CN105976057A - 一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，属于中长期负荷预测预测技术领域。包括：步骤一：利用专家法对原始数据组奇异值的人工修正；步骤二：数据的平滑预处理；步骤三：原始GM(1,1)模型的确定；步骤四：残差GM(1,1)模型的确定，提高模型预测精度；步骤五：等维GM(1,1)模型的确定，提高模型预测精度及其适用性；步骤六：利用等维残差GM(1,1)模型进行预测得到精确预测数据。本发明建模过程实用简单，能快速有效对中长期负荷进行预测，对优化电力调度，合理进行配网规划规划具有重要意义。

Description

一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法

技术领域

本发明是一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，属于中长期负荷预测技术领域。

背景技术

随着我国“全球互联网”战略和“可再生能源”发展战略的逐步推进，电力系统规划的精细化要求也日益提升。中长期负荷预测不仅能为电力系统经济安全运行提供有效的保障，而且能为科学合理的进行电力系统规划提供可靠的数据支撑。因此，具有更高精度和适用性的中长期负荷预测方法研究已成为近年来人们的研究热点。

中长期负荷预测具有预测样本少，时间跨度大，影响因素多等特点，如何在众多的预测方法中选择合适的预测模型，在提高其预测精度的基础上，增强其普遍适用性，是中长期负荷预测的难点。目前，中长期负荷预测方法可以分为传统预测方法和新兴预测方法两类。传统的预测方法一般是从历史数据中挖掘电量和电力负荷随相关因素的变化规律，然后构建一种确定性的数学模型来描述上述变化。由于影响电力系统负荷的因素众多，其变化规律复杂且具有不确定性，仅以一种确定的模型显然难以准确描述负荷的变化规律。伴随着新兴学科的不断兴起和人工智能技术的不断完善，近年来涌现了一批新兴的负荷预测方法，这类方法从负荷的历史数据特性出发，挖掘其内在数学特征，并基于数据本身对所建模型进行实时修正，从而有效避免了采用单一确定模型描述负荷变化趋势的弊端，具有明显优势，有模糊预测法、神经网络法、灰色预测法等等。其中传统的灰色预测方法所需历史数据较少，不需要考虑分布规律和变化趋势，模型简单易于实现，被认为是最适用于中长期负荷预测的有效方法之一。传统灰色预测模型虽然在中长期负荷预测方面较其他方法具有显著优势，但与此同时，由于传统灰色模型本身缺陷常会导致其预测精度会随着数据灰度的增大而出现较为明显的下降，并且适用性不强。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，通过对模型原始数据进行预处理，减小了数据的波动性，降低原始数据奇异点对预测精度的负面影响；同时在传统GM(1,1)模型的基础上，构建等维新息模型，引入新陈代谢特征，保证数据模型的“年轻化”，提升模型的普适性和对远端预测点的预测精度；最后对预测结果进行局部残差修正，进一步减小了模型的预测误差。

本发明采取的技术方案为：

一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，包括以下步骤：

步骤1：利用专家法对原始数据组奇异值的人工修正。降低了原始数据奇异点对预测精度的负面影响。

步骤2：数据的平滑预处理：采用三点平滑法重新分配待处理数据和前后数据的权值，加强待处理数据的权重，减小数值的波动性，增强待处理数据与前后数据的联系。平滑处理具体步骤如下：

步骤2.1：设一组原始非负数列X⁽⁰⁾(k)＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),L,x⁽⁰⁾(n)}；

步骤2.2：对数列中间的数据进行平滑处理：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}(k-1)+2x^{\left(0\right)}\left(k\right)+x^{\left(0\right)}(k+1)}{4},k=2,3,...,n-1---\left(1\right)$

步骤2.3：对数列两端数据平滑处理：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(1\right)=\frac{3x^{\left(0\right)}\left(1\right)+x^{\left(0\right)}\left(2\right)}{4}\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)=\frac{x^{\left(0\right)}(n-1)+3x^{\left(0\right)}\left(n\right)}{4}\end{array}\right.---\left(2\right)$

步骤3：原始GM(1,1)模型的确定；模型的搭建具体步骤如下：

步骤3.1：对数列X⁽⁰⁾进行累加迭代，得到X⁽⁰⁾的一次累加生成序列(1-AGO)数列X⁽¹⁾：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{\left(0\right)}\left(i\right),k=1,2,L,n\\ X^{\left(1\right)}=\{x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right),L,x^{\left(1\right)}\left(n\right),\}\end{array}\right.---\left(3\right)$

步骤3.2：利用X⁽¹⁾建立的一阶白化线性微分方程：

$\frac{{\mathrm{dX}}^{\left(1\right)}}{dt}+{\mathrm{\αX}}^{\left(1\right)}=\mathrm{\β}---\left(4\right)$

式中，a为模型的发展系数，它主要是反应X⁽¹⁾的发展趋势；u为模型的协调系数，主要反映了模型数据间的变化关系。设模型参数列为：A＝[a,β]^T

步骤3.3：模型的简化。对式(4)两边求积分得：

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)-x^{\left(1\right)}(k-1)+a{\∫}_{k-1}^k{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)dt=\mathrm{\β}---\left(5\right)$

令

z⁽¹⁾(k)＝mx⁽¹⁾(k)+(1-m)x⁽¹⁾(k-1),k＝2,3,L,n (6)

式中，z⁽¹⁾(k)为一阶微分方程的背景值；m为权重系数，m∈[0,1]。

假定m取值为0.5，得到X⁽¹⁾的近邻均值生成序列Z⁽¹⁾：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\right(2),z^{\left(1\right)}(3),...z^{\left(1\right)}(n\left)\right)\\ z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}\[x^{\left(1\right)}\left(k\right)+x^{\left(1\right)}(k-1)\],k=2,3,...,n\end{array}\right.---\left(7\right)$

此时公式(5)简化为：

x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)+αz⁽¹⁾(k)＝β (8)

步骤3.4：对参数列A＝[a,β]^T进行求解。利用最小二乘法可以解得模型参数A：

A＝[α,β]^T＝(B^TB)^-1B^TY (9)

其中：

Y＝[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(n)]^T (10)

步骤3.5：累减还原生成得到预测模型。

求得参数A后，可解得微分方程(4)的时间响应方程为：

${\hat{X}}^{\left(1\right)}={\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{\α}t}+\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}---\left(12\right)$

离散化处理可得：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)={\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{\α}k}+\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}---\left(13\right)$

其中X⁽¹⁾(k+1)为X⁽¹⁾(k)序列的预测值；C为待定常数。

假定初始值代入式(13)求得：

将C代入式(13)并进行累减还原生成，得到X⁽⁰⁾的预测模型为：

$x^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}})e^{-\mathrm{\α}k},(k=1,2,...,n)---\left(14\right)$

步骤4：残差GM(1,1)模型的确定：模型改进步骤如下

步骤4.1：生成残差数列。设一组预测值为：

残差项定义为：

生成残差数列：

ε⁽⁰⁾(k)＝{ε⁽⁰⁾(1),ε⁽⁰⁾(2),L,ε⁽⁰⁾(n)} (15)

取k＝m,m+1,…,n(m>1)，生成局部残差序列：

${\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(k\right)=\{{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(m\right),{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}(m+1),L,{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(n\right)\}---\left(16\right)$

步骤4.2：利用局部残差数列建立模型，得到残差预测模型：

${\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(m)-\frac{\widehat{\mathrm{\β}}}{\widehat{\mathrm{\α}}})e^{-\widehat{\mathrm{\α}}k},(k=m,m+1,L,n)---\left(17\right)$

步骤4.3：求解残差修正模型：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}})e^{-\mathrm{\α}k}+\mathrm{\δ}(k-i)(1-e^{-\widehat{\mathrm{\α}}})\left({\mathrm{\ϵ}}^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\widehat{\mathrm{\β}}}{\widehat{\mathrm{\α}}})e^{-\widehat{\mathrm{\α}}k},(k=1,2,...,n)---\left(18\right)$

步骤5：等维GM(1,1)模型的确定；等维模型改进步骤如下：

选取建模数据如:

X⁽⁰⁾＝(X⁽⁰⁾(1),X⁽⁰⁾(2),…X⁽⁰⁾(n-1),X⁽⁰⁾(n)) (19)

以原始模型实时预测出的最新的数据作为新模型建模数据组的新增项，然后去掉最老的数据，得到新的建模的数列:

X⁽⁰⁾＝(X⁽⁰⁾(2),X⁽⁰⁾(3),…,X⁽⁰⁾(n),X⁽⁰⁾(n+1)) (20)

依照上述数列更新方法，每次建模数据都利用最新预测的数据来替换掉最老的数据，保持数列等维，依次推进，使建模数列不断新陈代谢，自我更新，保持数列“年轻化”，直至完成预测目标为止。

步骤6：利用等维残差GM(1,1)模型进行预测得到精确预测数据。从本发明模型的预测结果及与其他模型的对比分析可以看出，本发明的预测建模思路具有一定的先进性，取得了较好的预测效果。

本发明一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，技术效果如下：

1)相比于传统中长期负荷预测方法，本发明中提出的改进措施很好的提升了负荷预测精度。

2)相比于传统中长期负荷预测方法，本发明中提出的改进措施很好的改善了负荷预测模型的适用性。

3)利用该发明与各级电力调度中心的SCADA数据采集系统联合可以实现电力系统负荷在线预测功能。

附图说明

图1为本发明线路①不同模型预测结果相对误差对比柱状图。

图2为本发明线路②不同模型预测结果相对误差对比柱状图。

图3为本发明不同预测模型预测误差概率密度对比拟合曲线图。

具体实施方式

一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，包括以下步骤：

步骤1：利用专家法对原始数据组奇异值的人工修正。降低了原始数据奇异点对预测精度的负面影响。

步骤2：数据的平滑预处理：采用三点平滑法重新分配待处理数据和前后数据的权值，加强待处理数据的权重，减小数值的波动性，增强待处理数据与前后数据的联系。平滑处理具体步骤如下：

步骤2.1：设一组原始非负数列X⁽⁰⁾(k)＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),L,x⁽⁰⁾(n)}；

步骤2.2：对数列中间的数据进行平滑处理：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}(k-1)+2x^{\left(0\right)}\left(k\right)+x^{\left(0\right)}(k+1)}{4},k=2,3,...,n-1---\left(21\right)$

步骤2.3：对数列两端数据平滑处理：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(1\right)=\frac{3x^{\left(0\right)}\left(1\right)+x^{\left(0\right)}\left(2\right)}{4}\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)=\frac{x^{\left(0\right)}(n-1)+3x^{\left(0\right)}\left(n\right)}{4}\end{array}\right.---\left(22\right)$

步骤3：原始GM(1,1)模型的确定；模型的搭建具体步骤如下：

步骤3.1：对数列X⁽⁰⁾进行累加迭代，得到X⁽⁰⁾的一次累加生成序列(1-AGO)数列X⁽¹⁾：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{\left(0\right)}\left(i\right),k=1,2,L,n\\ X^{\left(1\right)}=\{x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right),L,x^{\left(1\right)}\left(n\right),\}\end{array}\right.---\left(23\right)$

步骤3.2：利用X⁽¹⁾建立的一阶白化线性微分方程：

$\frac{{\mathrm{dX}}^{\left(1\right)}}{dt}+{\mathrm{\αX}}^{\left(1\right)}=\mathrm{\β}---\left(24\right)$

式中，a为模型的发展系数，它主要是反应X⁽¹⁾的发展趋势；u为模型的协调系数，主要反映了模型数据间的变化关系。设模型参数列为：A＝[a,β]^T

步骤3.3：模型的简化。对式(4)两边求积分得：

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)-x^{\left(1\right)}(k-1)+a{\∫}_{k-1}^k{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)dt=\mathrm{\β}---\left(25\right)$

令

z⁽¹⁾(k)＝mx⁽¹⁾(k)+(1-m)x⁽¹⁾(k-1),k＝2,3,L,n (26)

式中，z⁽¹⁾(k)为一阶微分方程的背景值；m为权重系数，m∈[0,1]。

假定m取值为0.5，得到X⁽¹⁾的近邻均值生成序列Z⁽¹⁾：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\right(2),z^{\left(1\right)}(3),...z^{\left(1\right)}(n\left)\right)\\ z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}\[x^{\left(1\right)}\left(k\right)+x^{\left(1\right)}(k-1)\],k=2,3,...,n\end{array}\right.---\left(27\right)$

此时公式(5)简化为：

x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)+αz⁽¹⁾(k)＝β (28)

步骤3.4：对参数列A＝[a,β]^T进行求解。利用最小二乘法可以解得模型参数A：

A＝[α,β]^T＝(B^TB)^-1B^TY (29)

其中：

Y＝[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(n)]^T (30)

步骤3.5：累减还原生成得到预测模型。

求得参数A后，可解得微分方程(4)的时间响应方程为：

${\hat{X}}^{\left(1\right)}={\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{\α}t}+\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}---\left(32\right)$

离散化处理可得：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)={\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{\α}k}+\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}---\left(33\right)$

其中X⁽¹⁾(k+1)为X⁽¹⁾(k)序列的预测值；C为待定常数。

假定初始值代入式(13)求得：

将C代入式(13)并进行累减还原生成，得到X⁽⁰⁾的预测模型为：

$x^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}})e^{-\mathrm{\α}k},(k=1,2,...,n)---\left(34\right)$

步骤4：残差GM(1,1)模型的确定：模型改进步骤如下

步骤4.1：生成残差数列。设一组预测值为：

残差项定义为：

生成残差数列：

ε⁽⁰⁾(k)＝{ε⁽⁰⁾(1),ε⁽⁰⁾(2),L,ε⁽⁰⁾(n)} (35)

取k＝m,m+1,…,n(m>1)，生成局部残差序列：

${\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(k\right)=\{{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(m\right),{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}(m+1),L,{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(n\right)\}---\left(36\right)$

步骤4.2：利用局部残差数列建立模型，得到残差预测模型：

${\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(m)-\frac{\widehat{\mathrm{\β}}}{\widehat{\mathrm{\α}}})e^{-\widehat{\mathrm{\α}}k},(k=m,m+1,L,n)---\left(37\right)$

步骤4.3：求解残差修正模型：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}})e^{-\mathrm{\α}k}+\mathrm{\δ}(k-i)(1-e^{-\widehat{\mathrm{\α}}})\left({\mathrm{\ϵ}}^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\widehat{\mathrm{\β}}}{\widehat{\mathrm{\α}}})e^{-\widehat{\mathrm{\α}}k},(k=1,2,...,n)---\left(38\right)$

步骤5：等维GM(1,1)模型的确定；等维模型改进步骤如下：

选取建模数据如:

X⁽⁰⁾＝(X⁽⁰⁾(1),X⁽⁰⁾(2),…X⁽⁰⁾(n-1),X⁽⁰⁾(n)) (39)

以原始模型实时预测出的最新的数据作为新模型建模数据组的新增项，然后去掉最老的数据，得到新的建模的数列:

X⁽⁰⁾＝(X⁽⁰⁾(2),X⁽⁰⁾(3),…,X⁽⁰⁾(n),X⁽⁰⁾(n+1)) (40)

依照上述数列更新方法，每次建模数据都利用最新预测的数据来替换掉最老的数据，保持数列等维，依次推进，使建模数列不断新陈代谢，自我更新，保持数列“年轻化”，直至完成预测目标为止。

步骤6：利用等维残差GM(1,1)模型进行预测得到精确预测数据。从本发明模型的预测结果及与其他模型的对比分析可以看出，本发明的预测建模思路具有一定的先进性，取得了较好的预测效果。

实施例：

本发明以四川省某地区电网2004年～2015年历史实测售电量数据为基础，仿真实验在Matlab环境下编程实现。

利用如表1、表2所示的2004年～2009年不同线路的预处理前后的历史负荷数据为样本建立数学模型，分别以传统的GM(1,1)模型，等维新息GM(1,1)模型和等维残差GM(1,1)模型对四川某地区电网线路①和电路②2010年～2015年的一月份售电量负荷进行预测并进行误差分析。预测结果如表3、表4所示。

表1线路①原始负荷处理/MW

表2线路②原始负荷处理/MW

表3不同模型预测结果(数据处理前)

表4等维残差模型数据处理前后预测结果

由表3、表4可知，与传统预测模型的性能指标相比，本文所提模型精度更高，具有一定的先进性。

为进一步对比研究，针对该地区30条同等级线路，分别以传统的GM(1,1,)模型、粒子群优化灰色模型和本文改进的等维残差GM(1,1)模型对其2015年不同月份负荷量进行负荷预测，通过误差处理分别得到模型改进前后的误差概率密度，然后利用高斯函数对不同模型预测误差概率密度进行拟合得到如图3所示的对比拟合曲线。

如图3中所示改进的等维残差模型的预测误差概率密度曲线(图中a曲线)，相比于另外两种模型而言，其预测误差位于区间[-0.4,0.4]的概率密度明显增大，预测效果依旧得到较为明显的改善。由此可以看出，本文所提出的改进等维残差灰色模型有着更高的预测精度和更强的适用性。

本发明按照优选实施例进行了说明，但上述实施例不以任何形式限定本发明，凡采用等同替换或等效变换的形式所获得的技术方案，均落在本发明技术方案的范围内。

Claims (5)

1.一种基于改进灰色理论的中长期负荷预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：利用专家法对原始数据组奇异值进行人工修正；

步骤2：数据的平滑预处理：采用三点平滑法重新分配待处理数据和前后数据的权值，加强待处理数据的权重，减小数值的波动性，增强待处理数据与前后数据的联系；

步骤3：原始GM(1,1)模型的确定；

步骤4：残差GM(1,1)模型的确定：

步骤5：等维GM(1,1)模型的确定；

步骤6：利用等维残差GM(1,1)模型进行预测得到最终预测数据。

2.根据权利要求1所述一种改进灰色理论的中长期负荷预测方法，其特征在于，步骤2中，平滑处理具体步骤如下：

步骤2.1：设一组原始非负数列X⁽⁰⁾(k)＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),L,x⁽⁰⁾(n)}；

步骤2.2：对数列中间的数据进行平滑处理：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}(k-1)+2x^{\left(0\right)}\left(k\right)+x^{\left(0\right)}(k+1)}{4},k=2,3,...,n-1---\left(1\right)$

步骤2.3：对数列两端数据平滑处理：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(1\right)=\frac{3x^{\left(0\right)}\left(1\right)+x^{\left(0\right)}\left(2\right)}{4}\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)=\frac{x^{\left(0\right)}(n-1)+3x^{\left(0\right)}\left(n\right)}{4}\end{array}\right.---\left(2\right).$

3.根据权利要求1所述一种改进灰色理论的中长期负荷预测方法，其特征在于，步骤3中，原始GM(1,1)模型的搭建具体步骤如下：

步骤3.1：对数列X⁽⁰⁾进行累加迭代，得到X⁽⁰⁾的一次累加生成序列(1-AGO)数列X⁽¹⁾：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{x}^{\left(0\right)}\left(i\right),k=1,2,L,n\\ X^{\left(1\right)}=\{x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right),L,x^{\left(1\right)}\left(n\right),\}\end{array}\right.---\left(3\right)$

步骤3.2：利用X⁽¹⁾建立的一阶白化线性微分方程：

$\frac{{\mathrm{dX}}^{\left(1\right)}}{dt}+{\mathrm{\αX}}^{\left(1\right)}=\mathrm{\β}---\left(4\right)$

式中，a为模型的发展系数，它主要是反应X⁽¹⁾的发展趋势；u为模型的协调系数，主要反映了模型数据间的变化关系，设模型参数列为：A＝[a,β]^T

步骤3.3：模型的简化。对式(4)两边求积分得：

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)-x^{\left(1\right)}(k-1)+a{\∫}_{k-1}^k{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)dt=\mathrm{\β}---\left(5\right)$

令

z⁽¹⁾(k)＝mx⁽¹⁾(k)+(1-m)x⁽¹⁾(k-1),k＝2,3,L,n (6)

式中，z⁽¹⁾(k)为一阶微分方程的背景值；m为权重系数，m∈[0,1]。

假定m取值为0.5，得到X⁽¹⁾的近邻均值生成序列Z⁽¹⁾：

$\left\{\begin{array}{c}{Z}^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\right(2),z^{\left(1\right)}(3),...z^{\left(1\right)}(n\left)\right)\\ z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}\[x^{\left(1\right)}\left(k\right)+x^{\left(1\right)}\left(k-1\right)\],k=2,3,...,n\end{array}\right.---\left(7\right)$

此时公式(5)简化为：

x⁽¹⁾(k)-x⁽¹⁾(k-1)+αz⁽¹⁾(k)＝β (8)

步骤3.4：对参数列A＝[a,β]^T进行求解。利用最小二乘法可以解得模型参数A：

A＝[α,β]^T＝(B^TB)^-1B^TY (9)

其中：

Y＝[x⁽⁰⁾(2),x⁽⁰⁾(3),…,x⁽⁰⁾(n)]^T (10)

$B=\left[\begin{array}{cc}-z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ M& M\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]---\left(11\right)$

步骤3.5：累减还原生成得到预测模型；

求得参数A后，可解得微分方程(4)的时间响应方程为：

${\hat{X}}^{\left(1\right)}={\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{\α}t}+\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}---\left(12\right)$

离散化处理可得：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)={\mathrm{Ce}}^{-\mathrm{\α}k}+\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}---\left(13\right)$

其中X⁽¹⁾(k+1)为X⁽¹⁾(k)序列的预测值；C为待定常数；

假定初始值代入式(13)求得：

将C代入式(13)并进行累减还原生成，得到X⁽⁰⁾的预测模型为：

$x^{\left(0\right)}(k+1)={\hat{x}}^{\left(1\right)}(k+1)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}})e^{-\mathrm{\α}k},(k=1,2,\mathrm{...},n)---\left(14\right).$

4.根据权利要求1所述一种改进灰色理论的中长期负荷预测方法，其特征在于，步骤4中，残差GM(1,1)模型改进步骤如下：

步骤4.1：生成残差数列。设一组预测值为：

残差项定义为：

生成残差数列：

ε⁽⁰⁾(k)＝{ε⁽⁰⁾(1),ε⁽⁰⁾(2),L,ε⁽⁰⁾(n)} (15)

取k＝m,m+1,…,n(m>1)，生成局部残差序列：

${\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(k\right)=\{{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(m\right),{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}(m+1),L,{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}\left(n\right)\}---\left(16\right)$

步骤4.2：利用局部残差数列建立模型，得到残差预测模型：

${\widehat{\mathrm{\ϵ}}}^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(m)-\frac{\widehat{\mathrm{\β}}}{\widehat{\mathrm{\α}}})e^{-\widehat{\mathrm{\α}}k},(k=m,m+1,L,n)---\left(17\right)$

步骤4.3：求解残差修正模型：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}(k+1)=(1-e^{\mathrm{\α}})\left(x^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}})e^{-\mathrm{\α}k}+\mathrm{\δ}(k-i)(1-e^{-\widehat{\mathrm{\α}}})\left({\mathrm{\ϵ}}^{\left(0\right)}\right(1)-\frac{\widehat{\mathrm{\β}}}{\widehat{\mathrm{\α}}})e^{-\widehat{\mathrm{\α}}k},(k=1,2,\mathrm{...},n)---\left(18\right)$

5.根据权利要求1所述一种改进灰色理论的中长期负荷预测方法，其特征在于，步骤4中，等维GM(1,1)模型改进步骤如下：

选取建模数据如:

X⁽⁰⁾＝(X⁽⁰⁾(1),X⁽⁰⁾(2),…X⁽⁰⁾(n-1),X⁽⁰⁾(n)) (19)

以原始模型实时预测出的最新的数据作为新模型建模数据组的新增项，然后去掉最老的数据，得到新的建模的数列:

X⁽⁰⁾＝(X⁽⁰⁾(2),X⁽⁰⁾(3),…,X⁽⁰⁾(n),X⁽⁰⁾(n+1)) (20)

依照上述数列更新方法，每次建模数据都利用最新预测的数据来替换掉最老的数据，保持数列等维，依次推进，使建模数列不断新陈代谢，自我更新，保持数列“年轻化”，直至完成预测目标为止。

通过上述步骤，实现中长期负荷的精确预测。