CN106647255A - 按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，包括如下步骤：步骤1)建立火电机组协调控制系统状态方程，引入控制律τ₁、τ₂、状态变量x₁、x₂及控制输入u₁，u₂，并将所述火电机组协调控制系统状态方程转成状态变量x₁、x₂与控制律τ₁、τ₂的关系式；步骤2)根据控制律τ₁和τ₂建立误差性能指标函数，并根据所述误差性能指标函数按设定的要求构建误差性能函数，得到跟踪误差的收敛集合；步骤3)构建火电机组输出量的负反馈控制回路。该方法使火电机组的实际负荷和实际汽压在控制过程中保持有界，实现输出信号的有界性，这种输出信号有界的控制方法在实际工程应用中能够保证火电机组的安全运行。

Description

按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，特别涉及一种按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法。

背景技术

随着电网技术的发展以及用户对电能质量的要求不断增大，火电单元机组的运行方式也逐渐发生变化，电网要求火电机组具有良好的负荷适应能力，承担较高的负荷变化率。但火电机组的控制系统是一种多变量控制系统，受控过程是一个复杂的多输入多输出过程，实际负荷和主蒸汽压力的控制相互依赖、相互制约。

在火电单元机组的协调控制中，负荷指令信号与机组实际负荷的误差作用于汽机控制器，控制器根据误差信号以一定的控制算法产生控制信号进而改变气门开度，进而改变进气量使实际负荷迅速满足指令信号的要求；在汽机调节气门开度变化的同时，机前蒸汽压力也偏离其设定值，它们的差值经过锅炉控制器以一定的控制算法产生输出信号进而改变进入锅炉的燃料量，进而实现实际蒸汽压力满足指令信号。这种协调控制系统的负荷适应性好，适用于带变动负荷的调频机组，能够较快地满足电网的符合要求。但是上述协调控制系统无法保障闭环系统的稳定性，而且实际负荷和实际汽压的跟踪误差难以控制，无法保证火电机组的安全运行。

在这种技术背景下，本发明针对火电机组协调控制系统，给出了一种按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，使火电机组的实际负荷和实际汽压在控制过程中保持有界。采用这种控制不仅保证了

发明内容

本发明的目的是克服上述背景技术的不足，提供一种按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，具体由以下方案实现：

所述按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，包括如下步骤：

步骤1)建立火电机组协调控制系统状态方程，引入控制律τ₁、τ₂、状态变量x₁、x₂及控制输入u₁，u₂，并将所述火电机组协调控制系统状态方程转成状态变量x₁、x₂与控制律τ₁、τ₂的关系式；

步骤2)根据控制律τ₁和τ₂建立误差性能指标函数，并根据所述误差性能指标函数按设定的要求构建误差性能函数，得到跟踪误差的收敛集合；

步骤3)构建火电机组输出量的负反馈控制回路，所述负反馈控制回路通过滑模函数与误差性能函数得到实际的火电机组的输入控制律，负反馈控制回路根据所述输入控制律控制火电机组的实际负荷和实际汽压。

所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法的进一步设计在于，所述步骤1)中所述火电机组协调控制系统状态方程，如式(1)，

其中，nl表示火电机组的实际负荷；pr表示火电机组的实际汽压；rb表示锅炉的实际燃料量控制；ru表示汽机控制器的阀门开度控制；

状态变量x₁、x₂、控制输入u₁，u₂以及控制律τ₁、τ₂分别定义为： 令变换矩阵则式(1)转化为x＝Gu，根据变换式(1)转化为接着进行拉普拉斯反变换可以得到时域条件下的状态方程如下

其中，和分别表示状态变量x₁、x₂对时间的一阶导数，和分别表示状态变量x₁、x₂对时间的二阶导数。

所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法的进一步设计在于，所述步骤2)包括如下步骤：

1)取x₁的理想指令为x_1d，取x₂的理想指令为x_2d，则表示理想指令x_1d对时间求二阶导数，表示理想指令x_2d对时间求二阶导数，设定实际负荷和实际汽压的跟踪误差分别为e₁＝x₁-x_1d，e₂＝x₂-x_2d，设定误差e₁和e₂的误差性能指标函数如式(3)

并且有

其中，e₁(t)和e₂(t)分别为设定实际负荷和实际汽压的跟踪误差，其自变量均为时间t，λ₁(0)和λ₂(0)分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)的初始值，即时间t取零时的值，λ_1∞和λ_2∞分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)最终收敛值，l₁和l₂分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)的收敛速度；S₁(ε)和S₂(p)为需要选取的误差性能函数。

2)所述设定的要求为：误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)为光滑连续的单调递增函数，其中ε和p分别为两个函数的自变量；S₁(ε)和S₂(p)的值域为：-1＜S₁(ε)＜1，-1＜S₂(p)＜1；换言之，当自变量ε和p分别趋于无穷大时，误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)分别趋近于值域的上下界，表达式如下：lim_ε→+∞S₁(ε)＝1，lim_ε→-∞S₂(ε)＝-1，lim_p→+∞S₂(p)＝1，lim_p→-∞S₂(p)＝-1。

根据所述要求，误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)为双曲正切函数，如式(5)、(6)：

3)根据式(3)和式(4)，得到跟踪误差的收敛集合，如式(7)：

其中，集合Ξ₁表示误差e₁最终收敛到(-λ_1∞,λ_1∞)范围内，集合Ξ₂表示误差e₂最终收敛到(-λ_2∞,λ_2∞)范围内。

所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法的进一步设计在于，所述步骤3)中所述火电机组输出量为火电机组的实际负荷和实际气压。

所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法的进一步设计在于，所述步骤3)负反馈控制回路通过Matlab环境下的.m语言编程使滑模函数与误差性能函数得到实际的火电机组的输入控制律，实现火电机组输出量跟踪误差按设定的误差性能指标函数收敛，具体包括如下步骤：

步骤A)首先分析误差性能函数,根据双曲正切函数性质，函数S₁(ε)的反函数为

其中ln(·)表示对自变量求自然对数，S₁为所述误差性能函数S₁(ε)，λ₁表示满足式(4)的误差性能指标函数λ₁(t)，

将式(8)对时间求二阶导数，可得:

设定如下三个变量

则

其中表示理想指令x_1d对时间求二阶导数,

同理可得

其中表示将双曲正切函数S₂(p)的自变量p对时间求二阶导数，λ₂同样表示

满足式(4)的误差性能指标函数λ₂(t)，

取如下三个变量

则

其中表示理想指令x_2d对时间的二阶导数,

步骤B)选取滑模函数和其中参数c₁＝c₂＝1.5，然后分别对其求一阶时间导数可得： 令辅助变量u₁＝M₃τ₁，u₂＝M₆τ₂，则

步骤C)设计辅助变量u₁、u₂分别为：

其中，参数k₁＝k₂＝1.5，η₁＝η₂＝0.01,联合式(13)和式(14)可得：

则实际的火电机组的输入控制律为

τ₁＝u₁/M₃ (16)

τ₂＝u₂/M₆ (17)

本发明的有益效果为：

本发明针对火电机组协调控制系统模型，给出一种按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，用于控制火电机组的实际负荷和实际汽压。本发明的优点在于与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计时能够保证跟踪误差按一定规律收敛，使火电机组的实际负荷和实际汽压在控制过程中保持有界，实现输出信号的有界性，这种输出信号有界的控制方法在实际工程应用中能够保证火电机组的安全运行，对于实际生产有非常重要的应用价值。此外，采用这种控制还能够满足跟踪误差的快速收敛性，使输出变量快速跟踪到指令信号，并且保证了闭环系统的稳定性。

附图说明

图1为本发明闭环控制系统结构和组件连接关系示意图。

图2为本发明实施步骤流程框图。

图3为实际负荷跟踪误差及其误差性能指标函数效果示意图。

图4为实际负荷跟踪误差速度效果示意图。

图5为实际负荷跟踪及跟踪速度效果示意图。

图6为锅炉燃料量控制输入示意图。

图7为实际汽压跟踪误差及其误差性能指标函数效果示意图。

图8为实际汽压跟踪误差速度效果示意图。

图9为实际汽压跟踪及跟踪速度效果示意图。

图10为汽机控制输入示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本申请作进一步详细的说明。

如图2，本实施例的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法针对的火电机组协调控制系统是一个双输入双输出控制系统，采用负反馈的控制结构，输出量为火电机组的实际负荷和实际汽压,该双输入双输出控制系统主要包括控制回路(附图1中的控制器环节)和系统模型这两个部分，其结构布局情况参见图1，该方法具体步骤如下：

步骤1：火电机组协调控制系统分析及建模

火电机组协调控制系统状态方程如下：

nl表示火电机组的实际负荷；pr表示火电机组的实际汽压；rb表示锅炉的实际燃料量控制；ru表示汽机控制器的阀门开度控制

为了便于设计，分别定义状态变量x₁、x₂及控制输入u₁，u₂如下：

取

这时式(1)就可以写成

x＝Gu (2)

取如下变换

其中则

然后进行拉普拉斯反变换可以得到时域条件下的状态方程如下

其中，和分别表示状态变量x₁、x₂对时间的一阶导数，和分别表示状态变量x₁、x₂对时间的二阶导数。

步骤2：跟踪误差性能函数设计

下面的设计任务为设计控制律τ₁和τ₂，满足火电机组的跟踪误差按照指定的误差性能指标函数收敛，最终实现输出值范围的限定。

取x₁的理想指令为x_1d，取x₂的理想指令为x_2d，则实际负荷和实际汽压的跟踪误差分别为e₁＝x₁-x_1d，e₂＝x₂-x_2d，进而可以得到

取误差e₁和e₂的误差性能指标函数如下

其中，λ₁(0)和λ₂(0)分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)的初始值，即时间t取零时的值，λ_1∞和λ_2∞分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)最终收敛值，l₁和l₂分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)的收敛速度。并且有

这里，函数S₁(ε)和S₂(p)需要满足如下要求：

1.S₁(ε)和S₂(p)为光滑连续的单调递增函数；

2.S₁(ε)和S₂(p)的值域为：-1＜S₁(ε)＜1，-1＜S₂(p)＜1；

3.当自变量ε和p分别趋于无穷大时，误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)分别趋近于值域的上下界，表达式如下：lim_ε→+∞S₁(ε)＝1，lim_ε→-∞S₂(ε)＝-1，lim_p→+∞S₂(p)＝1，lim_p→-∞S₂(p)＝-1。

根据上述要求，设计误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)为双曲正切函数，表示如下：

由于-1＜S₁(ε)＜1，-1＜S₂(p)＜1，则根据λ₁(t)和λ₂(t)的定义，可得

即

-λ₁(t)＜e₁(t)＜λ₁(t),-λ₂(t)＜e₂(t)＜λ₂(t) (11)

从而得到跟踪误差的收敛集合为

其中，集合Ξ₁表示误差e₁最终收敛到(-λ_1∞,λ_1∞)范围内，集合Ξ₂表示误差e₂最终收敛到(-λ_2∞,λ_2∞)范围内。由此，通过对跟踪误差的限定，可以实现理想的输出，进而实现输出范围的限定。

步骤3：火电机组的滑模控制及系统稳定性分析

如图1所示，采用输出量(实际负荷和实际汽压)的负反馈控制结构。本实施例通过Matlab环境下的.m语言编程实现火电机组输出量跟踪误差按设定的误差性能指标函数收敛的结构和功能。

1)首先分析误差性能函数,根据双曲正切函数性质，函数S₁(ε)的反函数为

其中ln(·)表示对自变量求自然对数，此处的S₁就是前文定义的误差性能函数S₁(ε)，λ₁表示满足式(7)的误差性能指标函数λ₁(t)，此处为了推导简洁省略了自变量ε和t。

对式(13)分别对时间求一阶导数和二阶导数，如下所示

设定如下三个变量

则

其中表示理想指令x_1d对时间的二阶导数。

同理可得

其中表示将双曲正切函数S₂(p)的自变量p对时间求二阶导数，λ₂同样表示满足式(7)的误差性能指标函数λ₂(t)，此处为了推导简洁省略了自变量p和t。

取如下三个变量

则

其中表示理想指令x_2d对时间的二阶导数。

2)选取滑模函数和其中参数c1＝c2＝1.5，然后分别对其求一阶时间导数可得：

令辅助变量u₁＝M₃τ₁，u₂＝M₆τ₂，则

3)设计辅助变量为

其中，参数k₁＝k₂＝1.5,η₁＝η₂＝0.01，联合式(19)和式(20)可得：

则实际的火电机组的输入控制律为

τ₁＝u₁/M₃ (22)

τ₂＝u₂/M₆ (23)

4)分析系统稳定性，定义整个系统的李雅普诺夫函数如下：

对李雅普诺夫函数求一阶时间导数如下

其中参数k＝max[k₁,k₂]。

求解可得V(t)≤exp(-2k(t-t₀))V(t₀)，V(t)为指数收敛于零，σ₁和σ₂指数收敛于零，则ε和指数收敛于零，p和指数收敛于零。由于双曲正切函数为单调递增函数，S₁(ε)和S₂(p)有界且单调收敛于零，由式(7)可知，则跟踪误差e₁(t)和e₂(t)单调收敛于零,跟踪误差e₁(t)和e₂(t)的收敛范围取决于(11)。

根据双曲正切函数导数的性质，有 则和指数收敛于零，又因为指数收敛于零，λ₁指数收敛于λ_1∞，和都不是单调的指数收剑，所以为单调收敛于零，同理可证单调收敛于零。

以下给出本实施例的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法的仿真验证：

仿真验证用于检验该方法能否实现指定功能，通过适当调节控制参数，借助于常用的数值计算和控制系统仿真工具Matlab进行。参数c₁、c₂、k₁、k₂、η₁，η₂为调节参数。若跟踪误差过大，不满足设计要求，则可以调节以上参数使控制算法满足要求。

系统初始状态为[60 0 8 0]，理想负荷指令为100MW,理想汽压信号为10MPa，则e₁(0)＝x₁(0)-x_1d(0)＝-40，e₂(0)＝x₂(0)-x_2d(0)＝-2。误差指标函数取式(6)，取l₁＝2.5,l₂＝5.0，λ₁(0)＝60.55,λ₂(0)＝10.55，λ_1∞＝0.02,λ_2∞＝0.02，采用控制律式(20)，式(22)和式(23)，并通过式(3)转化为实际控制律，取c₁＝1.5,c₂＝1.5，k₁＝1.5，k₂＝1.5，η₁＝η₂＝0.01。

本实施例的方法的仿真效果参见图3-图10中，图中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图3-图6中纵坐标分别表示实际负荷的跟踪误差、实际负荷的跟踪误差速度、实际负荷跟踪和跟踪速度情况，以及锅炉燃料量控制输入，单位是分别是兆瓦、兆瓦每秒、兆瓦、兆瓦每秒和吨每时。图7-图10中纵坐标分别表示实际汽压的跟踪误差、实际汽压的跟踪误差速度、实际汽压跟踪和跟踪速度情况，以及汽机控制输入，单位是分别是兆帕、兆帕每秒、兆帕、兆帕每秒和百分号。

本实施例的设计过程重点考虑了三个方面的控制需求，分别为误差性能指标函数的选取，滑模控制律的设计及闭环系统的稳定性。围绕这三个方面，首先在上述第一步中确定了火电机组模型结构；第二步给出了误差性能指标函数的设计方法。第三步重点给出了滑模控制方法及系统的稳定性分析；第四步中主要通过理论仿真来验证设计方法的有效性；经上述各步骤后，设计结束。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (5)

1.一种按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤1)建立火电机组协调控制系统状态方程，引入控制律τ₁、τ₂、状态变量x₁、x₂及控制输入u₁，u₂，并将所述火电机组协调控制系统状态方程转成状态变量x₁、x₂与控制律τ₁、τ₂的关系式；

步骤2)根据控制律τ₁和τ₂建立误差性能指标函数，并根据所述误差性能指标函数按设定的要求构建误差性能函数，得到跟踪误差的收敛集合；

步骤3)构建火电机组输出量的负反馈控制回路，所述负反馈控制回路通过滑模函数与误差性能函数得到实际的火电机组的输入控制律，负反馈控制回路根据所述输入控制律控制火电机组的实际负荷和实际汽压。

2.根据权利要求1所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，其特征在于所述步骤1)中所述火电机组协调控制系统状态方程，如式(1)，

$\left[\begin{array}{c}nl\\ pr\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}rb\\ ru\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，nl表示火电机组的实际负荷；pr表示火电机组的实际汽压；rb表示锅炉的实际燃料量控制；ru表示汽机控制器的阀门开度控制；

状态变量x₁、x₂、控制输入u₁，u₂以及控制律τ₁、τ₂分别定义为： 令变换矩阵则式(1)转化为x＝Gu，根据变换式(1)转化为接着进行拉普拉斯反变换可以得到时域条件下的状态方程如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_1={\mathrm{\τ}}_1-{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{x}}_2={\mathrm{\τ}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}---\left(2\right)$

其中，和分别表示状态变量x₁、x₂对时间的一阶导数，和分别表示状态变量x₁、x₂对时间的二阶导数。

3.根据权利要求2所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，其特征在于所述步骤2)包括如下步骤：

1)取x₁的理想指令为x_1d，取x₂的理想指令为x_2d，则表示理想指令x_1d对时间求二阶导数，表示理想指令x_2d对时间求二阶导数，设定实际负荷和实际汽压的跟踪误差分别为e₁＝x₁-x_1d，e₂＝x₂-x_2d，设定误差e₁和e₂的误差性能指标函数如式(3)

$\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_1\left(t\right)=\left({\mathrm{\λ}}_1\left(0\right)-{\mathrm{\λ}}_{1\mathrm{\∞}}\right)\exp \left(-l_{1}t\right)+{\mathrm{\λ}}_{1\mathrm{\∞}}\\ {\mathrm{\λ}}_2\left(t\right)=\left({\mathrm{\λ}}_2\left(0\right)-{\mathrm{\λ}}_{2\mathrm{\∞}}\right)\exp \left(-l_{2}t\right)+{\mathrm{\λ}}_{2\mathrm{\∞}}\end{array}---\left(3\right)$

并且有

$\begin{array}{c}{e}_1\left(t\right)={\mathrm{\λ}}_1\left(t\right)S_1\left(\mathrm{\ϵ}\right)\\ e_2\left(t\right)={\mathrm{\λ}}_2\left(t\right)S_2\left(p\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中，e₁(t)和e₂(t)分别为设定实际负荷和实际汽压的跟踪误差，其自变量均为时间t，λ₁(0)和λ₂(0)分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)的初始值，即时间t取零时的值，λ_1∞和λ_2∞分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)最终收敛值，l₁和l₂分别为误差性能指标函数λ₁(t)和λ₂(t)的收敛速度；S₁(ε)和S₂(p)为需要选取的误差性能函数。

2)所述设定的要求为：误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)为光滑连续的单调递增函数，其中ε和p分别为两个函数的自变量；S₁(ε)和S₂(p)的值域为：-1＜S₁(ε)＜1，-1＜S₂(p)＜1；换言之，当自变量ε和p分别趋于无穷大时，误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)分别趋近于值域的上下界，表达式如下：lim_ε→+∞S₁(ε)＝1，lim_ε→-∞S₂(ε)＝-1，lim_p→+∞S₂(p)＝1，lim_p→-∞S₂(p)＝-1。

根据所述要求，误差性能函数S₁(ε)和S₂(p)为双曲正切函数，如式(5)、(6)：

$S_1\left(\mathrm{\ϵ}\right)=\frac{\exp \left(\mathrm{\ϵ}\right)-\exp (-\mathrm{\ϵ})}{\exp \left(\mathrm{\ϵ}\right)+\exp (-\mathrm{\ϵ})}---\left(5\right)$

$S_2\left(p\right)=\frac{\exp \left(p\right)-\exp (-p)}{\exp \left(p\right)+\exp (-p)}---\left(6\right)$

3)根据式(3)和式(4)，得到跟踪误差的收敛集合，如式(7)：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Xi;}}_1=\left\{e_1\&Element;R:\left|e_1\left(t\right)\right|<{\mathrm{\&lambda;}}_{1\mathrm{\&infin;}}\right\}\\ {\mathrm{\&Xi;}}_2=\left\{e_2\&Element;R:\left|e_2\left(t\right)\right|<{\mathrm{\&lambda;}}_{2\mathrm{\&infin;}}\right\}\end{array}---\left(7\right)$

其中，集合Ξ₁表示误差e₁最终收敛到(-λ_1∞,λ_1∞)范围内，集合Ξ₂表示误差e₂最终收敛到(-λ_2∞,λ_2∞)范围内。

4.根据权利要求3所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，其特征在于所述步骤3)中所述火电机组输出量为火电机组的实际负荷和实际气压。

5.根据权利要求4所述的按设定误差性能指标函数收敛的火电机组协调控制方法，其特征在于所述步骤3)负反馈控制回路通过Matlab环境下的.m语言编程使滑模函数与误差性能函数得到实际的火电机组的输入控制律，实现火电机组输出量跟踪误差按设定的误差性能指标函数收敛，具体包括如下步骤：

步骤A)首先分析误差性能函数,根据双曲正切函数性质，函数S₁(ε)的反函数为

$\mathrm{\&epsiv;}=\frac{1}{2}ln\frac{1+S_1}{1-S_1}=\frac{1}{2}ln\frac{1+\frac{e_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}}{1-\frac{e_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}}=\frac{1}{2}\left(ln\right({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1)-ln({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1\left)\right)---\left(8\right)$

其中ln(·)表示对自变量求自然对数，S₁为所述误差性能函数S₁(ε)，λ₁表示满足式(4)的误差性能指标函数λ₁(t)，

将式(8)对时间求二阶导数，可得:

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1\left({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1\right)-{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right)}^2}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1\right)}^2}-\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1\left({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1\right)-{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right)}^2}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1\right)}^2}+\left(\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1\right)}^2}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1\right)}^2}\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1---\left(9\right)$

设定如下三个变量

$M_1=\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1)-{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1)}^2}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1)}^2},M_2=-\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1)-{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1)}^2}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1)}^2},$

$M_3=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_1+e_1)}^2}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_1-e_1)}^2}$

则

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=M_1+M_2+M_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1=M_1+M_2+M_3({\mathrm{\&tau;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d})---\left(10\right)$

其中表示理想指令x_1d对时间求二阶导数,

同理可得

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}=\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2\left({\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2\right)-{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2\right)}^2}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2\right)}^2}-\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2\left({\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2\right)-{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2\right)}^2}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2\right)}^2}+\left(\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2\right)}^2}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2}{2{\left({\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2\right)}^2}\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_2---\left(11\right)$

其中表示将双曲正切函数S₂(p)的自变量p对时间求二阶导数，λ₂同样表示

满足式(4)的误差性能指标函数λ₂(t)，

取如下三个变量

$M_4=\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2)-{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2)}^2}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2)}^2},M_5=-\frac{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2({\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2)-{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&lambda;}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2)}^2}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2)}^2},$

$M_6=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_2+e_2)}^2}+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2}{2{({\mathrm{\&lambda;}}_2-e_2)}^2}$

则

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{p}=M_4+M_5+M_6{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_2=M_4+M_5+M_6({\mathrm{\&tau;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{2d})---\left(12\right)$

其中表示理想指令x_2d对时间的二阶导数,

步骤B)选取滑模函数和其中参数c₁＝c₂＝1.5，然后分别对其求一阶时间导数可得： 令辅助变量u₁＝M₃τ₁，u₂＝M₆τ₂，则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_1=M_1+M_2+u_1-M_3{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-M_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_2=M_4+M_5+u_2-M_6{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-M_6{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{2d}+c_2\stackrel{\&CenterDot;}{p}\end{array}---\left(13\right)$

步骤C)设计辅助变量u₁、u₂分别为：

$\begin{array}{c}{u}_1=-M_1-M_2+M_3{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1+M_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-c_1\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}-k_1{\mathrm{\&sigma;}}_1-{\mathrm{\&eta;}}_1\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&sigma;}}_1\right)\left|M_3\right|\\ u_2=-M_4-M_5+M_6{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2+M_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{2d}-c_2\stackrel{\&CenterDot;}{p}-k_2{\mathrm{\&sigma;}}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&sigma;}}_2\right)\left|M_6\right|\end{array}---\left(14\right)$

其中，参数k₁＝k₂＝1.5，η₁＝η₂＝0.01,联合式(13)和式(14)可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_1=-k_1{\mathrm{\&sigma;}}_1-{\mathrm{\&eta;}}_1\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&sigma;}}_1\right)\left|M_3\right|\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_2=-k_2{\mathrm{\&sigma;}}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2\mathrm{sgn}\left({\mathrm{\&sigma;}}_2\right)\left|M_6\right|\end{array}---\left(15\right)$

则实际的火电机组的输入控制律为

τ₁＝u₁/M₃ (16)

τ₂＝u₂/M₆ (17)。