CN106650018A - 一种用于vcfem分析的高体积分数rve模型生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，步骤包括：输入颗粒增强复合材料的参数，估计RVE模型尺寸，确定最小级配夹杂颗粒的数量，从已有最小等圆/球装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案得到相应的圆/球心位置和半径并产生符合周期性边界条件的RVE模型，根据RVE模型的颗粒是否为椭圆/球颗粒将圆/球形颗粒变换为椭圆/球颗粒，将颗粒转变为多边形/多面体，并通过多次计算得到最佳RVE模型尺寸，最终输出RVE模型的参数。本发明能够根据颗粒增强复合材料的体积分数、粒径级配的拓扑参数，高效、简明地生成适用于VCFEM分析的周期性数值分析模型，可用于高填充比、多级配和不同颗粒形状复合材料的跨尺度分析。

Description

一种用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法

技术领域

本发明涉及材料的VCFEM有限元分析技术领域，具体涉及一种用于VCFEM(VoronoiCell Finite Element Method，Voronoi单元有限元法)分析的高体积分数RVE(Representative Volume Element，等效体积单元)模型生成方法，能够根据颗粒增强复合材料的体积分数、粒径级配的拓扑参数，高效、简明地生成适用于VCFEM分析的周期性数值分析模型。

背景技术

从细观尺度出发，建立反映颗粒增强复合材料真实结构的RVE模型，结合有限元和均匀化方法预测材料等效力学性能参数是一种常用的研究颗粒增强复合材料力学参数的方法。VCFEM是一种基于Voronoi网格的杂交应力有限元方法，该方法根据颗粒中心将求解区域划分为相应数量的Voronoi多边形，每一个含颗粒的Voronoi多边形视为一个分析单元，由于Voronoi多边形通常不是四边形或三角形，所以采用杂交应力有限元方法比传统的位移有限元方法更加精确和高效。考虑到根据随机生成的颗粒中心产生的Voronoi网格往往很不规则，由于常用的球形颗粒的半径不能超过中心点和边界的距离(否则会导致颗粒被边界分割，产生不能采用杂交有限元方法进行分析的单元)，而这种半径大小的受限很可能导致一个Voronoi多边形单元内距离中心点较远的部分不能被颗粒填充，从而不能产生很高体积分数的Voronoi网格模型。

发明内容

本发明要解决的技术问题：针对现有技术的上述问题，提供一种能够根据颗粒增强复合材料的体积分数、粒径级配的拓扑参数，高效、简明地生成适用于VCFEM分析的周期性数值分析模型，可用于高填充比、多级配和不同颗粒形状复合材料的跨尺度分析的用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一方面，面向二维RVE模型，本发明提供一种用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，步骤包括：

1)输入颗粒增强复合材料的参数，所述参数包括各级级配的粒径r_i以及体积分数V_fi，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

2)分别将各级级配的粒径r_i等效为最小级配粒径r₁，根据最少需要的最小级配颗粒数量(n₁)_min以及等效系数m_i计算各级级配最少需要的颗粒数量(n_i)_min，累加各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min得到总的颗粒数量，根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min；在最小RVE模型尺寸的基础上，基于逐步增大的倍增比例l来迭代计算RVE模型，当迭代连续若干次迭代收敛于某一个值时，将倍增比例l对最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min进行倍增得到最佳的RVE模型尺寸L_RVE；

3)根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE和各级级配的最小粒径的粒径范围计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max，从最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max之间随机生成一个整数n作为最小级配夹杂颗粒的数量；

4)从已有最小等圆装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案，得到相应的圆心位置和半径，其中n为最小级配夹杂颗粒的数量；

5)判断RVE模型是否为多级配，如果是多级配，则确定各级配颗粒中心及半径，并跳转执行步骤6)；否则，直接跳转执行步骤6)；

6)将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生新的Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型；

7)判断所述符合周期性边界条件的RVE模型中的所含颗粒是否为椭圆颗粒，如果是椭圆颗粒，则将圆形颗粒变换为椭圆颗粒，跳转执行步骤8)；否则，直接跳转执行步骤8)；

8)针对所述符合周期性边界条件的RVE模型，将颗粒转变为多边形；

9)输出RVE模型的参数，所述RVE模型包括最佳的RVE模型尺寸L_RVE、RVE模型基体部分的几何信息、RVE模型颗粒部分的几何信息，所述RVE模型基体部分的几何信息包括所有Voronoi多边形的编号、中心点和节点的坐标以及组成各Voronoi单元的节点编号，所述RVE模型颗粒部分的几何信息包括所有颗粒多边形的编号及节点的坐标，组成各颗粒多边形的节点编号。

优选地，步骤2)中等效系数m_i的函数表达式如式(1-1)所示；步骤2)中计算各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min的函数表达式如式(2)所示；步骤2)中根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁确定最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min的函数表达式如式(3-1)所示；步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-1)所示；

m_i＝(V_fir₁/V_f1r_i)² (1-1)

式(1-1)中，m_i表示第i级级配的等效系数，V_fi表示第i级级配的体积分数，r₁表示第1级级配的粒径，V_f1表示第1级级配的体积分数，r_i表示第i级级配的粒径，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

(n_i)_min＝m_i(n₁)_min (2)

式(2)中，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量，取向上舍入整数，且不小于1，m_i表示第i级级配的等效系数，(n₁)_min表示最少需要的第1级级配颗粒数量，其至少使得每一级级配颗粒数量不小于1，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

式(3-1)中，(L_RVE)_min表示最小RVE模型尺寸，r₁表示最小级配粒径，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量；

式(4-1)中，n_min表示最小颗粒数目，n_max表示最大颗粒数目，V_f1表示最小级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_max表示最小粒径的粒径范围最大值，r_min表示最小粒径的粒径范围最小值。

优选地，步骤5)中确定各级配颗粒中心及半径的详细步骤包括：

第一步，根据式(5-1)确定第i级级配颗粒的数量；

式(5-1)中，n_i表示第i级级配的颗粒数量，V_fi表示第i级级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_i表示第i级级配的粒径；

第二步，从最小粒径颗粒中心中随机选择n_i个颗粒中心点并记为第i级级配的中心点对应的点集Qi，且点集Qi中的点需要满足以下两个条件：(I)与边界的距离要大于r_i；(II)两个中心之间的距离要大于2r_i，其中r_i表示第i级级配的粒径；

第三步，分别将距离点集Qi中点2r_i范围内除其本身之外的颗粒中心点删掉；分别将第i级级配的粒径r_i范围内的半径值作为各级配颗粒中心的半径，将点集Qi作为第i级级配中心点，从而确定各级配颗粒中心及半径。

优选地，步骤7)将圆形颗粒变换为椭圆颗粒的详细步骤包括：以圆心为椭圆中心，在Voronoi单元内随机生成角度随机的椭圆，各椭圆的长短轴长度在指定的半径值范围内随机产生，该取值范围需要保证各粒径填充比，且不超过Voronoi单元边界。

优选地，步骤8)的详细步骤包括：对所述符合周期性边界条件的RVE模型，分别将各个单元边界节点A与颗粒中心点O相连，且将该连线与颗粒界面相交即可得到颗粒节点a，如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为二维模型，则连接这些颗粒节点a，即可得到一个与颗粒形状接近的多边形，将颗粒转变为多边形；如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为三维模型，则在每个单元边界面上增加一个重心点，记为点B，点B和点O的连线与颗粒界面的交点记为节点b，将该颗粒界面的颗粒节点与节点b相连，便得到一个三角形，最终产生一个与颗粒形状相近的多边形，从而将颗粒转变为多边形。

另一方面，面向三维RVE模型，本发明还提供一种用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，步骤包括：

1)输入颗粒增强复合材料的参数，所述参数包括各级级配的粒径r_i以及体积分数V_fi，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

2)分别将各级级配的粒径r_i等效为最小级配粒径r₁，根据最少需要的最小级配颗粒数量(n₁)_min以及等效系数m_i计算各级级配最少需要的颗粒数量(n_i)_min，累加各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min得到总的颗粒数量，根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min；在最小RVE模型尺寸的基础上，基于逐步增大的倍增比例l来迭代计算RVE模型，当迭代连续若干次迭代收敛于某一个值时，将倍增比例l对最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min进行倍增得到最佳的RVE模型尺寸L_RVE；

3)根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE和各级级配的最小粒径的粒径范围计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max，从最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max之间随机生成一个整数n作为最小级配夹杂颗粒的数量；

4)从已有最小等球装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案，得到相应的球心位置和半径，其中n为最小级配夹杂颗粒的数量；

5)判断RVE模型是否为多级配，如果是多级配，则确定各级配颗粒中心及半径，跳转执行步骤6)；否则，直接跳转执行步骤6)；

6)将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型；

7)判断所述符合周期性边界条件的RVE模型中的所含颗粒是否为椭球颗粒，如果是椭球颗粒，则将球形颗粒变换为椭球颗粒，跳转执行步骤8)；否则，直接跳转执行步骤8)；

8)针对所述符合周期性边界条件的RVE模型，将颗粒转变为多面体；

9)输出RVE模型的参数，所述RVE模型包括最佳的RVE模型尺寸L_RVE、RVE模型基体部分的几何信息、RVE模型颗粒部分的几何信息，所述RVE模型基体部分的几何信息包括所有Voronoi多边形的编号、中心点和节点的坐标以及组成各Voronoi单元的节点编号，所述RVE模型颗粒部分的几何信息包括所有颗粒多边形的编号及节点的坐标，组成各颗粒多边形的节点编号。

优选地，步骤2)中等效系数m_i的函数表达式如式(1-2)所示；步骤2)中计算各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min的函数表达式如式(2)所示；步骤2)中根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min的函数表达式如式(3-1)所示；步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-1)所示；

m_i＝(V_fir₁/V_f1r_i)³ (1-2)

式(1-2)中，m_i表示第i级级配的等效系数，V_fi表示第i级级配的体积分数，r₁表示第1级级配的粒径，V_f1表示第1级级配的体积分数，r_i表示第i级级配的粒径，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

(n_i)_min＝m_i(n₁)_min (2)

式(2)中，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量，取向上舍入整数，且不小于1，m_i表示第i级级配的等效系数，(n₁)_min表示最少需要的第1级级配颗粒数量，其至少使得每一级级配颗粒数量不小于1，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

式(3-2)中，(L_RVE)_min表示最小RVE模型尺寸，r₁表示最小级配粒径，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量；

式(4-2)中，n_min表示最小颗粒数目，n_max表示最大颗粒数目，V_f1表示最小级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_max表示最小粒径的粒径范围最大值，r_min表示最小粒径的粒径范围最小值。

优选地，步骤5)中确定各级配颗粒中心及半径的详细步骤包括：

第一步，根据式(5-2)确定第i级级配颗粒的数量；

式(5-1)中，n_i表示第i级级配的颗粒数量，V_fi表示第i级级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_i表示第i级级配的粒径；

第二步，从最小粒径颗粒中心中随机选择n_i个颗粒中心点并记为第i级级配的中心点对应的点集Qi，且点集Qi中的点需要满足以下两个条件：(I)与边界的距离要大于r_i；(II)两个中心之间的距离要大于2r_i，其中r_i表示第i级级配的粒径；

第三步，分别将距离点集Qi中点2r_i范围内除其本身之外的颗粒中心点删掉；分别将第i级级配的粒径r_i范围内的半径值作为各级配颗粒中心的半径，将点集Qi作为第i级级配中心点，从而确定各级配颗粒中心及半径。

优选地，步骤7)将球形颗粒变换为椭球颗粒的详细步骤包括：以球心为椭球中心，在Voronoi单元内随机生成角度随机的椭球，各椭球的长短轴长度在指定的半径值范围内随机产生，该取值范围需要保证各粒径填充比，且不超过Voronoi单元边界。

优选地，步骤8)的详细步骤包括：对所述符合周期性边界条件的RVE模型，分别将各个单元边界节点A与颗粒中心点O相连，且将该连线与颗粒界面相交即可得到颗粒节点a，如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为二维模型，则连接这些颗粒节点a，即可得到一个与颗粒形状接近的多边形，将颗粒转变为多边形；如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为三维模型，则在每个单元边界面上增加一个重心点，记为点B，点B和点O的连线与颗粒界面的交点记为节点b，将该颗粒界面的颗粒节点与节点b相连，便得到一个三角形，最终产生一个与颗粒形状相近的多面体，从而将颗粒转变为多面体。

本发明用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法通过输入颗粒增强复合材料的参数，确定最佳的RVE模型尺寸，确定最小级配夹杂颗粒的数量，从已有最小等圆/球装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案得到相应的圆/球心位置和半径并产生符合周期性边界条件的RVE模型，根据RVE模型的颗粒是否为椭圆/球颗粒将圆/球形颗粒变换为椭圆/球颗粒，将颗粒转变为多边形/多面体，最终输出RVE模型的参数，能够根据颗粒增强复合材料的体积分数、粒径级配的拓扑参数，高效、简明地生成适用于VCFEM分析的周期性数值分析模型，具有下述优点：

1、本发明直接采用现有的最小等圆/球装载最佳方案，能够较快地产生夹杂中心，且由此产生的Voronoi多边形单元与圆形夹杂的面积相差很小，填充比很高，可用于建立高体积分数的RVE模型。

2、本发明产生的RVE模型得到的几何信息可以直接用于VCFEM分析，易于利用计算机编程，可以广泛用于高填充比、多级配、不同夹杂形状的复合材料跨尺度分析问题的求解。

附图说明

图1为本发明实施例一方法的基本流程示意图。

图2为实施例一中基于得到相应的圆心位置和半径为生成点产生的Voronoi网格模型的示意图。

图3为实施例一中基于确定的各级配颗粒中心及半径生成的二维多级配RVE模型；

图4为实施例一中3×3的RVE模型模拟体系示意图。

图5为实施例一中Voronoi网格的独立性原理示意图。

图6为实施例一中根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型。

图7为实施例一中得到的符合周期性边界条件的3×3的RVE模型模拟体系。

图8为实施例一中得到的椭圆颗粒RVE模型。

图9为实施例一中将颗粒转变为多边形的原理示意图。

图10为实施例二基于得到相应的球心位置和半径为生成点产生的Voronoi网格模型的示意图。

图11为实施例二中得到的符合周期性边界条件的3×3×3的RVE模型模拟体系。

图12为实施例二中将颗粒转变为多边形的原理示意图。

具体实施方式

下文分别以面向二维RVE模型和面向二维RVE模型为例，对本发明用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法进行进一步的详细说明，

实施例一：

本实施例用于生成高体积分数二维RVE模型。

如图1所示，本实施例用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法的步骤包括：

1)输入颗粒增强复合材料的参数，参数包括各级级配的粒径r_i以及体积分数V_fi，其中1≤i≤k，k为级配的级数；本实施例中，颗粒增强复合材料中共有k级级配，各级级配的粒径从小到大依次为r₁,r₂,…r_k，对应的体积分数分别为V_f1,V_f2,…V_fk。

2)分别将各级级配的粒径r_i等效为最小级配粒径r₁，根据最少需要的最小级配颗粒数量(n₁)_min以及等效系数m_i计算各级级配最少需要的颗粒数量(n_i)_min，累加各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min得到总的颗粒数量，根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min；在最小RVE模型尺寸的基础上，基于逐步增大的倍增比例l来迭代计算RVE模型，当迭代连续若干次迭代收敛于某一个值时，将倍增比例l对最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min进行倍增得到最佳的RVE模型尺寸L_RVE；

本实施例中，步骤2)中等效系数m_i的函数表达式如式(1-1)所示；步骤2)中计算各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min的函数表达式如式(2)所示；步骤2)中根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁确定最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min的函数表达式如式(3-1)所示；步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-1)所示；

m_i＝(V_fir₁/V_f1r_i)² (1-1)

式(1-1)中，m_i表示第i级级配的等效系数，V_fi表示第i级级配的体积分数，r₁表示第1级级配的粒径，V_f1表示第1级级配的体积分数，r_i表示第i级级配的粒径，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

(n_i)_min＝m_i(n₁)_min (2)

式(2)中，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量，取向上舍入整数，且不小于1，m_i表示第i级级配的等效系数，(n₁)_min表示最少需要的第1级级配颗粒数量，其至少使得每一级级配颗粒数量不小于1，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

式(3-1)中，(L_RVE)_min表示最小RVE模型尺寸，r₁表示最小级配粒径，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量；因为二维RVE模型需要满足所有级配的体积分数要求，而满足第i级粒径体分比要求最少需要的颗粒数量为(V_fir₁/V_f1r_i)²(n₁)_min。累加各级配需要的等效颗粒数量，即可满足所有其他级配的体积分数要求，故可以得到满足条件的最小二维RVE模型尺寸表达式如式(3-1)所示；最小RVE模型尺寸只是满足建模需求的最低要求，在此基础上，再根据颗粒大小和材料性能产生合适的RVE单元尺寸，取L_RVE＝l·(L_RVE)_min。l为倍增比例，l越大，代表RVE模型越大，代表其容纳的颗粒数量越大，越能体现材料的统计均匀性，但是计算成本也随之增加，所以需要逐步增大RVE模型尺寸，计算相应的结果，直到连续若干次收敛于某一个值为止，依此产生最佳模型尺寸。

3)根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE和各级级配的最小粒径的粒径范围计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max，从最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max之间随机生成一个整数n作为最小级配夹杂颗粒的数量；

本实施例中，步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-1)所示；

式(4-1)中，n_min表示最小颗粒数目，n_max表示最大颗粒数目，V_f1表示最小级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_max表示最小粒径的粒径范围最大值，r_min表示最小粒径的粒径范围最小值。

4)从已有最小等圆装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案，得到相应的圆心位置和半径，其中n为最小级配夹杂颗粒的数量；图2所示即为以这些得到相应的圆心位置和半径为生成点产生的Voronoi网格模型(以100个单位为例)；

5)判断RVE模型是否为多级配，如果是多级配，则确定各级配颗粒中心及半径，并跳转执行步骤6)；否则，直接跳转执行步骤6)；图3所示即为以这些定各级配颗粒中心及半径生成的二维多级配RVE模型(以2000个单位为例)；

本实施例中，步骤5)中确定各级配颗粒中心及半径的详细步骤包括：

第一步，根据式(5-1)确定第i级级配颗粒的数量；

式(5-1)中，n_i表示第i级级配的颗粒数量，V_fi表示第i级级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_i表示第i级级配的粒径；

第二步，从最小粒径颗粒中心中随机选择n_i个颗粒中心点并记为第i级级配的中心点对应的点集Qi，且点集Qi中的点需要满足以下两个条件：(I)与边界的距离要大于r_i；(II)两个中心之间的距离要大于2r_i，其中r_i表示第i级级配的粒径；

第三步，分别将距离点集Qi中点2r_i范围内除其本身之外的颗粒中心点删掉；分别将第i级级配的粒径r_i范围内的半径值作为各级配颗粒中心的半径，将点集Qi作为第i级级配中心点，从而确定各级配颗粒中心及半径。

6)将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生新的Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型；为了用少量的粒子数目来有效而真实地模拟宏观体系，需要采用周期性边界条件，本实施例通过将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生新的Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型，从而实现了用少量的粒子数目来有效而真实地模拟宏观体系。

本实施例中，为了获得周期性RVE模型，将原模型沿各方向复制相同的八份，产生一个3×3的RVE模型模拟体系(如图4所示，以100个单位为例)。参见图5，Voronoi网格具有局部独立性的特点，即局部计算点发生变化对其他部分网格划分没有影响，比如在图5(a)的基础上，往右侧增加一些节点，只有紧靠右边的部分网格会发生改变，而左边的网格没有什么变化，如图5(b)所示。所以可认为外侧的那些点虽然不符合周期性边界条件，但是对中间RVE单元内网格划分没有影响。图6为根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型，图7本实施例中复制形成的符合周期性边界条件的3×3的RVE模型模拟体系。

7)判断符合周期性边界条件的RVE模型中的所含颗粒是否为椭圆颗粒，如果是椭圆颗粒，则将圆形颗粒变换为椭圆颗粒，跳转执行步骤8)；否则，直接跳转执行步骤8)；

本实施例中，步骤7)将圆形颗粒变换为椭圆颗粒的详细步骤包括：以圆心为椭圆中心，在Voronoi单元内随机生成角度随机的椭圆，各椭圆的长短轴长度在指定的半径值范围内随机产生，该取值范围需要保证各粒径填充比，且不超过Voronoi单元边界。本实施例中，将圆形颗粒变换为椭圆颗粒后，得到椭圆夹杂RVE模型如图8所示。

8)针对符合周期性边界条件的RVE模型，将颗粒转变为多边形；

为了用于VCFEM分析，必须将夹杂颗粒转变为多边形，以便用于区域积分运算。本实施例中，步骤8)的详细步骤包括：对符合周期性边界条件的RVE模型，分别将各个单元边界节点A与颗粒中心点O相连，且将该连线与颗粒界面相交即可得到颗粒节点a，如果符合周期性边界条件的RVE模型为二维模型，则连接这些颗粒节点a，即可得到一个与颗粒形状接近的多边形，将颗粒转变为多边形；如果符合周期性边界条件的RVE模型为三维模型，则在每个单元边界面上增加一个重心点，记为点B，点B和点O的连线与颗粒界面的交点记为节点b，将该颗粒界面的颗粒节点与节点b相连，便得到一个三角形，最终产生一个与颗粒形状相近的多边形，从而将颗粒转变为多边形。

如图9所示，分别将单元边界节点(点A)与夹杂中心(点O)相连，其与夹杂界面相交即可得到夹杂节点(点a)，对于二维问题，连接这些夹杂节点，即可得到一个与夹杂形状接近的多边形；如此，将该面的夹杂节点与此节点相连，便得到一个个三角形，最终产生一个与夹杂形状相近的多多边形，从而将颗粒转变为多边形。

9)输出RVE模型的参数，RVE模型包括最佳的RVE模型尺寸L_RVE、RVE模型基体部分的几何信息、RVE模型颗粒部分的几何信息，RVE模型基体部分的几何信息包括所有Voronoi多边形的编号、中心点和节点的坐标以及组成各Voronoi单元的节点编号，RVE模型颗粒部分的几何信息包括所有颗粒多边形的编号及节点的坐标，组成各颗粒多边形的节点编号。

实施例二：

与实施例一不同，本实施例用于生成高体积分数三维RVE模型。

本实施例用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法的步骤包括：

1)输入颗粒增强复合材料的参数，参数包括各级级配的粒径r_i以及体积分数V_fi，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

2)分别将各级级配的粒径r_i等效为最小级配粒径r₁，根据最少需要的最小级配颗粒数量(n₁)_min以及等效系数m_i计算各级级配最少需要的颗粒数量(n_i)_min，累加各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min得到总的颗粒数量，根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min；在最小RVE模型尺寸的基础上，基于逐步增大的倍增比例l来迭代计算RVE模型，当迭代连续若干次迭代收敛于某一个值时，将倍增比例l对最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min进行倍增得到最佳的RVE模型尺寸L_RVE；

本实施例中，步骤2)中等效系数m_i的函数表达式如式(1-2)所示；步骤2)中计算各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min的函数表达式如式(2)所示；步骤2)中根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min的函数表达式如式(3-2)所示；

m_i＝(V_fir₁/V_f1r_i)³ (1-2)

式(1-2)中，m_i表示第i级级配的等效系数，V_fi表示第i级级配的体积分数，r₁表示第1级级配的粒径，V_f1表示第1级级配的体积分数，r_i表示第i级级配的粒径，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

(n_i)_min＝m_i(n₁)_min (2)

式(2)中，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量，取向上舍入整数，且不小于1，m_i表示第i级级配的等效系数，(n₁)_min表示最少需要的第1级级配颗粒数量，其至少使得每一级级配颗粒数量不小于1，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

式(3-2)中，(L_RVE)_min表示最小RVE模型尺寸，r₁表示最小级配粒径，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量。因为三维RVE模型需要满足所有级配的体积分数要求，而满足第i级粒径体分比要求最少需要的颗粒数量为(V_fir₁/V_f1r_i)³(n₁)_min。累加各级配需要的等效颗粒数量，即可满足所有其他级配的体积分数要求，故可以得到满足条件的最小三维RVE模型尺寸表达式如式(3-2)所示；最小RVE模型尺寸只是满足建模需求的最低要求，在此基础上，再根据颗粒大小和材料性能产生合适的RVE单元尺寸，取L_RVE＝l·(L_RVE)_min。l为倍增比例，l越大，代表RVE模型越大，代表其容纳的颗粒数量越大，越能体现材料的统计均匀性，但是计算成本也随之增加，所以需要逐步增大RVE模型尺寸，计算相应的结果，直到连续若干次收敛于某一个值为止，依此产生最佳模型尺寸。

3)根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE和各级级配的最小粒径的粒径范围计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max，从最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max之间随机生成一个整数n作为最小级配夹杂颗粒的数量；

本实施例中，步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-2)所示；

式(4-2)中，n_min表示最小颗粒数目，n_max表示最大颗粒数目，V_f1表示最小级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_max表示最小粒径的粒径范围最大值，r_min表示最小粒径的粒径范围最小值。从n_min和n_max之间随机生成一个整数n，即为最小级配夹杂颗粒的数量。

4)从已有最小等球装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案，得到相应的球心位置和半径，其中n为最小级配夹杂颗粒的数量；图10所示，即为以这些得到相应的球心位置和半径为生成点产生的Voronoi网格模型。

5)判断RVE模型是否为多级配，如果是多级配，则确定各级配颗粒中心及半径，跳转执行步骤6)；否则，直接跳转执行步骤6)；

本实施例中，步骤5)中确定各级配颗粒中心及半径的详细步骤包括：

第一步，根据式(5-2)确定第i级级配颗粒的数量；

式(5-1)中，n_i表示第i级级配的颗粒数量，V_fi表示第i级级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_i表示第i级级配的粒径；

第二步，从最小粒径颗粒中心中随机选择n_i个颗粒中心点并记为第i级级配的中心点对应的点集Qi，且点集Qi中的点需要满足以下两个条件：(I)与边界的距离要大于r_i；(II)两个中心之间的距离要大于2r_i，其中r_i表示第i级级配的粒径；

第三步，分别将距离点集Qi中点2r_i范围内除其本身之外的颗粒中心点删掉；分别将第i级级配的粒径r_i范围内的半径值作为各级配颗粒中心的半径，将点集Qi作为第i级级配中心点，从而确定各级配颗粒中心及半径。

6)将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型；为了用少量的粒子数目来有效而真实地模拟宏观体系，需要采用周期性边界条件，本实施例通过将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生新的Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型，从而实现了用少量的粒子数目来有效而真实地模拟宏观体系。参见图11，该图展示了周期性边界条件的三维模型，该图中右侧所示为3×3×3的RVE模型模拟体系，其周围的格子与模拟体系具有相同的排列及运动，称之为周期性镜像。

7)判断符合周期性边界条件的RVE模型中的所含颗粒是否为椭球颗粒，如果是椭球颗粒，则将球形颗粒变换为椭球颗粒，跳转执行步骤8)；否则，直接跳转执行步骤8)；

本实施例中，步骤7)将球形颗粒变换为椭球颗粒的详细步骤包括：以球心为椭球中心，在Voronoi单元内随机生成角度随机的椭球，各椭球的长短轴长度在指定的半径值范围内随机产生，该取值范围需要保证各粒径填充比，且不超过Voronoi单元边界。

8)针对符合周期性边界条件的RVE模型，将颗粒转变为多面体；

本实施例中，步骤8)的详细步骤包括：对符合周期性边界条件的RVE模型，分别将各个单元边界节点A与颗粒中心点O相连，且将该连线与颗粒界面相交即可得到颗粒节点a，如果符合周期性边界条件的RVE模型为二维模型，则连接这些颗粒节点a，即可得到一个与颗粒形状接近的多边形，将颗粒转变为多边形；如果符合周期性边界条件的RVE模型为三维模型，则在每个单元边界面上增加一个重心点，记为点B，点B和点O的连线与颗粒界面的交点记为节点b，将该颗粒界面的颗粒节点与节点b相连，便得到一个三角形，最终产生一个与颗粒形状相近的多面体，从而将颗粒转变为多面体。

为了用于VCFEM分析，必须将夹杂颗粒转变为多面体，以便用于区域积分运算。如图12所示，分别将单元边界节点(点A)与夹杂中心(点O)相连，其与夹杂界面相交即可得到夹杂节点(点a)，对于三维问题，因为单元边界某一面上的节点在夹杂界面对应的交点很可能不在同一平面内，所以需要在单元边界面上增加一个点(该点通常为质心，点B),将该点与夹杂界面相连得到一个新的节点(点b)，如此，将该面的夹杂节点与此节点相连，便得到一个个三角形，最终产生一个与夹杂形状相近的多面体。

9)输出RVE模型的参数，RVE模型包括最佳的RVE模型尺寸L_RVE、RVE模型基体部分的几何信息、RVE模型颗粒部分的几何信息，RVE模型基体部分的几何信息包括所有Voronoi多边形的编号、中心点和节点的坐标以及组成各Voronoi单元的节点编号，RVE模型颗粒部分的几何信息包括所有颗粒多边形的编号及节点的坐标，组成各颗粒多边形的节点编号。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤包括：

1)输入颗粒增强复合材料的参数，所述参数包括各级级配的粒径r_i以及体积分数V_fi，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

2)分别将各级级配的粒径r_i等效为最小级配粒径r₁，根据最少需要的最小级配颗粒数量(n₁)_min以及等效系数m_i计算各级级配最少需要的颗粒数量(n_i)_min，累加各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min得到总的颗粒数量，根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min；在最小RVE模型尺寸的基础上，基于逐步增大的倍增比例l来迭代计算RVE模型，当迭代连续若干次迭代收敛于某一个值时，将倍增比例l对最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min进行倍增得到最佳的RVE模型尺寸L_RVE；

3)根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE和各级级配的最小粒径的粒径范围计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max，从最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max之间随机生成一个整数n作为最小级配夹杂颗粒的数量；

4)从已有最小等圆装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案，得到相应的圆心位置和半径，其中n为最小级配夹杂颗粒的数量；

5)判断RVE模型是否为多级配，如果是多级配，则确定各级配颗粒中心及半径，并跳转执行步骤6)；否则，直接跳转执行步骤6)；

6)将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生新的Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型；

7)判断所述符合周期性边界条件的RVE模型中的所含颗粒是否为椭圆颗粒，如果是椭圆颗粒，则将圆形颗粒变换为椭圆颗粒，跳转执行步骤8)；否则，直接跳转执行步骤8)；

8)针对所述符合周期性边界条件的RVE模型，将颗粒转变为多边形；

9)输出RVE模型的参数，所述RVE模型包括最佳的RVE模型尺寸L_RVE、RVE模型基体部分的几何信息、RVE模型颗粒部分的几何信息，所述RVE模型基体部分的几何信息包括所有Voronoi多边形的编号、中心点和节点的坐标以及组成各Voronoi单元的节点编号，所述RVE模型颗粒部分的几何信息包括所有颗粒多边形的编号及节点的坐标，组成各颗粒多边形的节点编号。

2.根据权利要求1所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤2)中等效系数m_i的函数表达式如式(1-1)所示；步骤2)中计算各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min的函数表达式如式(2)所示；步骤2)中根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min的函数表达式如式(3-1)所示；步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-1)所示；

m_i＝(V_fir₁/V_f1r_i)² (1-1)

式(1-1)中，m_i表示第i级级配的等效系数，V_fi表示第i级级配的体积分数，r₁表示第1级级配的粒径，V_f1表示第1级级配的体积分数，r_i表示第i级级配的粒径，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

(n_i)_min＝m_i(n₁)_min (2)

式(2)中，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量，取向上舍入整数，且不小于1，m_i表示第i级级配的等效系数，(n₁)_min表示最少需要的第1级级配颗粒数量，其至少使得每一级级配颗粒数量不小于1，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

${\left(L_{RVE}\right)}_{min}=\sqrt{\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{\left(n_i\right)}_{min}\mathrm{\π}{\left(r_1\right)}^2\right)}---(3-1)$

式(3-1)中，(L_RVE)_min表示最小RVE模型尺寸，r₁表示最小级配粒径，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量；

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{min}=V_{f1}{L}_{RVE}^2/\left({\mathrm{\πr}}_{\max }^2\right)\\ n_{\max }=V_{f1}{L}_{RVE}^2/\left({\mathrm{\πr}}_{\min }^2\right)\end{array}\right.---(4-1)$

式(4-1)中，n_min表示最小颗粒数目，n_max表示最大颗粒数目，V_f1表示最小级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_max表示最小粒径的粒径范围最大值，r_min表示最小粒径的粒径范围最小值。

3.根据权利要求1所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤5)中确定各级配颗粒中心及半径的详细步骤包括：

第一步，根据式(5-1)确定第i级级配颗粒的数量；

$n_i=V_{fi}{L}_{RVE}^2/\left({\mathrm{\πr}}_i^2\right)---(5-1)$

式(5-1)中，n_i表示第i级级配的颗粒数量，V_fi表示第i级级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_i表示第i级级配的粒径；

第二步，从最小粒径颗粒中心中随机选择n_i个颗粒中心点并记为第i级级配的中心点对应的点集Qi，且点集Qi中的点需要满足以下两个条件：(I)与边界的距离要大于r_i；(II)两个中心之间的距离要大于2r_i，其中r_i表示第i级级配的粒径；

第三步，分别将距离点集Qi中点2r_i范围内除其本身之外的颗粒中心点删掉；分别将第i级级配的粒径r_i范围内的半径值作为各级配颗粒中心的半径，将点集Qi作为第i级级配中心点，从而确定各级配颗粒中心及半径。

4.根据权利要求1所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤7)将圆形颗粒变换为椭圆颗粒的详细步骤包括：以圆心为椭圆中心，在Voronoi单元内随机生成角度随机的椭圆，各椭圆的长短轴长度在指定的半径值范围内随机产生，该取值范围需要保证各粒径填充比，且不超过Voronoi单元边界。

5.根据权利要求1所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤8)的详细步骤包括：对所述符合周期性边界条件的RVE模型，分别将各个单元边界节点A与颗粒中心点O相连，且将该连线与颗粒界面相交即可得到颗粒节点a，如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为二维模型，则连接这些颗粒节点a，即可得到一个与颗粒形状接近的多边形，将颗粒转变为多边形；如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为三维模型，则在每个单元边界面上增加一个重心点，记为点B，点B和点O的连线与颗粒界面的交点记为节点b，将该颗粒界面的颗粒节点与节点b相连，便得到一个三角形，最终产生一个与颗粒形状相近的多边形，从而将颗粒转变为多边形。

6.一种用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤包括：

1)输入颗粒增强复合材料的参数，所述参数包括各级级配的粒径r_i以及体积分数V_fi，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

2)分别将各级级配的粒径r_i等效为最小级配粒径r₁，根据最少需要的最小级配颗粒数量(n₁)_min以及等效系数m_i计算各级级配最少需要的颗粒数量(n_i)_min，累加各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min得到总的颗粒数量，根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min；在最小RVE模型尺寸的基础上，基于逐步增大的倍增比例l来迭代计算RVE模型，当迭代连续若干次迭代收敛于某一个值时，将倍增比例l对最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min进行倍增得到最佳的RVE模型尺寸L_RVE；

3)根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE和各级级配的最小粒径的粒径范围计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max，从最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max之间随机生成一个整数n作为最小级配夹杂颗粒的数量；

4)从已有最小等球装载最佳方案中选择对应的n个颗粒的装载方案，得到相应的球心位置和半径，其中n为最小级配夹杂颗粒的数量；

5)判断RVE模型是否为多级配，如果是多级配，则确定各级配颗粒中心及半径，跳转执行步骤6)；否则，直接跳转执行步骤6)；

6)将根据最佳的RVE模型尺寸L_RVE确定的原始RVE模型复制形成一个3×3×3的RVE模型模拟体系，并以颗粒中心点为生成点产生Voronoi网格，得到符合周期性边界条件的RVE模型；

7)判断所述符合周期性边界条件的RVE模型中的所含颗粒是否为椭球颗粒，如果是椭球颗粒，则将球形颗粒变换为椭球颗粒，跳转执行步骤8)；否则，直接跳转执行步骤8)；

8)针对所述符合周期性边界条件的RVE模型，将颗粒转变为多面体；

9)输出RVE模型的参数，所述RVE模型包括最佳的RVE模型尺寸L_RVE、RVE模型基体部分的几何信息、RVE模型颗粒部分的几何信息，所述RVE模型基体部分的几何信息包括所有Voronoi多边形的编号、中心点和节点的坐标以及组成各Voronoi单元的节点编号，所述RVE模型颗粒部分的几何信息包括所有颗粒多边形的编号及节点的坐标，组成各颗粒多边形的节点编号。

7.根据权利要求6所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤2)中等效系数m_i的函数表达式如式(1-2)所示；步骤2)中计算各级级配最少所需的颗粒数量(n_i)_min的函数表达式如式(2)所示；步骤2)中根据总的颗粒数量和最小级配粒径r₁估计最小RVE模型尺寸(L_RVE)_min的函数表达式如式(3-1)所示；步骤3)中计算最小颗粒数目n_min和最大颗粒数目n_max的函数表达式如式(4-1)所示；

m_i＝(V_fir₁/V_f1r_i)³ (1-2)

式(1-2)中，m_i表示第i级级配的等效系数，V_fi表示第i级级配的体积分数，r₁表示第1级级配的粒径，V_f1表示第1级级配的体积分数，r_i表示第i级级配的粒径，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

(n_i)_min＝m_i(n₁)_min (2)

式(2)中，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量，取向上舍入整数，且不小于1，m_i表示第i级级配的等效系数，(n₁)_min表示最少需要的第1级级配颗粒数量，其至少使得每一级级配颗粒数量不小于1，其中1≤i≤k，k为级配的级数；

${\left(L_{RVE}\right)}_{min}=\sqrt{(\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{\left(n_i\right)}_{min}\mathrm{\π}{\left(r_1\right)}^{3}4/3)}---(3-2)$

式(3-2)中，(L_RVE)_min表示最小RVE模型尺寸，r₁表示最小级配粒径，(n_i)_min表示最少需要的第i级级配所需的等效颗粒数量；

$\left\{\begin{array}{c}{n}_{min}=3V_{f1}{L}_{RVE}^3/\left(4{\mathrm{\πr}}_{\max }^3\right)\\ n_{\max }=3V_{f1}{L}_{RVE}^3/\left(4{\mathrm{\πr}}_{\min }^3\right)\end{array}\right.---(4-2)$

式(4-2)中，n_min表示最小颗粒数目，n_max表示最大颗粒数目，V_f1表示最小级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_max表示最小粒径的粒径范围最大值，r_min表示最小粒径的粒径范围最小值。

8.根据权利要求6所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤5)中确定各级配颗粒中心及半径的详细步骤包括：

第一步，根据式(5-2)确定第i级级配颗粒的数量；

$n_i=3V_{fi}{L}_{RVE}^3/\left(4{\mathrm{\πr}}_i^3\right)---(5-2)$

式(5-1)中，n_i表示第i级级配的颗粒数量，V_fi表示第i级级配的体积分数，L_RVE表示RVE模型尺寸，r_i表示第i级级配的粒径；

第二步，从最小粒径颗粒中心中随机选择n_i个颗粒中心点并记为第i级级配的中心点对应的点集Qi，且点集Qi中的点需要满足以下两个条件：(I)与边界的距离要大于r_i；(II)两个中心之间的距离要大于2r_i，其中r_i表示第i级级配的粒径；

第三步，分别将距离点集Qi中点2r_i范围内除其本身之外的颗粒中心点删掉；分别将第i级级配的粒径r_i范围内的半径值作为各级配颗粒中心的半径，将点集Qi作为第i级级配中心点，从而确定各级配颗粒中心及半径。

9.根据权利要求6所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤7)将球形颗粒变换为椭球颗粒的详细步骤包括：以球心为椭球中心，在Voronoi单元内随机生成角度随机的椭球，各椭球的长短轴长度在指定的半径值范围内随机产生，该取值范围需要保证各粒径填充比，且不超过Voronoi单元边界。

10.根据权利要求6所述用于VCFEM分析的高体积分数RVE模型生成方法，其特征在于步骤8)的详细步骤包括：对所述符合周期性边界条件的RVE模型，分别将各个单元边界节点A与颗粒中心点O相连，且将该连线与颗粒界面相交即可得到颗粒节点a，如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为二维模型，则连接这些颗粒节点a，即可得到一个与颗粒形状接近的多边形，将颗粒转变为多边形；如果所述符合周期性边界条件的RVE模型为三维模型，则在每个单元边界面上增加一个重心点，记为点B，点B和点O的连线与颗粒界面的交点记为节点b，将该颗粒界面的颗粒节点与节点b相连，便得到一个三角形，最终产生一个与颗粒形状相近的多面体，从而将颗粒转变为多面体。