CN106304310A - 基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法 - Google Patents

Abstract

基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法，属于无线通信技术领域。相比传统无线系统，带有可收集能量节点的无线系统具有使用寿命长、受环境约束力小、持久性高等优点，是对无线通信系统性能的一大改善。在该最优功率分配方法中，在发送端发送数据的同时，发送端可收集能量的节点收集能量并存储在发送端电池中以供数据点对点发送时使用，在满足电池存储容量有限约束和能量因果约束前提下，在发送端分配不同时隙的发送功率，以实现在截至时间内系统吞吐量最大化。其优点是在满足数据发送的相关要求下，合理利用发送端收集的能量发送数据，实现系统吞吐量最大化，从而提高系统性能。

Description

基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法

技术领域

本发明涉及一种基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法，属于无线通信技术领域。

背景技术

随着无线通信技术的不断发展，基于能量收集的无线通信系统的研究越来越引起人们的关注。带有能量收集节点的无线通信系统，可以从自然界中如太阳能电池、振动吸收设备、水磨机、热点发电机、微生物燃料电池等中收集能量，以供无线通信系统工作使用。在此类系统中，发送端的能量收集器可以在发送数据的同时收集能量，并且存储在电池中以供后面的数据发送阶段使用。于是，我们需要研究新的发送数据的功率分配方法，以充分利用发送端收集的能量，同时又满足数据发送的吞吐量最大化的相关要求。

最近，文献中多有基于能量收集的数据发送的相关研究，这些研究都致力于在整个数据发送过程中在能量因果约束和电池容量有限约束情况下，提高整个系统的吞吐量，而未考虑每个发送的过程中数据发送所耗能量不能超过电池当前能量这一重要约束条件。如“Transmission with Energy Harvesting Nodes in Fading Wireless Channels：Optimal Policies”(含有能量收集节点的无线衰落信道中数据发送的最优方法)【IEEEJournal on Selected Areas in Communications,VOL,29,NO.8,SEPTEMBER 2011】一文中讨论了在无线信道中，该系统的能量收集器将收集的能量存储在发送端的电池中，发送端利用电池中的能量发送数据，实现系统吞吐量最大化，同时还要满足能量收集的因果约束及电池容量有限约束，但未考虑每个发送阶段过程中电池中存储的可用能量与发送数据所耗能量的关系。目前在可查资料中，仍然没有这方面的研究。

发明内容

为了弥补现有技术存在的不足，在考虑能量收集过程中同时发送数据，以实现吞吐量最大化，并且保证每个发送阶段中所耗能量不超过电池当前存储能量以及整个发送过程中收集能量与消耗能量之差不会造成电池容量溢出，本发明提出了一种基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法。

本发明的技术方案如下：

一种基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法，由基于能量收集的数据通信系统来实现：该系统包括发送端Tx、接收端Rx，在发送端有存放待发送数据的数据队列和用来收集能量的电池，接收端用来接收数据；采用平稳信道即信道增益h(t)＝1；假设已知时间[0,T]内的时刻{t₁,t₂,...t_i,...,t_N}，对应每个时刻到达发送端电池的能量大小为{E₁,E₂,...,E_i,...,E_N}，其中初始时刻发送端电池中有能量E₀，定义电池最大存储容量为E_max，则对所有i均有E_i≤E_max；相邻的两次能量到达发送端电池的时间间隔定义为一个“时隙”，第i个时隙表示的时间区间为[t_i-1,t_i)，则第i个时隙的时长表示为T_i＝t_i-t_i-1，最后一个时隙时长T_N+1＝T-t_N；规定在每个时隙中系统发送端发送数据的功率须是恒定的，用p_i,i＝1,...,N+1表示；集合表示能量到达发送端电池的时刻以及各时刻到达发送端电池的能量的集合，该分配方法步骤如下：

(1)确定优化问题

定义B_i为t_i时刻电池中可用的能量，得到：

B_i＝B_i-1-T_ip_i+E_i (1)

其中B₀＝E₀，B₀表示电池中初始时的可用能量；我们的目的是在T时间内，给定发送端电池收集的能量前提下实现数据发送过程中的吞吐量最大化，同时要满足以下两个约束条件：约束条件1：在每个时隙内，发送端发送数据所消耗的能量不能大于电池中可用的能量，即：

T_ip_i≤B_i-1,i＝1,...,N+1 (2)

约束条件2：电池容量有限约束，即发送端电池收集的能量减去发送数据消耗的能量，剩余能量要小于或等于电池存储最大容量：

(E₀+E₁)-T₁p₁≤E_max，

上式表示在第一个时隙末，收集的能量减去消耗的能量要小于或等于电池最大容量E_max；

(E₀+E₁+E₂)-(T₁p₁+T₂p₂)≤E_max，

上式表示在第二个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

(E₀+E₁+E₂+E₃)-(T₁p₁+T₂p₂+T₃p₃)≤E_max，

上式表示在第三个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

同理以此类推，直到

(E₀+E₁+E₂+E₃+...+E_N)-(T₁p₁+T₂p₂+T₃p₃+...+T_Np_N)≤E_max，

上式表示在第N个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

为了方便，我们将上述式子归纳为：

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,...,N---\left(3\right)$

其中表示对E_i从E₀一直到E_k的求和；表示对T_ip_i从T₁p₁一直到T_kp_k的求和，这样我们可以构造如下优化问题为：

$\begin{array}{cc}\underset{p_i\≥0}{\max }& \underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}log(1+p_i)\end{array}---\left(4\right)$

subject to T_i+1p_i+1≤B_i,i＝0,...,N (5)

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,...,N---\left(6\right)$

式(4)中符号max表示求最大值符号，该符号后为目标函数，符号subject to表示约束符号，表示时间[0,T]内发送数据量最大化即吞吐量最大化，(5)式和(6)式分别为发送数据过程中发送端需要满足的约束条件，该优化问题是凸问题，存在唯一解；

(2)求解优化问题

对上述优化问题中的式子进行数学变换，(1)式中可以看出电池中可用的能量B_i与第i时隙之前的时隙发送端电池所收集的能量有关，这是因为受到能量因果约束，联立(1)式和(5)式可得：

T₁p₁≤E₀,

上式表明第一个时隙发送端消耗的能量应小于或等于原始能量；

T₁p₁+T₂p₂≤E₀+E₁,

上式表明前二个时隙发送端消耗的总能量小于或等于收集的总能量，同理以此类推，直到

T₁p₁+T₂p₂+...+T_ip_i+...+T_N+1p_N+1≤E₀+E₁+...+E_i-1+...+E_N,

上式表明前N个发送端时隙消耗的总能量小于或等于收集的总能量；

为了方便，我们将上述式子归纳为：

$\underset{i=1}{\overset{k+1}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i,k=0,...,N---\left(7\right)$

利用凸优化理论将原始最大优化问题进行转换，于是得到与式(4)-(6)相等意义的最小优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{p_i\≥0}{\min }& -\underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}log(1+p_i)\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{cc}subjectto& \underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤\end{array}\underset{i=0}{\overset{k-1}{\Σ}}{E}_i,k=1,\mathrm{...},N+1---\left(9\right)$

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{P}_i\≤E_{max},k=1,...,N---\left(10\right)$

根据凸优化理论，可得拉格朗日函数：

$L=-\underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}\log (1+p_i)+\underset{k=1}{\overset{N+1}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_k(\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i-\underset{i=1}{\overset{k-1}{\Σ}}{E}_i)+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\η}}_k(\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i-E_{\max })---\left(11\right)$

其中λ_k为与(9)式对应的拉格朗日乘子；η_k为与(10)式对应的拉格朗日乘子，

由卡罗需-库恩-塔克条件对拉格朗日函数L求解，可得最优解p_i ^*的闭式解的表达式：

$p_i^{*}=\frac{1}{2ln2*({\Σ}_{k=i}^{N+1}{\mathrm{\λ}}_k-{\Σ}_{k=i}^N{\mathrm{\η}}_k)}-1,i=1,...,N---\left(12\right)$

下面我们通过子梯度下降迭代法来求解最优值的具体值：

1)设置初始迭代次数n＝0，两组朗格朗日乘子的初始值分别用N+1维向量λ(0)和N维向量η(0)表示为：

λ(0)＝[λ₁,λ₂,...,λ_N+1]；

η(0)＝[η₁,η₂,...,η_N]；

设置步长ε，ε表示该子梯度下降迭代法中的迭代步长；

将λ(0)和η(0)的值代入式(12)和(13)可得一组最优解的具体值；

2)当迭代次数为n时，用λ(n)，η(n)表示当前的两组拉格朗日乘子，并将λ(n)和η(n)的值代入式(12)和(13)可得一组最优解的具体值；

3)采用以下2式来更新2组拉格朗日乘子：

λ(n+1)＝λ(n)+εΔλ，梯度Δλ为N+1维向量，其中第k个值为η(n+1)＝η(n)+εΔη，梯度Δη为N维向量，其中第k个值为于是得到向量λ(n+1)中的第k(k＝1,...,N+1)个值：和向量η(n+1)中的第k(k＝1,...,N)个值：这样我们可得到两组更新后的拉格朗日乘子λ(n+1)和η(n+1)的值；

4)令λ^*＝λ(n+1)，η^*＝η(n+1)

将λ^*和η^*值代入式(12)和(13)可得一组最优解的具体值，若λ^*和η^*在精度误差允许范围内，则输出最优拉格朗日乘子λ^*和η^*；若λ^*和η^*不在精度误差允许范围内，则令n＝n+1，重复步骤2)和3)；

5)得到最优解的具体值：

利用式(12)-(13)中的闭式解表达式并通过上述子梯度下降迭代法，得到最优解的具体值。

本发明的有益效果如下：

本发明方法不仅能实现数据发送过程中吞吐量最大化从而增强无线信道的性能，而且能保证数据发送的相关要求，相比传统无线系统，带有可收集能量节点的无线系统具有使用寿命明显较长、受环境约束力小、持久性高等优点，是对无线通信系统性能的一大改善。此类系统中，在发送数据的同时，节点可以收集能量以供使用。该系统中，位于发送端的电池容量有限，分析数据的点对点通信，以实现在截至时间内吞吐量最大化。为实现该目的，分配发送端的功率并使之受能量因果约束和电池容量有限约束。

附图说明

图1为本发明的基于能量收集的无线信道数据发送的结构示意图

Tx表示数据发送端，在发送端有收集能量并存储能量的电池(E_max表示电池最大存储容量，E_i表示能量收集过程中到达的能量)以及待发送的数据，表示信道增益h是乘性信道增益，表示噪声σ²是加性噪声，Rx表示数据接收端，发送端Tx利用电池收集的能量通过增益为h的信道、以功率p_i向接收端Rx发送数据，发送过程中受噪声N的影响，通过合理分配p_i寻找到最优功率分配方法

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，但不限于此。

实施例：

本发明实施例如图1所示，一种基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法，由基于能量收集的数据通信系统来实现：该系统包括发送端Tx、接收端Rx，在发送端有存放待发送数据的数据队列和用来收集能量的电池，接收端用来接收数据；采用平稳信道即信道增益h(t)＝1；假设已知时间[0,T]内的时刻{t₁,t₂,...t_i,...,t_N}，对应每个时刻到达发送端电池的能量大小为{E₁,E₂,...,E_i,...,E_N}，其中初始时刻发送端电池中有能量E₀，定义电池最大存储容量为E_max，则对所有i均有E_i≤E_max；相邻的两次能量到达发送端电池的时间间隔定义为一个“时隙”，第i个时隙表示的时间区间为[t_i-1,t_i)，则第i个时隙的时长表示为T_i＝t_i-t_i-1，最后一个时隙时长T_N+1＝T-t_N；规定在每个时隙中系统发送端发送数据的功率须是恒定的，用p_i,i＝1,...,N+1表示；集合表示能量到达发送端电池的时刻以及各时刻到达发送端电池的能量的集合，该分配方法步骤如下：

(1)确定优化问题

定义B_i为t_i时刻电池中可用的能量，得到：

B_i＝B_i-1-T_ip_i+E_i (1)

其中B₀＝E₀，B₀表示电池中初始时的可用能量；我们的目的是在T时间内，给定发送端电池收集的能量前提下实现数据发送过程中的吞吐量最大化，同时要满足以下两个约束条件：约束条件1：在每个时隙内，发送端发送数据所消耗的能量不能大于电池中可用的能量，即：

T_ip_i≤B_i-1,i＝1,...,N+1 (2)

约束条件2：电池容量有限约束，即发送端电池收集的能量减去发送数据消耗的能量，剩余能量要小于或等于电池存储最大容量：

(E₀+E₁)-T₁p₁≤E_max，

上式表示在第一个时隙末，收集的能量减去消耗的能量要小于或等于电池最大容量E_max；

(E₀+E₁+E₂)-(T₁p₁+T₂p₂)≤E_max，

上式表示在第二个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

(E₀+E₁+E₂+E₃)-(T₁p₁+T₂p₂+T₃p₃)≤E_max，

上式表示在第三个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

同理以此类推，直到

(E₀+E₁+E₂+E₃+...+E_N)-(T₁p₁+T₂p₂+T₃p₃+...+T_Np_N)≤E_max，

上式表示在第N个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

为了方便，我们将上述式子归纳为：

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,...,N---\left(3\right)$

其中表示对E_i从E₀一直到E_k的求和；表示对T_ip_i从T₁p₁一直到T_kp_k的求和，这样我们可以构造如下优化问题为：

$\begin{array}{cc}\underset{p_i\≥0}{\max }& \underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}log(1+p_i)\end{array}---\left(4\right)$

subject to T_i+1p_i+1≤B_i,i＝0,...,N (5)

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,...,N---\left(6\right)$

式(4)中符号max表示求最大值符号，该符号后为目标函数，符号subject to表示约束符号，表示时间[0,T]内发送数据量最大化即吞吐量最大化，(5)式和(6)式分别为发送数据过程中发送端需要满足的约束条件，该优化问题是凸问题，存在唯一解；

(2)求解优化问题

对上述优化问题中的式子进行数学变换，(1)式中可以看出电池中可用的能量B_i与第i时隙之前的时隙发送端电池所收集的能量有关，这是因为受到能量因果约束，联立(1)式和(5)式可得：

T₁p₁≤E₀,

上式表明第一个时隙发送端消耗的能量应小于或等于原始能量；

T₁p₁+T₂p₂≤E₀+E₁,

上式表明前二个时隙发送端消耗的总能量小于或等于收集的总能量，同理以此类推，直到

T₁p₁+T₂p₂+...+T_ip_i+...+T_N+1p_N+1≤E₀+E₁+...+E_i-1+...+E_N,

上式表明前N个发送端时隙消耗的总能量小于或等于收集的总能量；

为了方便，我们将上述式子归纳为：

$\underset{i=1}{\overset{k+1}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i,k=0,...,N---\left(7\right)$

利用凸优化理论将原始最大优化问题进行转换，于是得到与式(4)-(6)相等意义的最小优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{p_i\≥0}{\min }& -\underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}log(1+p_i)\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{cc}subjectto& \underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤\end{array}\underset{i=0}{\overset{k-1}{\Σ}}{E}_i,k=1,\mathrm{...},N+1---\left(9\right)$

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,...,N---\left(10\right)$

根据凸优化理论，可得拉格朗日函数：

$L=-\underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}\log (1+p_i)+\underset{k=1}{\overset{N+1}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_k(\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i-\underset{i=1}{\overset{k-1}{\Σ}}{E}_i)+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\η}}_k(\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i-E_{\max })---\left(11\right)$

其中λ_k为与(9)式对应的拉格朗日乘子；η_k为与(10)式对应的拉格朗日乘子，

由卡罗需-库恩-塔克条件对拉格朗日函数L求解，可得最优解的闭式解的表达式：

$p_i^{*}=\frac{1}{2ln2*({\Σ}_{k=i}^{N+1}{\mathrm{\λ}}_k-{\Σ}_{k=i}^N{\mathrm{\η}}_k)}-1,i=1,...,N---\left(12\right)$

下面我们通过子梯度下降迭代法来求解最优值的具体值：

1)设置初始迭代次数n＝0，两组朗格朗日乘子的初始值分别用N+1维向量λ(0)和N维向量η(0)表示为：

λ(0)＝[λ₁,λ₂,...,λ_N+1]；

η(0)＝[η₁,η₂,...,η_N]；

设置步长ε，ε表示该子梯度下降迭代法中的迭代步长；

将λ(0)和η(0)的值代入式(12)和(13)可得一组最优解的具体值；

2)当迭代次数为n时，用λ(n)，η(n)表示当前的两组拉格朗日乘子，并将λ(n)和η(n)的值代入式(12)和(13)可得一组最优解的具体值；

3)采用以下2式来更新2组拉格朗日乘子：

λ(n+1)＝λ(n)+εΔλ，梯度Δλ为N+1维向量，其中第k个值为η(n+1)＝η(n)+εΔη，梯度Δη为N维向量，其中第k个值为于是得到向量λ(n+1)中的第k(k＝1,...,N+1)个值：和向量η(n+1)中的第k(k＝1,...,N)个值：这样我们可得到两组更新后的拉格朗日乘子λ(n+1)和η(n+1)的值；

4)令λ^*＝λ(n+1)，η^*＝η(n+1)

将λ^*和η^*值代入式(12)和(13)可得一组最优解的具体值，若λ^*和η^*在精度误差允许范围内，则输出最优拉格朗日乘子λ^*和η^*；若λ^*和η^*不在精度误差允许范围内，则令n＝n+1，重复步骤2)和3)；

5)得到最优解的具体值：

利用式(12)-(13)中的闭式解表达式并通过上述子梯度下降迭代法，得到最优解的具体值。

Claims (1)

1.一种基于能量收集的通信系统信道数据发送的最优功率分配方法，由基于能量收集的数据通信系统来实现：该系统包括发送端Tx、接收端Rx，在发送端有存放待发送数据的数据队列和用来收集能量的电池，接收端用来接收数据；采用平稳信道即信道增益h(t)＝1；假设已知时间[0,T]内的时刻{t₁,t₂,...t_i,...,t_N}，对应每个时刻到达发送端电池的能量大小为{E₁,E₂,...,E_i,...,E_N}，其中初始时刻发送端电池中有能量E₀，定义电池最大存储容量为E_max，则对所有i均有E_i≤E_max；相邻的两次能量到达发送端电池的时间间隔定义为一个“时隙”，第i个时隙表示的时间区间为[t_i-1,t_i)，则第i个时隙的时长表示为T_i＝t_i-t_i-1，最后一个时隙时长T_N+1＝T-t_N；规定在每个时隙中系统发送端发送数据的功率须是恒定的，用p_i,i＝1,...,N+1表示；集合表示能量到达发送端电池的时刻以及各时刻到达发送端电池的能量的集合，该分配方法步骤如下：

(1)确定优化问题

定义B_i为t_i时刻电池中可用的能量，得到：

B_i＝B_i-1-T_ip_i+E_i (1)

其中B₀＝E₀，B₀表示电池中初始时的可用能量；我们的目的是在T时间内，给定发送端电池收集的能量前提下实现数据发送过程中的吞吐量最大化，同时要满足以下两个约束条件：约束条件1：在每个时隙内，发送端发送数据所消耗的能量不能大于电池中可用的能量，即：

T_ip_i≤B_i-1,i＝1,...,N+1 (2)

约束条件2：电池容量有限约束，即发送端电池收集的能量减去发送数据消耗的能量，剩余能量要小于或等于电池存储最大容量：

(E₀+E₁)-T₁p₁≤E_max，

上式表示在第一个时隙末，收集的能量减去消耗的能量要小于或等于电池最大容量E_max；

(E₀+E₁+E₂)-(T₁p₁+T₂p₂)≤E_max，

上式表示在第二个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

(E₀+E₁+E₂+E₃)-(T₁p₁+T₂p₂+T₃p₃)≤E_max，

上式表示在第三个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

同理以此类推，直到

(E₀+E₁+E₂+E₃+...+E_N)-(T₁p₁+T₂p₂+T₃p₃+...+T_Np_N)≤E_max，

上式表示在第N个时隙末，收集的总能量减去消耗的总能量要小于或等于电池最大容量E_max；

为了方便，我们将上述式子归纳为：

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,\mathrm{...},N---\left(3\right)$

其中表示对E_i从E₀一直到E_k的求和；表示对T_ip_i从T₁p₁一直到T_kp_k的求和，这样我们可以构造如下优化问题为：

$\begin{array}{cc}\underset{p_i\≥0}{\max }& \underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}log(1+p_i)\end{array}---\left(4\right)$

subject to T_i+1p_i+1≤B_i,i＝0,...,N(5)

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,\mathrm{...},N---\left(6\right)$

式(4)中符号max表示求最大值符号，该符号后为目标函数，符号subject to表示约束符号，表示时间[0,T]内发送数据量最大化即吞吐量最大化，(5)式和(6)式分别为发送数据过程中发送端需要满足的约束条件，该优化问题是凸问题，存在唯一解；

(2)求解优化问题

对上述优化问题中的式子进行数学变换，(1)式中可以看出电池中可用的能量B_i与第i时隙之前的时隙发送端电池所收集的能量有关，这是因为受到能量因果约束，联立(1)式和(5)式可得：

T₁p₁≤E₀,

上式表明第一个时隙发送端消耗的能量应小于或等于原始能量；

T₁p₁+T₂p₂≤E₀+E₁,

上式表明前二个时隙发送端消耗的总能量小于或等于收集的总能量，同理以此类推，直到T₁p₁+T₂p₂+...+T_ip_i+...+T_N+1p_N+1≤E₀+E₁+...+E_i-1+...+E_N,

上式表明前N个发送端时隙消耗的总能量小于或等于收集的总能量；

为了方便，我们将上述式子归纳为：

$\underset{i=1}{\overset{k+1}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_r,k=0,\mathrm{...},N---\left(7\right)$

利用凸优化理论将原始最大优化问题进行转换，于是得到与式(4)-(6)相等意义的最小优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{p_i\≥0}{\min }& -\underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}log(1+p_i)\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{cc}subjectto& \underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤\underset{i=0}{\overset{k-1}{\Σ}}{E}_i,k=1,\mathrm{...},N+1\end{array}---\left(9\right)$

$\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i\≤E_{max},k=1,\mathrm{...},N---\left(10\right)$

根据凸优化理论，可得拉格朗日函数：

$L=-\underset{i=1}{\overset{N+1}{\Σ}}\frac{T_i}{2}\log (1+p_i)+\underset{k=1}{\overset{N+1}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_k(\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i-\underset{i=0}{\overset{k-1}{\Σ}}{E}_i)+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\η}}_k(\underset{i=0}{\overset{k}{\Σ}}{E}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{T}_i{p}_i-E_{\max })---\left(11\right)$

其中λ_k为与(9)式对应的拉格朗日乘子；η_k为与(10)式对应的拉格朗日乘子，

由卡罗需-库恩-塔克条件对拉格朗日函数L求解，可得最优解的闭式解的表达式：

$p_i^{*}=\frac{1}{2ln2*({\mathrm{\Σ}}_{k=i}^{N+1}{\mathrm{\λ}}_k-{\mathrm{\Σ}}_{k=i}^N{\mathrm{\η}}_k)}-1,i=1,\mathrm{...},N---\left(12\right)$

当i＝N+1 (13)

下面我们通过子梯度下降迭代法来求解最优值i＝1,...,N+1的具体值：

1)设置初始迭代次数n＝0，两组朗格朗日乘子的初始值分别用N+1维向量λ(0)和N维向量η(0)表示为：

λ(0)＝[λ₁,λ₂,...,λ_N+1]；

η(0)＝[η₁,η₂,...,η_N]；

设置步长ε，ε表示该子梯度下降迭代法中的迭代步长；

将λ(0)和η(0)的值代入式(12)和(13)可得一组最优解i＝1,...,N+1的具体值；

2)当迭代次数为n时，用λ(n)，η(n)表示当前的两组拉格朗日乘子，并将λ(n)和η(n)的值代入式(12)和(13)可得一组最优解i＝1,...,N+1的具体值；

3)采用以下2式来更新2组拉格朗日乘子：

λ(n+1)＝λ(n)+εΔλ，梯度Δλ为N+1维向量，其中第k个值为η(n+1)＝η(n)+εΔη，梯度Δη为N维向量，其中第k个值为于是得到向量λ(n+1)中的第k(k＝1,...,N+1)个值：和向量η(n+1)中的第k(k＝1,...,N)个值：这样我们可得到两组更新后的拉格朗日乘子λ(n+1)和η(n+1)的值；

4)令λ^*＝λ(n+1)，η^*＝η(n+1)

将λ^*和η^*值代入式(12)和(13)可得一组最优解i＝1,...,N+1的具体值，若λ^*和η^*在精度误差允许范围内，则输出最优拉格朗日乘子λ^*和η^*；若λ^*和η^*不在精度误差允许范围内，则令n＝n+1，重复步骤2)和3)；

5)得到最优解i＝1,...,N+1的具体值：

利用式(12)-(13)中的闭式解表达式并通过上述子梯度下降迭代法，得到最优解i＝1,...,N+1的具体值。