CN106056526A - 一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法 - Google Patents

Abstract

一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法，利用解析稀疏模型对原图像进行解析稀疏表示；然后利用压缩感知对解析稀疏系数进行压缩采样，最终得到加密图像。本发明在构造解析稀疏模型时采用的字典，采用logistic混沌进行原子位置置乱；压缩感知的测量矩阵是由logistic混沌生成的初始行循环得到的。本发明提高了稀疏表示对图像的表示性能，在进行解密时，能够更好的恢复得到原图像；将压缩感知应用于图像加密，使的图像加密和数据压缩能够同时进行；与将压缩感知中整个测量矩阵作为密钥的方法相比，本发明在具有高密钥敏感度的同时大大缩短了密钥的长度。本发明具有很高的安全性和数据压缩性能。

Description

一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法

技术领域

本发明图像处理技术领域，涉及一种图像加密算法。

背景技术

互联网的迅速普及已经成为信息时代的重要标志，任何人在任何时间、任何地点都可以通过网络发布任何信息。然而，在面对大量信息共享和方便得到的同时，也面临着大量数据被泄漏、篡改和假冒的事实。所以如何保证信息的安全已成为研究的关键问题。对于图像数据来说，这种加密技术就是把待传输的图像看作明文，通过各种加密算法(如DES，RSA等)，在密钥的控制下，实现图像数据的加密，这种加密机制的设计思想是加密算法可以公开，通信的保密性完全依赖于密钥的保密性，即符合科克霍夫准则。目前，图像加密算法按加密思路主要分为以下几类：基于空间域的像素置乱、基于混沌的加密、基于变换域的加密、基于秘密分割与秘密共享的加密、基于神经网络和元胞自动机的加密、基于盲源分离的加密。其中基于变幻域的加密是将图像从空间域变换到变幻域，进而对变幻域的系数进行加密处理。图像的稀疏表示便是一种变换，将图像变换到稀疏域。

信号的稀疏表示大多采用综合稀疏模型(Synthesis Sparse Model)，即在满足一定的近似条件下，用少量过完备字典中的原子的线性组合来表示信号。在综合稀疏模型中，信号由少数原子构成的子空间来表示，使得信号稀疏表示受个别原子影响较大。解析稀疏模型(Analysis Sparse Model)克服了综合稀疏模型稀疏表示性能较差的缺点。假设输入信号x∈Rⁿ，解析字典为Ω∈R^p×n，也称之为解析算子(Analysis Operator)，与综合字典不同，其行向量为解析字典的原子((·)^T表示转置运算)。Ω一般也是过完备字典，但与综合字典不同，它的行数大于列数，即p＞n。解析稀疏模型为：

l:＝p-||Ωx||₀ (1)

上式中Ωx为x的解析稀疏表示系数，l为共稀疏度，它是向量Ωx中零的个数，也就是Ω中与x正交的原子的个数，其数值越大，解析稀疏表示系数就越稀疏。在解析稀疏模型中信号用所有与之正交的原子构成的子集来表示，所以信号稀疏表示受个别原子影响小，具有较好的稀疏表示性能，能很好的与压缩感知相结合应用于图像加密。

压缩感知的概念是在2006由Candes和Donoho在相关研究基础上提出的，其核心思想是将压缩与采样合并进行。压缩感知的优点在于信号的投影测量数据量远远小于传统采样方法所获得数据量，突破了香农采样定理的瓶颈，使的高分辨率信号的采集成为可能。压缩感知理论主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。在基于信号的解析稀疏表示得到稀疏系数的前提下，压缩感知可表示为：

f＝Φz (2)

其中z是稀疏系数，是K稀疏的，Φ是测量矩阵，f是线性测量值。为了重构稀疏系数， Φ须满足约束等距条件：

其中σ_K是等距常数，在信号重构(解密)阶段，本发明采用分裂Bregman算法进行图像的重构。

本发明的密钥是由logistic混沌产生的，因为混沌系统的伪随机性和它对于初始值的敏感性，它经常被用于图像加密。其定义为：

x_n+1＝μx_n(1-x_n),x_n∈(0,1) (4)

当μ∈[3.57,4]时，系统处于混沌状态。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法。本方法首先利用解析稀疏模型对原图像进行解析稀疏表示，然后利用压缩感知对解析稀疏系数进行压缩采样，最终得到加密图像，解密时，采用分裂Bregman算法估计恢复原始图像实现解密。

为了达到上述目的，本发明采用下述技术方案：

一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法，其特征在于在进行稀疏表示时采用原子顺序置乱了的固定字典(DCT字典)，在压缩采样过程中对于测量矩阵的构造采用了与加密固定字典(DCT字典)相同的密钥。最终得到加密图像，实现了对图像的加密。

上述加密方法的具体解密、解密步骤如下：

(1)图像加密过程：

①首先对原子顺序固定的DCT字典D∈R^p×n采取原子顺序置乱，其中p为字典的行数，n为字典的列数，采用logistic混沌按下述方法置乱字典D的原子顺序，其置乱过程为：采用logistic混沌产生长度为2p的序列，其初始值为x₀₁，舍弃产生序列的前p个数，得到一个长度为p的序列s₁＝[s₁,s₂,...,s_p]^T，将序列s₁置入DCT字典的最后一列得到矩阵S＝[D,s₁](S∈R^p×(n+1))，按照矩阵S最后一列s₁的降序顺序对矩阵S的行进行重新排列，使得固定字典D中的原子顺序通过logistic混沌得以置乱，得到加密之后的字典Ω∈R^p×n。

②利用字典Ω对图像进行解析稀疏表示：

z≈Ωx s.t.||z||₀＝r (5)

其中，z∈R^p×1，x∈R^n×1为待加密的图像的列矢量化形式，r属于正整数(r＜＜p)，为z中非零元素的个数。

③采用循环矩阵构造压缩感知测量矩阵Φ，构造过程如下：采用logistic混沌产生长度为2p的序列，其初始值为x₀₁，舍弃生成序列的前p个数，得到一个长度为p的序列s₂＝[s₁,s₂,...,s_p]，作为矩阵Φ的初始行，由出事行循环得到矩阵的迭代过程如下：

其中Φ∈R^m×p，2≤i≤m，λ＞1为常数。

④将所得测量矩阵Φ应用于压缩感知：

f＝Φz (7)

其中，Φ∈R^m×p是测量矩阵，f∈R^m×1是线性测量值，将列矢量f转化为矩阵形式，得到加密图像，记为

(2)图像解密过程：

由以上图像加密步骤可得下式：

f＝Φz＝ΦΩx (8)

取Θ＝ΦΩ，得：

f＝Θx (9)

由加密图像解密恢复原图像，就是求解以下逆问题：

为求解上述问题，将目标函数式(10)中的l₀范数替换为l₁范数，通过拉格朗日算子μ将上述有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，即：

令Ωx＝d，目标函数(11)转化为：

利用拉格朗日算子λ得到：

采用分裂Bregman算法求解上述优化问题，迭代公式如下：

b^t+1＝b^t+Ωx^t+1-d^t+1 (16)

其中，b^t为分裂Bregman算法中引入的中间变量。用于更新x^t的优化问题(14)为最小二乘问题，其最小二乘解为：

x^t+1＝(μΘ^TΘ+λΩ^TΩ)^-1(μΘ^Tf+λΩ^T(d^t-b^t)) (17)

在迭代过程中，可通过软门限法更新d^t，如下：

在实验中，x^t，d^t和b^t的初值取为零向量，经过多次迭代更新，最终得到原图像的估计即为解密图像的矢量化形式，将其转化为矩阵形式，就是解密所的图像。

本发明方法与现有技术相比较，具有如下显著的特点和优点：

本发明涉及一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法。该方法首先采用解析稀疏模型对图像进行稀疏表示，然后利用压缩感知对解析稀疏系数进行压缩采样，最终得到加密图像。具体的特点和优点为：

⑴将解析稀疏表示应用到图像解密，提高了稀疏表示对图像的表示性能，在进行解密时，能够更好的恢复得到原图像。

⑵将压缩感知应用于图像加密，使的图像加密和数据压缩能够同时进行。

⑶与将压缩感知中整个测量矩阵作为密钥的方法相比，由logistic混沌产生密钥，在具有高密钥敏感度的同时大大缩短了密钥的长度。

本发明提供的图像加密方法，能够实现对图像的加密，并有很高的安全性和数据压缩性能。在政治、经济、国防、教育等方面以及某些特殊领域，如军事、商业和医疗等均有广泛的应用。

附图说明

图1为本发明辣椒图像的加密、解密过程图示。其中(a)为加密前的辣椒图像，(b)为加密之后的辣椒图像，(c)为解密之后的辣椒图像。图示中压缩比为87.89％，从图示中加密之后的图像中看不出原始辣椒图像的任何信息。

图2为房屋图像经过本发明加密前后的直方图。其中，(a)原房屋图像；(b)原房屋图像直方图；(c)加密后房屋图像直方图。

图3为莱娜图像经过本发明加密前后的直方图。(a)原莱娜图像；(b)原莱娜图像直方图；(c)加密后莱娜图像直方图。

图4为辣椒图像经过本发明加密前后的直方图。(a)原辣椒图像；(b)原辣椒图像直方图；(c)加密后辣椒图像直方图。

图5为不同密钥解密所得图像与原始图像之间的均方误差(MSE)曲线。

具体实施方式

本发明涉及一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法。本方法首先利用解析稀疏模型对原图像进行解析稀疏表示，然后利用压缩感知对解析稀疏系数进行压缩采样，最终得到加密图像(实验中参数u取值为3.99)，解密时，采用分裂Bregman算法估计恢复原始图像实现解密。

具体加密、解密步骤为：

(1)图像加密过程：

①实验采用128×128的图像Peppers，先将其分成四个64×64小块图像，将小块图像矢量化成一列矢量x_j∈R^4096×1，j取值为1,2,3,4，表示原始图像的四个小块。

②采用logistic混沌生成长度为2×4900的序列，其初始值为x₀₁＝0.23，舍弃生成序列的前4900个数，得到一个长度为4900的序列s₁＝[s₁,s₂,...,s₄₉₀₀]^T，将序列s₁置入原子顺序固定的DCT字典的最后一列得到矩阵S＝[D,s₁]，按照矩阵S最后一列s₁的降序顺序对矩阵S的行进行重新排列，使得D中的原子顺序通过logistic混沌得以置乱，得到加密之后的字典Ω∈R^p×n。

③利用字典Ω对图像进行解析稀疏表示：

z_j＝Ωx_j

其中，z_j∈R^4900×1并对z_j采取强制稀疏，Ω∈R^4900×4096。

④采用循环矩阵构造压缩感知的测量矩阵Φ，构造过程如下：采用logistic混沌产生长度为2×4900的序列，其初始值为x₀₁＝0.23，舍弃生成序列的前4900个数，得到一个长度为4900的序列s₂＝[s₁,s₂,...,s₄₉₀₀]，作为矩阵Φ的初始行，由初始行循环得到测量矩阵的迭代过程如下：

Φ(i,1)＝2·Φ(i-1,4900)

Φ(i,2:4900)＝2·Φ(i-1,1:4899)

其中，Φ∈R^3600×4900，2≤i≤3600。

⑤将所得测量矩阵Φ应用于压缩感知：

f_j＝Φz_j

其中Φ∈R^3600×4900是测量矩阵，f_j∈R^3600×1是线性测量值。

⑥将列矢量f_j转化为矩阵形式，得到加密图像，记为

(2)图像解密过程：

由以上图像加密步骤可得下式：

f_j＝Φz_j＝ΦΩx_j

取Θ＝ΦΩ，得：

f_j＝Θx_j

由加密图像解密估计恢复原图像，就是求以下逆问题：

为求解上述问题，将目标函数式(10)中的l₀范数替换为l₁范数，采用拉格朗日算子μ将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，即：

令Ωx_j＝d_j，上述目标函数可转化为：

利用拉格朗日算子λ得到：

采用分裂Bregman迭代算法求解上述优化问题，迭代公式如下：

其中，为分裂Bregman算法中引入的中间变量。上述用于更新的优化问题的式子为最小二乘问题，其最小二乘解为：

在迭代过程中，可通过软门限法更新如下：

在实验中，和的初值取为零向量，通过多次迭代(本发明设置总迭代次数为30次)，最终得到原图像的估计将列矢量转化为矩阵形式，然后按照分块时的顺序组合的原Peppers图像。

图1给出了辣椒图像的加密、解密过程图示。从左至右分别为加密前辣椒图像、加密之后的辣椒图像和解密之后的辣椒图像。图示中压缩比为87.89％，从图示中加密之后的图像中看不出原始辣椒图像的任何信息。

图2-图5给出了本发明加密方法加密结果的客观评价指标。为评价本发明加密方法的性能，图2、图3、图对比了三幅不同图片经过本发明方法加密之前与加密之后的直方图。

图2为房屋图像经过本发明加密前后的直方图。其中，(a)原房屋图像；(b)原房屋图像直方图；(c)加密后房屋图像直方图。

图3为莱娜图像经过本发明加密前后的直方图。(a)原莱娜图像；(b)原莱娜图像直方图；(c)加密后莱娜图像直方图。

图4为辣椒图像经过本发明加密前后的直方图。(a)原辣椒图像；(b)原辣椒图像直方图；(c)加密后辣椒图像直方图。

图5为不同密钥解密所得图像与原始图像之间的均方误差(MSE)曲线。

从图2-图4可以看出，三幅图在加密之前，它们的直方图可以观察到明显的区别。而在经过本发明算法加密之后，三幅加密图的直方图之间非常相似。这表明了本发明方法能够有效应对统计分析攻击。

在图5中，为了评估本发明方法密钥的敏感度，我们给出了均方误差(MSE)曲线，其定义式如下：

其中，L×H表示图像像素点总的个数，I(x,y)和D(x,y)分别表示加密前后图像像素点的数值。从图5可以看出，当初始值为x₀₁+Δ，且Δ不为零时，MSE非常大，这表明加密图像只有在密钥正确的情况下才能够正确解密得到原图像，所以本发明对于密钥敏感度很强。

Claims (1)

1.一种基于解析稀疏表示与压缩感知的图像加密算法，其特征是按如下步骤实现加密和解密：

(1)图像加密过程：

①首先对原子顺序固定的DCT字典D∈R^p×n采取原子顺序置乱，其中p为字典的行数，n为字典的列数，采用logistic混沌按下述方法置乱字典D的原子顺序，其置乱过程为：

采用logistic混沌产生长度为2p的序列，其初始值为x₀₁，舍弃生成序列的前p个数，得到一个长度为p的序列s₁＝[s₁,s₂,...,s_p]^T，将序列s₁置入DCT字典的最后一列得到矩阵S＝[D,s₁](S∈R^p×(n+1))，按照矩阵S最后一列s₁的降序顺序对矩阵S的行进行重新排列，使得固定字典D中的原子顺序通过logistic混沌得以置乱，得到加密之后的字典Ω∈R^p×n；

②利用字典Ω对图像进行解析稀疏表示：

z≈Ωx s.t.||z||₀＝r (1)

其中，z∈R^p×1，x∈R^n×1为待加密的图像的列矢量化形式，r属于正整数(r＜＜p)，为z中非零元素的个数；

③采用循环矩阵构造压缩感知的测量矩阵Φ，构造过程如下：采用logistic混沌产生长度为2p的序列，其初始值为x₀₁，舍弃生成序列的前p个数，得到一个长度为p的序列s₂＝[s₁,s₂,...,s_p]，作为矩阵Φ的初始行，由初始行循环得到测量矩阵的迭代过程如下：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Φ}(i,1)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Φ}(i-1,p)\\ \mathrm{\Φ}(i,2:p)=\mathrm{\λ}\·\mathrm{\Φ}(i-1,1:p-1)\end{array}---\left(2\right)$

其中Φ∈R^m×p，2≤i≤m，λ＞1为常数；

④将所得测量矩阵Φ应用于压缩感知：

f＝Φz (3)

其中Φ∈R^m×p是测量矩阵，f∈R^m×1是线性测量值；

⑤将列矢量f转化为矩阵形式，得到加密图像，记为

(2)图像解密过程：

①使用密钥x₀₁采取与图像加密过程①、③的方法得到加密字典Ω与测量矩阵Φ；

②令Θ＝ΦΩ，在由加密图像解密恢复原图像，即求解以下逆问题：

$\begin{array}{ccc}\underset{x}{\mathrm{argmin}}\left|\right|\mathrm{\Ω}x|{|}_0& s.t.& f=\mathrm{\Θ}x\end{array}---\left(4\right)$

为求解上述问题，将目标函数式(4)中的范数替换为范数，通过拉格朗日算子μ将上述有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，即：

$\underset{x}{\mathrm{argmin}}\left\{\right|\left|\mathrm{\Ω}x\right|{|}_1+\frac{\mathrm{\μ}}{2}\left|\right|f-\mathrm{\Θ}x\left|{|}_2^2\right\}---\left(5\right)$

令Ωx＝d，目标函数(5)转化为：

$\begin{array}{ccc}\underset{z,x}{\mathrm{argmin}}\left\{\right|\left|d\right|{|}_1+\frac{\mathrm{\μ}}{2}\left|\right|f-\mathrm{\Θ}x\left|{|}_2^2\right\}& s.t.& d=\mathrm{\Ω}x\end{array}---\left(6\right)$

利用拉格朗日算子λ得到：

$\underset{z,x}{\mathrm{argmin}}\left\{\right|\left|d\right|{|}_1+\frac{\mathrm{\μ}}{2}\left|\right|f-\mathrm{\Θ}x|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\λ}}{2}||d-\mathrm{\Ω}x|{|}_2^2\}---\left(7\right)$

采用分裂Bregman算法求解上述优化问题，迭代公式如下：

$x^{t+1}=\underset{x}{\mathrm{argmin}}\left\{\frac{\mathrm{\μ}}{2}\right||f-\mathrm{\Θ}x|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\λ}}{2}\left|\right|d^t-\mathrm{\Ω}x-b^t\left|{|}_2^2\right\}---\left(8\right)$

$d^{t+1}=\underset{z}{\mathrm{argmin}}\left\{\right|\left|d^t\right|{|}_1+\frac{\mathrm{\λ}}{2}\left|\right|d^t-{\mathrm{\Ωx}}^{t+1}-b^t\left|{|}_2^2\right\}---\left(9\right)$

b^t+1＝b^t+Ωx^t+1-d^t+1 (10)

其中，b^t为分裂Bregman算法中引入的中间变量，用于更新x^t的优化问题(8)为最小二乘问题，其最小二乘解为：

x^t+1＝(μΘ^TΘ+λΩ^TΩ)^-1(μΘ^Tf+λΩ^T(d^t-b^t)) (11)

在迭代过程中，可通过软门限法更新d^t，如下：

$d^{t+1}=\left\{\begin{array}{cc}({\mathrm{\&Omega;x}}^{t+1}+b^t)-\frac{1}{\mathrm{\&lambda;}},& ({\mathrm{\&Omega;x}}^{t+1}+b^t)>\frac{1}{\mathrm{\&lambda;}};\\ 0,& -\frac{1}{\mathrm{\&lambda;}}<({\mathrm{\&Omega;x}}^{t+1}+b^t)<\frac{1}{\mathrm{\&lambda;}};\\ ({\mathrm{\&Omega;x}}^{t+1}+b^t)+\frac{1}{\mathrm{\&lambda;}},& ({\mathrm{\&Omega;x}}^{t+1}+b^t)<-\frac{1}{\mathrm{\&lambda;}};\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，x^t，d^t和b^t的初值取为零向量，通过多次迭代，最终得到原图像列矢量化形式的估计。