CN106527122A - 平流层飞艇定高飞行非线性pid控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，通过测量飞艇高度与垂向速度，计算高度误差与误差积分，形成高度误差PID控制信号；采用Sigmoid函数与柔化函数分别进行调制并叠加形成最终的期望俯仰角指令信号；根据飞艇俯仰通道的微分方程所建立的数学模型，近似模拟飞艇俯仰通道的特性；将得的期望俯仰角指令信号，通过俯仰角跟踪控制器形成俯仰角舵偏控制量，通过不断调整控制参数，观测飞艇高度变化的数据曲线，分析定高飞行的动态响应，最终确定一组飞艇定高飞行的控制方案参数，使得飞艇定高飞行具有满意的动态响应与稳态响应性能。具有PID控制所不具有的抗饱和特性，又保留PID控制的优点。

Description

平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法

技术领域

本发明属于飞行器控制技术领域，涉及一种基于Sigmoid函数和柔化函数调制的平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法。

背景技术

飞行在平流层高度的自主飞艇，由于具有广阔的军事和民用应用前景，受到了国内外学者和工程技术人员的高度重视。飞艇的高度控制回路设计是基于内回路姿态角跟踪回路已设计完好的基础上进行的。

目前广泛采用的从高度误差到姿态角期望信号的转换还是PID控制，但该方法的主要问题是在大范围高度控制情况下，参数调整需要预先设定，难以做到一套参数对所有期望高度都适合。同时高度控制的快速性问题也难以保证。尤其是其难以保证生成期望俯仰角信号符合较强的物理意义，如PID控制参数选取过小，则生成的期望俯仰角信号过小是的高度控制的快速性不足，而如果PID控制参数选取过大，则得到的期望俯仰角信号过大，容易超出飞艇在短时间内所能达到的俯仰角的最大值限制，也就是会产生饱和问题。

发明内容

为实现上述目的，本发明提供一种平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，采用PID信号进行Sigmoid函数调制与柔化函数调制，利用这两类函数的有界性实现指令的抗饱和特性，同时又能较好地保持PID控制的优点。

本发明所采用的技术方案是，平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，按照以下步骤进行：

步骤一：飞艇高度与垂向速度的测量、高度误差与误差积分的生成，并形成高度误差PID控制信号；

步骤二：采用Sigmoid函数与柔化函数分别进行调制并叠加形成最终的期望俯仰角指令信号；

步骤三：利用计算机，根据飞艇俯仰通道的微分方程所建立的数学模型，近似模拟飞艇俯仰通道的特性；

步骤四：将得的期望俯仰角指令信号，通过俯仰角跟踪控制器形成俯仰角舵偏控制量，并将该舵偏控制量代入步骤三所建立的数学模型，通过不断调整控制参数，并观察飞艇各状态的数据并画图，观测飞艇高度变化的数据曲线，分析定高飞行的动态响应，从而最终确定一组飞艇定高飞行的控制方案参数，使得飞艇定高飞行具有满意的动态响应与稳态响应性能。

进一步的，所述步骤一具体按照以下步骤进行：

首先，由飞艇上高度表测量飞艇的实时高度，记为z，并通过A/D转换传递给艇上计算机，通过和期望高度信号的比较，生成高度误差信号，其中期望高度信号记为z^d，高度误差信号记为e_z，其满足e_z＝z-z^d；

其次，采用垂直速度传感器测量飞艇的垂向速度，记为w，并通过A/D转换传递给艇上计算机作为误差微分信号，该信号作为误差微分信号的原因在于误差微分信息其中定高飞行时期望高度为常值，故(为期望高度z^d的导数，由于其一般为常值，因此导数为0)，故有即可由测量的垂向速度信号w代替误差微分信号；

再次，由上述高度误差信号，在艇上计算机中生成误差积分信号Ω，其定义如下：

Ω＝∫e_zdt

其中，t的含义是飞行时间；

最终，构成高度误差的PID控制信号：

u_pid＝c_ze_z+c_zsΩ+w

或记为如下形式：

其中，c_z为比例系数，c_zs为积分系数，微分系数固定为1。

进一步的，所述步骤二具体按照以下步骤进行：

首先，将PID控制信号采用Sigmoid函数调制得到信号M₁，其表达式为

其中中e为指数函数，τ为正常数，初步选取为τ＝0.2，u_pid为PID控制信号；

其次，将PID控制信号采用如下柔化函数调制得到信号M₂，其表达式为

其中ε为柔化系数，选取为正常数，初步选取为；

最后，信号M₁与信号M₂叠加，构造期望俯仰角信号θ^d如下：

θ^d＝-k_z1M₁-k_z2M₂

k_z1、k_z2为控制参数，选取为正常数。

进一步的，所述步骤三具体按照以下步骤进行：

飞艇俯仰通道的数学模型如下：

其中，u₁为飞艇俯仰舵偏角，用于稳定与控制飞艇的俯仰姿态角；u₂为飞艇的发动机推力，用于提高飞艇向前的飞行速度；f₁-f₆仅为变量，无物理含义，表达数为；

而a₁₁,a₁₃,a₂₂,a₃₁,a₃₃为飞艇质量分布与转动惯量相关的参数，其计算方法通过下面M的逆

阵获得，即满足

而M矩阵有飞艇的质量与转动惯量所决定，其求取方法如下：

I₃为3阶单位矩阵；

其中，M₃是为M的子矩阵，用于计算M；m为飞艇的质量，a_z为飞艇结构参数，a_z＝16.8，m₁₁、m₃₃、m₅₅分别飞艇在不同方向的质量分布系数决定的参数，由飞艇质量分布与转动惯量所决定：m₁₁＝k_m1M_r，m₃₃＝k_m2M_r，m₅₅＝k_m3I_y，其中k_m1＝0.1053；k_m2＝0.8260；k_m3＝0.1256；km₁、k_m2、k_m3含义是飞艇的x，y，z三个方向的质量分布系数；I_y为飞艇沿y轴方向的转动惯量，M_r是飞艇所排开气体的质量，M_r＝ρV，其中ρ为大气密度，V为飞艇的体积；

Q为动压头，其计算方法为Q＝0.5ρV_f ²；V_f为飞艇的运动速度；

为飞艇的前向飞行加速度；u为艇体坐标系中飞艇的前向飞行速度；

为飞艇的垂向飞行加速度；w为艇体坐标系中飞艇的垂向飞行速度；

为飞艇的俯仰角加速度；q为飞艇的俯仰角速度；

为飞艇的俯仰角速度，θ为飞艇的俯仰角；

为发射坐标系中飞艇的前向飞行速度；x为飞艇的前向飞行距离；

为发射坐标系中飞艇的垂向飞行速度；z为飞艇的飞行高度；

α含义是为飞艇向前与向上速度所形成的夹角；

k_g1与k_g2为舵效常数，为空气动力学系数，其数据来自于飞艇风洞试验；

C_X1、C_X2、C_z1、C_z2与C_z3为飞艇受力相关的空气动力系数，C_M1、C_M2、C_M1为飞艇受力矩相关的空气动力系数；

针对上述复杂模型的分析，简化为如下一阶模型：

其中飞艇俯仰通道姿态稳定控制的设计是通过设计飞艇俯仰舵偏角u₁来控制飞艇的俯仰角θ跟踪期望的姿态角指令θ^d。

本发明的有益效果：通过测量飞艇的当前高度，采用计算机解算出飞艇实时高度与期望高度的误差信号，并测量垂向速度作为误差微分信号，再由高度误差信号生成误差积分信号，得到上述误差的PID(比例-积分-微分)控制信号，最后将该PID信号通过Sigmoid函数与柔化函数的调制得到最终的非线性改进PID控制信号，把该改进PID控制信号作为飞艇俯仰角指令信号，再由飞艇俯仰角跟踪控制器实现对该指令跟踪，当俯仰角跟踪上期望俯仰角指令信号时，即实现了飞艇俯仰通道按照给定高度飞行的控制目的。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明提供的一种基于Sigmoid函数和柔化函数调制的平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法原理图；

图2是本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的前向运动速度曲线；

图3是本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的垂向运动速度曲线；

图4是本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的俯仰角小幅波动曲线；

图5是本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的俯仰角速率曲线；

图6是本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的水平飞行距离曲线；

图7为本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的飞行高度曲线；

图8为本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的俯仰舵偏曲线；

图9是本发明实施例提供的500米定高飞行情况下的飞艇的俯仰角期望值图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明原理如图1所示，具体按照以下步骤进行：

步骤一：飞艇高度与垂向速度的测量、高度误差与误差积分的生成，并形成高度误差PID控制信号；

首先，由飞艇上高度表测量飞艇的实时高度，记为z，并通过A/D转换传递给艇上计算机，通过和期望高度信号的比较，生成高度误差信号，其中期望高度信号记为z^d，高度误差信号记为e_z，其满足e_z＝z-z^d；

其次，采用垂直速度传感器测量飞艇的垂向速度，记为w，并通过A/D转换传递给艇上计算机作为误差微分信号。该信号可作为误差微分信号的原因在于误差微分信息其中定高飞行时期望高度为常值，故故有即可由测量的垂向速度信号w代替误差微分信号。

再次，由上述高度误差信号，在艇上计算机中生成误差积分信号Ω，其定义如下：

Ω＝∫e_zdt

其中，t的含义是飞行时间；

最终，构成高度误差的PID控制信号：

u_pid＝c_ze_z+c_zsΩ+w

也可记为如下形式：

注意，本发明不同于一般PID控制的是在此处，该PID控制信号中仅需要设计两个参数，即设计比例系数c_z与积分系数c_zs，而微分系数固定为1。

步骤二：采用Sigmoid函数与柔化函数分别进行调制并叠加形成最终的期望俯仰角指令信号；

首先，将上述PID控制信号采用Sigmoid函数调制得到信号M₁，其表达式为

其中中e为指数函数，τ为正常数，可初步选取为τ＝0.2，详细参数调整见实施例。u_pid为步骤一中最终所得到的PID控制信号。

其次，将上述PID控制信号采用如下柔化函数调制得到信号M₂，其表达式为

其中ε为柔化系数，可选取为正常数。可初步选取为ε＝1，详细参数调整见实施例。

最后，通过上述两信号的叠加，构造期望俯仰角信号θ^d如下：

θ^d＝-k_z1M₁-k_z2M₂

k_z1、k_z2为控制参数，可选取为正常数。其具体选取见实施例。

由于M₁＜1，M₂＜1，显然有θ^d≤k_z1+k_z2，故如果在飞艇定高飞行中，要求俯仰角最大不超过25度，则可选取参数k_z1、k_z2满足k_z1+k_z2≤25/57.3来实现俯仰角指令的限幅功能，其中57.3为度到弧度的转换。显然该限幅不同于采用饱和环节进行限幅，因为该限幅是采用柔化函数与Sigmoid函数实现的，故该限幅过程是渐进和柔化的。因此本发明方法具有较好的抗饱和效果。

步骤三：利用计算机，根据如下飞艇俯仰通道的微分方程所建立的数学模型，近似模拟飞艇俯仰通道的特性。

为了确保上述步骤一至步骤二中控制器的参数选取合理，可用通过计算机模拟仿真的手段进行编程，从而进行参数调整。其中飞艇俯仰通道的数学模型如下：

其中，f₁-f₆仅为变量，无物理含义，表达数如下文；

u₁为飞艇俯仰舵偏角，用于稳定与控制飞艇的俯仰姿态角。

u₂为飞艇的发动机推力，用于提高飞艇向前的飞行速度。

而a₁₁,a₁₃,a₂₂,a₃₁,a₃₃为飞艇质量分布与转动惯量相关的参数，其计算方法通过下面M的逆阵获得，即满足

而M矩阵有飞艇的质量与转动惯量所决定，其求取方法如下：

I₃为3阶单位矩阵。

其中，M₃是为M的子矩阵，用于计算M，m为飞艇的质量，a_z为飞艇结构参数，为常量；如某型飞艇可选为m＝53345；a_z＝16.8(取值一直不变)，m₁₁、m₃₃、m₅₅分别飞艇在不同方向的质量分布系数决定的参数，由飞艇质量分布与转动惯量所决定：m₁₁＝k_m1M_r，m₃₃＝k_m2M_r，m₅₅＝k_m3I_y，其中k_m1＝0.1053；k_m2＝0.8260；k_m3＝0.1256。km₁、k_m2、k_m3的含义是飞艇的x，y，z三个方向的质量分布系数；如某型飞艇参数设计为I_y＝5.9*10⁹(I_y为飞艇沿y轴方向的转动惯量)，以上单位均为国际标准单位。M_r含义是飞艇所排开气体的质量，M_r＝ρV，其中ρ为大气密度，V为飞艇的体积。

Q为动压头，其计算方法为Q＝0.5ρV_f ²；V_f为飞艇的运动速度。

为飞艇的前向飞行加速度；u为艇体坐标系中飞艇的前向飞行速度；

为飞艇的垂向飞行加速度；w为艇体坐标系中飞艇的垂向飞行速度；

为飞艇的俯仰角加速度；q为飞艇的俯仰角速度；

为飞艇的俯仰角速度，θ为飞艇的俯仰角；

为发射坐标系中飞艇的前向飞行速度；x为飞艇的前向飞行距离；

为发射坐标系中飞艇的垂向飞行速度；z为飞艇的飞行高度；

α含义是为飞艇向前与向上速度所形成的夹角；

k_g1与k_g2为舵效常数，为空气动力学系数，其数据来自于飞艇风洞试验。

C_X1、C_X2、C_z1、C_z2与C_z3为飞艇受力相关的空气动力系数，C_M1、C_M2、C_M1为飞艇受力矩相关的空气动力系数，各型飞艇的计算方式略有不同，其数据来自于飞艇的风洞实验数据，非本发明所保护与所讨论的内容，故不详细累述。

针对上述复杂模型的分析，可以简化为如下一阶模型：

其中飞艇俯仰通道姿态稳定控制的设计是通过设计u₁来控制飞艇的俯仰角θ跟踪期望的姿态角指令θ^d，有关姿态稳定控制器的设计在此不再详细讨论，非本专利的核心内容，本发明是在上述姿态稳定控制器设计完成的基础上进行的。

根据上述简化的一阶模型，本发明的基本思想是根据高度误差信号生成期望的姿态角指令θ^d。

步骤四：将步骤一至步骤二所得的俯仰角期望指令，通过俯仰角跟踪控制器形成俯仰角舵偏控制量，并将该舵偏控制量代入步骤三所建立的模型，通过不断调整控制参数，并观察飞艇各状态的数据并画图，尤其是观测飞艇高度变化的数据曲线，分析定高飞行的动态响应，从而最终确定一组飞艇定高飞行的控制方案参数，使得飞艇定高飞行具有满意的动态响应与稳态响应性能。

实施例

首先采用PID控制规律，设定飞艇的俯仰角稳定控制器，也可采用其它控制规律设计俯仰角稳定控制器，实现飞艇姿态稳定的控制功能，在此不再详细阐述姿态稳定控制器的设计，主要是由于本发明的核心技术在于高度指令的生成，因此本发明的讨论是在默认姿态稳定控制器设计完好的基础上进行的，故此处仅以PID姿态稳定控制为例，以完成高度控制的示例。

在上述姿态稳定控制器设计完好的基础上，设定飞艇初始高度为0米，初始速度为0m/s，假设期望的给定高度为500米。并设置发动机推力为常值u₂＝8000，飞艇最终稳定的前向飞行速度为25m/s左右。

则按照上述步骤一至步骤二，最终选取方案参数为c_z＝0.06,c_zs＝0.01，ξ＝10，τ＝0.5，k_z1＝5.5/57.3,k_z2＝5/57.3，则最终得到的期望俯仰角指令能够满足小于10.5度的要求。

最终得到的期望俯仰角信号如下：

θ^d＝-k_z1M₁-k_z2M₂

代入俯仰角跟踪控制器并形成舵偏角信号，输入给步骤三中模型，得到的结果如图2至图8所示。

通过以上仿真结果与曲线可以看出，图9所示的期望俯仰角指令确实满足其小于10.5度的饱含限制，也就是最大高度误差情况下，生成的期望俯仰角指令也不超过设定的饱含限制，故该优点是一般PID控制所不具备的。而由图7高度曲线可以看出最终高度能稳定在500米，形成直线，故本发明方法又能保留PID控制的部分优点，具有较好的控制精度。因此本发明具有很好的实用价值，也能推广应用于飞艇之外的其它飞行器的高度控制中。

本文的特点是通过测量飞艇的当前高度，采用计算机解算出飞艇实时高度与期望高度的误差信号，并测量垂向速度作为误差微分信号，再由高度误差信号生成误差积分信号，得到上述误差的PID(比例-积分-微分)控制信号，最后将该PID信号通过Sigmoid函数与柔化函数的调制得到最终的非线性改进PID控制信号，该信号作为飞艇俯仰角指令信号，再由飞艇俯仰角跟踪控制器实现对该指令跟踪，当俯仰角跟踪上期望指令信号时，即实现了飞艇俯仰通道按照给定高度飞行。

本发明一种平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，默认飞艇姿态稳定控制器已完成设计。同时本发明不同于传统的飞艇高度PID控制器的地方在于提出了一类新颖的非线性Sigmoid函数与柔化函数调制技术，使得本方法具有PID控制所不具有的抗饱和特性，同时由于本方法是由PID控制信号调制产生，因此其又能保留PID控制的优点。所以本发明不仅在方法上有较大的创新，而且还有很高的工程实用价值。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，其特征在于，按照以下步骤进行：

步骤一：飞艇高度与垂向速度的测量、高度误差与误差积分的生成，并形成高度误差PID控制信号；

步骤二：采用Sigmoid函数与柔化函数分别进行调制并叠加形成最终的期望俯仰角指令信号；

步骤三：利用计算机，根据飞艇俯仰通道的微分方程所建立的数学模型，近似模拟飞艇俯仰通道的特性；

步骤四：将得的期望俯仰角指令信号，通过俯仰角跟踪控制器形成俯仰角舵偏控制量，并将该舵偏控制量代入步骤三所建立的数学模型，通过不断调整控制参数，并观察飞艇各状态的数据并画图，观测飞艇高度变化的数据曲线，分析定高飞行的动态响应，从而最终确定一组飞艇定高飞行的控制方案参数，使得飞艇定高飞行具有满意的动态响应与稳态响应性能。

2.根据权利要求1所述的平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，其特征在于，所述步骤一具体按照以下步骤进行：

首先，由飞艇上高度表测量飞艇的实时高度，记为z，并通过A/D转换传递给艇上计算机，通过和期望高度信号的比较，生成高度误差信号，其中期望高度信号记为z^d，高度误差信号记为e_z，其满足e_z＝z-z^d；

其次，采用垂直速度传感器测量飞艇的垂向速度，记为w，并通过A/D转换传递给艇上计算机作为误差微分信号，该信号作为误差微分信号的原因在于误差微分信息其中定高飞行时期望高度为常值，故期望高度信号z^d的导数故有即可由测量的垂向速度信号w代替误差微分信号；

再次，由上述高度误差信号，在艇上计算机中生成误差积分信号Ω，其定义如下：

Ω＝∫e_zdt

其中，t的含义是飞行时间；

最终，构成高度误差的PID控制信号：

u_pid＝c_ze_z+c_zsΩ+w

或记为如下形式：

$u_{pid}=c_z{e}_z+c_{zs}{\∫}_0^t{e}_{z}dt+{\stackrel{\·}{e}}_z$

其中，c_z为比例系数，c_zs为积分系数，微分系数固定为1。

3.根据权利要求2所述的平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，其特征在于，所述步骤二具体按照以下步骤进行：

首先，将PID控制信号采用Sigmoid函数调制得到信号M₁，其表达式为

$M_1=\frac{1-e^{-{\mathrm{\τu}}_{pid}}}{1+e^{-{\mathrm{\τu}}_{pid}}}$

其中中e为指数函数，τ为正常数，初步选取为τ＝0.2，u_pid为PID控制信号；

其次，将PID控制信号采用如下柔化函数调制得到信号M₂，其表达式为

$M_2=\frac{u_{pid}}{\left|u_{pid}\right|+\mathrm{\ϵ}}$

其中ε为柔化系数，选取为正常数，初步选取为；

最后，信号M₁与信号M₂叠加，构造期望俯仰角信号θ^d如下：

θ^d＝-k_z1M₁-k_z2M₂

k_z1、k_z2为控制参数，选取为正常数。

4.根据权利要求3所述的平流层飞艇定高飞行非线性PID控制方法，其特征在于，所述步骤三具体按照以下步骤进行：

飞艇俯仰通道的数学模型如下：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{u}\\ \stackrel{\·}{w}\\ \stackrel{\·}{q}\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{f}_1+a_{13}{f}_3\\ a_{22}{f}_2\\ a_{31}{f}_1+a_{33}{f}_3\\ f_4\\ f_5\\ f_6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{u}_2+a_{13}{k}_{g2}{u}_1\\ a_{22}{k}_{g1}{u}_1\\ a_{31}{u}_2+a_{33}{k}_{g2}{u}_1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

其中，u₁为飞艇俯仰舵偏角，用于稳定与控制飞艇的俯仰姿态角；u₂为飞艇的发动机推力，用于提高飞艇向前的飞行速度；f₁-f₆仅为变量，无物理含义，表达数为；

$\left[\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ f_3\\ f_4\\ f_5\\ f_6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-(m+m_{33})wq+Q\[C_{X1}{\cos }^2\mathrm{\α}+C_{X2}sin\left(2\mathrm{\α}\right)sin(\mathrm{\α}/2)\\ (m+m_{11})qu+{\mathrm{ma}}_z{q}^2+Q\[C_{z1}\cos (\mathrm{\α}/2)\sin \left(2\mathrm{\α}\right)+C_{z2}\sin \left(2\mathrm{\α}\right)+C_{z3}\sin \left(\mathrm{\α}\right)\sin \left(\right|\mathrm{\α}\left|\right)\]\\ Q\[C_{M1}\cos (\mathrm{\α}/2)\sin \left(2\mathrm{\α}\right)+C_{M2}\sin \left(2\mathrm{\α}\right)+C_{M3}\sin \left(\mathrm{\α}\right)\sin \left(\right|\mathrm{\α}\left|\right)\]-a_{z}w\sin \mathrm{\θ}\\ q\\ u\cos \mathrm{\θ}+w\sin \mathrm{\θ}\\ -u\sin \mathrm{\θ}+w\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]$

而a₁₁,a₁₃,a₂₂,a₃₁,a₃₃为飞艇质量分布与转动惯量相关的参数，其计算方法通过下面M的逆阵获得，即满足

$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& & a_{13}& & & \\ & a_{22}& & & & \\ a_{31}& & a_{33}& & & \\ & & & 1& & \\ & & & & 1& \\ & & & & & 1\end{array}\right]=M^{-1}$

而M矩阵有飞艇的质量与转动惯量所决定，其求取方法如下：

I₃为3阶单位矩阵；

其中，M₃为M的子矩阵，用于计算M；m为飞艇的质量，a_z为飞艇结构参数，a_z＝16.8，m₁₁、m₃₃、m₅₅分别飞艇在不同方向的质量分布系数决定的参数，由飞艇质量分布与转动惯量所决定：m₁₁＝k_m1M_r，m₃₃＝k_m2M_r，m₅₅＝k_m3I_y，其中k_m1＝0.1053；k_m2＝0.8260；k_m3＝0.1256；km₁、k_m2、k_m3含义是飞艇的x，y，z三个方向的质量分布系数；I_y为飞艇沿y轴方向的转动惯量，M_r是飞艇所排开气体的质量，M_r＝ρV，其中ρ为大气密度，V为飞艇的体积；

Q为动压头，其计算方法为Q＝0.5ρV_f ²；V_f为飞艇的运动速度；

为飞艇的前向飞行加速度；u为艇体坐标系中飞艇的前向飞行速度；

为飞艇的垂向飞行加速度；w为艇体坐标系中飞艇的垂向飞行速度；

为飞艇的俯仰角加速度；q为飞艇的俯仰角速度；

为飞艇的俯仰角速度，θ为飞艇的俯仰角；

为发射坐标系中飞艇的前向飞行速度；x为飞艇的前向飞行距离；

为发射坐标系中飞艇的垂向飞行速度；z为飞艇的飞行高度；

α含义是为飞艇向前与向上速度所形成的夹角；

k_g1与k_g2为舵效常数，为空气动力学系数，其数据来自于飞艇风洞试验；

C_X1、C_X2、C_z1、C_z2与C_z3为飞艇受力相关的空气动力系数，C_M1、C_M2、C_M1为飞艇受力矩相关的空气动力系数；

针对上述复杂模型的分析，简化为如下一阶模型：

$\stackrel{\·}{z}=-usin\mathrm{\θ}+-wcos\mathrm{\θ}$

其中飞艇俯仰通道姿态稳定控制的设计是通过设计飞艇俯仰舵偏角u₁来控制飞艇的俯仰角θ跟踪期望的姿态角指令θ^d。