CN106203856A - 一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，该方法步骤：提取道路运输企业车辆动态监控系统中各类型道路交通状况的卫星定位数据，将这些数据计算划分为小段的微行程；针对每一微行程进行平均速度和怠速时间占比等特征参数的计算，得到样本数量(行)×特征参数(列)的矩阵，对矩阵数据采用均值化+主成分分析，选取主成分特征值的累积贡献率大于85％且能够全面反映所有特征参数的前序主成分，并对这些主成分的得分进行模糊c均值聚类分析，将这些微行程聚类成不同组即筛选子工况。采用带有双权平滑核函数的滤波器来平滑初始合成工况。本发明充分利用现有卫星定位数据，易于在测功机上开展遵循测试，具有较好的普适性，降低车辆行驶工况制定的研究成本。

Description

一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定 方法

技术领域

本发明涉及一种车辆行驶工况制定方法，尤其涉及一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法。

背景技术

对于大城市，空气污染是长期存在的主要问题，而车辆是最为主要的污染源之一。另一方面，车辆油耗在能源消耗中的比重很大。车辆油耗和废气排放受到在不同交通状况下形成的驾驶模式的影响。车辆行驶工况是代表在一个地区或城市的驾驶模式的速度-时间曲线。它被用于在实验室的底盘测功机上模拟车辆行驶状况，用于评估油耗和尾气排放。

目前有两类方法用于工况制定，在第一类方法中，工况是由不同的驾驶模式包括有连续加速、减速和匀速组成。被称为“模态”或者“多边形的”，例如NEDC和ECE工况。在第二类方法中，行驶工况来源于实际行驶数据并被称为实际行驶工况，例如FTP-75。实际行驶工况是更为动态的，反映在驾驶情况中所经历的更为急促的加速和减速模式。

从城市到城市和地区到地区，驾驶模式是在不断变化。所以在一个具体城市或国家建立的可用工况往往不适用于其他城市或者国家，因此，更多的研究致力于制定符合其自身城市或者地区实际交通状况的车辆行驶工况。

已有公开的部分行驶工况制定方法存在的不足：1)采集原始行车数据的方式多采用单一试验车辆、固定线路，且采集周期仅数天至一个月左右，导致用于构建工况的原始行车数据来源广泛性和代表性不够理想；2)已有的工况制定中多采用V-A矩阵方法。然而，V-A矩阵方法要求大量的计算以完成对代表性微行程的选择。在这种方法中，所有微行程的V-A矩阵都需独立构建，然后它们必须与总V-A矩阵比较来进行排序。因此该种方法需要较多的计算时间和计算资源；3)已有方法制定的工况多为实际行驶工况，直接合成的工况曲线未进行过滤平滑处理，存在较多的尖峰点，使得这种工况很难以直接在测功机上进行遵循测试，可操作性较差。

发明内容

本发明的目的是提供一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，以目前在道路运输企业已广泛应用的车辆动态监控系统累积的海量卫星定位数据作为数据来源，用少量计算即可以实现微行程选择的过程，改进后的组合主成分分析和模糊c均值聚类方法可以有效对工况进行分类，同时该方法克服已有方法制定的工况曲线存在较多尖峰而难以遵循测试等技术问题，使得处理后的工况曲线易于在测功机上进行遵循测试。

为了实现上述发明目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，采用如下步骤：

步骤(1)，在卫星定位监控系统数据库中，按照设定的车辆和时间段信息为检索条件，读取原始卫星定位数据，其中车辆的选择依据是其运行路线应涵盖待建工况地区的主要交通状况，时间段选择时应覆盖待建工况地区一天中的不同交通时期，应同时包含高峰时期，正常时期以及低峰时期；所需原始卫星定位数据至少应包含卫星定位速度和卫星定位时间参数；在采集的原始卫星定位数据中，将汽车从一个怠速开始到下一个怠速开始的运动过程定义为微行程，对原始卫星定位数据按照微行程划分方法进行划分，计算给出所有的微行程；

步骤(2)，针对每一微行程进行驾驶特征参数计算，特征参数计算参照的标准为：(1)怠速状态：发动机正常工作并且车速v＝0的行驶状态；(2)加速状态：车辆加速度a≥0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；(3)减速状态：车辆加速度a≤-0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；(4)匀速状态：车辆加速度|a|≤0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；

步骤(3)，行驶工况的构建过程步骤：将采集到的原始数据根据上一步骤中的方法，划分成若干个微行程，分别求出总体试验数据及各微行程的特征参数，得到以微行程为样本，样本数量(n行)×特征参数(p列)的矩阵；

步骤(4)，对步骤(3)中所述的原始矩阵数据进行均值化方法处理：用各指标的均值去除相应的原始数据，即设原始数据矩阵X＝(X_ij)_n×p，令

其中于是得到均值化矩阵Y＝(Y_ij)_n×p，再对Y进行主成分分析，得到与特征参数个数值相同数量的主成分；

均值化处理不改变各指标间的相关系数，均值化后的协方差矩阵不仅消除了指标量纲与数量级的影响，还能包含原始数据的全部信息；

步骤(5)，主成分个数选择的依据：1)如果前N个主成分特征值的累积贡献率达到85％以上，并且这N个主成分的特征值都大于1，即可以选取这N个主成分进行分析；

2)当某个特征参数在某个主成分上的载荷系数绝对值越大，则说明该特征参数与这个主成分的相关系数越高。如果前M(M≤N)个主成分已能够全面反映所有的p个特征参数，则选取前M个主成分进一步分析，各样本在各主成分上的得分为其特征参数值的投影；这里主要对前M个主成分的得分进行模糊c均值聚类分析；

步骤(6)，根据步骤(5)，利用模糊c均值聚类方法将所有微行程聚类成不同组；每一聚类被称为一种交通状况，并且为每一交通状况生成一子工况；初始合成工况包括单独的不同交通状况下的子工况；

步骤(7)，在初始的行驶工况制定完成后，需要对其曲线进行平滑处理以适合在测功机上进行测试。

步骤(6)所述利用模糊c均值聚类对微行程进行聚类分析的具体步骤为：

1)构建目标函数：

$J_m(U,V)=\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{c}{\Σ}}{\left(u_{ik}\right)}^m{\left(d_{ik}\right)}^2---\left(1\right)$

其中，n为样本数，c(2≤c＜Cmax)为聚类分类数，Cmax是各种子工况的最大分类数，为大于2的自然数；隶属度矩阵U的元素u_ik表示样本矩阵X中第k个样本x_k属于聚类中心矩阵V中第i个聚类中心v_i的隶属度值，d_ik为第k个样本x_k与第i个聚类中心v_i在特征向量上的距离，一般可设为欧式距离；m∈[1,∞)是模糊加权指数，用来控制隶属矩阵的模糊程度，i、k均为自然数，ξ为容许误差，一般取10^-3—10^-5；

2)通过迭代，最小化(1)式中J_m(U,V)；按下式计算隶属度

$u_{ik}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\Σ}}{\left(\frac{d_{ik}^2}{d_{jk}^2}\right)}^m}---\left(2\right)$

计算所需的v_i由(3)式替换，其中为样本x_k和v_j在特征向量上的距离平方，j＝1，2…c；

$v_{ik}=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{u}_{ik}^m{x}_k}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{u}_{ik}^m}---\left(3\right)$

3)如果两次循环中聚类中心的变化小于设定的容许误差ξ，则停止迭代，否则重复步骤2)，直至聚类中心的变化小于设定的容许误差；

4)算法结束后，由得到的隶属度矩阵确定数据所属的类，得到最后的聚类结果。

步骤(1)所述的主要交通状况，一般分为四种状况：①拥挤的交通状况，即怠速比例高，平均速度很低；②城市交通状况，即怠速比例中等，平均速度低；③市区外的交通状况，即怠速比例低，平均速度中等；④公路交通状况，即怠速比例很低，平均速度高。

对其曲线进行平滑处理是采用一个过滤公式来消除使行驶工况难以进行遵循测试的高频噪声；所述的过滤公式如下：

$v_{smoothed}\left(t\right)=\frac{1}{h}\underset{s=-h}{\overset{h}{\Σ}}K\left(\frac{s}{h}\right)\·v(t+s)---\left(4\right)$

其中，s为平滑参数，t为待平滑处理的时间，h为平滑加权参数，单位均为秒；v_smoothed(t)是平滑后的速度值；函数K(x)仅在待平滑处理的时间t前后来加权测量的速度值，使用双权(Biweight)平滑核函数K(x)：

本发明与现有技术相比，具有以下技术效果：

本发明解决了背景技术中总结的关于已有公开的部分工况制定方法存在的三方面不足，提供了一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法。该方法充分利用现有的车辆卫星定位数据，与传统设定试验条件采集数据相较，数据资源来源广泛性和代表性更强。新方法计算量小且优化了传统的主成分分析方法。新方法提出采用双权核函数进行滤波平滑处理的方法，使得处理后的工况曲线易于在测功机上进行遵循测试。本发明可有效的应用于选定城市及其郊区汽车行驶工况的制定。

附图说明

图1是本发明的工况制定方法流程图。

图2是本发明的最终工况结果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

如图1所示，本发明的车辆行驶工况制定方法具体包括以下几个步骤：

1.在道路运输企业卫星定位监控系统数据库中按照设定的车辆和时间段信息为检索条件，读取原始卫星定位数据，其中车辆的选择依据是其运行路线应涵盖待建工况地区的主要交通状况，一般分为四种交通状况：①拥挤的交通状况(怠速比例高，平均速度很低)；②城市交通状况(怠速比例中等，平均速度低)；③市区外的交通状况(怠速比例低，平均速度中等)；④公路交通状况(怠速比例很低，平均速度高)。时间段选择时应覆盖待建工况地区一天中的不同交通时期，应同时包含高峰时期，正常时期以及低峰时期。所需原始卫星定位数据至少应包含卫星定位速度和卫星定位时间参数。对原始数据按照微行程划分方法进行划分，汽车在行驶过程中，受道路状况及交通流量的影响,可能会处于起步、加速、停车的循环之中。在采集的试验数据中，将汽车从一个怠速开始到下一个怠速开始的运动过程定义为微行程，计算给出所有的微行程。

2.给定组成最终工况的最大子工况分类数Cmax，Cmax通常取3-4左右。

3.针对每一微行程进行驾驶特征的计算，特征参数计算参照的标准为：(1)怠速状态：发动机正常工作并且车速v＝0的行驶状态；(2)加速状态：车辆加速度a≥0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；(3)减速状态：车辆加速度a≤-0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；(4)匀速状态：车辆加速度|a|≤0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态。

需要计算的特征参数如表3所示。

4.将采集到的原始数据根据上一步骤中的方法，划分成若干个微行程，分别求出总体试验数据及各微行程的特征参数，得到以微行程为样本，样本数量(n行)×特征参数(p列)的矩阵，进行主成分分析。

5.上一步骤中所述的主成分分析方法：传统的主成分分析方法是从样本的相关矩阵出发进行主成分分析，需要对原始数据标准化，但标准化在消除量纲或数量级的同时，也抹杀了各变量变异程度的差异信息。

为解决这一问题，本发明首先采用对原始矩阵数据进行均值化方法处理：用各指标的均值去除相应的原始数据，即设原始数据矩阵X＝(X_ij)_n×p，令

其中于是得到均值化矩阵Y＝(Y_ij)_n×p，再对Y进行主成分分析，得到与特征参数个数值相同数量的主成分(用主成分得分代替特征参数来描述原微行程的行驶特性，只需要少量主成分即可反映原来较多特征参数才能反映的行驶特性，可达到降维和去相关的目的)。

均值化处理不改变各指标间的相关系数，均值化后的协方差矩阵不仅消除了指标量纲与数量级的影响，还能包含原始数据的全部信息。

6.主成分个数选择的依据：1)如果前N个主成分特征值的累积贡献率达到85％以上，并且这N个主成分的特征值都大于1，即可以选取这N个主成分进行分析。

2)当某个特征参数在某个主成分上的载荷系数绝对值越大，则说明该特征参数与这个主成分的相关系数越高。如果前M(M≤N)个主成分已能够全面反映所有的p个特征参数，则选取前M个主成分进一步分析，各样本在各主成分上的得分为其特征参数值的投影。这里主要对前M个主成分的得分进行模糊c均值聚类分析。

7.根据上一步骤，利用模糊c均值聚类方法将所有微行程聚类成不同组；每一聚类被称为一种交通状况，并且为每一交通状况生成一子工况；初始合成工况包括单独的不同交通状况下的子工况。

步骤6和步骤7的部分计算实现过程主要参考《基于运动学片段的城市道路行驶工况的研究》(《汽车工程》期刊2011年(第33卷)第3期)和《城市公交车行驶工况的构建》(《交通科技与经济》期刊2011年第3期)。

8.在初始的行驶工况制定完成后，需要对其曲线进行平滑处理以适合在测功机上进行测试。根据这一目的，本方法采用一个过滤公式来消除使行驶工况难以进行遵循测试的高频噪声。

上述技术方案中，利用模糊c均值聚类对微行程进行聚类分析的具体步骤为：

1)构建目标函数：

$J_m(U,V)=\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{c}{\Σ}}{\left(u_{ik}\right)}^m{\left(d_{ik}\right)}^2---\left(1\right)$

其中，n为样本数，c(2≤c＜Cmax)为聚类分类数，Cmax是各种子工况的最大分类数，为大于2的自然数；隶属度矩阵U的元素u_ik表示样本矩阵X中第k个样本x_k属于聚类中心矩阵V中第i个聚类中心v_i的隶属度值，d_ik为第k个样本x_k与第i个聚类中心v_i在特征向量上的距离，一般可设为欧式距离；m∈[1,∞)是模糊加权指数，用来控制隶属矩阵的模糊程度，i、k均为自然数，ξ为容许误差，一般取10^-3—10^-5；

2)通过迭代，最小化(1)式中J_m(U,V)；按下式计算隶属度

$u_{ik}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\Σ}}{\left(\frac{d_{ik}^2}{d_{jk}^2}\right)}^m}---\left(2\right)$

计算所需的v_i由(3)式替换，其中为样本x_k和v_j在特征向量上的距离平方，j＝1，2…c；

$v_{ik}=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{u}_{ik}^m{x}_k}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{u}_{ik}^m}---\left(3\right)$

3)如果两次循环中聚类中心的变化小于设定的容许误差ξ，则停止迭代，否则重复步骤2)，直至聚类中心的变化小于设定的容许误差；

4)算法结束后，由得到的隶属度矩阵确定数据所属的类，得到最后的聚类结果。

上述技术方案中，用于工况曲线平滑处理的过滤公式如下：

$v_{smoothed}\left(t\right)=\frac{1}{h}\underset{s=-h}{\overset{h}{\Σ}}K\left(\frac{s}{h}\right)\·v(t+s)---\left(4\right)$

其中，s为平滑参数，t为待平滑处理的时间，h为平滑加权参数，h＝4，单位均为秒。v_smoothed(t)是平滑后的速度值；函数K(x)仅在待平滑处理的时间t前后来加权测量的速度值，使用双权(Biweight)平滑核函数：

本发明的一个具体实施例说明如下：

1)在某客运公司的卫星定位监控系统数据库中按照设定的车辆和时间段信息为检索条件，读取车辆卫星定位数据，其中车辆选择依据是其运行路线能够涵盖待建工况地区(合肥市区、郊区及部分高速路段)的主要交通状况，时间段选择能够覆盖待建工况地区一天中的不同交通运行时期，主要包含高峰时期，正常时期以及低峰时期。采集的卫星定位数据包含了卫星定位速度和卫星定位时间参数。计算给出了所有的微行程。下表分别为利用车辆监控系统采集的部分数据和车辆情况(车牌号隐去一位)。采集的部分车辆卫星定位数据如表1所示。采集的车辆和时间段的数据如表2所示。

2)对原始数据进行计算处理，得到以微行程为样本，样本数量(n行)×特征参数(p列)的矩阵，对原始矩阵数据进行均值化方法处理后，进行主成分分析；如果前M(M≤N)个主成分已能够全面反映所有的p个特征参数，则对前M个主成分的得分进行模糊c均值聚类分析。

3)模糊c均值聚类算法运行的参数中，模糊加权指数m＝2，容许误差ξ取10^-5，经过运算得到4种聚类结果。

4)确定工况制定结果。对步骤3)得到的4种聚类结果合成为整体工况，利用滤波方法(过滤公式)对工况进行处理，参见图2所示。

本发明给出一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，可用于选定城市及其郊区汽车行驶工况的制定。1)在数据来源方面，该方法采用目前在道路运输企业已广泛应用的车辆动态监控系统累积的海量卫星定位数据，这些数据均属于车辆日常运营的实际数据，没有特定的试验研究所给予的各种限制，因此数据来源有着很强的广泛性和代表性；2)在新方法中，对微行程的聚类代替了V-A矩阵的构建，距离聚类中心最近的微行程被选中来形成最终的工况。新方法的一个好处是使用了改进的主成分分析方法，不仅消除了指标量纲与数量级的影响，还能包含原始数据的全部信息。3)针对已有方法制定的工况曲线存在较多尖峰而难以遵循测试的问题，本方法提出采用双权核函数进行滤波平滑处理的方法，使得处理后的工况曲线易于在测功机上进行遵循测试。

表1：

表2：

编号	车牌号	时间段
			1	A3504*	10:30-11:30
2	A6A94*	7:00-8:00
			3	A6B20*	8:00-9:10
4	A0360*	9:00-10:00
			5	A3503*	19:30-20:00
6	A3529*	10:30-11:30
			7	A3528*	9:50-10:30
8	A3521*	12:00-12:30
			9	A2086*	8:00-9:00
10	A3305*	7:00-8:00

表3：

Claims (4)

1.一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，其特征在于采用如下步骤：

步骤(1)，在卫星定位监控系统数据库中，按照设定的车辆和时间段信息为检索条件，读取原始卫星定位数据，其中车辆的选择依据是其运行路线应涵盖待建工况地区的主要交通状况，时间段选择时应覆盖待建工况地区一天中的不同交通时期，应同时包含高峰时期，正常时期以及低峰时期；所需原始卫星定位数据至少应包含卫星定位速度和卫星定位时间参数；在采集的原始卫星定位数据中，将汽车从一个怠速开始到下一个怠速开始的运动过程定义为微行程，对原始卫星定位数据按照微行程划分方法进行划分，计算给出所有的微行程；

步骤(2)，针对每一微行程进行驾驶特征参数计算，特征参数计算参照的标准为：(1)怠速状态：发动机正常工作并且车速v＝0的行驶状态；(2)加速状态：车辆加速度a≥0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；(3)减速状态：车辆加速度a≤-0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；(4)匀速状态：车辆加速度|a|≤0.15m·s^-2并且车速v≠0的行驶状态；

步骤(3)，行驶工况的构建过程步骤：将采集到的原始数据根据上一步骤中的方法，划分成若干个微行程，分别求出总体试验数据及各微行程的特征参数，得到以微行程为样本，样本数量(n行)×特征参数(p列)的矩阵；

步骤(4)，对步骤(3)中所述的原始矩阵数据进行均值化方法处理：用各指标的均值去除相应的原始数据，即设原始数据矩阵X＝(X_ij)_n×p，令

其中于是得到均值化矩阵Y＝(Y_ij)_n×p，再对Y进行主成分分析，得到与特征参数个数值相同数量的主成分；

均值化处理不改变各指标间的相关系数，均值化后的协方差矩阵不仅消除了指标量纲与数量级的影响，还能包含原始数据的全部信息；

步骤(5)，主成分个数选择的依据：1)如果前N个主成分特征值的累积贡献率达到85％以上，并且这N个主成分的特征值都大于1，即可以选取这N个主成分进行分析；

2)当某个特征参数在某个主成分上的载荷系数绝对值越大，则说明该特征参数与这个主成分的相关系数越高。如果前M(M≤N)个主成分已能够全面反映所有的p个特征参数，则选取前M个主成分进一步分析，各样本在各主成分上的得分为其特征参数值的投影；这里主要对前M个主成分的得分进行模糊c均值聚类分析；

步骤(6)，根据步骤(5)，利用模糊c均值聚类方法将所有微行程聚类成不同组；每一聚类被称为一种交通状况，并且为每一交通状况生成一子工况；初始合成工况包括单独的不同交通状况下的子工况；

步骤(7)，在初始的行驶工况制定完成后，需要对其曲线进行平滑处理以适合在测功机上进行测试。

2.根据权利要求1所述的一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，其特征在于：步骤(6)所述利用模糊c均值聚类对微行程进行聚类分析的具体步骤为：

1)构建目标函数：

$J_m(U,V)=\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{c}{\Σ}}{\left(u_{ik}\right)}^m{\left(d_{ik}\right)}^2---\left(1\right)$

其中，n为样本数，c(2≤c＜Cmax)为聚类分类数，Cmax是各种子工况的最大分类数，为大于2的自然数；隶属度矩阵U的元素u_ik表示样本矩阵X中第k个样本x_k属于聚类中心矩阵V中第i个聚类中心v_i的隶属度值，d_ik为第k个样本x_k与第i个聚类中心v_i在特征向量上的距离，一般可设为欧式距离；m∈[1,∞)是模糊加权指数，用来控制隶属矩阵的模糊程度，i、k均为自然数，ξ为容许误差，一般取10^-3—10^-5；

2)通过迭代，最小化(1)式中J_m(U,V)；按下式计算隶属度

$u_{ik}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\Σ}}{\left(\frac{d_{ik}^2}{d_{jk}^2}\right)}^m}---\left(2\right)$

计算所需的v_i由(3)式替换，其中为样本x_k和v_j在特征向量上的距离平方，j＝1，2…c；

$v_{ik}=\frac{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{u}_{ik}^m{x}_k}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{u}_{ik}^m}---\left(3\right)$

3)如果两次循环中聚类中心的变化小于设定的容许误差ξ，则停止迭代，否则重复步骤2)，直至聚类中心的变化小于设定的容许误差；

4)算法结束后，由得到的隶属度矩阵确定数据所属的类，得到最后的聚类结果。

3.根据权利要求1所述的一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，其特征在于：步骤(1)所述的主要交通状况，一般分为四种状况：①拥挤的交通状况，即怠速比例高，平均速度很低；②城市交通状况，即怠速比例中等，平均速度低；③市区外的交通状况，即怠速比例低，平均速度中等；④公路交通状况，即怠速比例很低，平均速度高。

4.根据权利要求1所述的一种组合主成分分析和模糊c均值聚类的车辆行驶工况制定方法，其特征在于：对其曲线进行平滑处理是采用一个过滤公式来消除使行驶工况难以进行遵循测试的高频噪声；所述的过滤公式如下：

$v_{smoothed}\left(t\right)=\frac{1}{h}\underset{s=-h}{\overset{h}{\Σ}}K\left(\frac{s}{h}\right)\·v(t+s)---\left(4\right)$

其中，s为平滑参数，t为待平滑处理的时间，h为平滑加权参数，单位均为秒；v_smoothed(t)是平滑后的速度值；函数K(x)仅在待平滑处理的时间t前后来加权测量的速度值，使用双权(Biweight)平滑核函数K(x)：