CN106021772A - 一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法。该方法将包络函数引入到动态结构的可靠性问题中，通过包络面来近似构建随时间变化的多参数结构不确定性的失效域，进而将动态问题转化为静态问题，并利用可靠度指标计算实现结构安全态势的有效评估。本发明将依据区间集合包络函数中包络面与随时间连续变化的失效边界超曲面相切的性质来定义偏微分方程，并求解扩展点对应的危险时刻；通过建立含相关性的多维超立方体模型，进而获得有限危险时刻下与原动态问题等价的有限维度静态失效域；基于体积比思想，最终实现服役结构的静态等效可靠度计算过程，在保证精度的同时，大大降低了传统时变可靠性的计算规模。

Description

一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价 方法

技术领域

本发明涉及服役结构的动力响应预计与安全性评估技术领域，特别涉及一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其为考虑时变不确定性下服役结构的可靠性分析，为突破大型复杂结构非概率时变可靠度计算规模巨大、计算效率低下的瓶颈提供可行的等效转化方法。

背景技术

服役结构，也称之为在役结构或既有结构，在其建造及使用过程中必然伴随着结构老化，性能下降、载荷时变等问题，结构安全性指标随时间的衰减亦是不可逆的。如果对于结构的行为演化规律无法正确捕捉，很容易导致结构的失效周期与设计预期相悖，从而带来严重的社会与经济损失。因此，如何实现对服役结构安全态势的有效评估，其研究意义重大。

然而，工程结构的服役环境相对严酷，不确定性与动态效应的耦合显著；此外，制造加工工艺及材料非均质性所造成的性能分散亦不可避免。上述问题会随着时间累积不断蔓延扩展，最终影响着服役结构的动力行为以及寿命期内的安全性能。综合上述情况，开展针对服役结构的不确定性分析与可靠度评价具有显著的工程价值。

现有的结构时变可靠性分析方法主要划分为两类：基于极值响应的方法和基于首次穿越的方法。基于极值响应的方法需要获取足够的样本以确定不同时刻响应极值的统计特性，工程实用性不强；基于首次穿越的方法需要求得响应第一次突破阈值的跨越率指标，计算困难，且无法准确模拟多次穿越情况。总之，传统的结构时变可靠性分析方法相较于静态可靠性分析而言，由于加入了时间项考量，计算资源的消耗十分巨大。因此，能否通过有效手段实现时变问题向静态问题的合理转化，是当前学术界和工程界广泛关注的热点问题。

本发明针对服役结构的安全性问题，通过引入区间集合包络函数，将时变可靠性问题等效转化为包络面上求解扩展点的准静态问题，进而结合体积比思想实现了结构有限维度可靠性指标的计算，确保分析精度的同时，大大降低了现有结构时变可靠度计算的能耗和时间成本。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种针对服役结构的安全性评价方法，充分考虑实际工程问题中普遍存在的时变不确定性效应，以区间集合包络函数的构建和超曲面上扩展点的计算，实现时间离散后的静态转化，再结合非概率集合理论中体积比的思想，确定可靠度指标的显式表达。所得到的分析结果在精度保证的前提下，可实现计算效率的有效提升。

本发明采用的技术方案为：一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，实现步骤如下：

第一步：考虑存在于服役结构中的时变不确定性参数，定义区间过程{X(t)∈X^I(t),t∈T}予以表征。其中，X(t)为待研究的区间过程，X^I(t)表示区间过程X(t)的可行域集，t表示任一时刻，T为整个服役寿命。对于任意时刻t_i,(i＝1,2,...)，X(t_i)将转化为离散的区间变量，有限多个区间变量的可行域为一个超立方体域。为了更好地描述时变不确定性参数的特征，进一步定义区间过程的均值函数X^c(t)、半径函数X^r(t)、方差函数D_X(t)以及任意不同时刻t₁和t₂的自相关系数函数ρ_X(t₁,t₂)。这里，区间过程的均值函数X^c(t)、半径函数X^r(t)以及方差函数D_X(t)的表达式如下：

$X^c\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2},X^r\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2},D_X\left(t\right)={\left(X^r\right(r\left)\right)}^2={\left(\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2}\right)}^2$

此外，自相关系数函数ρ_X(t₁,t₂)可表示为：

${\mathrm{\ρ}}_X(t_1,t_2)=\frac{{\mathrm{Cov}}_X(t_1,t_2)}{\sqrt{D_X\left(t_1\right)}\·\sqrt{D_X\left(t_2\right)}}$

其中，Cov_X(t₁,t₂)为区间过程X(t)在时刻t₁和t₂的自协方差函数。

第二步：利用第一步提出的区间过程模型，构建基于n维时变不确定性的服役结构功能函数g(t,X(t))，进而定义时变可靠性指标R_s(T)如下：

$R_s\left(T\right)=Pos\{\∀t\≤T:g(t,X(t\left)\right)>0\}$

其中，Pos{·}表示事件发生的可能度，g(t,X(t))>0表示结构在时刻t安全。

第三步：根据第二步建立的功能函数g(t,X(t))，定义区间集合包络函数G(X(t))满足如下表达式：

$\left\{\begin{array}{c}g(t,X(t\left)\right)=0\\ \stackrel{\·}{g}(t,X(t\left)\right)=0\end{array}\right.$

其中，表示功能函数对时间t的导数。包络函数的基本思想在于：通过定义一个与时间参数无关的包络面替代原问题中随时间连续变化的失效超曲面，进而将动态可靠性问题转化为静态问题。这里，区间集合包络函数G(X(t))可被看作是时间参数t在寿命范围内变化时一系列功能函数在变量空间上的超曲面，而包络函数与这些超曲面均相切，因此，G(X(t))上的点可看作是两个相邻的超曲面的交点。

第四步：将第二步建立的功能函数线性展开，可得到：

$g(t,X(t\left)\right)\≈g(t,a(t),X(t\left)\right)=a_0\left(t\right)+a\left(t\right)X\left(t\right)=a_0\left(t\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_j\left(t\right)X_j\left(t\right)$

其中，X(t)＝(X₁(t),X₂(t),...,X_n(t))^T表示相互独立的区间过程向量，上标T对应矩阵的转置运算，a(t)＝(a₀(t),a₁(t),a₂(t),...,a_n(t))表示时变系数向量，j为计数指标。基于正则思想对功能函数进行标准化处理，进而将第三步定义的区间集合包络函数变形为：

$G\left(X\right(t\left)\right)=G\left(U\right)\⇒\left\{\begin{array}{c}L(t,U)=b_0\left(t\right)+b\left(t\right)U=0\\ \stackrel{\·}{L}(t,U)={\stackrel{\·}{b}}_0\left(t\right)+\stackrel{\·}{b}\left(t\right)U=0\end{array}\right.$

其中，b₀(t)和b(t)＝(b₁(t),b₂(t),...,b_n(t))分别表示标准化功能函数L(t,U)的确定项和分散系数项，和表示b₀(t)和b(t)对时间t的导数，U为n维标准化区间向量。这里，标准化功能函数L(t,U)确定项b₀(t)和分散系数项b(t)的具体表达式如下：

$b_0\left(t\right)=a_0\left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\left(a_j\right(t)\·X_j^c(t\left)\right)$

和

$b\left(t\right)=\left(b_1\right(t),b_2(t),...,b_n(t\left)\right)=\left(X_1^c\right(t),X_2^c(t),...,X_n^c(t\left)\right)$

第五步：定义扩展点U^*为第四步建立的标准化后包络函数上离原点最近的点，即U^*向量与线性化功能函数L(t,U)相互垂直，于是有：

$U^{*}=c\frac{b\left(t\right)}{{||b\left(t\right)||}_2}=c\frac{b{\left(t\right)}^T}{\sqrt{b\left(t\right)\·b{\left(t\right)}^T}}$

其中，c表示待定常数，可由下式确定，即：

$c=\frac{-b_0\left(t\right)}{\sqrt{b\left(t\right)\·b{\left(t\right)}^T}}$

||·||₂为“2范数”计算格式。将扩展点的数学表达代入到第四步构建的标准化区间包络函数计算式，可得到扩展点U^*相对应的危险时刻向量的计算方程如下：

${\stackrel{\·}{b}}_0\left(t^{*}\right)-b_0\left(t^{*}\right)\frac{\stackrel{\·}{b}\left(t^{*}\right)\·b{\left(t^{*}\right)}^T}{b\left(t^{*}\right)\·b{\left(t^{*}\right)}^T}=0$

第六步：利用数值手段计算第五步建立的危险时刻向量的方程式，分别定义有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))的均值g^c(t^*,X^c(t^*))和半径g^r(t^*,X^c(t^*))分别为：

$g^c(t^{*},X^c(t^{*}\left)\right)=\left\{g^c(t_k^{*},X^c(t_k^{*}\left)\right)\right|k=1,2,\mathrm{...}\}=\{a_0\left(t_k^{*}\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\left(a_j\right(t_k^{*})\·X_j^c(t_k^{*}\left)\right)|k=1,2,\mathrm{...}\}$

和

$g^r(t^{*},X^c(t^{*}\left)\right)=\left\{g^r(t_k^{*},X^r(t_k^{*}\left)\right)\right|k=1,2,\mathrm{...}\}=\{\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{\left(a_j\right(t_k^{*})\·X_j^r(t_k^{*}\left)\right)}^2}|k=1,2,\mathrm{...}\}$

任意不同时刻和的自相关系数函数可表示为：

${\mathrm{\ρ}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})=\frac{{\mathrm{Cov}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})}{\sqrt{D_g\left(t_{k_1}^{*}\right)}\·\sqrt{D_g\left(t_{k_2}^{*}\right)}}$

其中，和表示功能函数g(t,X(t),d)在任意不同时刻和的方差函数，为协方差函数。进而构建出有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))的超立方体可行域。

第七步：根据第六步获得的区间向量g(t^*,X(t^*))的可行域信息，第二步定义的时变可靠性指标R_s(T)可转化为如下离散化的准静态形式：

$R_s\left(T\right)\≈Pos\{\∀t_k^{*}\∈t:g(t_k^{*},X(t_k^{*}\left)\right)>0\}$

借助于体积比思想，可实现上式可靠性指标的显式求解，从而实现区间集合包络函数下服役结构静态等效可靠性的有效评估。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了处理时变不确定性效应下服役结构安全性评价的新思路，弥补和完善了现有结构时变可靠性分析理论和方法的局限性。所构建的基于区间集合包络函数的结构等效静态可靠性分析模型，弥补了基于极值响应和首次穿越方法所带来的计算规模缺陷，同时亦可以保证计算的可信度，通过对扩展点时刻结构性能的有效度量，确保结构在全寿命周期内安全态势的准确表征，为结构精细化设计提供了合理的理论支持。

附图说明

图1是本发明针对服役结构基于区间集合包络函数的可靠性分析流程图；

图2是本发明提出的区间过程自协方差函数计算示意图；

图3是本发明提出的区间集合包络函数扩展点计算示意图；

图4是本发明提出的不同危险时刻下功能函数的协方差函数计算示意图；

图5是本发明实施例中悬臂梁结构的几何示意图。

具体实施方式

如图1所示，本发明提出了一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，包括以下步骤：

(1)考虑存在于服役结构中的时变不确定性参数，定义区间过程{X(t)∈X^I(t),t∈T}予以表征。其中，X(t)为待研究的区间过程，X^I(t)表示区间过程X(t)的可行域集，t表示任一时刻，T为整个服役寿命。对于任意时刻t_i,(i＝1,2,...)，X(t_i)将转化为离散的区间变量，有限多个区间变量的可行域为一个超立方体域。为了更好地描述时变不确定性参数的特征，进一步定义区间过程的均值函数X^c(t)、半径函数X^r(t)、方差函数D_X(t)以及任意不同时刻t₁和t₂的自相关系数函数ρ_X(t₁,t₂)。这里，区间过程的均值函数X^c(t)、半径函数X^r(t)以及方差函数D_X(t)的表达式如下：

$X^c\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2},X^r\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2},D_X\left(t\right)={\left(X^r\right(r\left)\right)}^2={\left(\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2}\right)}^2$

此外，自相关系数函数ρ_X(t₁,t₂)可表示为：

${\mathrm{\ρ}}_X(t_1,t_2)=\frac{{\mathrm{Cov}}_X(t_1,t_2)}{\sqrt{D_X\left(t_1\right)}\·\sqrt{D_X\left(t_2\right)}}$

其中，Cov_X(t₁,t₂)为区间过程X(t)在时刻t₁和t₂的自协方差函数。如图2所示，Cov_X(t₁,t₂)可由下式求解：

${\mathrm{Cov}}_X(t_1,t_2)=(\sqrt{2}d-1)\·X^r\left(t_1\right)\·X^r\left(t_2\right),0\≤d\≤\sqrt{2}$

其中，d表示图2中区间变量X(t₁)和X(t₂)标准化后形成的偏转矩形域半边长。

(2)利用第一步提出的区间过程模型，构建基于n维时变不确定性的服役结构功能函数g(t,X(t))，进而定义时变可靠性指标R_s(T)如下：

$R_s\left(T\right)=Pos\{\∀t\≤T:g(t,X(t\left)\right)>0\}$

其中，Pos{·}表示事件发生的可能度，g(t,X(t))>0表示结构在时刻t安全。

(3)根据第二步建立的功能函数g(t,X(t))，定义区间集合包络函数G(X(t))满足如下表达式：

$\left\{\begin{array}{c}g(t,X(t\left)\right)=0\\ \stackrel{\·}{g}(t,X(t\left)\right)=0\end{array}\right.$

其中，表示功能函数对时间t的导数。包络函数的基本思想在于：通过定义一个与时间参数无关的包络面替代原问题中随时间连续变化的失效超曲面，进而将动态可靠性问题转化为静态问题。这里，区间集合包络函数G(X(t))可被看作是时间参数t在寿命范围内变化时一系列功能函数在变量空间上的超曲面，而包络函数与这些超曲面均相切，因此，G(X(t))上的点可看作是两个相邻的超曲面的交点。具体分析如下：

考虑时间相邻的两个临近超曲面分别满足g(t,X(t))＝0和g(t+△t,X(t+△t))＝0，其中△t>0为微小时间增量，则有：

$\frac{g(t+\mathrm{\Δ}t,X(t+\mathrm{\Δ}t\left)\right)-g(t,X(t\left)\right)}{\mathrm{\Δ}t}=0$

显然当△t→0时，上式近似表示为：假定存在的逆函数于是，区间集合包络函数G(X(t))可进一步表示为：

$G\left(X\right(t\left)\right)=g\left(X\right(t),{\stackrel{\·}{g}}^{-1}(X\left(t\right)\left)\right)=0$

若对上式关于时间t求解，可得到危险时刻向量此时，时变可靠性指标R_s(T)可以转化为：

$R_s\left(T\right)\≈R_s\left(t^{*}\right)=Pos\{\∀t_k^{*}\∈t^{*}:G\left(X\right(t_k^{*}\left)\right)>0\}$

其中，k为计数指标。

(4)考虑到上一步中通常不易获得，很难直接求解出危险时刻向量鉴于此，将第二步建立的功能函数线性展开，可得到：

$g(t,X(t\left)\right)\≈g(t,a(t),X(t\left)\right)=a_0\left(t\right)+a\left(t\right)X\left(t\right)=a_0\left(t\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_j\left(t\right)X_j\left(t\right)$

其中，X(t)＝(X₁(t),X₂(t),...,X_n(t))^T表示相互独立的区间过程向量，上标T对应矩阵的转置运算，a(t)＝(a₀(t),a₁(t),a₂(t),...,a_n(t))表示时变系数向量，j为计数指标。基于正则思想对功能函数进行标准化处理，进而将第三步定义的区间集合包络函数变形为：

$G\left(X\right(t\left)\right)=G\left(U\right)\⇒\left\{\begin{array}{c}L(t,U)=b_0\left(t\right)+b\left(t\right)U=0\\ \stackrel{\·}{L}(t,U)={\stackrel{\·}{b}}_0\left(t\right)+\stackrel{\·}{b}\left(t\right)U=0\end{array}\right.$

其中，b₀(t)和b(t)＝(b₁(t),b₂(t),...,b_n(t))分别表示标准化功能函数L(t,U)的确定项和分散系数项，和表示b₀(t)和b(t)对时间t的导数，U为n维标准化区间向量。这里，标准化功能函数L(t,U)确定项b₀(t)和分散系数项b(t)的具体表达式如下：

$b_0\left(t\right)=a_0\left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\left(a_j\right(t)\·X_j^c(t\left)\right)$

和

$b\left(t\right)=\left(b_1\right(t),b_2(t),...,b_n(t\left)\right)=\left(X_1^c\right(t),X_2^c(t),...,X_n^c(t\left)\right)$

(5)定义扩展点U^*为第四步建立的标准化后包络函数上离原点最近的点(如图3所示)，即U^*向量与线性化功能函数L(t,U)相互垂直，于是有

$U^{*}=c\frac{b\left(t\right)}{{||b\left(t\right)||}_2}=c\frac{b{\left(t\right)}^T}{\sqrt{b\left(t\right)\·b{\left(t\right)}^T}}$

其中，c表示待定常数，||·||₂为“2范数”计算格式。将上式代入到变形后的区间集合包络函数G(U)的第一个计算式中，可知：

$L(t,U^{*})=b_0\left(t\right)+b\left(t\right)U^{*}=b_0\left(t\right)+c\frac{b\left(t\right)\·b{\left(t\right)}^T}{\sqrt{b\left(t\right)\·b{\left(t\right)}^T}}=0$

于是有将扩展点的数学表达代入到第四步构建的标准化区间包络函数计算式，可得到扩展点U^*相对应的危险时刻向量的计算方程如下：

${\stackrel{\·}{b}}_0\left(t^{*}\right)-b_0\left(t^{*}\right)\frac{\stackrel{\·}{b}\left(t^{*}\right)\·b{\left(t^{*}\right)}^T}{b\left(t^{*}\right)\·b{\left(t^{*}\right)}^T}=0$

(6)利用数值手段计算第五步建立的危险时刻向量的方程式，分别定义有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))的均值g^c(t^*,X^c(t^*))和半径g^r(t^*,X^c(t^*))分别为：

$g^c(t^{*},X^c(t^{*}\left)\right)=\left\{g^c(t_k^{*},X^c(t_k^{*}\left)\right)\right|k=1,2,\mathrm{...}\}=\{a_0\left(t_k^{*}\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}\left(a_j\right(t_k^{*})\·X_j^c(t_k^{*}\left)\right)|k=1,2,\mathrm{...}\}$

和

$g^r(t^{*},X^c(t^{*}\left)\right)=\left\{g^r(t_k^{*},X^r(t_k^{*}\left)\right)\right|k=1,2,\mathrm{...}\}=\{\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}{\left(a_j\right(t_k^{*})\·X_j^r(t_k^{*}\left)\right)}^2}|k=1,2,\mathrm{...}\}$

任意不同时刻和的自相关系数函数可表示为：

${\mathrm{\ρ}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})=\frac{{\mathrm{Cov}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})}{\sqrt{D_g\left(t_{k_1}^{*}\right)}\·\sqrt{D_g\left(t_{k_2}^{*}\right)}}$

其中，和表示功能函数g(t,X(t),d)在任意不同时刻和的方差函数，为协方差函数，如图4所示，其具体求解如下式：

${\mathrm{Cov}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})=(\sqrt{2}{d}_g-1)\·g^r(t_{k_1}^{*},X^r(t_{k_1}^{*}\left)\right)\·g^r(t_{k_2}^{*},X^r(t_{k_2}^{*}\left)\right),0\≤d_g\≤\sqrt{2}$

其中，d_g表示为图4中区间变量和标准化后形成的偏转矩形域半边长。基于上述分析，可构建出有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))的超立方体可行域。

(7)根据第六步获得的区间向量g(t^*,X(t^*))的可行域信息，第二步定义的时变可靠性指标R_s(T)可转化为如下离散化的准静态形式：

$R_s\left(T\right)\≈Pos\{\∀t_k^{*}\∈t^{*}:g(t_k^{*},X(t_k^{*}\left)\right)>0\}$

借助于体积比思想，可知：

其中，HV_干涉为满足约束条件的超体积，HV_总为有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))超立方体可行域的总体积。综上，可实现可靠性指标的显式求解，从而确保区间集合包络函数下服役结构静态等效可靠性的有效评估。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图5所示的服役悬臂梁结构进行了基于区间包络函数的等效静态可靠性分析。其中，梁截面对应宽为b，高为h；悬臂梁一侧固支，另一侧承受集中载荷F(t)＝F₀cost和弯矩M(t)，F₀为载荷幅值。悬臂梁固定端处截面下边为其正应力最大处，故构造该极值应力σ_max(t)为输出响应函数，该结构失效为最大应力大于给定的临界阀值σ_许用。本实施例中，截面尺寸b和h以及应力许用值σ_许用为区间变量，载荷F(t)和弯矩M(t)为区间过程，具体信息见表1所示。

考虑整个服役寿命为T＝10年，分别利用本发明所提出的包络函数法，首次穿越法以及Monte-Carlo数值抽样法进行服役悬臂梁结构的可靠度计算，具体结果如表2所示。通过比较可以看出，本发明提出的方法在可靠度计算结果上介于首次穿越法和Monte-Carlo数值抽样法之间，具体原因如下：(1)与首次穿越方法相比而言，本发明提出的区间集合包络函数法打破了穿越失效事件相互独立的假设，可以有效计及多次穿越失效具有相关性的情况，因此可靠度结果更偏于正确；(2)与Monte-Carlo数值抽样法相比较，本发明的可靠度结果偏低，这主要由于包络函数法对于不确定性参数输入的可获知信息更少，计算较抽样而略偏保守，但计算效率明显提升。

表1

表2

综上所述，本发明提出了一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法。该方法利用区间集合包络函数的构建将结构动态失效问题转化为求解包络函数上超曲面扩展点的离散准静态问题；进而，可以构建出有限维度相关区间变量的可行域，即超立方体域，以模拟危险时刻向量对应的标准化功能函数变化范围；最后，结合静态区间可靠性的计算方法，以失效事件发生的干涉超体积与标准化功能函数可行域的总体积之比作为静态等效可靠性指标，实现服役结构安全性的有效表征。本发明所提出的方法可以大大降低现有基于首次穿越思想进行时变可靠性分析的计算规模，与数值抽样方法比较，在确保计算精度的同时，保证计算效率。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含凸模型不确定性的服役结构静态等效可靠性分析领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (6)

1.一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其特征在于实现步骤如下：

第一步：考虑存在于服役结构中的时变不确定性参数，定义区间过程{X(t)∈X^I(t),t∈T}予以表征，其中，X(t)为待研究的区间过程，X^I(t)表示区间过程X(t)的可行域集，t表示任一时刻，T为整个服役寿命，对于任意时刻t_i,(i＝1,2,...)，X(t_i)将转化为离散的区间变量，有限多个区间变量的可行域为一个超立方体域，为了更好地描述时变不确定性参数的特征，进一步定义区间过程的均值函数X^c(t)、半径函数X^r(t)、方差函数D_X(t)以及任意不同时刻t₁和t₂的自相关系数函数ρ_X(t₁,t₂)；

第二步：利用第一步提出的区间过程模型，构建基于n维时变不确定性的服役结构功能函数g(t,X(t))，进而定义时变可靠性指标R_s(T)如下：

$R_s\left(T\right)=Pos\{\∀t\≤T:g(t,X(t\left)\right)>0\}$

其中，Pos{·}表示事件发生的可能度，g(t,X(t))＞0表示结构在时刻t安全；

第三步：根据第二步建立的功能函数g(t,X(t))，定义区间集合包络函数G(X(t))满足如下表达式：

$\left\{\begin{array}{c}g(t,X\left(t\right))=0\\ \stackrel{\·}{g}(t,X\left(t\right))=0\end{array}\right.$

其中，表示功能函数对时间t的导数，包络函数的基本思想在于：通过定义一个与时间参数无关的包络面替代原问题中随时间连续变化的失效超曲面，进而将动态可靠性问题转化为静态问题；

第四步：将第二步建立的功能函数线性展开，可得到：

$g(t,X(t\left)\right)\≈g(t,a(t),X(t\left)\right)=a_0\left(t\right)+a\left(t\right)X\left(t\right)=a_0\left(t\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\left(t\right)X_j\left(t\right)$

其中，X(t)＝(X₁(t),X₂(t),...,X_n(t))^T表示相互独立的区间过程向量，上标T对应矩阵的转置运算，a(t)＝(a₀(t),a₁(t),a₂(t),...,a_n(t))表示时变系数向量，j为计数指标，基于正则思想对功能函数进行标准化处理，进而将第三步定义的区间集合包络函数变形为：

$G\left(X\right(t\left)\right)=G\left(U\right)\⇒\left\{\begin{array}{c}L(t,U)=b_0\left(t\right)+b\left(t\right)U=0\\ \stackrel{\·}{L}(t,U)={\stackrel{\·}{b}}_0\left(t\right)+\stackrel{\·}{b}\left(t\right)U=0\end{array}\right.$

其中，b₀(t)和b(t)＝(b₁(t),b₂(t),...,b_n(t))分别表示标准化功能函数L(t,U)的确定项和分散系数项，和表示b₀(t)和b(t)对时间t的导数，U为n维标准化区间向量；

第五步：定义扩展点U^*为第四步建立的标准化后包络函数上离原点最近的点，即U^*向量与线性化功能函数L(t,U)相互垂直，于是有：

其中，c表示待定常数，||·||₂为“2范数”计算格式，将扩展点的数学表达代入到第四步构建的标准化区间包络函数计算式，可得到扩展点U*相对应的危险时刻向量的计算方程如下：

第六步：利用数值手段计算第五步建立的危险时刻向量的方程式，分别定义有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))的均值g^c(t^*,X^c(t^*))、半径g^r(t^*，X^c(t^*))以及任意不同时刻和的自相关系数函数进而构建出有限维度区间向量g(t^*,X(t^*))的超立方体可行域；

第七步：根据第六步获得的区间向量g(t^*,X(t^*))的可行域信息，第二步定义的时变可靠性指标R_s(T)可转化为如下离散化的准静态形式：

借助于体积比思想，可实现上式可靠性指标的显式求解，从而实现区间集合包络函数下服役结构静态等效可靠性的有效评估。

2.根据权利要求1所述的一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其特征在于：所述第一步中区间过程的均值函数X^c(t)、半径函数X^r(t)以及方差函数D_X(t)的表达式如下：

$X^c\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}+\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2},X^r\left(t\right)=\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}-\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2},D_X\left(t\right)={\left(X^r\right(t\left)\right)}^2={\left(\frac{\stackrel{\‾}{X\left(t\right)}-\underset{\‾}{X\left(t\right)}}{2}\right)}^2$

此外，自相关系数函数ρ_X(t₁,t₂)可表示为：

${\mathrm{\ρ}}_X(t_1,t_2)=\frac{{\mathrm{Cov}}_X(t_1,t_2)}{\sqrt{D_X\left(t_1\right)}\·\sqrt{D_X\left(t_2\right)}}$

其中，Cov_X(t₁,t₂)为区间过程X(t)在时刻t₁和t₂的自协方差函数。

3.根据权利要求1所述的一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其特征在于：所述第三步中区间集合包络函数G(X(t))可被看作是时间参数t在寿命范围内变化时一系列功能函数在变量空间上的超曲面，而包络函数与这些超曲面均相切，因此，G(X(t))上的点可看作是两个相邻的超曲面的交点。

4.根据权利要求1所述的一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其特征在于：所述第四步中标准化功能函数L(t,U)确定项b₀(t)和分散系数项b(t)的具体表达式如下：

$b_0\left(t\right)=a_0\left(t\right)+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(a_j\right(t)\·X_j^c(t\left)\right)$

和

$b\left(t\right)=\left(b_1\right(t),b_2(t),\mathrm{...},b_n(t\left)\right)=\left(X_1^c\right(t),X_2^c(t),\mathrm{...},X_n^c(t\left)\right).$

5.根据权利要求1所述的一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其特征在于：所述第五步中待定常数c可由下式确定，即：

$c=\frac{-b_0\left(t\right)}{\sqrt{b\left(t\right)\·b{\left(t\right)}^T}}.$

6.根据权利要求1所述的一种基于区间集合包络函数的服役结构静态等效可靠性评价方法，其特征在于：所述第六步中有限维度区间向量g(t^＊,X(t^＊))的均值g^c(t^＊,X^c(t^＊))和半径g^r(t^＊,X^r(t^＊))可表示为：

和

任意不同时刻和的自相关系数函数可表示为

${\mathrm{\ρ}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})=\frac{{\mathrm{Cov}}_g(t_{k_1}^{*},t_{k_2}^{*})}{\sqrt{D_g\left(t_{k_1}^{*}\right)}\·\sqrt{D_g\left(t_{k_2}^{*}\right)}}$

其中，和表示功能函数g(t,X(t),d)在任意不同时刻和的方差函数，为协方差函数。