CN106405702A - 一种基于Rudin‑Shapiro非周期序列的波带片构造方法及波带片 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Rudin‑Shapiro非周期序列的波带片构造方法及波带片，将第零级RS序列D₀分别用字母A，B，C，D表示；基于初始种子，按照以下规则变换生成后续的每一级RS序列：A→AB，B→AC，C→DB，D→DC，直至生成第S级RS序列D_S；对D_S进一步按照以下规则替换：{A,B}→A和{C,D}→B，即将A和B出现的地方全部替换为A，C和D出现的地方全部替换为B；得到更新的D_S；将更新的第S级RS序列D_S的各个字母由内而外依次映射到波带片圆环上，D_S中字母A代表透明区域，B代表不透明区域，构造出对应的RS波带片。本发明构造的RS波带片成像色差小。

Description

一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法及波 带片

技术领域

本发明涉及一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法及波带片。

背景技术

光学波带片由透明和不透明圆环交替组成，它能产生一个主焦点和许多次焦点。光学波带片在最近几十年有许多新的应用[1‐3]，例如，太赫兹成像[4]，X射线显微镜[5]，眼科学[6]，光学数据读写技术[7]，光筛[8]，光镊[9,10]等。

近年来，不同于菲涅尔波带片[11]，许多数学非周期序列被用于产生新的波带片，这种波带片有特殊聚焦性质。其中最典型的为分形波带片[3]，Fibonacci(Fi)波带片[12]，和Thue‐Morse(TM)波带片[13]。分形波带片的聚焦光场分布为分形分布，除了主焦点之外，还分布有一系列的次级焦点，呈自相似分布[14,15]。利用分形波带片能利用扩展焦深的自相似多焦点提升图像质量，虽然其相比于菲涅尔波带片色差有所减小[16]，但是，其在白光照射下仍有较大的色差。Fi波带片通过特定的斐波纳契数来确定双焦点的位置，由于它的双焦点并不是自相似的，因此，利用它成像会有高的色差[12,17]。TM波带片[13,18]充分吸取了分形波带片和Fi波带片的优点，如降低色差和双焦点，但是，它的双焦点沿着轴向是对称分布的，而且轴向焦点的强度和分辨率太低。

现有技术中提出了许多减小色差的方法，例如，将不同级次的波带片中心区域和外围区域进行混合产生混合波带片，不仅可产生缓慢的色度变化，并且能增加焦点的光强[18,19]。另一种方法是通过魔鬼阶梯序列产生阶梯相位分布的魔鬼棱镜[20]，它能减少图像的色差，并且大幅度提高光强。但是，混合波带片和魔鬼棱镜的焦点在色度图上对应的色差点仍然与理想白点(色度图上多色聚集点，是色差最低点)有一定的距离，即这两种方法仍然存在较大的成像色差。

因此，有必要设计一种成像色差更小的的波带片构造方法及波带片。

发明内容：

本发明所解决的技术问题是，针对现有技术的不足，提出一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法及波带片，本发明构造的RS波带片可对入射光束在光轴方向产生一系列聚焦焦点,且产生的一系列焦点具有好的多色性，成像色差小。

本发明的技术方案为：

一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法，包括以下步骤：

步骤1：将Rudin-Shapiro非周期序列，即RS序列的四个初始种子，即第零级RS序列D₀分别用字母A，B，C，D表示；基于初始种子，按照以下规则变换生成后续的每一级RS序列：A→AB，B→AC，C→DB，D→DC，直至生成第S级RS序列D_S。

步骤2：对D_S进一步按照以下规则替换：{A,B}→A和{C,D}→B，即将A和B出现的地方全部替换为A，C和D出现的地方全部替换为B；得到更新的D_S。

例如：第零级RS序列D₀为A，则更新的第一级RS序列D₁为AA，第二级RS序列D₂为AAAB，第三级RS序列D₃为AAABAABA，第四级RS序列D₄为AAABAABAAAABBBAB等等。通过这种方式变换，并简化得到双字母变换规则，原来的替换规则可变换为：AA→AAAB，AB→AABA，BA→BBAB，BB→BBBA；由更新的第一级RS序列D₁及上述简化得到的双字母变换规则，可直接得到更新的第S级RS序列D_S。

步骤3：将更新的第S级RS序列D_S的各个字母由内而外依次映射到波带片圆环上，D_S中字母A代表透明区域，B代表不透明区域，构造出对应的RS波带片。

所述步骤3通过传输函数q(ζ)实现，即基于更新的第S级RS序列D_S，通过传输函数q(ζ)构造出对应的波带片：

首先，以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x，y)，计算其与圆心的距离再将r与波带片最外环半径a的平方之比，即r的平方的归一化值记为ζ，ζ＝(r/a)²ζ∈[0,1]；波带片最外环半径a依据模拟的空间光调制器的尺寸和像素确定；若模拟的空间光调制器的尺寸为512×512，像素为15μm×15μm，则波带片最外环半径a为256×15μm。

然后，将ζ代入传输函数q(ζ)中，计算q(ζ)的值；传输函数q(ζ)如式(1)所示：

在公式(1)中，t_S,j为传输值，与第S级的RS序列D_S中的第j个字母D_S,j的类别有关：当D_S,j为“A”时，t_S,j等于1，当D_S,j为“B”时，t_S,j等于0；d_S＝1/2^S；第S级的波带片在一维方向能被分为2^S部分，每一部分的长度为d_S＝1/2^S；rect[·]矩形函数，定义如下：

最后，根据q(ζ)的值进行判断，如果q(ζ)＝1，则相应位置是透明的，否则，相应位置不透明。

所述步骤3中，将整个波带片上每个圆环都改为透光的，原来透明的圆环位相设为π，原来不透明圆环的位相设为0，从而将波带片转化为位相型波带片，以提高波带片的透光效率。

也可以直接在步骤3中，将更新的第S级RS序列D_S的各个字母由内而外依次映射到波带片圆环上，整个波带片上每个圆环都设为透光的，D_S中字母A映射的圆环位相设为π，B映射的圆环位相设为0，从而形成位相型波带片，以提高波带片的透光效率。这种情况下，若传递函数q(ζ)＝1，则对应位置透光且位相为π，否则，对应位置透光且位相为0。

一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片，采用上述的波带片构造方法进行构造：波带片各个圆环填充为透明或不透明取决于RS序列中对应序数的字母，若为A，圆环填充为透明，否则为不透明。

将整个波带片上每个圆环都改为透光的，原来透明的圆环位相设为π，原来不透明圆环的位相设为0，从而将波带片转化为位相型波带片，以提高波带片的透光效率。

由于波带片为二维结构，本发明通过传递函数q(ζ)将二维结构的两个变量x,y(横坐标，纵坐标)转化为一维结构的一个变量ζ来制作波带片，实现波带片二维圆环结构。不同的波带片构造方法有不同的传递函数，本发明基于特有的RS序列得到特有的传递函数，构造特有的波带片，得到成像低色差特性。

有益效果：

本发明基于Rudin‐Shapiro(RS)非周期序列设计波带片的结构，产生一种波带片,即RS波带片。与同等级次的菲涅尔波带片相比，RS波带片可对入射光束在光轴方向产生一系列聚焦焦点,且这些焦点以同等级次的菲涅尔波带片的焦点位置对称分布。RS波带片产生的一系列焦点具有好的多色性，通过这种波带片成像能减少图像的色差。RS波带片比混合波带片，魔鬼棱镜和TM波带片的成像色差都要小。

附图说明

图1为RS序列结构、一维序列转换图、级次S为5的RS和菲涅尔波带片的相位轮廓；图1(a)为从第零级到第四级RS序列结构；图1(b)为一维序列到二维波带片结构的转换图；图1(c)为第四级RS序列产生的RS波带片和同等级次的菲涅尔波带片二维结构图。

图2为级次S为5的RS和菲涅尔波带片衍射后的轴向归一化光强分布。

图3为波长分别为650nm，550nm和450nm的光分别照射级次S为5的RS和菲涅尔波带片的轴向光强分布、归一化轴向光照度Y、色度分布；图3(a)为轴向光强分布，图3(b)为归一化轴向光照度Y，图3(c)为色度分布。

图4为“CSU”字符的二值图、RS波带片和菲涅尔波带片衍射图像；图4(a)为“CSU”字符的二值图，级次S为5的RS波带片和菲涅尔波带片的相位轮廓图；图4(b)为波长从450nm到650nm间隔50nm的混合光照射菲涅尔波带片在50mm，70mm和80mm处所成图像；图4(c)为波长从450nm到650nm间隔50nm的混合光照射RS波带片在50mm，70mm和80mm处所成图像。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步具体说明。

本发明了一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法，包括以下步骤：

步骤1：将Rudin-Shapiro非周期序列，即RS序列的四个初始种子，即第零级RS序列D₀分别用字母A,B,C,D表示；基于初始种子，按照以下规则变换生成后续的每一级RS序列：A→AB，B→AC，C→DB，D→DC，直至生成第S级RS序列D_S；

步骤2：对D_S进一步按照以下规则替换：{A,B}→A和{C,D}→B，即将A和B出现的地方全部替换为A，C和D出现的地方全部替换为B；得到更新的D_S；

若第零级RS序列D₀为A，则更新的第一级RS序列D₁为AA，第二级RS序列D₂为AAAB，第三级RS序列D₃为AAABAABA，第四级RS序列D₄为AAABAABAAAABBBAB等等。通过这种方式变换，并简化得到双字母变换规则，原来的替换规则可变换为：AA→AAAB,AB→AABA,BA→BBAB,BB→BBBA。

步骤3：将更新的第S级RS序列D_S的各个字母由内而外依次映射到波带片圆环上，D_S中字母A代表透明区域，B代表不透明区域，构造出对应的RS波带片。

图1所示为RS序列结构、一维序列转换图、级次S为5的RS和菲涅尔波带片的相位轮廓；图1(a)为从第零级到第四级RS序列结构；图1(b)为一维序列到二维波带片结构的转换图；图中m为RS序列中字母所对应的序数，r_m为m对应的RS波带片半径。与菲涅尔波带片一样，半径可以用公式(f为焦距，λ为波长)计算出来。将RS序列的各个字母由内而外依次映射到波带片圆环上，两个相邻半径之间的圆环填充为透明或不透明取决于RS序列中序数m对应的字母，若为A，环就是透明的；否则，不透明。这种波带片也可以转化为位相型波带片，,即整个波带片的每个圆环都是透光的，但设计为透明的圆环部分位相设为π,不透明圆环的位相设为0，从而提高波带片的透光效率。图1(c)为第四级RS序列产生的RS波带片和同等级次的菲涅尔波带片二维结构图，其中白色部分表示位相值π，黑色部分表示位相值0。

由于RS波带片由透明和不透明部分组成，RS波带片能用由0和1组成的矩阵表达。利用菲涅尔近似公式计算单色平面波照射该波带片后的轴向强度，如式(2)所示。

式(2)中，u＝a²/(2λz)为轴向坐标，λ和z分别为波长和轴向距离。联合公式(1)和(2)，得到光强公式(3)：

利用公式(3)，可求解出轴向任意位置的光强。

计算级次S为5的RS和菲涅尔波带片的轴向光强分布，并绘制出轴向强度曲线，如图2所示。在图2中，u＝a²/(2λz)为横坐标，I为纵坐标。从图2中可看出，RS波带片能产生许多次焦点，特别的是，这些次焦点以同等级次菲涅尔波带片的焦点位置为中心对称分别。然而，菲涅尔波带片在图2只显示了一个焦点。对这两种波带片的I和u作等变量分析，其共同的焦距公式为f＝a²/(λ2^S)，f为主焦点的焦距。

图3(a)为650nm，550nm和450nm三种不同波长的光照射RS和菲涅尔波带片后的轴向强度分布，注意，纵坐标为各自波带片的最大光强归一化的相对强度，横坐标为与以波长为550纳米的光照射菲涅尔波带片的焦距f＝a²/λ2^S的相对轴向距离。从图3(a)中能够看出，对于三种波长的轴向焦点分布，RS波带片不仅产生许多次焦点，并且，三种不同波长光的焦点大部分重叠，但菲涅尔波带片的主焦点基本不重叠。如果成像面上存在不同波长的光的焦点，那么这个位置能够产生低色差的图像。因此，RS波带片比同等级次菲涅尔波带片的成像色差小。

利用传统方法，RS波带片在白光照射下沿着光轴的三刺激值能用公式(4)计算[19]。

其中，S(λ)为光源的谱分布，为人眼的光谱三刺激值函数(CIE 1931)，(λ₁,λ₂)为计算的波长间隔。轴向的成像质量通常用轴向光照度Y和轴向色度坐标(x,y)来衡量[19]，如式(5)所示，

利用标准光源C照射RS和菲涅尔波带片，并数值模拟了从380nm到780nm间隔为10nm共41个波长的强度分布。级次S为5的RS和菲涅尔波带片的光照度Y在图3(b)表示。圆圈代表两种波带片的焦点，三角形或正方形分别以圆圈为中心对称分布。由于RS波带片有许多焦点，选取主焦点和周围的一个次焦点与菲涅尔波带片的主焦点进行比较。在图3(b)中，RS波带片有两个圆圈代表选取的两个焦点，而菲涅尔波带片唯一的圆圈代表主焦点。图3(c)是RS波带片的主焦点，周围的一个次焦点和菲涅尔波带片的主焦点的色度分布图，图上的黑线，灰线，圆圈，三角形和正方形分别与图3(b)中的内容相对应。当图像位置对应的色度值在色度图中越接近白光点C时，图像越接近真正的彩色图，图像的色差就越小。图3(c)表示，相比于菲涅尔波带片的黑色曲线的圆圈，RS波带片的灰色和黑色曲线的圆圈更接近于白点C。因此，RS波带片所成像的色差比菲涅尔波带片更低。

用MATLAB模拟了RS波带片成像来验证RS波带片的低色差成像。程序在PentiumCPU B940,2.00GHz内存电脑上的MATLAB R2013a软件平台上进行。空间光调制器用512×512像素，每个像素为15微米×15微米大小。波长从450nm到650nm间隔50nm的混合光作为光源。级次为5的RS和菲涅尔波带片的相位轮廓表示在图4(a)。在图4(b)和图4(c)中，分别为菲涅尔波带片和RS波带片后衍射距离为50mm，70mm和80mm处的衍射图像。图4(b)和图4(c)右边的灰度条中，数值从0到1变化代表图中灰度从黑色到白色的逐渐变化，黑色代表最低光强，白色代表最高光强。我们都知道，对于单色光成像而言，成像位置越接近焦点所成像越清晰，并且图像的亮度越大，远离焦点位置产生的图像会产生重影。在图4(b)和图4(c)中，当衍射距离为50毫米时，菲涅尔和RS波带片的图像的字母S都能被完整的显示，但是，菲涅尔波带片图像上的字母C和U有重影，RS波带片图像上字母基本没有，并且，光强比菲涅尔波带片图像上字母的光强更大。因此，相比于菲涅尔波带片的焦点，这个位置更靠近RS波带片的焦点。当衍射距离为70mm时，菲涅尔波带片的图像的字母C和U出现了较大的重影，这些字母的光强比较低。然而，RS波带片的图像的字母C和U基本无重影现象，并且，光强比菲涅尔波带片的C和U强，菲涅尔和RS波带片的图像的字母S都能被完整的显示。因此，相比于菲涅尔波带片的焦点，这个位置更靠近RS波带片的焦点。当衍射距离为80mm时，两种波带片所得图像上的字母S都能完整显示，菲涅尔波带片的图像的字母C和U出现了严重的重影，两个字母C和U分得更开了，并且，字母的光强比较低。然而，由于许多光强集中于RS波带片的字母C和U，以至于C和U看起来基本无放大和重影现象，并且，光强比菲涅尔波带片的C和U强。因此，相比于菲涅尔波带片的焦点，这个位置更靠近RS波带片的焦点。总之，与菲涅尔波带片比较，不同波长光照射RS波带片在以上多个位置基本都更接近它的焦点位置。之所以出现这种情况，是因为RS波带片能产生许多多色焦点，当受到不同波长的光照射时，不同波长光的大多数焦点重合，不像菲涅尔波带片，对于不同波长光的焦点基本没重合。由于不同波长的光都有焦点存在，所以，RS波带片所成图像有低的色差。同时，与TM的波带片[13],混合波带片[19]和魔鬼棱镜[20]中色度图焦点与理想白点的距离相比，RS波带片色度图的焦点与理想白点的距离更低，这说明RS波带片所成图像的色差更低。

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Claims (6)

1.一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：将Rudin-Shapiro非周期序列的四个初始种子，即第零级RS序列D₀分别用字母A，B，C，D表示；基于初始种子，按照以下规则变换生成后续的每一级RS序列：A→AB，B→AC，C→DB，D→DC，直至生成第S级RS序列D_S；

步骤2：对D_S进一步按照以下规则替换：{A,B}→A和{C,D}→B，即将A和B出现的地方全部替换为A，C和D出现的地方全部替换为B；得到更新的D_S；

步骤3：将更新的第S级RS序列D_S的各个字母由内而外依次映射到波带片圆环上，D_S中字母A代表透明区域，B代表不透明区域，构造出对应的RS波带片。

2.根据权利要求1所述的基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法，其特征在于，所述步骤3通过传输函数q(ζ)实现，即基于更新的第S级RS序列D_S，通过传输函数q(ζ)构造出对应的波带片：

首先，以波带片圆心为原点，波带片上两条相互垂直的直径为x轴和y轴，对于波带片上任一位置(x，y)，计算其与圆心的距离再将r与波带片最外环半径a的平方之比记为ζ，ζ＝(r/a)²ζ∈[0,1]；

然后，将ζ代入传输函数q(ζ)中，计算q(ζ)的值；传输函数q(ζ)如式(1)所示：

$q\left(\mathrm{\ζ}\right)=\underset{j=1}{\overset{2^s}{\Σ}}{t}_{S,j}\·rect\[\frac{\mathrm{\ζ}-(j-1/2)\·d_S}{d_S}\]---\left(1\right)$

在公式(1)中，t_S,j为传输值，与第S级的RS序列D_S中的第j个字母D_S,j的类别有关：当D_S,j为“A”时，t_S,j等于1，当D_S,j为“B”时，t_S,j等于0；d_S＝1/2^S；rect[·]矩形函数，定义如下：

最后，根据q(ζ)的值进行判断，如果q(ζ)＝1，则相应位置是透明的，否则，相应位置不透明。

3.根据权利要求2所述的基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法，其特征在于，所述步骤1和2中，简化得到双字母变换规则为：AA→AAAB，AB→AABA，BA→BBAB，BB→BBBA；由更新的第一级RS序列D₁及上述简化得到的双字母变换规则，直接得到更新的第S级RS序列D_S。

4.根据权利要求1～3中任一项所述的基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片构造方法，其特征在于，将整个波带片上每个圆环都改为透光的，原来透明的圆环位相设为π，原来不透明圆环的位相设为0。

5.一种基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片，其特征在于，采用权利要求1～3中任一项所述的波带片构造方法进行构造，波带片各个圆环填充为透明或不透明取决于RS序列中对应序数的字母，若为A，圆环填充为透明，否则为不透明。

6.根据权利要求5所述的基于Rudin-Shapiro非周期序列的波带片，其特征在于，将整个波带片上每个圆环都改为透光的，原来透明的圆环位相设为π，原来不透明圆环的位相设为0。