CN106229976B - 基于数据驱动的暂态功角稳定态势预估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，包括：基于状态空间重构理论，将电力系统暂态功角稳定分析问题分解为受扰最严重机组对系统相对功角曲线的MLE轨迹分析问题；进而，利用递推最小二乘算法，对经典的MLE计算方法进行改进；并且，进一步给出了MLE计算中针对电力系统暂态功角稳定问题的参数优选方法；最终，结合受扰严重机组对系统的MLE曲线，给出了暂态功角稳定性的判断依据，实现暂态功角稳定态势的在线预估。本发明直接利用量测信息进行在线计算，具有较高的工程应用价值。

Description

基于数据驱动的暂态功角稳定态势预估方法

技术领域

本发明涉及基于广域测量系统(WAMS)的电力系统实时监控与预警领域，具体涉及一种基于数据驱动的暂态功角稳定态势预估方法。

背景技术

电力系统暂态稳定评估是保证电力系统安全稳定运行的基础。近年来，世界范围内电力系统多次发生大面积停电事故，造成巨大损失和严重影响。大停电主要原因之一是故障或干扰后，缺乏有效的稳定态势监测方法与自适应控制策略。同时，随着分布式能源并网规模日益扩大，电力电子元件的广泛应用，电网运行工况更加复杂。传统的基于建模仿真与预想事故集的防控模式，时效性无法满足大电网在线安全防控要求，易造成系统失步、解列等严重后果。因此，开发准确、快速的大电网在线暂态稳定评估方法具有重要的理论与实践价值

近年来，基于相量测量装置(PMU)的广域测量系统(WAMS)日趋完善，使获得高分辨率、实时的电网状态信息成为可能，其为实现电网实时稳定监测和自适应控制提供了新的契机。近年来，建立在集成的、高速双向通信网络的基础上的智能电网成为国内外重要的发展战略，而电网的稳定监测和预警是其重要的功能基础。

显然，以往的依赖于系统模型的时域仿真法存在计算速度慢、不能给出稳定度的缺点，不适应电力系统在线监测。直接法计算速度快、可以给出稳定度，但是由于结果相对保守，且受系统模型的限制，在实际系统中应用还不广泛。因此必须寻求迅速、准确的电力系统暂态稳定评估方法。

目前，基于WAMS量测信息的暂态稳定研究主要集中在受扰轨迹预测、稳定特征快速提取和人工智能三个方面。在基于轨迹(或响应)预测的电网暂态稳定研究方面，通常采用相应函数进行拟合预测未来功角变化，此类方法属于经验型预测方法，预测精度受曲线本身的非线性特性影响较大；在稳定特征提取上以从相轨迹凹凸性的角度来研究暂态稳定问题为例，此方法需对发电机正确分群并等值，且其研究主要集中在一摆稳定问题上。有学者利用扩展等面积准则(EEAC)的方法评估实际系统的暂态稳定裕度，研究同样基于对同调机群的正确等值；此外还有通过人工神经网络、决策树、模糊技术、支持向量机等多种人工智能技术在暂态稳定评判问题上的应用，然而，人工智能方法依赖于与实际运行相匹配的大量、有效样本，这对于暂态稳定评估问题是难以获取的。

电力系统暂态稳定性是指系统受到扰动后各发电机保持同步运行并过渡到新的或恢复到原来稳定运行点的能力。从客观物理角度来看，电网大扰动后总存在受扰相对(转子角速度、动能或功角)变化最大的两台机组，如果二者相对功角差在有界范围内变化，则可认为电网整体暂态稳定，否则暂态失稳，因此，在WAMS的基础上，可用故障后临界机组对的等效相互作用行为评估电网整体稳定态势，文献“Determination of first swingstability limit ofmultimachine power systems through Taylor seriesexpansions”提出了受扰严重机组辨识方法。且有学者通过识别受扰严重机组对系统，并将其转化为单机转子运动方程形式，借助单机无穷大系统等面积准则(EAC)对其进行稳定评估，但在应用中利用正弦函数拟合等效功角特性曲线，有一定误差。

且从稳定状态监测角度讲，电力系统在故障或扰动后，实时响应轨迹中蕴含着丰富的能够反映系统整体运行状况的动态特征信息，从中挖掘出系统的运行特性，并对其暂态稳定态势进行量化评估，可提供更加清晰、直观、准确的评估结果。由此，文献“PMU-basedmonitoring of rotor angle dynamics”建立了基于最大李雅普诺夫指数(MLE)的系统稳定状态监测模型，并通过对PMU量测数据的频谱分析来确定MLE计算的时间窗口，但随着系统规模扩大，其基于系统模型MLE计算方法的复杂程度将显著增加，限制了方法的有效应用。文献“PMU-Based Model-Free Approach for Real-Time Rotor Angle Monitoring”与“Real-time monitoring of short-term voltage stability using PMU data”则提出完全基于PMU量测数据的暂态稳定评估方法，利用平均MLE随时间的变化轨迹对系统的稳定状态进行监测。然而，文中算法缺乏必要的理论支撑，并没有从非线性动态系统的动态发展机理上赋予判据明确的物理意义，且从评估效果上讲，暂态稳定判断所需的时间较长，影响了算法在实际中的效用。

发明内容

为解决现有技术存在的不足，本发明公开了一种基于数据驱动的暂态功角稳定态势预估方法，本发明的目的是在电网实测响应信息基础上充分挖掘电网运行特性，将动态系统稳定判断的通用理论与电力系统暂态功角稳定特征相结合，给出了具有理论依据的纯数据驱动的暂态功角稳定在线快速预判方法；方法不需要对系统进行等值、简化及同调机组辨识，仅依据受扰严重机组对系统相对功角的发展轨迹形成判据，具有较强的通用性与实用性；方法对一摆、多摆稳定判断问题均有效，并可实现多次扰动情况下的持续稳定监测。具有较小的计算量和较高的可靠性。

为实现上述目的，本发明的具体方案如下：

基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，包括以下步骤：

利用广域测量系统实时监测电力系统电网运行状态，当电网运行状态对应的参数序列发生突变时，通过故障后WAMS量测量迅速识别受扰较严重机组对系统，并实时采集其机组对相对功角时间序列曲线及并行计算各相对功角平均变化率曲线，完成量测数据准备；

在量测数据准备阶段后，根据各受扰严重机组对系统相对功角平均变化率曲线，选取最优的轨迹特征尺度ω，并在此基础上获取原始、受扰轨迹间对数欧氏距离特性曲线；

通过数据准备与轨迹特征尺度最优选取后，为减少对数欧氏距离特性曲线的波动阶段对MLE计算造成不良影响，在对基于电力系统暂态稳定分析的MLE求解之前，选择最优的MLE估计起始时刻μ；

选择最优的MLE估计起始时刻后，在线使用MLE递推最小二乘方法对MLE进行求解，实时获取受扰严重机组对系统的MLE随时间的变化曲线；

结合电力系统一摆失稳、多摆失稳及稳定状况下受扰严重机组对相对功角的时序发展特征，给出暂态功角稳定判据，并对上述步骤获取的MLE随时间的变化曲线进行稳定分析。

上述方案中，对经典的MLE计算方法进行改进，提出基于电力系统暂态稳定分析的MLE递推最小二乘计算方法。

进一步的，在故障切除时刻，对各个发电机转子角速度进行排序，分别找出对应最前3台和最后3台构成受扰相对最严重机组集合，则此两个集合间包含多组受扰严重机组对系统，以集合内最严重机组对系统的分析结果来描述整个系统的暂态稳定性。

进一步的，在计算各受扰严重机组对系统相对功角平均变化率时，在不影响通用性情况下，以机组1与机组M构成的机组对系统为例，其余机组对系统有类似轨迹。计算如下

式中：表示相对功角在第k个时段的平均变化率；θ_(1,M)(k)及θ_(1,M)(k-τ)分别表示第k个时段及第k-τ个时段的相对功角量测值；τ为平均变化率的计算时间跨度；Δt为采样时间间隔。

进一步的，在选取最优的轨迹特征尺度ω时，原始、受扰轨迹的起始点之间需有一定的时间跨度，即有如下关系

|m(n)-n|＝ω

式中：n为原始轨迹初始运行点；m(n)为受扰轨迹初始运行点；ω为原始、受扰轨迹间分离的轨迹特征尺度。

对于给定的受扰严重机组对系统，可进一步转为为单机转子运动形式，则在扰动消除后，机组间相对功角的变化率有以下三种状态：a.相对功角变化率呈现持续递增或递减变化；b.相对功角变化率呈现震荡递增或递减的阶梯式变化；c.相对功角变化率呈现周期性震荡变。

对于第一种情况，由于相对功角的变化率单调增长或减小，在较短时间跨度内原始与受扰轨迹即可迅速分离。此时，ω的选取对分离度影响并不显著，ω可选取较小的时间跨度(如ω＝1)，以减少稳定判断所需的采样等待时间。

对于第二种情况，相对功角变化率曲线存在局部的回调，为使原始、受扰轨迹尽可能达到最大分离，ω的选取原则为：以故障切除时刻相对功角平均变化率再次出现的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值。

对于第三种情况，由于轨迹存在周期性震荡，原始、受扰轨迹不易分离，ω的选取对分离度的影响较为显著。此时，ω的选取原则为：以故障切除后，相对功角平均变化率首次出现的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值；若故障切除后，相对功角平均变化率曲线位于与之间，无法到达则选取相对功角平均变化率首次出现负的最大值的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值。

进一步的，在选取估计起始时刻μ时，仍以机组1与机组M构成的受扰严重机组对系统为例，该系统在扰动后的第k个时段原始、受扰轨迹间的欧氏距离为D(k)＝|θ_(1,M)(m(n)+k)-θ_(1,M)(n+k)|。在按照前文所述方法选取ω后，可将该距离利用相对功角的多点平均变化率近似表示为

式中：表示第i个时段相对功角的平均变化率；Δt为采样时间间隔。

上式说明，对于给定机组对系统，其原始、受扰轨迹间的欧氏距离可表示为kΔt时刻相对功角平均变化率曲线中固定宽度窗口ωΔt内曲线与时间轴围成区域的面积，为减少对数欧氏距离曲线中波动阶段对MLE计算造成的不良影响，考虑到要检测的是原始、受扰轨迹间距离持续增长或减小的区间。

若扰动结束后，在优选ω的情况下，窗口ωΔt内曲线与时间轴围成区域的面积，即D(k)，随着kΔt的增长单调增长。由此可知，距离曲线起始即进入图3中的线性变化区间，因而，μ取较小值即可，如μ＝1；若扰动结束后，在优选ω的情况下，窗口ωΔt中曲线与时间轴间的面积D(k)随kΔt的增加首先会逐渐增至局部最大，此时，即代表原始、受扰轨迹的距离曲线已处于单调线性变化区域。由此，应以上式计算所得面积首次达到极大值的时刻，作为MLE估计的起始时刻μ。

进一步的，在暂态功角稳定判据中，若受扰严重机组对系统的MLE曲线自初始时段开始即呈现上升趋势，则随着时间的发展，系统MLE必将大于0，该机组对系统将发生一摆失稳；若MLE曲线从初始时段开始呈现下降趋势，则其MLE曲线必将发生回摆，若其第一次回摆顶点大于0，则该机组对系统将发生多摆失稳；若MLE曲线在初始时段开始呈现下降趋势，且其第一次回摆的顶点小于0，则该机组对系统将在扰动后过渡到稳定状态；对于电力系统整体而言，若受扰最严重机组对系统稳定，则系统稳定；若受扰最严重机组对系统失稳，则系统整体失稳，此时向系统发出预警信息，并及时采取相应控制措施。

进一步的，本发明方法虽以暂态功角稳定分析为例进行论述，而对于暂态电压稳定分析，亦有相似规律，可将上述各步骤中受扰严重机组对系统相对功角序列换为各节点电压幅值序列，机组对系统相对功角平均变化率换为各节点电压幅值平均变化率即可。

本发明的有益效果：

1.本发明从MLE稳定判定的基本原理出发，给出了一种基于受扰严重机组对间相对功角实测轨迹的暂态功角稳定态势的在线预估方法。

2.本发明基于状态空间重构理论，将暂态功角稳定判定问题分解为受扰最严重机组对系统相对功角MLE轨迹的分析问题，并利用递推最小二乘算法进行MLE的在线求取，通过对多种情况下计算参数的优选，给出暂态功角稳定的判断依据。

3.本发明完全基于实测数据，无需构建复杂的电力系统动态模型，具有计算上的快速性与分析上的可靠性。有望应用于基于WAMS的电网在线安全监控与预警工程中。

4.本发明能够快速、有效地实现电力系统暂态功角稳定态势的预判，不仅适用于单次故障的首摆、多摆功角稳定性分析，同样适用于多重故障情况下的稳定监控。

附图说明

图1为MLE特性示意图；

图2为最大李雅普诺夫指数MLE判断稳定原理图；

图3为对数欧氏距离变化曲线；

图4(a)连续递增(或递减)相对功角平均变化率曲线；

图4(b)阶梯式递增(或递减)相对功角平均变化率曲线；

图4(c)周期性震荡变化相对功角平均变化率曲线；

图5为稳定判据曲线示意图；

图6为相对功角平均变化率曲线；

图7(a)为多摆失稳对数欧氏距离变化曲线；

图7(b)为震荡稳定对数欧氏距离变化曲线；

图8(a)为多摆失稳MLE曲线示意图；

图8(b)为震荡稳定MLE曲线示意图

图9为预估整体架构流程图；

图10为新英格兰10机39节点系统拓扑图；

图11(a)1.128s切除故障后受扰严重机组对系统相对功角仿真曲线；

图11(b)为1.128s切除故障后受扰严重机组对系统的MLE仿真曲线；

图12(a)1.129s切除故障后受扰严重机组对系统相对功角仿真曲线；

图12(b)为1.129s切除故障后受扰严重机组对系统MLE仿真曲线；

图13(a)多摆失稳受扰严重机组对系统相对功角曲线；

图13(b)多摆失稳受扰严重机组对系统的MLE曲线；

图14为多重故障MLE监测曲线；

具体实施方式：

下面结合附图对本发明进行详细说明：

本发明从动态系统最大李雅普诺夫指数(MLE)的定义及其稳定分析机理出发，提出了一种不依赖于系统物理模型的纯数据驱动的暂态功角稳定态势的在线预估方法。方法首先基于状态空间重构理论，将电力系统暂态功角稳定分析问题分解为受扰最严重机组对系统相对功角曲线的MLE轨迹分析问题；然后，利用递推最小二乘算法，对经典的MLE计算方法进行改进；进而，给出了MLE计算中针对电力系统暂态功角稳定问题的参数优选方法；最终，结合MLE轨迹，给出了暂态功角稳定的判断依据，实现暂态功角稳定态势的在线预估。方法特点在于：将动态系统稳定判断的通用理论与电力系统暂态功角稳定特征相结合，给出了具有理论依据的纯数据驱动的暂态功角稳定在线快速预估方法；方法不需要对系统进行等值、简化及同调机组辨识，仅依据受扰严重机组对系统相对功角的发展轨迹形成判据，具有较强的通用性与实用性；方法对一摆、多摆稳定判断问题均有效，并可实现多次扰动情况下的持续稳定监测。文中通过对新英格兰39节点系统的仿真分析，验证了方法的有效性。

本申请在辨识受扰严重机组对系统时，利用WAMS量测信息，选取故障切除时刻转子角速度相对较大和较小的两个包含若干机组的集合，且集合间包含若干组受扰相对较严重机组对，以集合内最严重机组对系统的分析结果来描述整个系统的暂态稳定性。

本申请在实时采集受扰严重机组对系统相对功角序列时，可依据机组对系统相对功角的变化率曲线对参数ω进行优选。需说明的是，为了减少量测误差的影响，以相对功角的多步平均变化率构成平均变化率曲线，进行ω的优选。例如，对机组1与机组M构成的受扰严重机组对系统，其相对功角在时段k的τ步平均变化率可表示为

式中：表示相对功角在第k个时段的平均变化率；θ_(1,M)(k)及θ_(1,M)(k-τ)分别表示第k个时段及第k-τ个时段的相对功角量测值；τ为平均变化率的计算时间跨度；Δt为采样时间间隔。

本申请在根据非线性系统MLE的估算原理与对数欧氏距离变化曲线，并在基于MLE的电力系统分析基础上，利用递推最小二乘算法，对经典的MLE计算方法进行改进时，具体过程如下：

对于给定的非线性动态系统的状态时间序列，首先，通过Takens定理对其进行状态空间重构，以还原原系统的动态特性，以从时间序列中挖掘出更多的用于表述原系统动态特性的特征属性。进而，将重构状态空间中状态向量变化轨迹上的某点X_n选为动态系统原始轨迹的初始点，同时，在状态量变化轨迹上滞后ω(通常被称为原始轨迹与受扰轨迹分离的轨迹特征尺度)处对应选取某点X_m(n)作为受扰轨迹的初始点，从而，可根据起始点后k个时段原始、受扰两条轨迹之间的欧氏距离D_k＝||X_m(n)+k-X_n+k||的变化情况，对系统的稳定态势进行预判。判断基于如图3所示的非线性动态系统状态时间序列对数欧氏距离Ln(D_k)的固有特性。

非线性动态系统的受扰轨迹与原轨迹间对数欧氏距离随时间的变化一般可分为三个阶段：第Ⅰ阶段是距离的初始波动阶段，在此阶段中，两条轨迹之间的对数欧氏距离将随时间发生波动性变化，并逐渐向第Ⅱ阶段过渡；第Ⅱ阶段是距离的快速变化阶段，在该阶段中，轨迹间的对数欧氏距离将以线性方式快速变化，该阶段的距离变化率是最大的；第Ⅲ阶段是距离的平稳阶段，在此阶段中，轨迹间的对数欧氏距离逐渐平稳，并接近于某一常数。

三个阶段中的第Ⅱ阶段，原轨迹与受扰轨迹以最大扩张(或收缩)的方式变化，系统状态向量的对数欧氏距离变化曲线在此阶段的斜率即对应着系统的MLE。因而，在实际应用中，可通过实时捕捉重构状态向量原始、受扰轨迹间对数欧氏距离变化曲线在此阶段的斜率来确定系统的MLE，即，可通过式(2)所示原理获取系统的MLE。

式中：λ(k)为系统k个时段的平均MLE；k为时段标号；Δt为采样时间间隔；和Z分别为原始轨迹与受扰轨迹选取的初始点集合，初始点的选取应接近或位于第II阶段对应的区域；X_n为原始轨迹的初始点，X_m(n)为受扰轨迹的初始点；X_n+k及X_m(n)+k分别为k个时段后原始、受扰轨迹上的点；N_r为集合中的元素数量；M_r为集合Z中的元素数量。

如(2)式所示，在经典的MLE计算过程中，其通过两点法进行给定时刻系统MLE的计算。然而，由于方法只计及了两点的距离信息，计算精度受量测噪声影响较大。由此，本文以最小二算法，替代两点估算法来求取机组对系统的MLE。下文仍以机组1与机组M构成的机组对系统为例进行方法的说明，其余机组对系统MLE的求取方法相同。

对于机组1与机组M构成的系统，在发生扰动后，可根据量测数据，实时求取给定起始点后第k个时段原始、受扰轨迹间的对数欧氏距离E(k)，即：

E(k)＝ln|θ_(1,M)(m(n)+k)-θ_(1,M)(n+k)| (3)

式中：E(k)表示原始、受扰轨迹在设定的计算起始点后第k个时段内的对数欧氏距离；θ_(1,M)(n+k)及θ_(1,M)(m(n)+k)分别表示第k个时段原始、受扰轨迹上的状态值。

由此可见，随着时间的推移，通过对相对功角的量测，可逐步形成自起始点后E(k)随时间kΔt的变化曲线，这一曲线即为图3所示的对数欧氏距离曲线。由此，当选定了合适的位于线性区域(图3阶段II)的起始点，即可利用最小二乘算法，估计对数欧氏距离曲线在线性区域内的斜率。其中，MLE估计的最小二乘线性表达式为

E(k)＝λ_k·kΔt+E₀+ε_k (4)

式中：λ_k为kΔt时刻待估计的MLE；E₀为kΔt时刻估计的最优截距；ε_k为残差项。

相应的，MLE的最小二乘估计式为

式中：为式(4)在kΔt时刻最小二乘估计得到的解矩阵，包括kΔt时刻机组对等效系统的MLE(λ_k)与最优截距(E₀)；X_k及Y_k为kΔt时刻用于估计的系数矩阵及观测矩阵，分别为式(6)所示。

式中：μ为最小二乘估计的起始时段。

更进一步，在基于最小二乘的MLE估计过程中，由于涉及矩阵的求逆运算，样本较多时计算量较大。为此，采用递推最小二乘算法进行在线的MLE估计，以避免求逆运算。其中，递推公式为：

式中：及分别为kΔt及(k+1)Δt时刻的解矩阵；K(k+1)为(k+1)Δt时刻的增益矩阵；x(k+1)及y(k+1)为(k+1)Δt时刻新的输入和输出信息，分别为[(k+1)Δt,1]^T及E(k+1)；P(k)及P(k+1)分别为kΔt及(k+1)Δt时刻的协方差阵。

算法流程如下：

a)置初值P(k)。设已取得k组数据，根据式(5)中普通最小二乘算法可得， 将其代入递推公式(7)。

b)采样得到当前的最新输入x(k+1)＝[(k+1)Δt,1]^T和输出y(k+1)＝E(k+1)，代入式(7)。

c)利用式(7)分别计算K(k+1)，和P(k+1)。

d)返回b)，循环计算。从而，随着量测数据的增多，逐步得到MLE随时间的变化轨迹。

本申请在选取轨迹特征尺度ω时，原始、受扰轨迹的起始点之间需存在一定的时间跨度，即有如下关系。

|m(n)-n|＝ω (8)

式中：ω为轨迹特征尺度。

轨迹特征尺度ω与原始、受扰轨迹间的分离程度密切相关，其取值对MLE的计算结果有较大影响。若取值较小，将造成轨迹分离度变差，影响对数欧氏距离曲线线性区间的平滑性，从而，对MLE的估计造成不利影响。同时，由于电力系统受扰后的功角变化轨迹具有周期性，ω的取值也并非越大越好，过大的取值不仅不能保证必要的轨迹分离度，还会增长稳定判断所需的采样等待时间。

实际上，根据电力系统自身的物理规律，可依据受扰严重机组对系统相对功角的变化率曲线对参数ω进行优选。需说明的是，为了减少量测误差的影响，建议以相对功角的多步平均变化率构成平均变化率曲线，进行ω的优选。对于给定的受扰严重机组对系统，可将其等效为单机转子运动方程形式，继而有类似单机系统的运行特性，则在扰动消除后，机组间相对功角的变化率可能存在以下三种状态：a.相对功角变化率呈现持续递增或递减变化，如图4(a)所示；b.相对功角变化率呈现震荡递增或递减的阶梯式变化，如图4(b)所示；c.相对功角变化率呈现周期性震荡变化，如图4(c)所示。

对上述三种情况，依据使原始、受扰轨迹在最短时间内实现最大分离的原则，给出相应的ω设置方法如下。

对于第一种情况，由于相对功角的变化率单调增长或减小，在较短时间跨度内原始与受扰轨迹即可迅速分离。此时，ω的选取对分离度影响并不显著，ω可选取较小的时间跨度(如ω＝1)，以减少稳定判断所需的采样等待时间。

对于第二种情况，相对功角变化率曲线存在局部的回调，为使原始、受扰轨迹尽可能达到最大分离，ω的选取原则为：以故障切除时刻相对功角平均变化率再次出现的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值，如图4(b)所示。

对于第三种情况，由于轨迹存在周期性震荡，原始、受扰轨迹不易分离，ω的选取对分离度的影响较为显著。此时，ω的选取原则为：以故障切除后，相对功角平均变化率首次出现的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值；若故障切除后，相对功角平均变化率曲线位于与之间，无法到达则选取相对功角平均变化率首次出现负的最大值的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值。

需要说明的是，由于WAMS系统在进行数据采集时，可同时对相对功角的平均变化率进行求取与类别判断，因而，ω的设置并不会对机组对系统MLE的计算造成时间上的延误。

本申请在选取估计起始时刻μ时，在利用递推最小二乘估计求取MLE前，为减少对数欧氏距离曲线中波动阶段(阶段I)对MLE计算造成的不良影响，在理论上，应选取线性区域(阶段II)起点对应时刻作为MLE估计的起始时刻。起始时刻过早，则阶段I非线性波动区域的量测会劣化最小二乘估计结果的有效性。而起始时刻过晚，则需在故障切除后等待较长时间才可以进行MLE的计算，延误稳定判断的时机。由此，对计算起始时刻μ的选取进行如下分析。

仍以机组1与机组M构成的受扰严重机组对系统为例，该系统在扰动后的第k个时段原始、受扰轨迹间的欧氏距离为D(k)＝|θ_(1,M)(m(n)+k)-θ_(1,M)(n+k)|。在按照前文所述方法选取ω后，可将该距离利用相对功角的多点平均变化率近似表示为

式中：表示第i个时段相对功角的平均变化率；Δt为采样时间间隔。

式(9)说明，对于给定机组对系统，其原始、受扰轨迹间的欧氏距离可表示为kΔt时刻相对功角平均变化率曲线中固定宽度窗口ωΔt内曲线与时间轴围成区域的面积，即图4中阴影部分的面积。

同时，考虑到要检测的是原始、受扰轨迹间距离持续增长或减小的区间(阶段II)，则可通过式(9)求取的面积的变化对μ进行设置，方式如下：

(1)对于图4(a)与4(b)中的情况，不难发现，扰动结束后，在优选ω的情况下，窗口ωΔt内曲线与时间轴围成区域的面积，即D(k)，将随着kΔt的增长单调增长。由此可知，在此两种情况下，距离曲线起始即进入图3中的线性变化区间，因而，μ取较小值即可，如μ＝1。

(2)对于图4(c)中的情况，在优选ω的情况下，窗口ωΔt中曲线与时间轴间的面积D(k)随kΔt的增加首先会逐渐增至局部最大，此时，即代表原始、受扰轨迹的距离曲线已处于单调线性变化区域。由此，应以式(9)计算所得面积首次达到极大值的时刻，作为MLE估计的起始时刻μ。

本申请在暂态功角稳定判据时，通过参数优选及对各受扰严重机组对系统MLE的递推最小二乘估计，将得到各个受扰严重机组对系统MLE的时域轨迹。在此基础上，可根据MLE的稳定判断原理，并结合电力系统一摆失稳、多摆失稳及稳定状况下机组间相对功角的时序发展特征，给出以下判据：

(1)若机组对系统的MLE曲线自初始时段开始即呈现上升趋势，则随着时间的发展，系统MLE必将大于0，该机组对系统将发生一摆失稳。

(2)若MLE曲线从初始时段开始呈现下降趋势，则其MLE曲线必将发生回摆，若其第一次回摆顶点大于0，则该机组对系统将发生多摆失稳。

(3)若MLE曲线在初始时段开始呈现下降趋势，且其第一次回摆的顶点小于0，则该机组对系统将在扰动后过渡到稳定状态。

(4)对于电力系统整体而言，若受扰最严重机组对系统稳定，则系统稳定；若受扰最严重机组对系统失稳，则系统整体失稳。

其中，判据(1)～(3)所对应的典型MLE曲线如图5所示。

尽管上述判据是基于非线性系统动力学原理设计，其仍与电力系统的运行实际密切关联，这里结合电力系统故障切除后的功角曲线变化情况，对判据的合理性进行简要说明。

首先，判据(1)针对的是一摆失稳的预判问题。故障切除后，一摆失稳受扰严重机组对间的相对功角会有两种不同的发展形式。其一，相对功角保持加速扩张，直至失稳，即对应图4(a)中所示情景。根据MLE定义可知，MLE反映的是由初始点开始对数欧氏距离曲线的平均斜率，而根据图4(a)情况下参数ω与μ的设置(都取相对小值)，MLE实质上反映了由初始点开始相对功角曲线平均变化率的快慢。同时，考虑到此情景下相对功角加速扩大，故MLE必将在初始点处就呈现出上升的态势。其二，相对功角在故障切除后呈现减速状态，但由于减速面积较小，在速度未到达0时又进入加速状态，造成一摆失稳，

对应着图4(b)中所示情况。此时，按照本文参数选取方法，参照图4(b)，不难看出，计算对数欧氏距离所用的ω恰好跨过了故障切除后相对功角扩张平均速度最小的阶段，而随着以ω为宽度对数欧氏距离计算窗口的右移，所覆盖相对功角的平均变化率必然增大，从而，从起始点开始的对数欧氏距离的平均斜率即MLE也必将增大。由此可见，据本文MLE计算方法，只要发现MLE起始就出现增大趋势，便可立即判断系统一摆失稳。

其次，判据(2)与判据(3)分别针对多摆失稳及稳定的情况。本质上，系统多摆稳定性要观测的是相对功角是增幅震荡还是减幅震荡，从而判断系统稳定与否。多摆稳定分析对应着图4(c)所示的情况。根据该情况下的参数设置及公式(9)，可以发现，在形成此情况下的MLE曲线时，选取了步长为ω计算窗口下出现的首个欧式距离最大值点作为MLE计算的起始点，由此，随着计算窗口的右移，欧氏距离必将首先减小，穿过0值，到达欧氏距离反向的最大值点，图6在相对功角平均变化率曲线上给出了这一过程的示意图。易见，在这一个循环过程中，若是增幅震荡，欧氏距离第二次出现的最大值必将大于首次出现的最大值，整个对数欧氏距离曲线震荡走高，如图7(a)所示。同时，考虑到MLE为对数欧氏距离从起始点开始的平均斜率，结合图7(a)可以看出，在多摆失稳的情况下，第一次回摆的MLE必将大于0。反之，对于减幅震荡，欧氏距离第二次出现的最大值必将小于首次出现的最大值，对数欧氏距离曲线整体呈现衰减趋势(如图7(b)所示)，第一次回摆的MLE将小于0。由此可见，对于多摆失稳与稳定的判断，只需监测MLE曲线下降后回摆的最大值是否超过0值即可(如图8(a)图8(b)所示)。

最后，判据(4)说明了受扰最严重机组对系统与系统整体稳定判断之间的关系，由于结论是显然，这里不再赘述。

本申请中所涉及的原理如下：

1MLE稳定判断的基本原理

1.1MLE及其稳定判断原理

李雅普诺夫指数(LE)表征了复杂非线性系统状态空间中相邻轨迹呈现指数收敛或者发散的性质，具有量化动态系统状态空间中吸引子局部稳定性的能力。

对于N维的连续时域动态系统

式中：x为系统状态向量，x∈R^N。

该系统中将包含有N维LE，并可通过计算系统雅克比矩阵的特征值获取，即

式中：φ(t,x)为式(1)中动态系统微分方程的解轨迹；为系统的雅克比矩阵；为矩阵Λ(x)的第i个特征值，i＝1,2,…,N；λ_i为系统的第i个LE，i＝1,2,…,N。

将系统中最大的LE，即max(λ_i)，i＝1,2,…,N，定义为系统的MLE，其可表征受到干扰后系统长期的动态行为，即负(或正)的MLE表明系统原始运行轨迹与受扰运行轨迹将随时间以指数形式汇聚(或发散)，如图1所示。

从而，MLE可以作为系统在扰动后是否将趋于稳定的依据，对系统进行稳定性评估。评估的判据为：若受扰后系统MLE小于零，则表明此系统将随时间发展而达到某一稳定状态，从而，该系统在此扰动下是稳定的，反之亦然。

1.2MLE稳定判据证明

对1.1节中提出MLE用于稳定判断的的稳定判据，本附录对其进行简单证明，具体如下。

命题：已知原动态系统微分方程为其初值为x(0)，运行轨迹为x(t)；同时，扰动后为动态系统微分方程为初值y(0)，运行轨迹为y(t)。则若扰动后系统MLE小于零，则表明此系统将随时间发展而达到某一稳定状态，从而，可以判断该系统在此扰动下是稳定的。

证明：由于1.1节中MLE可表征干扰后系统长期动态行为特性，其负值(或正值)表明系统初始运行轨迹与受扰轨迹将随时间以指数形式汇聚(或发散)。则若扰动后系统MLE<0，且存在一常数ε₁>0，则对于任何||y(0)-x(0)||<ε₁时，必然有

因为原轨迹x(t)是连续的，必然存在运行时间ΔT>0，不妨设y(0)＝x(ΔT)，则y(t)＝x(t+ΔT)，如图2所示。

则式(12)变为

因为ΔT>0，所以f(x(t))|_t→∞＝0，即x(t)最终将趋于某一稳定状态x_eq。进一步，由于1.1节中MLE的数学定义是基于无穷时刻考虑的，则在此可利用一条恒值为x_eq的轨迹来替代x(t)。则必然存在一常数ε₂>0，使得||y(0)-x_eq||<ε₂，则

由式(14)可得受扰轨迹y(t)将同样收敛于稳定状态x_eq。则上述命题：若扰动后系统MLE小于零，则表明此系统将随时间发展而达到某一稳定状态验证成立。反之，系统失稳，不在赘述。

1.3非线性系统MLE的估算原理

式(11)中，基于数学定义的MLE计算需要获得无穷时刻系统的雅克比矩阵，然而，随着系统复杂度的增加，此方法并不适用于对实际系统的工程计算。与此同时，基于系统动态响应的状态时间序列中蕴含着丰富的系统动态特征信息，若可据此构建出有限时间窗口内无需依赖系统模型的MLE计算方法，将有十分重要的实践价值。由此，文“EstimatingLyapunov Exponents from Time Series”中给出了基于状态时间序列的MLE估算通用准则，其要点如下。

对于给定的非线性动态系统的状态时间序列，首先，通过Takens定理对其进行状态空间重构，以还原原系统的动态特性，以从时间序列中挖掘出更多的用于表述原系统动态特性的特征属性。

进而，将重构状态空间中状态向量变化轨迹上的某点X_n选为动态系统原始轨迹的初始点，同时，在状态量变化轨迹上滞后ω(通常被称为原始轨迹与受扰轨迹分离的轨迹特征尺度)处对应选取某点X_m(n)作为受扰轨迹的初始点，从而，可根据起始点后k个时段原始、受扰两条轨迹之间的欧氏距离D_k＝||X_m(n)+k-X_n+k||的变化情况，对系统的稳定态势进行预判。判断基于如图3所示的非线性动态系统状态时间序列对数欧氏距离Ln(D_k)的固有特性。

如图3所示，非线性动态系统的受扰轨迹与原轨迹间对数欧氏距离随时间的变化一般可分为三个阶段：第Ⅰ阶段是距离的初始波动阶段，在此阶段中，两条轨迹之间的对数欧氏距离将随时间发生波动性变化，并逐渐向第Ⅱ阶段过渡；第Ⅱ阶段是距离的快速变化阶段，在该阶段中，轨迹间的对数欧氏距离将以线性方式快速变化，该阶段的距离变化率是最大的；第Ⅲ阶段是距离的平稳阶段，在此阶段中，轨迹间的对数欧氏距离逐渐平稳，并接近于某一常数。

三个阶段中的第Ⅱ阶段，原轨迹与受扰轨迹以最大扩张(或收缩)的方式变化，系统状态向量的对数欧氏距离变化曲线在此阶段的斜率即对应着系统的MLE。因而，在实际应用中，可通过实时捕捉重构状态向量原始、受扰轨迹间对数欧氏距离变化曲线在此阶段的斜率来确定系统的MLE，即，可通过式(2)所示原理获取系统的MLE。

实质上，式(2)阐明的原理即是在图3的线性区域中，选取受扰轨迹与原始轨迹对数欧氏距离曲线在初始时刻及距初始时刻kΔt时刻两点的值，以两点法求得曲线的斜率作为系统kΔt时刻对应的MLE。而集合和Z设置的目的在于以平均斜率的方式部分抵消量测误差的影响。需要强调的是，本节给出的仅是基于状态时间序列MLE估算的原理性方法，其具体方法在执行过程应随着应用的不同而有所不同。

2电力系统暂态功角稳定态势预估

电力系统暂态功角稳定性分析，是指对大扰动后系统中各发电机维持同步运行能力的分析，研究通常关心的是扰动后系统在短期内(如10s内)的动态行为。随着PMU测量技术的发展，WAMS系统可提供高精度、高分辨率的系统状态量量测信息。由此，可基于MLE稳定判断原理，通过对系统状态量时间序列的分析，实现暂态功角稳定态势的在线预估。本部分将从状态空间重构、MLE递推最小二乘估计、参数优选、判据设计以及评估架构五个方面阐述本文所提出的方法。由于MLE递推最小二乘估计、参数优选和判据设计之前已结合配图进行了详细说明，故在此只对状态空间重构与评估架构进行说明。

2.1状态空间重构

状态空间重构的目的在于从有限的量测量中获得系统的整体动态特性。根据Takens延迟嵌入定理，一个u维动态系统可以利用其1维时序观测量的D步观测进行重构(D常被称为嵌入维度，需满足D>2u+1)。状态空间重构的基本思想为：系统中任一分量的演化都是由与之相互作用着的系统内其他分量的变化所影响的，因此，这些相关分量的信息本质上已隐含在任一分量的发展过程中。

对于电力系统的暂态功角稳定问题而言，在系统发生扰动后，对受扰最严重机组对等效系统的稳定分析结果可反映扰动后系统整体的稳定状况。对于数据驱动的暂态功角稳定分析，同样可通过对受扰最严重机组对构成的局部子系统的观测与分析而得到相关结论。然而在扰动过程中，由于机组动态行为的复杂性，准确地从少量关键布点PMU量测信息中识别受扰相对最严重机组对比较困难。所以，为适应工程应用，可选取故障切除时刻转子角速度或动能相对较大和较小的两个包含若干机组的集合(集合间包含若干组受扰相对较严重机组对)，以集合内最严重机组对系统的分析结果来描述整个系统的暂态稳定性。同时，由于决定机组对系统动态特征的内、外部状态变量有很多，为此，可利用状态空间重构技术，选取与功角稳定直接相关的相对功角量测，对受扰严重机组对系统进行状态空间重构。

设某电力系统中有M台发电机，在不影响通用性的前提下，对机组1与机组M构建的受扰严重机组对系统进行分析。在发生扰动后，WAMS系统可实时获取机组对间的相对功角信息，即：θ_(1,M)(k)＝θ₁(k)-θ_M(k)。以此作为时序观测量，根据延迟嵌入定理，该机组对系统的重构状态空间可表示为：

式中：X_(1,M),n表示从第n个观测点开始的重构状态向量；θ_(1,M)(n)为机组对在第n个观测点处的相对功角；T及D分别为单位延迟时间间隔和嵌入维度。

由式(15)可以看出，重构状态空间中的状态向量是由机组对系统在连续时段内的延迟量测构成的。根据延迟嵌入定理，重构状态空间中状态向量的动态变化特性将体现此机组对系统整体的动态变化特性。

然而，需要注意的是，文“Estimating Lyapunov Exponents from Time Series”中进一步给出了一个重要的结论，即在重构状态空间中，原始、受扰轨迹间的对数欧氏距离在重构状态向量任一元素上的映射，均以MLE增长。由此，可通过对重构状态向量任一元素的分析，来判断机组对系统的稳定态势。由此，在进行机组对系统MLE的求取时，可将嵌入维度缩减至1维，即将式(15)转化为：

X_(1,M),n＝θ_(1,M)(n) (16)

式(16)表明，可利用机组对系统单时段的相对功角标量作为状态变量，进行基于MLE的稳定态势预估。同理，对于其余的机组对系统，亦可采用其相对功角作为状态变量进行MLE分析。

2.2评估的整体架构

基于前文所述内容，图9给出了本文暂态功角稳定态势预估方法的整体架构。预估架构包含了量测数据准备、轨迹特征尺度选取、MLE估计起始时刻选取、MLE递推最小二乘估计与MLE曲线稳定分析五个模块。其中，量测数据准备模块的目的是在大扰动后，系统自启动暂态稳定分析程序，并识别受扰严重机组对集合，并实时获取用于稳定态势预估的数据信息，完成数据准备工作。评估流程的其余部分参照前面所述内容执行。

需要注意的是，本文方法虽以暂态功角稳定分析为例进行论述，而对于暂态电压稳定分析，亦有相似规律，此处不再详细论述。

3算例分析

以图10所示新英格兰10机39节点系统为例，验证本文方法的有效性。分析中采用基于MATLAB平台的PSAT软件包进行仿真。仿真中，发电机采用四阶模型，包含调压环节，负荷采用恒阻抗模型，仿真步长为20ms。

算例1：系统稳定态势预估

为严格验证本发明的有效性，首先对临界暂态稳定与临界暂态失稳两种场景进行测试。以节点26在1s时发生三相短路故障为例，根据时序仿真结果，若在1.128s时切除故障，系统将呈现临界稳定状态，而在1.129s时切除故障，系统将呈现临界失稳状态。两种情况下，通过上述辨识方法并观测功角摇摆曲线，很明显其受扰最严重机组对为38-39，同时，给出受扰程度仅次于38-39的另一组受扰严重机组对系统38-30。在此，图11(a)、12(a)中绘制了上述两组受扰严重机组对系统的相对功角曲线。图中，两组受扰严重机组对系统的相对功角以第二标号的机组为基准求取，求取方式并不影响MLE计算结果。同时，根据本发明在两种情况下计算得到的MLE曲线分别如图11(b)、12(b)所示。对于临界稳定场景，由图11(a)可以看出，两组受扰严重机组对系统的相对功角在经过较长时间的震荡衰减后，将逐步趋于稳定。与之对应，图11(b)中各机组对系统的MLE曲线首先呈下降趋势，并在首次回摆后MLE<0，可由此迅速判断整个系统将趋于稳定状态。对于临界暂态失稳场景，由图12(a)可知，两组受扰严重机组对系统的相对功角在经过一段缓和期后持续增大，从而，导致整个系统的失稳。对应的，在图12(b)中，各机组对系统的MLE曲线在起始点处呈上升趋势，由此可迅速判断此机组对系统将一摆失稳，从而，整个多机系统将发生一摆失稳。

进而，对多摆失稳的场景进行分析验证。以节点28在1s时发生三相短路故障为例，根据时序仿真结果，若在1.05s时切除故障，系统将呈现多摆失稳状态(为更容易出现多摆失稳场景，仅在此例中使发电机采用经典模型)。同样辨识出受扰最严重机组对系统为38-39，并给出受扰严重程度仅次于38-39的机组对系统38-30。两组受扰严重机组对系统的相对功角曲线如图13(a)所示，根据本发明计算得到的MLE曲线如图13(b)所示。

对于多摆失稳场景，由图13(a)可以看出，两组受扰严重机组对系统的相对功角随时间变化呈增幅震荡运动特性，并在第七摆时迅速增大，最终整个系统发生失稳。对应的，在图13(b)中，各机组对系统的MLE曲线首先呈下降趋势，并在首次回摆后MLE>0，根据这一特征，可迅速判断各机组对系统将趋于失稳状态(多摆失稳)从而，整个系统将趋于失稳。

为进一步验证方法的有效性，使节点20在1s发生三相短路故障，逐渐改变故障切除时间t_c，利用本文方法进行稳定态势评估并与实际仿真结果对比，结果见表1。

表1稳定态势监测表

由表1的测试结果可以看出，本文方法可对系统的稳定态势进行准确、快速的预估。同时，从表1还可以发现，扰动情况越严重，本文方法辨别系统失稳所需的时间越短，从而，可为后续的稳定调控争取更多的可用时间。

算例2：多重故障的仿真测试

本文方法可以用以监测系统在多重扰动下的稳定情况。设节点26在1s时刻发生三相短路故障，在1.05s故障切除，随后，20节点在5s时刻发生三相短路故障，5.4s故障切除。仿真结果显示，在上述两次扰动的作用下，系统将发生暂态失稳。图14给出了受扰最严重的机组对系统(机组对34-39)的MLE曲线。

由MLE曲线可以看出，在首次发生故障并切除后，机组对系统的MLE曲线首先呈下降趋势，且首次回摆后MLE小于0。由此，可以判断出系统在首次扰动下，将趋于稳定状态。随后，发生第二次故障，在故障切除后MLE的起始计算时段(5.5s)，机组对系统的MLE呈上升趋势，故迅速判断系统将发生一摆失稳。由此可见，本文方法的提出基于的是动态系统状态轨迹发展的根本性规律，其对系统的初始状态(如：正常运行状态、故障恢复状态)没有特殊要求，只要能够监测到故障发生并及时启动计算程序，方法即可根据机组间相对功角的变化轨迹做出恰当的参数选择，进而，对系统功角稳定态势做出准确的判断。显然，本文方法的这些特点使其适用于对多重故障情况下系统功角稳定态势的分析、监测与预估。

Claims (10)

1.基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，包括以下步骤：

利用广域测量系统实时监测电力系统电网运行状态，当电网运行状态对应的参数序列发生突变时，通过故障后WAMS量测量迅速识别受扰较严重机组对系统，并实时采集其机组对相对功角时间序列曲线及并行计算各相对功角平均变化率曲线，完成量测数据准备；

在量测数据准备阶段后，根据各受扰严重机组对系统相对功角平均变化率曲线，选取最优的轨迹特征尺度ω，并在此基础上获取原始、受扰轨迹间对数欧氏距离特性曲线；

通过数据准备与轨迹特征尺度最优选取后，为减少对数欧氏距离特性曲线的波动阶段对MLE计算造成不良影响，在对基于电力系统暂态稳定分析的MLE求解之前，选择最优的MLE估计起始时刻μ；

选择最优的MLE估计起始时刻后，在线使用MLE递推最小二乘方法对MLE进行求解，实时获取受扰严重机组对系统的MLE随时间的变化曲线；

结合电力系统一摆失稳、多摆失稳及稳定状况下受扰严重机组对相对功角的时序发展特征，给出暂态功角稳定判据，并对上述步骤获取的MLE随时间的变化曲线进行稳定分析。

2.如权利要求1所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，在故障切除时刻，对各个发电机转子角速度进行排序，分别找出对应最前3台和最后3台构成受扰相对最严重机组集合，则此两个集合间包含多组受扰严重机组对系统，以集合内最严重机组对系统的分析结果来描述整个系统的暂态稳定性。

3.如权利要求1所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，在计算各受扰严重机组对系统相对功角平均变化率时，针对机组1与机组M构成的机组对系统，计算如下

式中：表示相对功角在第k个时段的平均变化率；θ_(1,M)(k)及θ_(1,M)(k-τ)分别表示第k个时段及第k-τ个时段的相对功角量测值；τ为平均变化率的计算时间跨度；Δt为采样时间间隔。

4.如权利要求1所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，在选取最优的轨迹特征尺度ω时，原始、受扰轨迹的起始点之间需有一定的时间跨度，即有如下关系

|m(n)-n|＝ω

式中：n为原始轨迹初始运行点；m(n)为受扰轨迹初始运行点。

5.如权利要求1所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，对于给定的受扰严重机组对系统，可进一步转为为单机转子运动形式，则在扰动消除后，机组间相对功角的变化率有以下三种状态：a.相对功角变化率呈现持续递增或递减变化；b.相对功角变化率呈现震荡递增或递减的阶梯式变化；c.相对功角变化率呈现周期性震荡变。

6.如权利要求5所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，对于第一种情况，由于相对功角的变化率单调增长或减小，在较短时间跨度内原始与受扰轨迹即可迅速分离，此时，ω的选取对分离度影响并不显著，ω可选取较小的时间跨度以减少稳定判断所需的采样等待时间。

7.如权利要求5所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，对于第二种情况，相对功角变化率曲线存在局部的回调，为使原始、受扰轨迹尽可能达到最大分离，ω的选取原则为：以故障切除时刻相对功角平均变化率再次出现的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值。

8.如权利要求5所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，对于第三种情况，由于轨迹存在周期性震荡，原始、受扰轨迹不易分离，ω的选取对分离度的影响较为显著，此时，ω的选取原则为：以故障切除后，相对功角平均变化率首次出现的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值；若故障切除后，相对功角平均变化率曲线位于与之间，无法到达则选取相对功角平均变化率首次出现负的最大值的时刻延后故障切除时刻的时间间隔，作为ω的取值。

9.如权利要求1所述的基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，在选取估计起始时刻μ时，针对机组1与机组M构成的受扰严重机组对系统，该系统在扰动后的第k个时段原始、受扰轨迹间的欧氏距离为D(k)＝|θ_(1,M)(m(n)+k)-θ_(1,M)(n+k)|，选取ω后，可将该距离利用相对功角的多点平均变化率近似表示为

式中：表示第i个时段相对功角的平均变化率；Δt为采样时间间隔；θ_(1,M)(n+k)及θ_(1,M)(m(n)+k)分别表示第k个时段原始、受扰轨迹上的状态值；

应以上式计算所得面积首次达到极大值的时刻，作为MLE估计的起始时刻μ。

10.基于数据驱动的无模型暂态稳定态势预估方法，其特征是，对于暂态电压稳定分析，将上述任一权利要求1-9中受扰严重机组对系统相对功角序列换为各节点电压幅值序列，机组对系统相对功角平均变化率换为各节点电压幅值平均变化率即可。