分为三种情况类型；建立了潮流方程病态判别指标—雅可比矩阵条件数，并证明病态潮流仅出现在系统电压崩溃点附近，此时潮流方程存在较大的雅可比矩阵条件数；对读入病态数据导致的不收敛潮流下的雅可比矩阵进行正反对称分解，定义了异常数据判别矩阵，实现潮流计算中输入错误时异常数据位置的查找和判断。此方法在现代电力系统运行与规划计算时的优点主要体现在：①雅可比矩阵条件数及其灵敏度数学推导过程严谨，模型的物理意义明确；②雅可比矩阵条件数及其灵敏度的计算简单，耗时少；③在实际电网潮流计算时可以快速定位病态数据所在位置，提高计算人员的工作效率，增加计算精度。本发明将矩阵扰动理论应用于电力系统潮流计算病态数据查找中，在改善传统潮流计算中人工查找与定位病态数据弊端的同时，不仅为电力系统电压稳定性研究与分析开辟新途径，而且可为其它工程应用提供其简单、高效的计算方法参考。

附图说明

图1 P-V曲线上的潮流不可解类型示意图；

图2 IEEE30节点系统结构示意图；

图3 IIEEE30节点系统PV曲线示意图。

具体实施方式

本发明的一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法，包括以下步骤：

1)基于矩阵扰动理论的雅可比矩阵条件数的构建

在电力进行潮流计算时，采用极坐标形式下的潮流方程：

其中i、j为系统中节点编号，j∈i表示j在i的集合中取值；θ_ij＝θ_i-θ_j为节点i、j电压相角的差值；sinθ_ij为θ_ij的正弦值、cosθ_ij为θ_ij的余弦值；U_i为节点i的电压、U_j为节点j的电压；G_i为支路i-j的电导_j、B_ij为支路i-j的电纳；P_is为节点i给定的有功功率、Q_is为节点i给定的无功功率，在运行点附近将系统的潮流方程(1)线性化，则可得到修正方程为

用矩阵J表示方程(2)中的雅可比矩阵，则J∈R^m×m，为计算方便，以V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，J_pθ为矩阵J对P、θ的偏导数，J_pV为矩阵J对P、V的偏导数，J_Qθ为矩阵J对Q、θ的偏导数，J_QV为矩阵J对Q、V的偏导数；以W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T，在平衡点进行线性化，得潮流方程的简化形式：

JV＝W (3)

其中：J为用于系统潮流计算的雅可比矩阵，

V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，

W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T；

在系统受到外界的一个扰动时，系统会在目前运行点的基础上有功和无功功率重新分布，使系统潮流达到一个新的运行点，此时全系统用于潮流迭代的雅可比矩阵中的元素也发生了相应的变化，潮流方程在新的运行点处达到平衡，系统在新的运行点处有如下关系：

(J+ΔJ)(V+ΔV)＝(W+ΔW) (4)

其中：ΔJ为系统受扰动后雅可比矩阵的改变量，

ΔV为系统受扰动后节点电压改变列向量，

ΔW为系统受扰动后节点功率改变列向量，

令J′＝J+ΔJ，则J′为系统在新运行点处潮流方程的雅可比矩阵；

对应于潮流收敛的两个运行点处的雅可比矩阵J和J′一定都是非奇异矩阵，且在系统结构不发生变化时，J和J′维数相同，根据矩阵扰动理论中矩阵逆和方程组的扰动界限定理可得：

和

其中：

τ＝||J||₂*||J^-1||₂ (7)

则根据矩阵扰动理论，可以将(7)式定义雅可比矩阵的条件数；

其中：J为潮流方程中雅可比矩阵，

J^-1为J的逆阵，

||J||₂表示矩阵J的2-范数，

||J^-1||₂表示矩阵J^-1的2-范数；

显然，在方程(5)中，左边表示系统受扰动前后雅可比矩阵逆J^-1的相对变化率。而雅可比矩阵条件数τ作为方程右边的一个乘子，其大小即反应了J^-1对于J的扰动的敏感性。方程(6)描述了△W相对于W的变化率的上限范围。即雅可比矩阵的条件数τ反映了潮流迭代方程组JV＝W的解V的相对误差对于J和W的相对误差的依赖程度。

电力系统潮流计算的过程中，经常希望雅可比矩阵的条件数越小越好。当雅可比矩阵的条件数τ无穷大时，雅可比矩阵J发生奇异，潮流方程表现为“病态”，此时即为传统电压稳定分析中的雅可比矩阵发生奇异，系统处于电压崩溃的临界状态。

在分析电力系统电压稳定性时，若雅可比矩阵条件数τ很大，系统中节点功率W一个微小的变化，就会导致潮流计算中雅可比矩阵J中元素发生很大的波动，进而导致J^-1和方程组JV＝W的解，即节点电压产生较大的偏差，因此当(5)式中雅可比矩阵J的雅可比矩阵条件数τ较大时定义为病态潮流；

2)病态数据溯源模型的建立

通过潮流不可解时在P-V曲线上的位置的分析，再结合式(5)、式(6)的推导证明，可以利用雅可比矩阵的条件数的大小来判断系统潮流方程是否属于病态，通过电力系统以往电压稳定分析中形成的P-V曲线，可将潮流不收敛分为三种类型，类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛；类型2：系统负荷水平处在P-V曲线鼻子点附近的情况下，即使存在潮流解，但常规的牛顿法很难求出其解，雅可比矩阵条件数较大，属于病态潮流范畴；类型3：负荷水平远超过系统的最大负荷能力，潮流解不存在的情况下，无论如何改进算法都无法求解出潮流方程的解；

对于系统中出现了类型2和类型3的情况，此时计算得到的潮流分布将对电网的安全和稳定构成了极大的威胁，需要改变电网结构和增设电网电源才能从根本上解决此类问题；

对于类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛，需要找到初值要求过高或者错误线路参数所在的位置，为此，将式(5)中的雅可比矩阵J进行分块，则有，

其中，H，N，K，L为矩阵J的部分元素组成的矩阵；

同时将式(2)中的雅可比矩阵J进行分解成对称阵与反对称阵之和的形式，即：

在式(9)中，为对称阵，为反对称阵。由于J的对角线元素不影响其对称性，故只考虑J₁、J₂的非对角线元素。

结合(8)式和(9)式，可以推出J₁和J₂中的元素。则对称阵J₁中的非对角线元素为：

反对称阵J₂的非对角线元素为：

式(10)、式(11)中，J₁(i,j)为矩阵J₁的第i行第j列元素、J₂(i,j)为矩阵J₂的第i行第j列元素，由J＝J₁+J₂可知，雅可比矩阵J的对称程度只与矩阵J₂相关，又由矩阵J₂中的元素与各支路的G_ij强相关，由于矩阵J₁为对称阵，在考虑雅可比矩阵J的对称性时，只考虑矩阵J₂对其的影响，

定义异常数据矩阵r为：

r＝|J₂|

|J₂|为矩阵J₂的绝对值，

则有矩阵r中的各元素为：

在(13)式中，当出现病态节点电压V或者支路参数电导G大小差别明显时，矩阵r中对应的位置数值变大，可见，矩阵r对计算潮流时异常数据的查找具有指导意义。

具体实例：本发明以IEEE30节点系统为例对雅可比矩阵及其条件数的有效性进行计算和分析。IEEE30节点系统结构图如图2所示。

利用连续潮流法得出PV曲线，在增加负荷水平的同时，计算雅可比矩阵的条件数。其PV曲线及条件数的变化如图3所示。

从图3中可以看出，在PV曲线鼻子点附近，雅可比矩阵的条件数突然剧增。由(13)式可知，当潮流方程的条件数十分大时，控制变量一个微小的扰动，节点电压会发生无限的漂移，此时也正是电压崩溃点对应的位置。因此，病态潮流与电压崩溃是同时发生的，雅可比条件数无穷大当且仅当发生在PV曲线的鼻子点附近。

1)支路数据异常时病态数据源的查找

将系统负荷在原有的基础上增加50％，系统的潮流不可解，经计算雅可比矩阵条件数τ＝16068.9，由图3可以得出系统潮流处于“病态”，可以判定负荷水平处于网络的最大传输能力临界状态。

在实际潮流计算中，首先考虑读入数据异常导致了系统潮流不可解情况。若在潮流计算中将支路15-23的电阻由0.01(p.u.)误读为1.01(p.u.)。此时常规的牛顿法无法求解系统的潮流解，计算其雅可比矩阵条件数τ＝618.9。由图3可知，此状态下的潮流方程不属于病态潮流范畴，与图1中的类型1相对应。将此状态下的雅可比矩阵按照(5)式进行分解。通过计算异常数据矩阵r中元素，得到出现异常的位置见表1。

表1异常数据位置及其指标

注：τ＝618.9

从表1可见，支路15-23对应的位置的出现大异常指标，可以判定支路15-23以及节点15、23的潮流参数处于病态。而支路14-15位置存在较大异常指标，虽然通过查找潮流数据发现本支路的参数没有输入错误，但在IEEE30节点系统的所用支路中，支路14-15具有最大阻抗比0.221/0.1997，且支路14-15的功率即将达到上限值，属于系统满载线路。

r阵的元素可为计算潮流时查找病态数据提供较大的帮助，节省了调整时间并提高了工作效率。既实现了计算机读入错误数据的定位，同时指出了IEEE30节点系统中的满载线路。

2)节点电压异常时病态数据源的查找

当系统的负荷水平提高时，系统状态即使没有达到电压稳定临界点，但由于网络传输能力的限制导致一些节点的电压无法满足电压质量的要求，部分节点的电压降小于1(p.u.)。若将全系统的负荷功率在基础负荷上以恒功率因素增长50％，此时系统潮流有解，但出现了整体电压水平下降的现象，无功电源无法满足所有节点的电压质量要求，最低的节点为0.602(p.u.)。若计算时误将PV节点8的电压要求由1.05写为1.55时，潮流无解。通过本文的方法进行分析结果如表2所示。

表2异常数据位置及其指标

注：τ＝504.2

从表2可见，雅可比条件数τ＝504.2，由图3可知，此状态下仍不属于病态潮流范畴，归属于图1中的类型1中，可以判定潮流无解主要是由于系统线路参数错误或者迭代初值要求过高。再由判别矩阵中的r(8,6)、r(8,28)位置元素相对较大，与节点相关联的支路在r阵中都表现出了异常，与前面的人为读入错误的位置相对应。这说明r阵元素与节点和支路参数有着紧密的联系，r阵能提供有效的病态数据信息。

通过IEEE30节点系统算例的计算和分析可以发现：

1)病态潮流只发生在电压稳定崩溃点附近，雅可比矩阵条件数大小也仅在PV曲线鼻子点附近出现剧增趋势。

2)通过雅可比矩阵的正反对称分解，建立了支路参数和节点电压病态数据判别矩阵。在查找病态数据的同时，可以有效的确定出潮流病态数据所在的范围，同时可对系统中相对异常的潮流数据作出判断和提示。

3)本发明在一定程度上改善电力系统规划中只能凭借运行经验判断计算数据、反复调整方式和规划数据以获得潮流解的办法，提高了工作效率，具有较强的工程应用价值。

Claims (1)

1.一种基于矩阵扰动理论的潮流无解病态数据溯源方法，其特征是，它包括以下步骤：

1)基于矩阵扰动理论的雅可比矩阵条件数的构建

在电力进行潮流计算时，采用极坐标形式下的潮流方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{is}=U_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{U}_j(G_{ij}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}+B_{ij}{\mathrm{sin\θ}}_{ij})\\ Q_{is}=U_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{U}_j(G_{ij}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}+B_{ij}{\mathrm{cos\θ}}_{ij})\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中i、j为系统中节点编号，j∈i表示j在i的集合中取值；θ_ij＝θ_i-θ_j为节点i、j电压相角的差值；sinθ_ij为θ_ij的正弦值、cosθ_ij为θ_ij的余弦值；U_i节点i的电压、U_j为节点j的电压；G_ij为支路i-j的电导、B_ij为支路i-j的电纳；P_is为节点i给定的有功功率、Q_is为节点i给定的无功功率，在运行点附近将系统的潮流方程(1)线性化，则可得到修正方程为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}P\\ \mathrm{\Δ}Q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{J}_{p\mathrm{\θ}}& J_{pV}\\ J_{Q\mathrm{\θ}}& J_{QV}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\θ}\\ \mathrm{\Δ}U/U\end{array}\right]=\[J\]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\θ}\\ \mathrm{\Δ}U/U\end{array}\right]---\left(2\right)$

用矩阵J表示方程(2)中的雅可比矩阵，则J∈R^m×m，为计算方便，以V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，J_pθ为矩阵J对P、θ的偏导数，J_pV为矩阵J对P、V的偏导数，J_Qθ为矩阵J对Q、θ的偏导数，J_QV为矩阵J对Q、V的偏导数；以W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T，在平衡点进行线性化，得潮流方程的简化形式：

JV＝W (3)

其中：J为用于系统潮流计算的雅可比矩阵，

V表示节点相角和电压的变化列向量[Δθ ΔU/U]^T，

W表示节点有功功率和无功功率的变化列向量[ΔP ΔQ]^T；

在系统受到外界的一个扰动时，系统会在目前运行点的基础上有功和无功功率重新分布，使系统潮流达到一个新的运行点，此时全系统用于潮流迭代的雅可比矩阵中的元素也发生了相应的变化，潮流方程在新的运行点处达到平衡，系统在新的运行点处有如下关系：

(J+ΔJ)(V+ΔV)＝(W+ΔW) (4)

其中：ΔJ为系统受扰动后雅可比矩阵的改变量，

ΔV为系统受扰动后节点电压改变列向量，

ΔW为系统受扰动后节点功率改变列向量，

令J′＝J+ΔJ，则J′为系统在新运行点处潮流方程的雅可比矩阵；

对应于潮流收敛的两个运行点处的雅可比矩阵J和J′一定都是非奇异矩阵，且在系统结构不发生变化时，J和J′维数相同，根据矩阵扰动理论中矩阵逆和方程组的扰动界限定理得：

$\frac{\left|\right|J^{\′-1}-J^{-1}\left|\right|}{\left|\right|J^{-1}\left|\right|}\≤\frac{\mathrm{\τ}}{1-\mathrm{\τ}\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2/|\left|J\right|{|}_2}\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2}{\left|\right|J\left|\right|}---\left(5\right)$

和

$\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}W\left|\right|}{\left|\right|W\left|\right|}\≤\frac{\mathrm{\τ}}{1-\mathrm{\τ}\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2/|\left|J\right|{|}_2}(\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}J|{|}_2}{\left|\right|J\left|\right|}+\frac{\left|\right|\mathrm{\Δ}V\left|\right|}{\left|\right|V\left|\right|})---\left(6\right)$

其中：

τ＝||J||₂*||J^-1||₂ (7)

则根据矩阵扰动理论，将(7)式定义雅可比矩阵的条件数；

其中：J为潮流方程中雅可比矩阵，

J^-1为J的逆阵，

||J||₂表示矩阵J的2-范数，

||J^-1||₂表示矩阵J^-1的2-范数；

显然，在方程(5)中，左边表示系统受扰动前后雅可比矩阵逆阵J^-1的相对变化率，而雅可比矩阵条件数τ作为方程右边的一个乘子，其大小即反应了J^-1对于J的扰动的敏感性，方程(6)描述了△W相对于W的变化率的上限范围，即雅可比矩阵的条件数τ反映了潮流迭代方程组JV＝W的解V的相对误差对于J和W的相对误差的依赖程度；

电力系统潮流计算的过程中，经常希望雅可比矩阵的条件数越小越好，当雅可比矩阵的条件数τ无穷大时，雅可比矩阵J发生奇异，潮流方程表现为“病态”，此时即为传统电压稳定分析中的雅可比矩阵发生奇异，系统处于电压崩溃的临界状态；

在分析电力系统电压稳定性时，若雅可比矩阵条件数τ很大，系统中节点功率W一个微小的变化，就会导致潮流计算中雅可比矩阵J中元素发生很大的波动，进而导致J^-1和方程组JV＝W的解，即节点电压产生较大的偏差，因此当(5)式中雅可比矩阵J的雅可比矩阵条件数τ较大时定义为病态潮流；

2)病态数据溯源模型的建立

通过潮流不可解时在P-V曲线上的位置的分析，再结合式(5)、式(6)的推导证明，可以利用雅可比矩阵的条件数的大小来判断系统潮流方程是否属于病态，通过电力系统以往电压稳定分析中形成的P-V曲线，可将潮流不收敛分为三种类型，类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛；类型2：系统负荷水平处在P-V曲线鼻子点附近的情况下，即使存在潮流解，但常规的牛顿法很难求出其解，雅可比矩阵条件数较大，属于病态潮流范畴；类型3：负荷水平远超过系统的最大负荷能力，潮流解不存在的情况下，无论如何改进算法都无法求解出潮流方程的解；

对于系统中出现了类型2和类型3的情况，此时计算得到的潮流分布将对电网的安全和稳定构成了极大的威胁，需要改变电网结构和增设电网电源才能从根本上解决此类问题；

对于类型1：潮流解存在，系统运行状态距离P-V曲线鼻子点较远的情况下，理论上牛顿法即可求解，但在实际运算中线路参数错误或者初值要求过高使得系统结构状况偏离实际物理意义，导致潮流不收敛，需要找到初值要求过高或者线路参数错误所在的位置，为此，将式(5)中的雅可比矩阵J进行分块，则有，

$J=\left[\begin{array}{cc}H& N\\ K& L\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，H，N，K，L为矩阵J的部分元素组成的矩阵；

同时将式(3)中的雅可比矩阵J进行分解成对称阵与反对称阵之和的形式，即：

$J=\frac{J+J^T}{2}+\frac{J-J^T}{2}=J_1+J_2---\left(9\right)$

J^T为矩阵J的转置矩阵。则在式(9)中，为对称阵，为反对称阵，由于J的对角线元素不影响其对称性，故只考虑矩阵₁、J₂的非对角线元素，

结合(8)式和(9)式，能够推出J₁和J₂中的元素，则对称阵J₁中的非对角线元素为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_1(2i-1,2j-1)=(H_{ij}+H_{ji})/2=V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\\ J_1(2i-1,2j)=(N_{ij}+K_{ji})/2=-V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\\ J_1(2i,2j-1)=(K_{ij}+N_{ji})/2=V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\\ J_1(2i,2j)=(L_{ij}+L_{ji})/2=-V_i{V}_j{B}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\end{array}\right.---\left(10\right)$

反对称阵J₂的非对角线元素为：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_2(2i-1,2j-1)=(H_{ij}-H_{ji})/2=-V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\\ J_2(2i-1,2j)=(N_{ij}-K_{ji})/2=V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\\ J_2(2i,2j-1)=(K_{ij}-N_{ji})/2=-V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\\ J_2(2i,2j)=(L_{ij}-L_{ji})/2=V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\end{array}\right.---\left(11\right)$

式(10)、式(11)中，J₁(i,j)为矩阵J₁的第i行第j列元素、J₂(i,j)为矩阵J₂的第i行第j列元素，由J＝J₁+J₂可知，雅可比矩阵J的对称程度只与矩阵J₂相关，又由矩阵J₂中的元素与各支路的G_ij强相关，由于矩阵J₁为对称阵，在考虑雅可比矩阵J的对称性时，只考虑矩阵J₂对其的影响，

定义异常数据矩阵r为：

r＝|J₂| (12)

|J₂|为矩阵J₂的绝对值，

则有矩阵r中的各元素为：

$\left\{\begin{array}{c}r(2i-1,2j-1)=(H_{ij}-H_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\right|\\ r(2i-1,2j)=(N_{ij}-K_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\right|\\ r(2i,2j-1)=(K_{ij}-N_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{cos\δ}}_{ij}\right|\\ r(2i,2j)=(L_{ij}-L_{ji})/2=\left|V_i{V}_j{G}_{ij}{\mathrm{sin\δ}}_{ij}\right|\end{array}\right.---\left(13\right)$

在(13)式中，当出现病态节点电压V或者支路参数电导G大小差别明显时，矩阵r中对应的位置数值变大，可见，矩阵r对计算潮流时异常数据的查找具有指导意义。