CN106295054A - 不规则边界河道河床表面分形维数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种不规则边界河道河床表面分形维数计算方法，属于河床演变学领域。提出将分形维数的概念应用于描述河床表面形态，在建立河床表面DEM的基础上，根据表面积‑尺度法原理，对其不规则边界处理、空间四边形面积计算及无标度区判断等方面进行改进，计算河床表面分形维数。该方法对天然河道河床表面分形计算具有较好的适用性，可基于河床表面DEM，来计算得出不规则边界下的河床表面分形维数，定量描述河床不规则性及多尺度性，解释河流曲折程度和表面形态的复杂性，进而分析河床演变中的河势、河相变化甚至河型演变。

Description

不规则边界河道河床表面分形维数计算方法

技术领域

本发明涉及河床演变学领域，特别是涉及不规则边界河道河床表面分形维数计算方法。

背景技术

河流以一定边界形态承载水流和泥沙的输移并且受自然营力和人类活动的影响。河床正是这个控制河道水沙运动的边界。这个边界有两个主要特点：可动性与三维性，其中，可动性是其最大的特点：河床即是河道水沙运动的约束，又是河道水沙运动的结果。作为边界，它影响着河道水流的流动结构、水流阻力，水流又影响着泥沙输运，泥沙输运的过程则又会对河床重新进行塑造。河床另一个特点就是其形态具有三维性。床面形态随着水流条件和紊动结构的不同而千差万别，多呈现出冲淤起起伏伏，是一个极不规则的三维结构，其在冲积河流河床、碎屑滨岸带、深海海底都会出现。由于河床形态亦是复杂的，自然中的河流，忽宽忽窄、忽分忽合，其走向弯弯曲曲，河床起起伏伏，大至洲滩深槽、小至沙波沙粒，无不体现着其形态的不规则性、多尺度性以及复杂性，即使是从一、二维形态对其简化描述，亦很难对其复杂性进行准确的表达。

河床几何形态是有序结构，具有自相似性和其他分形特征，利用分形几何有关原理可以方便解释河流曲折程度和表面形态的复杂性。描述这些特性的分数维反映其自相似的程度，还可由统计分形来描述其不规则性及多尺度性，其分形维数与河床演变中的河势、河相甚至河型都有关系。河流几何形态通常包括三个方面：即平面形态、深泓纵剖面形态及横断面形态。目前国内外学者一般亦通过对上述三个方面进行分形研究，来探讨河流几何形态的分形特征及其应用价值。

对河床平面形态的研究，始于Nikora等人。Nikora等研究了地貌齐性河段(MHRS)平面形态(河流中心线)的分形结构，得到河床形态分维D、曲折性及河道宽度和河谷看度的关系。结果表明，D可以作为描述MHRS平面形态内部结构的一个新的有效参数，此后又与Sapozhnikov、Foufpula、Georgou、Nykane等提出了分析河道自相似性和自仿射物体标度指数的对数关联积分算法。Sapozhnikov等用这一方法研究了三条具有不同标度和水文地貌特征的辫状河道的平面形态，发现尽管三条河流在尺度(辫状平原宽度0.5-15km)、比降(7×10-3-8×10-5)、河床物质组成(从砾石到细沙)方面差异很大，但空间标度数值很接近。冯平、白玉川等先后对弯曲河流的分形维数进行了研究，认为分形维数较之弯曲度能较好地刻画河流平面形态的蜿蜒性和不规则性，甚至有希望成为河型分类的指标。朱嘉伟等研究了黄河下游反映河流弯曲程度的分形维数与浅滩发育的关系。

Robert.A.和金德生先后分别对河道断面及深泓纵剖面分维(其分形维数介于1～2)进行了研究，认为河道剖面具有分形特征，且河流纵剖面分形维数与河流坡降有着密切的关系。河道纵剖面分维值是河道纵剖面复杂程度的一种量度，也是河流纵向消能的一种量度，它具有时空变化，受制于不同河型环境因素的变化。因此可以运用环境因素变化导致D值的变化来分析和预测河流纵比降的变化，预测纵剖面发育特征，也可以作为河型演变趋势分析依据的佐证。

河流几何形态分形研究基本上处于初步阶段，还仅局限于各剖面形态的分形分析，尚缺乏针对整个河床表面形态的分形研究。

对于复杂表面的分形维数计算，近年来已经取得了很多有意义的成果，但长期以来没有一种非常准确、方便、规范的测定方法，Mandelbrot也提出以剖线的维数(周长-面积法)加1近似表示整个复杂表面的分形维数，但这仅仅适用于各向同性的表面，而对于自然中的河流则肯定是不够准确的。

为了解决这一问题，很多学者提出对复杂表面进行直接分析测量，即直接测量河床表面的分维，从而给出介于2和3之间的维数，其中表面积-尺度法、立方体覆盖法、吸附法等最具代表性。其中吸附法是以不同的压强作用于流体介质，然后通过测定复杂表面所吸附的介质体积来计算分形维数，这主要用于多孔介质的表面结构，如土体剖面、布料、食品等多孔材料，以下内容不作讨论。能应用于地形或岩石、金属断面等复杂表面分维估算的主要为立方体覆盖法及表面积-尺度法等，以下则将上述两种方法及取剖线法的计算原理、对河道地形的适用性等进行了总结分析，见表1。

表1表面分形维数计算方法对比

表中A为表面积，D为表面分维，D_x、D_y分别为纵、横向线分维，N(r)为非空立方体个数，r为尺码；表中对不足之处及适用性分析主要是针对河床表面分维特征而言的。

显然采用上述三种方法来计算表面分维都存在一定的估算程度，其对边界的规则程度都有着不同程度的要求，对于河床地形起伏程度与平面尺度存在较大差异的不规则边界河床，即使是采用表面积——尺度法来进行计算，仍会存在较大误差。

发明内容

为解决不规则边界河床形态调整的量化问题，本发明提出以河床表面分形维数来量化河床形态，并根据表面积-尺度法原理，在对其表面积估算、边界处理及无标度区判断等方面进行改进的基础上，结合GIS技术，给出了以DWG格式河道水下地形图为数据源计算河床表面分形维数的方法。

一种不规则边界河道河床表面分形维数计算方法，包括如下步骤：

步骤一、给河道范围以外的点赋予一个高程值：

在网格覆盖河道表面DEM以后，按照网格化以后的天然河道范围，将河道边界外的点统一赋予高程值H，所述高程值H至少大于河道最高点高程值的4倍以上；

步骤二、对每个空间四边形S是否处于河道边界上进行判断

对于所考虑的地形表面G，用正方形网格覆盖后地形表面G被可分成m(r)×n(r)个投影边长为r的空间四边形，每个空间四边形的4个角点在G上对应4个高度，即在每一个格子内上存在4个点a[i，j，h(i，j)]，b[i+1，j，h(i+1，j)]，c[i+1，j+1，h(i+1，j+1)]，d[i，j+1，h(i，j+1)]，将a，b，c，d 4点连接如即为空间四边形S，对每个空间四边形S是否处于河道边界上进行判断的判断规则如下：

(1)空间四边形S各角点均在河道边界范围以内，即其4点高程值之和小于H，条件为

H>h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)

(2)空间四边形S有三点在边界内，一点边界外的情况，必须满足S各角点高程之和大于H并小于2倍H，即条件

2H>h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)>H

(3)空间四边形S有两个点及以上都处在边界外，即S各角点高程之和大于2倍H，即条件

2H<h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)

步骤三、计算空间四边形S的面积

(1)S各角点均在河道边界范围以内，直接用海伦公式来计算空间四边形面积S_ij，即

$S_{ij}=\sqrt{P_{ij}(P_{ij}-|ab\left|\right)(P_{ij}-|ad\left|\right)(P_{ij}-|bd\left|\right)}+\sqrt{Q_{ij}(Q_{ij}-|bd\left|\right)(Q_{ij}-|cd\left|\right)(Q_{ij}-|bc\left|\right)}$

式中：

$Q_{ij}=\frac{1}{2}\left(\right|cd|+|bc|+|bd\left|\right)$

$\left|ab\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i,j)-h(i+1,j)\&rsqb;}^2}$

$\left|bc\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i+1,j)-h(i+1,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|cd\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i+1,j+1)-h(i,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|ad\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i,j)-h(i,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|bd\right|=\sqrt{2r^2+{\&lsqb;h(i,j+1)-h(i+1,j)\&rsqb;}^2}$

(2)对于三点在边界内，一点边界外的情况，将该三点围成的三角形面积乘2近似为该空间四边形面积S_ij，即

或

$S_{ij}=2\sqrt{Q_{ij}(Q_{ij}-|bd\left|\right)(Q_{ij}-|cd\left|\right)(Q_{ij}-|bc\left|\right)}---(3-2)$

(3)对于仅一点在边界内或两点在边界内、两点边界外的情况，不计算该方格的面积；

步骤四：计算地形表面G表面积以及分形维数

地形表面G的表面积A计算公式为：

$A=\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{S}_{ij}$

记下不同的尺度r覆盖G后所得到的表面积A(r)，则其与面维数D存在如下等式

A(r)＝A_pr^2-D

其中A(r)是不同尺码覆盖后的表面积，r是尺码，A_p为覆盖对象对应的平面面积，D即为河床表面的分形维数，介于2-3之间；

对A(r)＝A_pr^2-D两边取对数即可得分形维数

$D=2-\frac{\ln A\left(r\right)-{\mathrm{lnA}}_p}{\ln r}.$

本发明将分形维数的概念应用于描述河床表面形态，在建立河床表面DEM的基础上，根据表面积-尺度法原理，对其表面积估算、边界处理及无标度区判断等方面进行改进，计算河床表面分形维数。该方法对河床表面分形计算具有较好的适用性，并具有高效、准确的特点。由统计河床表面DEM分形来描述河床不规则性及多尺度性，解释河流曲折程度和表面形态的复杂性，进而分析河床演变中的河势、河相甚至河型演变。

附图说明

图1是河床表面投影覆盖法示意图；

图2是投影覆盖法计算分维时面积估算示意图；

图3是长江宜都河段分维计算；

图4宜昌河段划分示意图；

图5宜昌河段及其汊道段BSD年际变化图。

具体实施方式

在分形几何中，码尺法和覆盖法是最常用的维数计算方法。对复杂的无规则曲线，很容易直接用码尺法估算其分维。而对于河床表面，就不可能用具有某一尺度的二维欧氏几何体如圆、正方形及三角形等来直接度量河床表面，因此不得不采用间接度量的方法。应用于河床表面分维估算的码尺法即为表面积-尺度法，因具体的表面积估算方法不同，其又有着各自的名称。早期的方法是Clarke提出的三角形棱柱表面积法，而后谢和平对此进行了改进，提出了投影覆盖法。对于所考虑的地形表面G，若用正方形网格覆盖，如图1，那么地形表面G就被可分成m(r)×n(r)个投影边长为r的空间四边形，每个空间四边形的4个角点在G上对应4个高度，即在每一个格子内上存在4个点a[i，j，h(i，j)]，b[i+1，j，h(i+1，j)]，c[i+1，j+1，h(i+1，j+1)]，d[i，j+1，h(i，j+1)]，将a，b，c，d 4点连接如图2，即为空间四边形S。可使其所围区域简化为两个空间三角形，然后通过计算该两个三角形面积之和来逼近每一个方格对应的空间四边形面积S_ij，但是前人在计算三角形面积时将此空间三角形近似看作为直角三角形，以式(1)来计算S_ij：

$S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\right|ad|\&CenterDot;|ab|+|cd|\&CenterDot;|bc\left|\right)---\left(1\right)$

很明显，图2中的abd和bcd两个空间三角形未必是直角三角形，式(1)是不尽合理的，同时，由于河道边界多为不规则，在网格覆盖时，边界上的空间四边形可能处于河道范围以外，这点完全不同于以往规则边界的表面分维计算，必须考虑针对天然河道的不规则边界处理、空间四边形面积计算以及相应的无标度区判定问题。本发明对此进行研究，提出新的计算方案如下：

一种不规则边界河道河床表面分形维数计算方法，包括如下步骤：

步骤一：给河道范围以外的点赋予一个极大高程值。

在网格覆盖河道表面DEM以后，按照网格化以后的天然河道范围，将河道边界外的点统一赋予极大高程值H，至少大于河道最高点高程值的4倍以上。这一步骤可以由当前的GIS类商业软件操作完成。如此设计可以保证边界内的四个角点高程之和不会大于该设定值。

步骤二：对每个空间四边形S是否处于河道边界上进行判断，判断规则如下：

(1)S各角点均在河道边界范围以内，即其4点高程值之和小于H，条件为

H>h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1) (2-1)

(2)S有三点在边界内，一点边界外的情况，必须满足S各角点高程之和大于H并小于2倍H，即条件

2H>h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)>H (2-2)

(3)S有两个点及以上都处在边界外，即S各角点高程之和大于2倍H，即条件

2H<h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1) (2-3)

如此，即可判别出每个空间四边形与河道边界上的几何关系。

步骤三：计算空间四边形S的的面积。

显然，空间四边形是否处在河道边界之上，其面积计算方法是截然不同的，需要分类处理。

(1)S各角点均在河道边界范围以内，可直接用海伦公式来计算空间四边形面积S_ij，即

$S_{ij}=\sqrt{P_{ij}(P_{ij}-|ab\left|\right)(P_{ij}-|ad\left|\right)(P_{ij}-|bd\left|\right)}+\sqrt{Q_{ij}(Q_{ij}-|bd\left|\right)(Q_{ij}-|cd\left|\right)(Q_{ij}-|bc\left|\right)}---(3-1)$

式中：

$Q_{ij}=\frac{1}{2}\left(\right|cd|+|bc|+|bd\left|\right)$

$\left|ab\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i,j)-h(i+1,j)\&rsqb;}^2}$

$\left|bc\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i+1,j)-h(i+1,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|cd\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i+1,j+1)-h(i,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|ad\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i,j)-h(i,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|bd\right|=\sqrt{2r^2+{\&lsqb;h(i,j+1)-h(i+1,j)\&rsqb;}^2}$

(2)对于三点在边界内，一点边界外的情况，将该三点围成的三角形面积乘2近似为该空间四边形面积S_ij，即

或

$S_{ij}=2\sqrt{Q_{ij}(Q_{ij}-|bd\left|\right)(Q_{ij}-|cd\left|\right)(Q_{ij}-|bc\left|\right)}---(3-2)$

(3)对于仅一点在边界内或两点在边界内、两点边界外的情况，不计算该方格的面积。

值得指出的是，对于规则边界，如矩形或方形，则不存在边界附近的面积估算问题，因此本发明专门适用于如天然河道这样的不规则边界表面分维计算，同时通过边界条件判断，也可以用于规则边界的表面分维计算。

步骤四：计算地形表面G表面积以及分形维数

在判断出方格空间各点相对于边界的位置以后，分别计算各S_ij，然后G的表面积A则可写成

$A=\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{S}_{ij}---\left(4\right)$

记下不同的尺度r覆盖G后所得到的表面积A(r)，则其与面维数D存在如下等式

A(r)＝A_pr^2-D (5)

其中A(r)是不同尺码覆盖后的表面积，r是尺码，A_p为覆盖对象对应的平面面积，D即为河床表面的分形维数，介于2-3之间。

这里值得讨论的一点是A_p的取值，在前人文献中，由于涉及多为规则区域，故对此几乎没有特殊的说明。对于规则边界，如果网格划分的较为合适，A_p可以为一个定值，通常以C₀直接替代；对于不规则边界，则A_p随每次尺码的变化而变化，这种变化显然是因为边界处面积的近似处理所引起的，其与边界的不规则程度有关，这样在每次覆盖时，需要同时计算表面积和平面面积。如此两种处理，即可得到两个不同、又互有联系的分形维数，计算公式如下，

若A_p为不同尺码对应的平面面积，对(5)式两边取对数可得分形维数

$D=2-\frac{\ln A\left(r\right)-{\mathrm{lnA}}_p}{\ln r}---\left(6\right)$

若将A_p视为常数，则上式可为

$D_s=2-\frac{\ln A\left(r\right)-\ln C}{\ln r}---\left(7\right)$

根据式(6)、(7)不难发现，D与Ds的差值是一定的，其可由下式计算得来，即

$D_p=-\frac{{\mathrm{lnA}}_p-{\mathrm{lnC}}_0}{\ln r}---\left(8\right)$

D_s＝D+D_p (9)

在河床表面形态分维计算时，对于同一河道边界，D_p为一常数，D与D_s则均可反映床面形态的分形特征，其变化的规律、幅度也都将一致。考虑到，(1)河床形态，不但包涵着河床的表面形态，也应当包涵河道边界的形态，而河床的边界形态同时亦影响着河床表面形态，可以说，河床边界形态是可以反映在河床表面形态中的；(2)Ds尽管数值偏大，但其变化规律、幅度与D是一致的，因此本文在没有特殊说明的情况下，均以D来表征床面分维(BSFD)的大小。

对于天然河道等自然地貌，分形计算均存在无标度区判定问题，本发明采用的是人工判定法确定无标度区。经过所选河段的相关实验，发现方格尺度及无标度区判定均会对分维计算结果产生影响。因此，在做相关对比时，需保持其无标度区的一致性。因此，在具体计算中，方格尺度的范围基本是统一的，考虑到河道水下地形测图的精度，以及河道的几何尺寸，所以r的取值范围设定为(河道半宽/2n，河道半宽)，对于长江这样的大江大河而言，n推荐取4～6，计算中，方格尺度的范围基本是统一的，考虑到河道水下地形测图的精度，以及河道的几何尺寸，所以r的取值范围设定为(52m，52×24m)。

在无标度区确定以后，即在该区间范围内，在上述步骤的基础上，采用公式(6)对分形维数D进行求解，D求解与求单一曲线的方法类似，用不同的尺度r求出不同的面积A，然后分别将A/r2和r取对数，并运用线形回归拟合直线，得到斜率K，床面分维值D即为-K+2。

图3给出了长江宜都河段的分维计算结果，其方格覆盖如图1。K为-0.0003，其床面分维值D即为2.0003。

效果验证：

以长江宜昌河段为算例，分析基于本发明得出的河床表面分形维数的物理意义和合理性。

宜昌河段上接葛洲坝水利枢纽，下至虎牙滩，长20余公里，为两岸约束性强的顺直河型，其河床形态具有顺直中水分汊河段和近坝河段的特征，一方面其上段为分汊段，下段为顺直、微弯单一段；另一方面在三峡工程蓄水后其年际间以冲刷为主，深泓有集中下切的趋势，滩槽差加大，河床表面起伏变大。

以临江坪为界，将其分为上、下两段，上段为分汊河段，下段为单一段，如图4。通常，分汊段因江心洲的存在，其床面起伏和形貌复杂程度均大于单一河段。

依据宜昌河段2003年3月至2008年3月的实测水下地形，对宜昌河段及其汊道段各年分维进行了对比，其计算结果如图5。

从图中可以看出：

(1)空间上，各年汊道段BSD(河床表面分形维数)均大于长河段同时期BSD；

(2)时间上，无论长河段还是汊道段，其年际BSD均呈增大态势。

具体河段空间上，长河段由汊道段与其下单一段组成，其总体上的床面起伏程度小于汊道段，与之相应，汊道段各年BSD均大于长河段。

而宜昌河段BSD的时间变化，其增大趋势显然与其年际的冲刷调整趋势是相关的，尤其是三峡蓄水以后其深泓的集中下切以及胭脂坝洲头的冲刷崩退对其BSD有较大影响。

通过实际河段BSD计算结果分析可知，BSD可以量化河床表面形态冲淤起伏的剧烈程度，定量地反映河段的河势变化，本方法计算得出的BSD数值与河道实际的时空变化是一致的，其结果是科学合理的。

Claims (1)

1.一种不规则边界河道河床表面分形维数计算方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤一、给河道范围以外的点赋予一个高程值：

在网格覆盖河道表面DEM以后，按照网格化以后的天然河道范围，将河道边界外的点统一赋予高程值H，所述高程值H至少大于河道最高点高程值的4倍以上；

步骤二、对每个空间四边形S是否处于河道边界上进行判断

对于所考虑的地形表面G，用正方形网格覆盖后地形表面G被可分成m(r)×n(r)个投影边长为r的空间四边形，每个空间四边形的4个角点在G上对应4个高度，即在每一个格子内上存在4个点a[i，j，h(i，j)]，b[i+1，j，h(i+1，j)]，c[i+1，j+1，h(i+1，j+1)]，d[i，j+1，h(i，j+1)]，将a，b，c，d4点连接如即为空间四边形S，对每个空间四边形S是否处于河道边界上进行判断的判断规则如下：

(1)空间四边形S各角点均在河道边界范围以内，即其4点高程值之和小于H，条件为

H>h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)

(2)空间四边形S有三点在边界内，一点边界外的情况，必须满足S各角点高程之和大于H并小于2倍H，即条件

2H>h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)>H

(3)空间四边形S有两个点及以上都处在边界外，即S各角点高程之和大于2倍H，即条件

2H<h(i，j)+h(i+1，j)+h(i+1，j+1)+h(i，j+1)

步骤三、计算空间四边形S的面积

(1)S各角点均在河道边界范围以内，直接用海伦公式来计算空间四边形面积S_ij，即

$S_{ij}=\sqrt{P_{ij}\left(P_{ij}-\left|ab\right|\right)\left(P_{ij}-\left|ad\right|\right)\left(P_{ij}-\left|bd\right|\right)}+\sqrt{Q_{ij}\left(Q_{ij}-\left|bd\right|\right)\left(Q_{ij}-\left|cd\right|\right)\left(Q_{ij}-\left|bc\right|\right)}$

式中：

$Q_{ij}=\frac{1}{2}\left(\right|cd|+|bc|+|bd\left|\right)$

$\left|ab\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i,j)-h(i+1,j)\&rsqb;}^2}$

$\left|bc\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i+1,j)-h(i+1,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|cd\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i+1,j+1)-h(i,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|ad\right|=\sqrt{r^2+{\&lsqb;h(i,j)-h(i,j+1)\&rsqb;}^2}$

$\left|bd\right|=\sqrt{2r^2+{\&lsqb;h(i,j+1)-h(i+1,j)\&rsqb;}^2}$

(2)对于三点在边界内，一点边界外的情况，将该三点围成的三角形面积乘2近似为该空间四边形面积S_ij，即

或

$S_{ij}=2\sqrt{Q_{ij}(Q_{ij}-|bd\left|\right)(Q_{ij}-|cd\left|\right)(Q_{ij}-|bc\left|\right)}$

(3)对于仅一点在边界内或两点在边界内、两点边界外的情况，不计算该方格的面积；

步骤四：计算地形表面G表面积以及分形维数

地形表面G的表面积A计算公式为：

$A=\underset{j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{S}_{ij}$

记下不同的尺度r覆盖G后所得到的表面积A(r)，则其与面维数D存在如下等式

A(r)＝A_pr^2-D

其中A(r)是不同尺码覆盖后的表面积，r是尺码，A_p为覆盖对象对应的平面面积，D即为河床表面的分形维数，介于2-3之间；

对A(r)＝A_pr^2-D两边取对数即可得分形维数

$D=2-\frac{\ln A\left(r\right)-{\mathrm{lnA}}_p}{\ln r}.$