CN106017305A - 一种基于差分进化算法的相位解包裹方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其核心是利用有限项正交多项式(Zernike)多项式全局逼近真实相位，并利用差分进化算法求解待定系数。为了排除被大噪声污染的数据点影响最终的解包结果，采用加权Zernike多项式拟合的方法。本发明将Zernike多项式作为基底函数对测量得到的离散数据进行拟合，保证了拟合结果的精确性，利用差分进化算法(Differential Evolution，DE)动态随机搜索，以求解待定系数，具有较强的全局收敛性和鲁棒性。

Description

一种基于差分进化算法的相位解包裹方法

【技术领域】

本发明属于光干涉计量技术领域，涉及到差分进化算法(DifferentialEvolution，DE)，具体是一种基于差分进化算法的相位解包裹方法。

【背景技术】

干涉图的处理是光干涉计量中的关键技术。而相位解包裹是快速傅里叶变换(Fast Fourier Transformation，FFT)、移相、空间投影等技术引入反正切函数计算的干涉处理技术的关键。绝大多数的相位都是通过反正切函数求出，而反正切函数的值域为(-π,π]，这样求解出的相位被包裹在(-π,π]之间，相位解包就是把包裹在(-π,π]之间的相位还原成真实相位的过程。

为了很好地实现解包裹运算，国内外学者已经提出了很多相位解包裹算法，归纳起来主要是两种，一种是寻求积分结果与路径无关条件的路径跟踪算法，另一种是寻求满足最小范数解的路径无关相位解包裹算法。除此之外，还有全局算法以及分区域算法，各种方法都有其优缺点和适用性。

但是上述算法在大噪声下的鲁棒性都较差，因此，实有必要提供一种可以解决鲁棒性的技术方案。

【发明内容】

本发明的目的是改进现有技术存在的问题，采用加权Zernike多项式拟合的方法，这样被大噪声污染的数据点就不会影响最终的解包结果，提高了该方法对噪声的鲁棒性。具体地说，本发明提供一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，该方法相比于基于微分Zernike多项式拟合的相位解包裹方法，不需要计算相位梯度和多项式的一阶导数。本发明首次将差分进化算法应用于光干涉计量领域的相位解包裹中。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，包括以下步骤：

(1)采用加权Zernike多项式拟合的方法建立实际干涉图的多项式，以剔除噪声污染的数据点，建立的多项式为：

其中，(x,y)为第i个像素的坐标，M为像素的数量，c_i为多项式的系数，C＝【c₁、c₂、c₃……c_M】，W(x,y)为坐标(x,y)下的权重，Z_i(x,y)为Zernike多项式；

(2)建立拟合系数的目标函数

对步骤(1)的多项式取余弦，建立多项式拟合系数C的最小化约束函数：

其中，L为干涉图有效孔径，λ为约束因子，γ为估计干涉图与实际干涉图的相关系数；

(3)利用DE算法对多项式拟合系数C的最小化约束函数进行全局优化，求解拟合系数，从而得到真实的解包相位。

进一步，假设相邻两个像素之间的相位之差的绝对值不超过π，则步骤(1)中的权重W(x,y)根据以下公式计算：

进一步，步骤(2)中的估计干涉图与实际干涉图的相关系数γ定义如下：

进一步，所述步骤(3)的具体步骤包括以下：

假设待优化的变量维数为D，进化代数为NP，那么进化的第G代其解向量C_i,G为：

$C_{i,G}=\{c_{i,G}^1,c_{i,G}^2,...c_{i,G}^D\},(i=1...NP);$

初始种群在初始化时均匀随机覆盖整个搜索空间，则搜索空间的上下边界分别表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{min}=\{c_{min}^1,c_{min}^2,...c_{min}^D\}\\ C_{max}=\{c_{max}^1,c_{max}^2,...c_{\max }^D\}\end{array}\right.;$

初始种群第i个个体的第j个参数按照如下公式产生：

$c_{i,0}^j=c_{min}^j+rand(0,1)\×(c_{max}^j-c_{min}^j),j=1,2...D;$

其中，rand(0,1)表示均匀分布在[0,1]之间的随机数；

得到初始种群之后，对其进行变异、交叉和选择，直到搜索到约束函数的全局极小值C。

进一步，采用DE/rand/1变异策略将当前种群的目标向量C_i,G进行变异得到突变向量V_i,G，所述的DE/rand/1变异策略表示为：

$V_{i,G}=C_{r_1^i,G}+F\·(C_{r_2^i,G}-C_{r_3^i,G}),$

其中，分别为第一次变异时第一个个体、第二个个体、第三个个体的目标向量，正整数索引随机产生，且满足C_best,G是第G代最优的个体，常数缩放因子F∈[0,2]控制差分向量对变异个体的影响大小；

突变向量V_i,G表示为:

$V_{i,G}=\{v_{i,G}^1,v_{i,G}^2,...v_{i,G}^D\},(i=1...NP).$

进一步，对初始种群进行交叉的方法为：将每一对目标向量C_i,G和其相应的变异向量V_i,G进行交叉操作产生试验向量U_i,G，该试验向量U_i,G表示为:

$U_{i,G}=\{u_{i,G}^1,u_{i,G}^2,...u_{i,G}^D\},(i=1...NP);$

U_i,G定义如下：

$u_{i,G}^j=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{i,G}^j& if{\mathrm{rand}}_j\[0,1)\≤CRorj=j_{rand}\\ c_{i,G}^j& otherwise\end{array}\right.,j=1,2,...D---\left(13\right)$

式中，表示第j对目标向量C_i,G和其相应的变异向量V_i,G进行交叉操作产生试验向量，交叉常数CR∈[0,1]为自定义常数，其大小控制从变异向量V_i,G拷贝比例的大小；如果新产生的试验向量U_i,G中的某些值超过设定值的上下边界，那么将其均匀随机地在其限定的边界内进行初始化，以符合要求。

进一步，计算所有试验向量U_i,G对应的目标函数f的值，并进行选择操作的具体方法为：将试验向量U_i,G所对应的目标函数值f(U_i,G)与当前种群中相应的目标向量C_i,G所对应的目标函数值f(C_i,G)进行比较，如果试验向量函数值f(U_i,G)小于或等于目标向量函数值f(C_i,G)，将试验向量体替代目标向量进入下一代种群，否则，目标向量仍然留在种群中进入下一代。

与现有技术相比，本发明至少具有以下有益效果：本发明在相位拟合时，采用加权Zernike多项式拟合的方法，这样被大噪声污染的数据点就不会影响最终的解包结果，消除了大噪声情况下拟合失真的问题，提高了该方法对噪声的鲁棒性。相比于基于微分Zernike多项式拟合的相位解包裹方法，本发明不需要计算相位梯度和多项式的一阶导数。本发明首次将差分进化算法应用于光干涉计量领域的相位解包裹中。

【附图说明】

图1是本发明的实施路线图；

图2是干涉图在不同噪声水平下的解包结果；

图3是点衍射干涉测量实验中采用5步相移法获取的5幅干涉条纹图；

图4是由干涉条纹图获取的包裹相位；

图5是对获取的包裹相位采用本发明的解包裹方法得到最终面型；

图6是ZYGO干涉仪的测量结果；

图7是本发明的解包结果与ZYGO干涉仪的解包结果之间的点对点残差。

【具体实施方式】

光学表面检测大多数情况中，被测光学表面或光学系统的出射波面总是趋于光滑且连续的，这样的波面函数一定可以表示成一个完备的基底函数的线性组合。因此常用Zernike多项式作为基底函数对测量得到的离散数据进行拟合，把实际波面或面形表示为Zernike多项式各项的线性组合，然后全局逼近真实相位，并利用优化算法求解待定系数。

而差分进化算法(Differential Evolution，DE)最早由Storn和Price于1997年提出，是一种简单有效基于群体智能的随机并行优化算法，通过模仿生物群体内个体间的合作与竞争产生的启发式群体智能来指导优化搜索，对于定义在连续空间上的全局优化问题非常有效。DE算法特有的记忆能力使其可以动态跟踪当前的搜索情况，以调整其搜索策略，实现自适应寻优，因此具有较强的全局收敛性和鲁棒性。

本发明采用加权Zernike多项式拟合的方法，这样被大噪声污染的数据点就不会影响最终的解包结果，提高了该方法对噪声的鲁棒性。

本发明所采用的技术方案包括以下步骤：

步骤1：剔除噪声污染的数据点

参见图2并结合图1，表示的是不同噪声水平下的解包结果，从上到下噪声量增多，由图看得出，在大噪声情况下拟合失真的问题，被大噪声污染的数据点会影响到最终的解包结果，对此，本发明采用加权Zernike多项式拟合的方法来消除噪声的影响；也就是将原有的多项式(式(1))改写为式(2)：

改写为:

其中，(x,y)为第i个像素的坐标，M为像素的数量，c_i为多项式的系数，C＝【c₁、c₂、c₃……c_M】，W(x,y)为坐标(x,y)下的权重，Z_i(x,y)为Zernike多项式。代表i个像素的真实相位。

首先假设相邻两个像素之间的相位之差的绝对值不超过π，则W(x,y)如下式所示：

代表坐标点(x,y)处的相位，代表坐标点(x+1,y)处的相位，代表坐标点(x,y+1)处的相位，abs表示取绝对值。

这样被大噪声污染的数据点就不会影响最终的解包结果，从而提高了该方法对噪声的鲁棒性。

步骤2：建立拟合系数的目标函数

对相位拟合等式两边同时取余弦，估计多项式拟合系数C，得到最小化约束函数f(C)；

对相位拟合等式两边同时取余弦，可得：

为了估计多项式拟合系数C，可以得到最小化约束函数：

其中L为干涉图有效孔径，λ为约束因子，γ为估计干涉图与实际干涉图的相关系数，定义如下：

步骤3：求解拟合系数

利用DE算法完成多模函数f(C)的全局优化；具体为：

假设待优化的变量维数为D，进化代数为NP，那么进化的第G代其解向量C_i,G可以表示为：

$C_{i,G}=\{c_{i,G}^1,c_{i,G}^2,...c_{i,G}^D\},(i=1...NP)---\left(7\right)$

初始种群在初始化时应该尽可能地均匀随机覆盖整个搜索空间，则搜索空间的上下边界分别表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{min}=\{c_{min}^1,c_{min}^2,...c_{min}^D\}\\ C_{max}=\{c_{max}^1,c_{max}^2,...c_{\max }^D\}\end{array}\right.---\left(8\right)$

初始种群(G＝0)第i个个体的第j个参数可以按照如下公式产生：

$c_{i,0}^j=c_{min}^j+rand(0,1)\×(c_{max}^j-c_{min}^j),j=1,2...D---\left(9\right)$

其中rand(0,1)表示均匀分布在[0,1]之间的随机数。

在得到初始种群之后，对其进行变异(Mutation)、交叉(Crossover)和选择(Selection)三步操作：

(a)第一步是变异操作，DE算法根据变异策略将当前种群的目标向量C_i,G进行变异得到突变向量V_i,G；常见的变异策略很多，此处采用经典的DE/rand/1变异策略，即：`

$V_{i,G}=C_{r_1^i,G}+F\·(C_{r_2^i,G}-C_{r_3^i,G})---\left(10\right)$

式中，正整数索引可以随机产生，且满足C_best,G是第G代最优的个体，常数缩放因子F∈[0,2]，控制差分向量对变异个体的影响大小。突变向量V_i,G可以表示为:

$V_{i,G}=\{v_{i,G}^1,v_{i,G}^2,...v_{i,G}^D\},(i=1...NP)---\left(11\right)$

(b)第二步是将每一对目标向量C_i,G和其相应的变异向量V_i,G进行交叉操作产生试验向量(trialvector)U_i,G；可以表示为:

$U_{i,G}=\{u_{i,G}^1,u_{i,G}^2,...u_{i,G}^D\},(i=1...NP)---\left(12\right)$

DE算法中，采用二项交叉产生U_i,G,其定义如下：

$u_{i,G}^j=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{i,G}^j& if{\mathrm{rand}}_j\[0,1)\≤CRorj=j_{rand}\\ c_{i,G}^j& otherwise\end{array}\right.,j=1,2,...D---\left(13\right)$

式中，交叉常数CR∈[0,1]为用户自定义常数，其大小控制从变异向量V_i,G拷贝比例的大小。如果新产生的试验向量U_i,G中的某些值超过设定的上下边界，那么可以将其均匀随机地在其限定的边界内进行初始化，以符合要求。

(c)第三步需要计算所有试验向量U_i,G对应的目标函数f的值，并进行选择操作。其具体规则是将试验向量U_i,G所对应的目标函数值f(U_i,G)与当前种群中相应的目标向量C_i,G所对应的目标函数值f(C_i,G)进行比较，如果试验向量函数值f(U_i,G)小于或等于目标向量函数值f(C_i,G)，将试验向量体替代目标向量进入下一代种群。否则，目标向量仍然留在种群中进入下一代。该选择操作可表示为：

$C_{i,G+1}=\left\{\begin{array}{cc}{U}_{i,G}& iff\left(U_{i,G}\right)\≤f\left(C_{i,G}\right)\\ C_{i,G}& otherwise\end{array}\right.---\left(14\right)$

步骤4：反复进行变异、交叉和选择这三个操作，设定终止条件，搜索得到约束函数的全局极小值C。将C代入加权Zernike多项式,得到真实解包相位。

本发明采用点衍射干涉仪对一球面进行了测量，并把测量结果与ZYGO公司的GPI系列的干涉仪测量结果做了对比。在点衍射干涉测量中，图3是实验中采用5步相移法获取的5幅干涉条纹图，图4是获取的包裹相位。图5是对获取的包裹相位采用本发明的解包裹方法得到最终面型，图6为ZYGO干涉仪的测量结果，图7为本发明的解包结果与ZYGO干涉仪的解包结果之间的点对点残差。从图中可以看出，基于差分进化算法的解包结果与ZYGO干涉仪的结果残差很小。

与现有技术比较，本发明具有以下有益效果：

本发明在相位拟合时，采用加权Zernike多项式拟合的方法，这样被大噪声污染的数据点就不会影响最终的解包结果，消除了大噪声情况下拟合失真的问题，提高了该方法对噪声的鲁棒性。本发明基于差分进化算法的相位解包裹方法，该方法相比于基于微分Zernike多项式拟合的相位解包裹方法，不需要计算相位梯度和多项式的一阶导数。本发明首次将差分进化算法应用于光干涉计量领域的相位解包裹中。

Claims (7)

1.一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，用于光干涉计量领域的相位解包裹，其特征在于：包括以下步骤：

(1)采用加权Zernike多项式拟合的方法建立实际干涉图的多项式，以剔除噪声污染的数据点，建立的多项式为：

其中，(x,y)为第i个像素的坐标，M为像素的数量，c_i为多项式的系数，C＝【c₁、c₂、c₃……c_M】，W(x,y)为坐标(x,y)下的权重，Z_i(x,y)为Zernike多项式；

(2)建立拟合系数的目标函数

对步骤(1)的多项式取余弦，建立多项式拟合系数C的最小化约束函数：

其中，L为干涉图有效孔径，λ为约束因子，γ为估计干涉图与实际干涉图的相关系数；

(3)利用DE算法对多项式拟合系数C的最小化约束函数进行全局优化，求解拟合系数，从而得到真实的解包相位。

2.根据权利要求1所述的一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其特征在于：假设相邻两个像素之间的相位之差的绝对值不超过π，则步骤(1)中的权重W(x,y)根据以下公式计算：

3.根据权利要求1所述的一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其特征在于：步骤(2)中的估计干涉图与实际干涉图的相关系数γ定义如下：

4.根据权利要求1所述的一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其特征在于：所述步骤(3)的具体步骤包括以下：

假设待优化的变量维数为D，进化代数为NP，那么进化的第G代其解向量C_i,G为：

$C_{i,G}=\{c_{i,G}^1,c_{i,G}^2,...c_{i,G}^D\},(i=1...NP);$

初始种群在初始化时均匀随机覆盖整个搜索空间，则搜索空间的上下边界分别表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{min}=\{c_{min}^1,c_{min}^2,...c_{min}^D\}\\ C_{max}=\{c_{max}^1,c_{max}^2,...c_{max}^D\}\end{array}\right.;$

初始种群第i个个体的第j个参数按照如下公式产生：

$c_{i,0}^j=c_{min}^j+rand(0,1)\×(c_{max}^j-c_{min}^j),j=1,2...D;$

其中，rand(0,1)表示均匀分布在[0,1]之间的随机数；

得到初始种群之后，对其进行变异、交叉和选择，直到搜索到约束函数的全局极小值C。

5.根据权利要求4所述的一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其特征在于：采用DE/rand/1变异策略将当前种群的目标向量C_i,G进行变异得到突变向量V_i,G，所述的DE/rand/1变异策略表示为：

$V_{i,G}=C_{r_1^i,G}+F\·(C_{r_2^i,G}-C_{r_3^i,G}),$

其中，分别为第一次变异时第一个个体、第二个个体、第三个个体的目标向量，正整数索引随机产生，且满足C_best,G是第G代最优的个体，常数缩放因子F∈[0,2]控制差分向量对变异个体的影响大小；

突变向量V_i,G表示为:

$V_{i,G}=\{v_{i,G}^1,v_{i,G}^2,...v_{i,G}^D\},(i=1...NP).$

6.根据权利要求4所述的一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其特征在于：对初始种群进行交叉的方法为：将每一对目标向量C_i,G和其相应的变异向量V_i,G进行交叉操作产生试验向量U_i,G，该试验向量U_i,G表示为:

$U_{i,G}=\{u_{i,G}^1,u_{i,G}^2,...u_{i,G}^D\},(i=1...NP);$

U_i,G定义如下：

$u_{i,G}^j=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{i,G}^j& if{\mathrm{rand}}_j\[0,1)\≤CRorj=j_{rand}\\ c_{i,G}^j& otherwise\end{array}\right.,j=1,2,...D---\left(13\right)$

式中，表示第j对目标向量C_i,G和其相应的变异向量V_i,G进行交叉操作产生试验向量，交叉常数CR∈[0,1]为自定义常数，其大小控制从变异向量V_i,G拷贝比例的大小；如果新产生的试验向量U_i,G中的某些值超过设定值的上下边界，那么将其均匀随机地在其限定的边界内进行初始化，以符合要求。

7.根据权利要求4所述的一种基于差分进化算法的相位解包裹方法，其特征在于：计算所有试验向量U_i,G对应的目标函数f的值，并进行选择操作的具体方法为：将试验向量U_i,G所对应的目标函数值f(U_i,G)与当前种群中相应的目标向量C_i,G所对应的目标函数值f(C_i,G)进行比较，如果试验向量函数值f(U_i,G)小于或等于目标向量函数值f(C_i,G)，将试验向量体替代目标向量进入下一代种群，否则，目标向量仍然留在种群中进入下一代。