CN106353824B - 航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁干扰补偿融合方法 - Google Patents

航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁干扰补偿融合方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁干扰补偿融合方法，包括：飞行器磁干扰建模、建立单个磁通门误差模型、磁干扰模型和磁通门误差模型融合、建立磁梯度张量分量校正补偿模型、在高空中磁场均匀的区域采集校正数据、解算磁梯度张量校正系数和将三轴磁通门磁场测量值和校正参数输入到磁梯度张量分量校正模型中，计算校正补偿后的磁梯度张量。本发明完整覆盖航空磁通门磁梯度张量仪的误差因素和飞行器磁干扰类型，在校正模型中统一表达及求解，实现了校正和补偿两个问题融合的解决方案，只需要进行高空校正补偿飞行，就能同时完成校正和补偿。用迭代方法简单实用，用最小二乘法解线性方程，保证求解结果的正确性。

Description

航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁干扰补偿融合方法
技术领域：
本发明涉及一种航空物探中磁测仪器的校正和飞行器的磁干扰补偿，尤其是把磁通门磁梯度张量仪直接安装到航空器上进行探测时，所需进行的仪器系统校正和磁干扰补偿。
背景技术：
磁梯度张量仪测量磁场三分量沿正交坐标系的空间变化率。磁梯度张量仪受地磁影响小，获取信息丰富，特别适合发现浅层潜伏矿，磁性运动目标等，是磁测仪器发展方向之一。在航空磁梯度张量测量中,为了适应更多的飞行器，尽量减少张量仪对飞行器空气动力学布局的影响，最好的方式是把张量仪直接安装在飞行器上，然后在飞行过程中测量磁性目标的磁场梯度。因此仪器自身的校正以及飞机磁干扰补偿成为两个无法避免的问题。本发明正是针对此类应用所提出的校正和补偿同时进行的融合方法。
由于需要对磁场矢量敏感的传感器，故目前张量仪主要有两种：一种是基于超导量子干涉器件的张量仪，如德国的航空超导磁梯度张量仪[R.Stolz et al,Magneticfull-tensor SQUID gradiometer system for geophysical applications,The LeadingEdge,2006,25(2):178-180.]，澳大利亚的航空超导磁梯度张量仪[P.Schmidt et al,GETMAG-a SQUID magnetic tensor gradiometer for mineral and oil exploration,Exploration Geophysics,2004,35:297-305.]。超导张量仪虽然具有很高的分辨率，但是价格昂贵，且不能在常温下使用，应用中有很大的局限性。另一种是基于磁通门传感器构造的张量仪，如美国地质调查局的正四面体形磁通门张量仪[PJ.Brown et al,A case studyof magnetic gradient tensor invariants applied to the UXO problem,U.S.Geological Survey，2004：1-4.]。美国IBM公司研制的磁通门张量仪[RH.Koch et al,Room temperature three sensor magnetic field gradiometer,Review of ScientificInstruments,1996,64(1):230-235.]。英国Rutherford Appleton实验室研究的紧凑型磁通门张量梯度仪[DK.Griffin,et al.,Design and calibration of a compact low-noise magnetic gradiometer,Proc.ESA Workshop Aerosp.EMC,Venice，IEEE，pp.2012，1-6.]，吉林大学研制的带球形反馈线圈的张量仪[Y.Sui,et al.,Compact fluxgatemagnetic full-tensor gradiometer with spherical feedback coil,Rev.Sci.Instrum.,2014.85(014701):1-7.].
虽然磁通门张量仪具有成本低，温度范围广，分辨率较高等优点，但是仍然有两个核心问题阻碍其在航空中的应用。一个问题是磁通门自身存在标度因子误差、非正交误差、非对准误差、零偏误差、动态误差和非线性误差，造成其精度较低，需要在使用前进行非常严格的校正。另一个问题是飞行器如果距离张量仪较近，就会形成永磁干扰(硬磁干扰)、感应磁干扰(软磁干扰)和涡流磁干扰，这些磁干扰也会大幅降低张量仪测量数据的质量，从而严重影响航空磁梯度张量仪的应用效果。
针对磁通门张量仪误差校正的问题，现有方法是在地面上找一块磁场均匀的区域，然后以多个磁通门测量的总场值或磁场分量值相等为条件求解线性或非线性方程以获得校正参数。这些方法只针对了张量仪的误差问题，还没有和飞行器的磁干扰补偿进行融合。
针对飞行器的磁干扰问题，目前典型的航空磁梯度张量测量是采用直升机吊挂的方式进行，即将张量系统放置在吊舱里面，一般吊舱距离飞机至少35米。其最大问题是吊舱有可能挂到树或其它地面的物体，大大降低了飞行的安全性。如果希望适应更多的飞行器，就需要尽量减少对飞行器空气动力学布局的影响，最好的方式是把张量仪直接安装在飞行器上。因此磁干扰补偿成为无法避免的问题。磁梯度张量的磁补偿方法有文献记载的为采用矢量的磁干扰补偿方法[H.Pang,et al.,Integrated Compensation of MagnetometerArray Magnetic Distortion Field and Improvement of Magnetic ObjectLocalization，IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2014，52(9)：5670-5676]。此方法中的模型并没有覆盖磁通门张量仪的所有误差因素，也没有考虑磁干扰中的涡流磁干扰等，在航空这种载体运动较快的应用中，难以保证补偿后数据质量。
发明内容：
本发明的目的是针对上述现有技术的不足，提供一种高质量测量的航空器装载式磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁补偿融合方法。
本发明的目的是通过以下技术方案实现的：
航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁干扰补偿融合方法，包括以下步骤：
步骤一、飞行器磁干扰建模：
步骤二、建立单个磁通门误差模型：
式中：F为标度因子误差矩阵；E为非正交误差矩阵；R为零位误差矢量；M为磁通门坐标系与惯性导航坐标系非对准误差矩阵；Binput是在惯导坐标系下磁通门位置处的真实磁场；l是j的上限值，表示动态特性的最高阶数；Dj是磁通门理论测量值对时间的j阶导数前面的动态特性描述矩阵；m是i的上限值，表示非线性的多项式拟合的次数；Ai是多项式拟合中第i次方前面的拟合系数矩阵；A0是多项式拟合中的常数向量；T为磁通门在自身测量坐标系下的实测值；Φ为磁通门的测量噪声；Ti代表向量T中每个元素的i次方；
步骤三、建立磁干扰模型和磁通门误差模型融合；
步骤四、建立磁梯度张量分量校正补偿模型；
步骤五、在高空中磁场均匀的区域采集校正数据；
步骤六、解算磁梯度张量校正系数；
步骤七、将磁梯度张量分量测量值和步骤六获得的校正补偿系数输入到磁梯度张量分量校正模型中，计算校正补偿后的磁梯度张量。
步骤三所述的磁干扰模型和磁通门误差模型的融合：
当航空器装载张量仪在空中进行探测时，航空器产生的磁干扰叠加上地磁场作为磁通门传感器的理论输入磁场，即：
将公式(9)中的Binput带入到公式(2)磁通门误差模型中，此时有：
采用二次多项式拟合磁通门理论测量值，并把磁通门描述为一阶系统，即l＝1，m＝2，将磁通门误差模型(10)采用差分方式进行离散化，离散化后的单个磁通门误差模型表示为：
式中Bt表示t时刻惯导坐标系下磁场矢量，Tt表示t时刻磁通门坐标系下磁场测量矢量，Δt表示相邻测量数据的时间间隔，当磁通门由一阶系统描述时取j＝1，D1为一阶导数前面的系数矩阵；
取I为单位矩阵，令：
融合后的磁通门误差模型公式(11)可以重新表示为:
将式(13)迭代f次后的表达式为:
在航空应用中涡流磁干扰系数矩阵L特别小，当f>2时有Pf≈0，式(14)中Bt近似的表示为：
令式(15)中：
将式子(15)重新表示为：
式中bxt,byt和bzt是t时刻惯导坐标系下真实的磁场三分量，对于单个磁场分量融合后的校正模型可以表示为：
式中u是x,y,和z轴中的一个坐标轴,Uui是校正矩阵Ui中对应bu的行向量；Wui是校正矩阵Wi中对应bu的行向量；Xui是校正矩阵Xi中对应bu的行向量；Yui是校正矩阵Yi中对应bu的行向量；zu是校正向量Z中对应bu的校正系数。
步骤四所述的磁梯度张量分量校正补偿模型：
磁场沿x,y,z三个方向的二阶导数可构成磁梯度张量G，尽管G有九个分量，由于在不包括场源的域内，磁场的散度和旋度为0，即对称且迹为0，故只有五个分量是独立的，表示为：
在惯性导航坐标系下，张量分量表示方式为：
式中：m,n表示磁通门标号，取0,1,2,3；u,v都代表坐标轴的方向，取x,y,z；guvt为惯性导航坐标系下在t时刻的某个张量分量；ΔBut为惯性导航坐标系下在t时刻沿u轴方向的磁场变化量；Δsv表示磁通门n与磁通门m之间的基线距离，设ψuv为张量分量guvt的总偏置误差，将所述张量分量误差模型改写为：
有益效果：本发明完整覆盖航空磁通门磁梯度张量仪的误差因素和飞行器的磁干扰类型，并在校正模型中进行统一表达及求解，实现了校正和补偿两个问题融合的解决方案，使得只需要进行高空的校正补偿飞行，就能同时完成校正和补偿。本发明采用迭代的方法简单实用，采用的最小二乘法解线性方程，能够保证求解结果的正确性。
附图说明：
图1航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁补偿方法流程图
图2“十字”型磁通门张量仪安装示意图
图3 1000次仿真中5个未知系数图
图4 1000次仿真中gzz期望值和校正值以及未校正值之间均方根误差图
图5测线上理想的、未校正的和校正后的张量分量之一gzz对比图
具体实施方式：
下面结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。
本发明首先分别建立飞行器磁干扰模型和单个磁通门无误差模型，然后将两个模型融合成单个磁通门校正补偿模型，根据磁通门张量仪结构并通过连续方程离散化的方法建立磁梯度张量分量校正补偿模型，最后利用高空中地磁场的梯度张量近似为零的特点进行校正，计算出各个梯度分量的校正系数，以四个磁通门按“十”字结构排列所构成的磁梯度张量仪为例，提供一种由航空器装载后进行测量应用时的校正补偿方法。
航空器装载式磁通门磁梯度张量仪中磁通门的测量误差来源于以下两项：一是来自磁通门自身存在的误差，主要有磁通门传感器三个感应轴标度因子不完全一致造成的误差、三个感应轴不严格正交造成的误差、零点存在偏移、由机械安装误差造成的非对准误差、动态特性不一致造成的误差，另一项是飞行器如果距离张量仪较近，就会形成永磁干扰(硬磁干扰)、感应磁干扰(软磁干扰)和涡流磁干扰，这些磁干扰也会大幅降低张量仪测量数据的质量。
在本实施例中以“十字”型磁通门梯度张量仪为例，图2为“十字”型磁通门梯度仪安装结构图，其中包括安装方式(四个磁通门，惯性导航系统，刚性连接)和坐标系。
十字型磁通门张量仪，包括第一个磁通门1坐标系为o0x0y0z06，第二个磁通门2坐标系为o1x1y1z17，第三个磁通门3坐标系为o2x2y2z28，第四个磁通门4坐标系为o3x3y3z39，惯性导航系统(INS)5的坐标系为oxyz 10，磁通门1和磁通门3放置在坐标系10的x轴上与原点o对称，磁通门1与磁通门3连接，间距为Δx，磁通门2和磁通门4放置在坐标系10的z轴上与原点o对称，磁通门2与磁通门4连接，间距为Δz，惯性导航系统5放置在y轴上，惯性导航系统5与原点o连接，间距为Δy，安装时尽量保证磁通门1坐标系o0x0y0z06、磁通门2坐标系o1x1y1z17、磁通门3坐标系o2x2y2z28和磁通门4坐标系o3x3y3z39与惯性导航系统5坐标系oxyz10坐标系一致，构成十字型磁通门张量仪。
在具体应用实例中，通过仿真进行模拟。仿真模拟中四个磁通门按十字形排列，基线距离为0.1米。地球磁场强度为50000nT，磁偏角为60°，磁倾角为-9°。
航空器挂载式磁通门磁梯度张量仪的校正方法，包括以下步骤：
步骤一、飞行器磁干扰建模
航空磁梯度张量探测中飞行器产生的磁干扰包括以下几项：硬磁干扰、软磁干扰、涡流磁干扰。在实际应用中，将航空器和惯性导航系统采用刚性连接方式连接，选取惯性导航坐标系为飞行器机体坐标系。惯导坐标系的三个坐标轴分别为x轴，y轴，z轴，航空器在惯性导航坐标系下产生的干扰磁场Be可以表示为：
B是在惯性导航系统坐标系下指点位置处的地磁场.J为硬磁干扰矢量；K为软磁干扰系数矩阵，K为3*3的矩阵，矩阵K内部元素用kuv表示，(u,v＝x,y,z)；L为涡流磁干扰系数矩阵，L为3*3的矩阵，矩阵L内部元素用luv表示，(u,v＝x,y,z)。
步骤二、建立单个磁通门误差模型
磁通门的测量误差来源于以下几项：磁通门三个感应轴标度因子不完全一致造成的误差、三个感应轴不严格正交造成的误差、零点存在偏移、由机械安装误差造成的非对准误差、动态特性不一致造成的误差、理论测量值和真实测量值之间的非线性拟合误差。把惯性导航系统和磁通门张量仪进行刚性连接，各个磁通门坐标系x,y,z轴分别向惯性导航坐标系的x,y,z轴方向进行对齐，则单个磁通门误差模型为：
式中：F为标度因子误差矩阵；E为非正交误差矩阵；R为零位误差矢量；M为磁通门坐标系与惯性导航坐标系非对准误差矩阵；Binput是在惯导坐标系下磁通门位置处的真实磁场；l是j的上限值，表示动态特性的最高阶数；Dj是磁通门理论测量值对时间的j阶导数前面的动态特性描述矩阵；m是i的上限值，表示非线性的多项式拟合的次数；Ai是多项式拟合中第i次方前面的拟合系数矩阵；A0是多项式拟合中的常数向量；T为磁通门在自身测量坐标系下的实测值；Φ为磁通门的测量噪声；Ti代表向量T中每个元素的i次方。
每个误差矩阵或矢量的具体表达式如下：
(1)标度因子误差矩阵：
其中Sx,Sy,Sz表示磁通门感应轴的标度因子误差。
(2)非正交误差矩阵：
假设实际磁通门坐标系x轴与理想磁通门坐标系x轴的方向一致，ρ为实际磁通门坐标系y轴与理想磁通门坐标系y轴的夹角；为实际磁通门坐标系z轴与理想磁通门坐标系z轴的夹角在磁通门xoz平面上的投影；λ为实际磁通门坐标系z轴与理想磁通门坐标系z轴的夹角在磁通门yoz平面上的投影。
(3)非对准误差矩阵：
式中cα＝cosα，cβ＝cosβ，cγ＝cosγ，sα＝sinα，sβ＝sinβ，sγ＝sinγ,其中α、β和γ分别为实际磁通门坐标系相对惯导坐标系，绕实际磁通门坐标系x轴，y轴和z轴的非对准角。
(4)零位误差矢量：
式中μx,μy,μz分别为磁通门三个轴分别存在的零位误差。
(5)非线性拟合矩阵:
式中分别为磁通门传感器沿x,y and z-axis实际测量磁场值i次方拟合线性度的系数。
(6)动态特性描述矩阵：
式中表示j阶动态特性矩阵Dj中动态特性误差系数，(u,v＝x,y,z)。当磁通门由一阶系统描述时取j＝1，D1为一阶导数前面的系数矩阵。
步骤三、磁干扰模型和磁通门误差模型融合
当航空器装载张量仪在空中进行探测时，航空器产生的磁干扰叠加上地磁场作为磁通门传感器的理论输入磁场，即：
将公式(9)中的Binput带入到公式(2)磁通门误差模型中，此时有：
根据实际应用中磁通门的参数情况，采用二次多项式来拟合磁通门理论测量值，并且把磁通门描述为一阶系统，即l＝1，m＝2。将磁通门误差模型(10)采用差分方式进行离散化，离散化后的单个磁通门误差模型可以表示为：
式中Bt表示t时刻惯导坐标系下磁场矢量。Tt表示t时刻磁通门坐标系下磁场测量矢量。Δt表示相邻测量数据的时间间隔。
取I为单位矩阵，令：
融合后的磁通门误差模型公式(11)可以重新表示为:
将式(13)迭代f次后的表达式为:
由于在航空应用中，涡流磁干扰系数矩阵L特别小，所以当f>2时有Pf≈0，式(14)中Bt可以近似的表示为：
令式(15)中：
将式子(15)重新表示为：
式中bxt,byt和bzt是t时刻惯导坐标系下真实的磁场三分量，对于单个磁场分量融合后的校正模型可以表示为：
式中u是x,y,和z轴中的一个坐标轴,Uui是校正矩阵Ui中对应bu的行向量；Wui是校正矩阵Wi中对应bu的行向量；Xui是校正矩阵Xi中对应bu的行向量；Yui是校正矩阵Yi中对应bu的行向量；zu是校正向量Z中对应bu的校正系数。
步骤四、建立磁梯度张量分量校正补偿模型
磁场沿x,y,z三个方向的二阶导数可构成磁梯度张量G，尽管G有九个分量，由于在不包括场源的域内，磁场的散度和旋度为0，即对称且迹为0，故只有五个分量是独立的，可表示为：
磁通门张量仪由不同方式构建，主要有十字、四方体和三角形等结构，但都是利用差分近似微分的方式来表示磁梯度张量G各个分量。以十字型结构为例，在惯性导航坐标系下，张量分量表示方式为：
式中：m,n表示磁通门标号，取0,1,2,3；u,v都代表坐标轴的方向，取x,y,z；guvt为惯性导航坐标系下在t时刻的某个张量分量；ΔBut为惯性导航坐标系下在t时刻沿u轴方向的磁场变化量；Δsv表示磁通门n与磁通门m之间的基线距离。
设ψuv为张量分量guvt的总偏置误差，将所述张量分量误差模型改写为：
步骤五、在高空中磁场均匀的区域采集校正数据其仿真过程：
A、根据地磁场强度、磁偏角和磁倾角获得地磁场三个分量，把地磁场作为四个磁通门在大地坐标系下的真实值。
B、随机欧拉角模拟高空中飞行器姿态变化，同时可以计算出四个磁通门的对应位置和姿态。
C、根据四个磁通门的位置、姿态以及磁干扰系数利用公式(9)计算出惯性导航系统坐标系下磁通门的输入磁场。各项磁干扰系数如表1所示。
D、根据磁通门的输入磁场和磁通门各项误差系数利用公式(2)计算出每个磁通门在自身坐标系下的测量值。误差系数如表1所示，其中动态特性由一阶导数的系数控制，这是由于实际磁通门可以等效为一个一阶系统。
E、用差分近似微分的方法，可以获得高空中带误差和磁干扰的张量数据，并以此作为高空中采集的所需校正数据。
表1仿真的误差系数
步骤六、解算磁梯度张量校正补偿系数
设张量分量guv误差模型中磁通门n中沿u轴方向测量值前面的校正参数为enu，设置u取值x,y或z时enu分别是矩阵Unu1对角线上的元素，将上述张量分量的误差校正模型改写为：
因为高空中地球磁场的梯度近似为0，当式(13)中有一个测量值的校正参数为1时，以此项测量值可视为已知值。对式(13)列写线性方程组，通过最小二乘方法解算线性方程组，可以获得式(13)中的各项参数。此时可解算出各个磁梯度张量分量误差模型中的参数：
由于enu是一个非常接近1的常数。所以由(22)式求得的校正补偿系数参数和理论校正补偿系数参数非常接近，可以直接用来校正测量数据。
步骤七、将磁梯度张量分量测量值和步骤六获得的校正补偿系数输入到磁梯度张量分量校正模型中，计算校正补偿后的磁梯度张量。
首先获得测线上的磁梯度张量分量仿真数据，包括以下步骤：
A、按航空磁测的方式以地下10米的一个磁偶极子作为探测目标，在目标正上方40米高度，形成一条400米的测线，利用公式(23)计算出磁偶极子在测线
处产生的磁场。仿真磁距大小是(250,000,250,000,-353,553.39)。
B、通过公式(24)计算磁偶极子在测线处产生的磁梯度张量分量大小。
C、将磁偶极子产生的磁场叠加上地磁场作为四个磁通门在大地坐标系下真实磁场。
D、从高空数据仿真第B个步骤开始，通过相似的仿真生成测量的张量数据。
式中，r为从磁源到某个位置的方位矢量，M为磁矩矢量。
式中，δij为Kronecker’s delta，i，j＝1,2,3表示在笛卡尔坐标系中x，y，z。
然后将获得测线上的磁梯度张量分量仿真数据和步骤六获得的校正补偿系数输入到磁梯度张量分量校正模型中，计算校正补偿后的磁梯度张量。
本发明方法的具体实施步骤如图1所示，其实施结果如下：所有仿真系数根据表1生成，仿真重复1000次，公式(22)中系数e0x,e0y,e0z,e1y,和e1z的数值大小呈现在图3中，从图3可以看出enu基本上为1并且在1％内波动，满足实际应用的需求。图4所示为计算1000次仿真中每一次测线上仿真gzz期望值和未校正数值以及校正后数值之间的均方根误差，从图4中可以看出未校正均方根误差均值为12979.71nT/m，校正之后均方根误差均值为2.89nT/m，改善比为1380.58，其它张量分量的校正效果类似。图5所示为随机取一次仿真中测线上的理想的、未校正的和校正后的张量分量之一gzz对比。未校正前，均方根误差为11518.38，校正之后，均方根误差为1.63，改善比为7066.50。其它张量分量的校正效果类似，从而验证了本校正方法的正确性和效果。

Claims (1)

1.一种航空磁通门磁梯度张量仪的系统校正及磁干扰补偿融合方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一、飞行器磁干扰建模：
式中：Be为飞行器产生的磁干扰；J为硬磁干扰矢量；K为软磁干扰矩阵；L为涡流磁干扰矩阵；B是在惯导坐标系下磁通门位置处的地磁场；
步骤二、建立单个磁通门误差模型：
<mrow> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>p</mi> <mi>u</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>l</mi> </munderover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>j</mi> </msub> <msup> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mo>.</mo> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dt</mi> <mi>j</mi> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mo>.</mo> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：F为标度因子误差矩阵；E为非正交误差矩阵；R为零位误差矢量；M为磁通门坐标系与惯性导航坐标系非对准误差矩阵；Binput是在惯导坐标系下磁通门位置处的真实磁场；l是j的上限值，表示动态特性的最高阶数；Dj是磁通门理论测量值对时间的j阶导数前面的动态特性描述矩阵；m是i的上限值，表示非线性的多项式拟合的次数；Ai是多项式拟合中第i次方前面的拟合系数矩阵；A0是多项式拟合中的常数向量；T为磁通门在自身测量坐标系下的实测值；Φ为磁通门的测量噪声；T.i代表向量T中每个元素的i次方；
步骤三、建立磁干扰模型和磁通门误差模型融合；
步骤四、建立磁梯度张量分量校正补偿模型；
步骤五、在高空中磁场均匀的区域采集校正数据；
步骤六、解算磁梯度张量校正系数；
步骤七、将磁梯度张量分量测量值和步骤六获得的校正补偿系数输入到磁梯度张量分量校正模型中，计算校正补偿后的磁梯度张量；
步骤三所述的磁干扰模型和磁通门误差模型的融合：
当航空器装载张量仪在空中进行探测时，航空器产生的磁干扰叠加上地磁场作为磁通门传感器的理论输入磁场，即：
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>p</mi> <mi>u</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>J</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将公式(9)中的Binput带入到公式(2)磁通门误差模型中，此时有：
<mrow> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>J</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>l</mi> </munderover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>j</mi> </msub> <msup> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mo>.</mo> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dt</mi> <mi>j</mi> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>m</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mo>.</mo> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
采用二次多项式拟合磁通门理论测量值，并把磁通门描述为一阶系统，即l＝1，m＝2，将磁通门误差模型(10)采用差分方式进行离散化，离散化后的单个磁通门误差模型表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>J</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>KB</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1.</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中Bt表示t时刻惯导坐标系下磁场矢量，Tt表示t时刻磁通门坐标系下磁场测量矢量，Δt表示相邻测量数据的时间间隔，当磁通门由一阶系统描述时取j＝1，D1为一阶导数前面的系数矩阵；
取I为单位矩阵，令：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;tA</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mo>/</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;tA</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>O</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>L</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>FEM</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>J</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
融合后的磁通门误差模型公式(11)可以重新表示为:
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>PB</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mn>1</mn> <mo>.</mo> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(13)迭代f次后的表达式为:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1.</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mn>1.</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mi>f</mi> </msup> <mi>O</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在航空应用中涡流磁干扰系数矩阵L特别小，当f>2时有Pf≈0，式(14)中Bt近似的表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <msub> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1.</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>PV</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>PV</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>2.</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>3.</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>O</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令式(15)中：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>W</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>PU</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>PV</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>U</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>V</mi> <mi>h</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>O</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>O</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中h取值1和2，h＝1时，W1、X1、Y1分别为Tt-1、Tt-2、Tt-3项的校正矩阵，h＝2时，W2、X2、Y2分别为Tt-1 2、Tt-2 2、Tt-3 2项的校正矩阵，
将式子(15)重新表示为：
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式中bxt,byt和bzt是t时刻惯导坐标系下真实的磁场三分量，对于单个磁场分量融合后的校正模型可以表示为：
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式中u是x,y,和z轴中的一个坐标轴,Uui是校正矩阵Ui中对应bu的行向量；Wui是校正矩阵Wi中对应bu的行向量；Xui是校正矩阵Xi中对应bu的行向量；Yui是校正矩阵Yi中对应bu的行向量；zu是校正向量Z中对应bu的校正系数；
步骤四所述的磁梯度张量分量校正补偿模型：
磁场沿x,y,z三个方向的二阶导数可构成磁梯度张量G，尽管G有九个分量，由于在不包括场源的域内，磁场的散度和旋度为0，即对称且迹为0，故只有五个分量是独立的，表示为：
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在惯性导航坐标系下，张量分量表示方式为：
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式中：m,n表示磁通门标号，取0,1,2,3；u,v都代表坐标轴的方向，取x,y,z；guvt为惯性导航坐标系下在t时刻的某个张量分量；ΔBut为惯性导航坐标系下在t时刻沿u轴方向的磁场变化量；Δsv表示磁通门n与磁通门m之间的基线距离，设ψuv为张量分量guvt的总偏置误差，将所述张量分量误差模型改写为：
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