CN106768741A - 一种考虑混凝土微凸体破碎的机床‑基础结合面接触刚度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑混凝土微凸体破碎的机床‑基础结合面接触刚度计算方法，该方法认为混凝土表面微凸体受较大载荷时会产生破碎现象，原本破碎的微凸体负载由其他未破碎的微凸体承担，继续有微凸体产生破碎，如此往复达到一种平衡状态。首先依据相应混凝土标号的单轴受压应力‑应变曲线，建立混凝土临界破碎应力和单个微凸体的临界破碎面积的关系，并获得单个微凸体临界变形面积值，基于分形理论分别求出混凝土微凸体在弹性、塑性、破碎变形阶段的承载力。采用有限元方法提取不同预紧力下的试件结合面接触压强，在此基础上计算获得混凝土‑钢结合面接触刚度，并利用ANSYS进行仿真分析，设计实验对理论模型进行验证。

Description

一种考虑混凝土微凸体破碎的机床-基础结合面接触刚度计 算方法

技术领域

本发明属于机床动力学领域，涉及一种考虑混凝土微凸体破碎的机床-基础结合面接触刚度的计算方法，更具体的是考虑混凝土微凸体在不同变形阶段载荷迭代的机床-基础结合面接触刚度计算方法。

背景技术

在很多行业中，大型动力机械、重型机床应用越来越广泛，任何一个固定的机床都需要基础进行可靠的支撑。如图1所示，基础通常由混凝土制成，并且与机床地脚相连。由于重型机床有自重大、载荷大等特点，床身、立柱等大尺度构件的工作精度和寿命均直接受地基与基础的影响，尤其是基础刚性不足引起的承载变形，严重影响机床工作精度及精度保持性。机床-基础结合面作为重要的连接单元，其接触特性直接影响着整机的工作精度和寿命。工程实践中由于未考虑重型机床-基础相互之间的作用，经常出现尺寸精度无法保证等现象。目前国内外对机床-基础结合面的研究主要是通过静力加载测试变形的方式是获得结合部接触刚度，针对动力机械开展的重型机床-基础相互作用体系的数学模型比较少，进一步提出有效的机床-基础结合面接触刚度模型对于提高机床工作精度和寿命是非常有必要的。

发明内容

本发明旨在提供一种考虑混凝土微凸体破碎的机床-基础结合面接触刚度计算方法，该方法考虑了混凝土微凸体在不同变形阶段的承载变化，利用迭代方法将混凝土微凸体在破碎变形阶段的承载力反复累加到其他阶段，同时接触刚度累加到平衡状态，计算得出机床-基础结合面的总体接触刚度。

本发明是采用以下技术手段实现的：

1、运用现有混凝土单轴变形的应力-应变曲线预测方程，由混凝土微凸体在不同变形阶段的承载力变化，计算得到微凸体由弹性变形转变到塑性变形的临界变形面积a_c及塑性变形转变为破碎变形的临界变形面积a_u。

2、由分形理论及Hertz接触理论，分别计算得到混凝土表面微凸体上弹性接触载荷F_e、塑性接触载荷F_p以及破碎接触载荷F_u，根据微凸体横截面积大小统计学分布函数在不同变形阶段的积分相加可以得到结合面总体接触载荷F_a。

3、针对混凝土表面微凸体受较大载荷时会产生破碎的现象建立混凝土破碎迭代机理，在产生破碎现象时，原本破碎的微凸体负载由其他未破碎的微凸体承担，继续有微凸体产生破碎，如此往复达到一种平衡状态。

4、根据分形理论可以计算得到单个微凸体的接触刚度，通过单个微凸体刚度与横截面积大小分布函数相乘积分得到单次迭代的总体刚度，由本发明混凝土破碎迭代机理将接触刚度进行分层迭代，获得混凝土-钢即机床-基础结合面的总体接触刚度。

本发明的特点在于考虑了混凝土微凸体的破碎现象，建立并运用混凝土微凸体破碎迭代机理，结合分形理论、Hertz接触理论提出了机床-基础结合面接触刚度的计算方法。本发明提供的方法可为机床-基础结合面接触刚度计算提供理论支撑，为提高机床工作精度和寿命提供指导。通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本发明方法及实施例。

附图说明

图1机床-基础结合面示意图。

图2混凝土受压应力-应变曲线。

图3结合面接触示意图。

图4为本发明的实施流程图。

具体实施方式

本发明实施一种考虑混凝土微凸体破碎的机床-基础结合面接触刚度计算方法，下面结合附图1-4，对本发明的实施进行具体说明。

步骤(1)：单个微凸体临界接触面积的建立

大量的实验结论证明混凝土单轴变形的应力-应变曲线的形状具有明显规律性特征，如图2所示，混凝土单轴受压时初始阶段微凸体表现为弹性变形，应力应变曲线在这一阶段接近直线关系，该阶段的终点称为比例极限，对应的临界应力为σ_c，峰点应力值即抗压强度为σ₀，普通混凝土比例极限为σ_c＝(0.3～0.5)σ₀，平均取值σ_c＝0.408σ₀；超过比例极限后，微凸体开始转变为塑性变形，当超过破碎临界应力σ_u＝(0.88～0.97)σ₀时，微凸体开始出现破碎变形，平均取值σ_u＝0.902σ₀，由于破碎的微凸体无法继续承受载荷，应力应变曲线急剧下降。

式中σ₀为混凝土抗压强度；ε₀对应峰值σ₀处的应变；

本方法采用欧洲混凝土协会-国际预应力混凝土协会(CEB-FIP)提出的应力-应变全曲线方程。

式中，经过试验验证，参数N取值在1.3到4之间。

由摩擦分形学得知微凸体法向变形ε和横截面积a'之间的关系为

ε＝G^(D-1)a'^(2-D)/2 (3)

由式(1)、(2)、(3)得混凝土微凸体应力σ与横截面积a'关系式为

由Hertz接触理论可知，当单个微凸体变形量δ较小时发生弹性变形，随着变形量δ增加，微凸体弹性变形将逐渐转化为塑性变形，弹性变形向塑性变形转变的临界变形量为δ_c，该点称之为比例极限，对应临界变形面积为a_c。当变形量δ继续增加时，微凸体由塑性变形转化为破碎变形，该临界变形量为δ_u，破碎临界变形面积为a_u。

由混凝土单轴受压时应力-应变曲线知，比例极限临界应力σ_c＝0.408σ₀，破碎临界应力σ_u＝0.902σ₀，又由式(4)得到应力与变形面积的关系，所以比例极限临界面积a_c，破碎临界变形面积a_u均计算得出，

根据分形M-B模型可知，如果微凸体接触面积a＜a_c，发生塑性变形，如果微凸体接触面积a＞a_c，则发生弹性变形。将临界面积关系推广到本文中，则有微凸体接触面积0＜a＜a_c时发生破碎变形，微凸体接触面积a_c＜a＜a_u发生塑性变形，微凸体接触面积a_u＜a＜a_l发生弹性变形。

步骤(2)：混凝土表面接触载荷的计算

根据Hertz接触理论可知，对于完全弹性变形和完全塑性变形时，其对应弹性接触载荷F_e、塑性接触载荷F_p可分别表示为

F_p＝Ha' (9)

其中E^*是两个粗糙表面的等效弹性模量，E^*＝[(1-v₁ ²)/E₁+(1-v₂ ²)/E₂]^-1，v₁、v₂和E₁、E₂分别为两种材料的泊松比和弹性模量；H表示较软材料的硬度。

由式(9)得

将式(4)带入式(10)中，得混凝土塑性力为

混凝土达到破碎状态瞬间承受载荷F_u是不变的，且与混凝土单个微凸体的横截面积成正比。

F_u＝σ_ua' (12)

根据微凸体横截面积大小统计学分F_p布函数在不同变形阶段的积分相加得到结合面总体法向接触载荷F_a，

步骤(3)：混凝土破碎迭代机理的建立

在已知外载荷F₀的情况下，根据公式(13)计算出对应微凸体的最大横截面积a_l，根据步骤(1)中临界面积变形关系得到总体外载荷F_a与各阶段变形力的关系，由式(14)可知当最大横截面积a_l＜a_c时，微凸体只存在破碎变形；当最大横截面积a_c<a_l＜a_u时，微凸体存在塑性变形和破碎变形；当最大横截面积a_l＞a_u时，说明结合面上的微凸体存在弹性变形、塑性变形和破碎变形三种状态，总体外载荷F_a由弹性力F_e、塑性力F_p和破碎力F_u承担，由于破碎的微凸体不能承担力，所受载荷由其他未破碎的微凸体承担。将破碎力F_u作为下一层外载荷F₁继续加载，计算出微凸体对应的最大横截面积a_l'，如此循环往复，直到第n次迭代计算出破碎力与上一层破碎力的差值小到可以忽略不记时，破碎力全部转化为弹性力和塑性力，没有微凸体继续产生破碎变形，认为此时达到一种受力平衡状态。

当有初始载荷F₀作用在两表面并发生接触时，所有相互接触微凸体的接触状态分为三个阶段，弹性变形阶段、塑性变形阶段和破碎变形阶段，作用在微凸体三种接触状态下的力分别为弹性接触载荷F_e、塑性接触载荷F_p、破碎接触载荷F_u，其力平衡关系表达式为，

F₀＝F_e+F_p+F_u (15)

把初始载荷加载时的受力状态称第一层变形受力，混凝土表面微凸体变形受力情况如图3所示

随着载荷增加混凝土表面微凸体承担载荷超过破碎极限载荷时就会产生破碎现象，而破碎的微凸体是不能承担载荷的，此时原本由破碎的微凸体承担的载荷由其他未破碎的微凸体负担，所以在继续加载的过程中，将破碎接触载荷F_u以初始载荷F₀的形式继续施加，第二次加载时的受力称为第二层变形受力，力平衡关系表达式变为，

F_u＝F_e'+F_p'+F_u' (16)

其中，F_e'、F_p'、F_u'对应为第二层总弹性力、总塑性力和总破碎力，微凸体接触状态继续转化，更多的微凸体由塑性变形进入到破碎变形状态，如此往复迭代直到第n层，达到一种总体外载荷F₀与每层微凸体承载力的总和相等的平衡状态，其中第n层破碎力F_u ⁿ足够小可忽略不计，力平衡关系为

F₀＝F_e+F_p+F_e'+F_p'+F_e″+F_p″+...+F_e ⁿ+F_p ⁿ+F_u ⁿ (17)

步骤(4)：混凝土-钢结合面接触刚度计算

1)法向接触刚度

根据Hertz接触理论得到单个微凸体法向接触刚度k_n表达式为

单层总体法向接触刚度K_n是接触表面上每个独立微凸体的刚度总和，本方法只是处于弹性变形状态微凸体的刚度总和。

总体法向刚度K_N等于每层总体法向刚度相加，表达式如下，

K_N＝K_n1+K_n2+K_n3...+K_nn (20)

2)切向接触刚度

两接触表面之间单个微凸体的切向接触刚度k_τ表示为

式中，G、υ分别为混凝土材料的剪切模量、泊松比；r为真实接触面积a的半径，a＝πr²＝a'/2。

同样，单层总体切向接触刚度

总体切向刚度K_T等于每层总体法向刚度相加，表达式如下，

K_T＝K_τ1+K_τ2+K_τ3...+K_τn (23)。

Claims (1)

1.一种考虑混凝土微凸体破碎的机床-基础结合面接触刚度计算方法，其特征在于，该方法包括如下流程：

步骤(1)：单个微凸体临界接触面积的建立

混凝土单轴变形的应力-应变曲线的形状具有明显规律性特征，混凝土单轴受压时初始阶段微凸体表现为弹性变形，应力应变曲线在这一阶段接近直线关系，该阶段的终点称为比例极限，对应的临界应力为σ_c，峰点应力值即抗压强度为σ₀，普通混凝土比例极限为σ_c＝(0.3～0.5)σ₀，平均取值σ_c＝0.408σ₀；超过比例极限后，微凸体开始转变为塑性变形，当超过破碎临界应力σ_u＝(0.88～0.97)σ₀时，微凸体开始出现破碎变形，平均取值σ_u＝0.902σ₀，由于破碎的微凸体无法继续承受载荷，应力应变曲线急剧下降；

$x=\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_0},y=\frac{\mathrm{\&sigma;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_0}---\left(1\right)$

式中σ₀为混凝土抗压强度；ε₀对应峰值σ₀处的应变；

本方法采用应力-应变全曲线方程；

$y=\frac{Nx-x^2}{1+(N-2)x}---\left(2\right)$

式中，经过试验验证，参数N取值在1.3到4之间；

由摩擦分形学得知微凸体法向变形ε和横截面积a'之间的关系为

ε＝G^(D-1)a^'(2-D)/2 (3)

由式(1)、(2)、(3)得混凝土微凸体应力σ与横截面积a'关系式为

$\mathrm{\&sigma;}={\mathrm{\&sigma;}}_0\frac{{\mathrm{N\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}-G^{(2D-2)}{a}^{\&prime;(2-D)}}{{{\mathrm{\&epsiv;}}_0}^2+(N-2){\mathrm{\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}}---\left(4\right)$

由Hertz接触理论可知，当单个微凸体变形量δ较小时发生弹性变形，随着变形量δ增加，微凸体弹性变形将逐渐转化为塑性变形，弹性变形向塑性变形转变的临界变形量为δ_c，该点称之为比例极限，对应临界变形面积为a_c；当变形量δ继续增加时，微凸体由塑性变形转化为破碎变形，该临界变形量为δ_u，破碎临界变形面积为a_u；

由混凝土单轴受压时应力-应变曲线知，比例极限临界应力σ_c＝0.408σ₀，破碎临界应力σ_u＝0.902σ₀，又由式(4)得到应力与变形面积的关系，所以比例极限临界面积a_c，破碎临界变形面积a_u均计算得出，

${\mathrm{\&sigma;}}_c=0.408{\mathrm{\&sigma;}}_0={\mathrm{\&sigma;}}_0\frac{{\mathrm{N\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}-G^{(2D-2)}{a}^{\&prime;(2-D)}}{{{\mathrm{\&epsiv;}}_0}^2+(N-2){\mathrm{\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}}---\left(5\right)$

${\mathrm{\&sigma;}}_u=0.902{\mathrm{\&sigma;}}_0={\mathrm{\&sigma;}}_0\frac{{\mathrm{N\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}-G^{(2D-2)}{a}^{\&prime;(2-D)}}{{{\mathrm{\&epsiv;}}_0}^2+(N-2){\mathrm{\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}}---\left(6\right)$

根据分形M-B模型可知，如果微凸体接触面积a＜a_c，发生塑性变形，如果微凸体接触面积a＞a_c，则发生弹性变形；将临界面积关系推广到本方法中，则有微凸体接触面积0＜a＜a_c时发生破碎变形，微凸体接触面积a_c＜a＜a_u发生塑性变形，微凸体接触面积a_u＜a＜a_l发生弹性变形；

步骤(2)：混凝土表面接触载荷的计算

根据Hertz接触理论可知，对于完全弹性变形和完全塑性变形时，其对应弹性接触载荷F_e、塑性接触载荷F_p分别表示为

$F_e=\frac{4E^{*}{r}^3}{3R}---\left(7\right)$

$F_e=\frac{2^{(9-D)/2}{\left(ln\mathrm{\&gamma;}\right)}^{1/2}{G}^{(D-1)}{E}^{*}{\left(a^{\&prime;}\right)}^{(3-D)/2}}{3{\mathrm{\&pi;}}^{(3-D)/2}}---\left(8\right)$

F_p＝Ha' (9)

其中E^*是两个粗糙表面的等效弹性模量，E^*＝[(1-v₁ ²)/E₁+(1-v₂ ²)/E₂]^-1，v₁、v₂和E₁、E₂分别为两种材料的泊松比和弹性模量；H表示较软材料的硬度；

由式(9)得

$\mathrm{\&sigma;}=\frac{F_p}{a^{\&prime;}}.---\left(10\right)$

将式(4)带入式(10)中，得混凝土塑性力为

$F_p={\mathrm{\&sigma;}}_0\frac{{\mathrm{N\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(4-D)/2}-G^{(2D-2)}{a}^{\&prime;(3-D)}}{{{\mathrm{\&epsiv;}}_0}^2+(N-2){\mathrm{\&epsiv;}}_0{G}^{(D-1)}{a}^{\&prime;(2-D)/2}}---\left(11\right)$

混凝土达到破碎状态瞬间承受载荷F_u是不变的，且与混凝土单个微凸体的横截面积成正比；

F_u＝σ_ua' (12)

根据微凸体横截面积大小统计学分F_p布函数在不同变形阶段的积分相加得到结合面总体法向接触载荷F_a，

$F_a={\&Integral;}_{a_u}^{a_l}{F}_{e}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}+{\&Integral;}_{a_c}^{a_u}{F}_{p}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}+{\&Integral;}_0^{a_c}{F}_{u}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}---\left(13\right)$

步骤(3)：混凝土破碎迭代机理的建立

在已知外载荷F₀的情况下，根据公式(13)计算出对应微凸体的最大横截面积a_l，根据步骤(1)中临界面积变形关系得到总体外载荷F_a与各阶段变形力的关系，由式(14)可知当最大横截面积a_l＜a_c时，微凸体只存在破碎变形；当最大横截面积a_c<a_l＜a_u时，微凸体存在塑性变形和破碎变形；当最大横截面积a_l＞a_u时，说明结合面上的微凸体存在弹性变形、塑性变形和破碎变形三种状态，总体外载荷F_a由弹性力F_e、塑性力F_p和破碎力F_u承担，由于破碎的微凸体不能承担力，所受载荷由其他未破碎的微凸体承担；将破碎力F_u作为下一层外载荷F₁继续加载，计算出微凸体对应的最大横截面积a_l'，如此循环往复，直到第n次迭代计算出破碎力与上一层破碎力的差值小到可以忽略不记时，破碎力全部转化为弹性力和塑性力，没有微凸体继续产生破碎变形，认为此时达到一种受力平衡状态；

$F_a=\left\{\begin{array}{cc}{F}_u& 0<a_l<a_c\\ F_p+F_u& a_c<a_l<a_u\\ F_e+F_p+F_u& a_u<a_l\end{array}\right.---\left(14\right)$

当有初始载荷F₀作用在两表面并发生接触时，所有相互接触微凸体的接触状态分为三个阶段，弹性变形阶段、塑性变形阶段和破碎变形阶段，作用在微凸体三种接触状态下的力分别为弹性接触载荷F_e、塑性接触载荷F_p、破碎接触载荷F_u，其力平衡关系表达式为，

F₀＝F_e+F_p+F_u (15)

把初始载荷加载时的受力状态称第一层变形受力；

随着载荷增加混凝土表面微凸体承担载荷超过破碎极限载荷时就会产生破碎现象，而破碎的微凸体是不能承担载荷的，此时原本由破碎的微凸体承担的载荷由其他未破碎的微凸体负担，所以在继续加载的过程中，将破碎接触载荷F_u以初始载荷F₀的形式继续施加，第二次加载时的受力称为第二层变形受力，力平衡关系表达式变为，

F_u＝F_e'+F_p'+F_u' (16)

其中，F_e'、F_p'、F_u'对应为第二层总弹性力、总塑性力和总破碎力，微凸体接触状态继续转化，更多的微凸体由塑性变形进入到破碎变形状态，如此往复迭代直到第n层，达到一种总体外载荷F₀与每层微凸体承载力的总和相等的平衡状态，其中第n层破碎力F_u ⁿ足够小可忽略不计，力平衡关系为

F₀＝F_e+F_p+F_e'+F_p'+F_e”+F_p”+...+F_e ⁿ+F_p ⁿ+F_u ⁿ (17)

步骤(4)：混凝土-钢结合面接触刚度计算

1)法向接触刚度

根据Hertz接触理论得到单个微凸体法向接触刚度k_n表达式为

$k_n=\frac{dF}{d\mathrm{\&delta;}}---\left(18\right)$

单层总体法向接触刚度K_n是接触表面上每个独立微凸体的刚度总和，本方法只是处于弹性变形状态微凸体的刚度总和；

$K_n={\&Integral;}_{a_c}^{a_l}\frac{{\mathrm{dF}}_e}{d\mathrm{\&delta;}}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}=\frac{4D(3-D)}{3{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{1/2}(2-D)(D-1)}{E}^{*}({a_l}^{(D/2)}{a_c}^{(1-D)/2}-{a_l}^{1/2})---\left(19\right)$

总体法向刚度K_N等于每层总体法向刚度相加，表达式如下，

K_N＝K_n1+K_n2+K_n3...+K_nn (20)

2)切向接触刚度

两接触表面之间单个微凸体的切向接触刚度k_τ表示为

$k_{\mathrm{\&tau;}}=\frac{4Gr}{2-\mathrm{\&upsi;}}---\left(21\right)$

式中，G、υ分别为混凝土材料的剪切模量、泊松比；r为真实接触面积a的半径，a＝πr²＝a'/2；

同样，单层总体切向接触刚度

$K_{\mathrm{\&tau;}}={\&Integral;}_{a_c}^{a_l}{k}_{\mathrm{\&tau;}}n\left(a^{\&prime;}\right){\mathrm{da}}^{\&prime;}=\frac{4(1-\mathrm{\&upsi;})E^{*}D}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{1/2}(2-\mathrm{\&upsi;})(D-1)}({a_l}^{\left(D/2\right)}{a_c}^{\left(1-D\right)/2}-{a_l}^{1/2})---\left(22\right)$

总体切向刚度K_T等于每层总体法向刚度相加，表达式如下，

K_T＝K_τ1+K_τ2+K_τ3...+K_τn (23)。