CN105893332A - 一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，包括如下步骤：步骤1：将研究对象划分子系统，确定组合顺序；步骤2：建立各子系统的状态空间模型，列写转移率矩阵；步骤3：采用转移频率守恒原则对子系统进行状态合并，得到各子系统化简后的转移率矩阵；步骤4：按照组合顺序，将子系统依次组合、修正、化简，最终得到研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵；步骤5：将研究对象的转移率矩阵带入状态空间法计算式中，求得研究对象的各稳态状态概率。本发明能采用公式直接列写组合后状态空间模型所对应的转移率矩阵，从而能通过Matlab等编程软件实现状态空间模型的组合化简过程，使状态空间算法更加简便通用。

Description

一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法

技术领域

本发明属于基于状态空间法的可靠性评估领域，具体涉及一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法。

背景技术

状态空间法是研究复杂多状态系统可靠性的一种重要方法，它通过分析系统可能存在的各种状态以及状态间的转移，根据频率平衡理论，求得各状态的概率、频率和持续时间，进而求得系统各种可靠性参数。

实际应用中，对于复杂系统很难直接建立状态空间模型，通常将其划分为多个子系统，分别建立状态空间模型，再进行化简与组合，最终得到整个系统的状态空间模型。对于状态空间组合，现有技术仍采用人工方法，即人工分析状态空间模型组合后可能出现的所有状态，并确定所有状态间的转移关系，建立组合后的状态空间模型，列写组合后的状态空间模型所对应的转移率矩阵，不但工作量大，费时费力，而且容易出错，不利于广泛应用。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的不足，本发明提出一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，以期能采用公式直接列写组合后状态空间模型所对应的转移率矩阵，从而能通过Matlab等编程软件实现状态空间模型的组合化简过程，使状态空间算法更加简便通用。

为了实现上述发明目的，本发明采用的技术方案为：

本发明一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法的特点是按如下步骤进行：

步骤1：将研究对象划分为n个子系统，并确定各个子系统的组合顺序，记为{Ω₁,Ω₂,…,Ω_i,…,Ω_n}；Ω_i表示第i个子系统；1≤i≤n；

步骤2：分别建立所述n个子系统的状态空间模型，从而获得n个转移率矩阵，记为{A₁,A₂,…,A_i,…,A_n}；A_i表示所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的转移率矩阵，令m_i表示转移率矩阵A_i的阶数；

步骤3：采用转移频率守恒原则对所述n个子系统进行状态合并，从而获得n个化简后的转移率矩阵；记为{B₁,B₂,…,B_i,…,B_n}；B_i表示所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的化简后的转移率矩阵；

步骤4：初始化i＝1；

步骤5：将第i个化简后的转移率矩阵B_i和第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1进行组合，获得组合后的转移率矩阵C_i,i+1；

步骤6：采用转移频率守恒原则对所述组合后的转移率矩阵C_i,i+1进行状态合并，获得化简组合后的转移率矩阵C′_i,i+1；

步骤7：判断i＋1≥n是否成立，若成立，则表示完成n个化简后的转移率矩阵的组合化简，获得所述研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵D＝C′_i,i＋1；并执行步骤9；否则执行步骤8；

步骤8：将所述化简组合后的转移率矩阵C′_i,i＋1赋值给所述第i＋1个化简后的转移率矩阵B_i+1；再将i＋1的值赋值给i；并返回步骤5执行；

步骤9：将所述研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵D带入如式(1)所示的状态空间法计算式中，从而获得所述研究对象的各稳态状态概率p＝[p₁,p₂,…,p_k,…,p_s]；1≤k≤s：

$\left\{\begin{array}{c}pD=0\\ \underset{k=1}{\overset{s}{\Σ}}{p}_k=1\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中，p_k表示所述研究对象的状态空间模型所对应的第k个稳态状态概率；s表示所述转移率矩阵D的阶数。

本发明所述的适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法的特点也在于，

所述步骤3是按如下步骤进行：

步骤3.1：利用式(2)，求得所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的稳态概率

$\left\{\begin{array}{c}{p}^{\left(i\right)}{A}_i=0\\ \underset{j=1}{\overset{m_i}{\Σ}}{p}_j^{\left(i\right)}=1\end{array}\right.---\left(2\right)$

步骤3.2：假设所述第i个子系统Ω_i需要合并r⁽ⁱ⁾个状态；对与所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的转移率矩阵A_i同阶数的单位矩阵I_i进行处理，即将r⁽ⁱ⁾个状态所对应的单位矩阵I_i中的r⁽ⁱ⁾行叠加至r⁽ⁱ⁾行中的任一行，并删除r⁽ⁱ⁾行中的其余行，从而获得第i个中间矩阵M_i；

步骤3.3：利用式(3)求得第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的化简后的转移率矩阵B_i：

所述步骤5是按如下步骤进行：

步骤5.1：假设所述第i个化简后的转移率矩阵B_i中包含α个状态，即B_i为α阶矩阵；所述第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1中包含β个状态，即B_i+1为β阶矩阵；且b_uv表示所述第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1中的第u行第v列的元素；1≤u,v≤β；

步骤5.2：利用式(4)获得修正前的转移率矩阵C″_i,i+1，C″_i,i+1的阶数为αβ：

步骤5.3：对所述转移率矩阵C″_i,i+1进行修正，得到组合后的转移率矩阵C_i,i+1；

步骤5.3.1：对所述转移率矩阵C″_i,i+1所对应的αβ个状态进行判别，若任一状态不存在，则删除相应状态在所述转移率矩阵C″_i,i+1中所对应的行和列，得到第一次更新后的转移率矩阵

步骤5.3.2：对所述第一次更新后的转移率矩阵中每个元素所对应的状态间转移关系进行判别，若状态间转移关系不存在，则将相应状态间转移关系在所述第一次更新后的转移率矩阵中所对应的元素置为“0”；从而获得第二次更新后的转移率矩阵

步骤5.3.3：将所述第二次更新后的转移率矩阵的所有对角线元素置为对应行除对角线元素外的所有元素之和的相反数，得到组合后的转移率矩阵C_1,2。

与已有技术相比，本发明的有益效果体现在：

1、本发明提出一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，与现有技术相比，易于通过编程软件实现计算方法，避免了人工建立状态空间模型，分析状态间转移关系，列写转移率矩阵的繁琐过程，适用于任意状态空间模型的组合化简，具有通用性。

2、本发明所提的采用频率守恒原则进行状态合并方法，可以采用公式表示化简后的状态空间模型所对应的转移率矩阵，能直接用程序计算，而不需要人工查找和计算组合后各状态间的转移率，省时省力，且不易出错。

3、本发明所提的转移率矩阵组合方法，能直接通过公式计算得组合后状态空间模型所对应的转移率矩阵，从而能通过编程实现，不需要人工分析建模，节约了时间，减少了错误。

4、本发明所提的转移率矩阵组合方法，虽然需要分析组合后转移率矩阵所对应的各个状态及状态间的转移情况，但仅需考虑不可能存在的状态和状态间转移；由于最初划分的子系统普遍相对独立，因此组合后不可能存在的状态和状态转移偏少，相较于传统方法，工作量偏小。

5、当研究对象划分多个子系统时，需要进行多次状态空间组合化简；若采用本发明所提的计算方法，仅需确定组合后不可能存在的状态及状态间转移，相比传统方法，不需要人工建立每次组合后的状态空间模型，故能极大地减小工作量。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为本发明实例中研究对象的结构图；

图3为本发明实例中子系统I的状态空间模型；

图4为本发明实例中子系统II的状态空间模型；

图5为本发明实例中子系统III的状态空间模型；

图6为本发明实例中子系统I的化简后的状态空间模型；

图7为本发明实例中子系统II的化简后的状态空间模型。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

本实施例中，采用状态空间法分析图2所示研究对象可以运行的概率，其由7个元件串并联组成，用{R₁,R₂,…R₇}表示；每个元件有正常和故障两种状态；假设所有元件同型号，故障率和修复率分别为λ，μ；若直接建立状态空间模型会有2⁷＝128个状态，维数过大很难计算，因此将其划分子系统分别建模再进行组合；本实施中提出的适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1：根据研究对象的运行方式，将其划分为3个子系统，并确定各个子系统的组合顺序，由于子系统Ω₁和Ω₂并联，再与子系统Ω₃串联，故可将子系统Ω₁和Ω₂先组合，再与子系统Ω₃组合，即可获得研究对象的状态空间模型；记为{Ω₁,Ω₂,Ω₃}；

步骤2：分别建立3个子系统的状态空间模型，从而获得3个转移率矩阵，记为{A₁,A₂,A₃}；分别表示对应子系统的状态空间模型所对应的转移率矩阵，并且令m₁,m₂,m₃表示矩阵A₁,A₂,A₃的阶数；

步骤2.1：子系统Ω₁中，元件R₁和R₂并联，再与R₃串联；R₁或R₂的故障会造成子系统Ω₁部分故障，但仍可继续运行；若R₁和R₂同时故障，或者R₃故障，则子系统Ω₁故障，不能运行；根据上述分析，可建立子系统Ω₁的状态空间模型如图3所示，根据图3可列写子系统Ω₁的状态空间模型所对应的转移率矩阵A₁，如式(1)所示；

$A_1=\left[\begin{array}{ccccc}-3\mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& 0& \mathrm{\λ}\\ \mathrm{\μ}& -(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})& 0& \mathrm{\λ}& 0\\ \mathrm{\μ}& 0& -(\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})& \mathrm{\λ}& 0\\ 0& \mathrm{\μ}& \mathrm{\μ}& -2\mathrm{\μ}& 0\\ \mathrm{\μ}& 0& 0& 0& -\mathrm{\μ}\end{array}\right]---\left(1\right)$

步骤2.2：子系统Ω₂中，元件R₄和R₅串联，再与R₆并联；任一元件故障会造成子系统Ω₂部分故障，但仍可继续运行；若R₄和R₅同时故障，子系统Ω₂仍可继续运行，若R₄和R₆同时故障，或者R₅和R₆同时故障，则子系统Ω₂故障，不能运行；根据上述分析，可建立子系统Ω₂的状态空间模型如图4所示，根据图4可列写子系统Ω₂的状态空间模型所对应的转移率矩阵A₂，如式(2)所示；

$A_2=\left[\begin{array}{ccccccc}-3\mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& 0& 0& 0\\ \mathrm{\μ}& -2\mathrm{\λ}-\mathrm{\μ}& 0& 0& \mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& 0\\ \mathrm{\μ}& 0& -2\mathrm{\λ}-\mathrm{\μ}& 0& \mathrm{\λ}& 0& \mathrm{\λ}\\ \mathrm{\μ}& 0& 0& -2\mathrm{\λ}-\mathrm{\μ}& 0& \mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}\\ 0& \mathrm{\μ}& \mathrm{\μ}& 0& -2\mathrm{\μ}& 0& 0\\ 0& \mathrm{\μ}& 0& \mathrm{\μ}& 0& -2\mathrm{\μ}& 0\\ 0& 0& \mathrm{\μ}& \mathrm{\μ}& 0& 0& -2\mathrm{\μ}\end{array}\right]---\left(2\right)$

步骤2.3：子系统Ω₃只有一个元件R₇，有两个状态：故障、运行；状态空间模型如图5所示，转移率矩阵A₃如式(3)所示；

$A_3=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}\\ \mathrm{\μ}& -\mathrm{\μ}\end{array}\right]---\left(3\right)$

步骤3：采用转移频率守恒原则对3个子系统进行状态合并，从而获得3个化简后的转移率矩阵；记为{B₁,B₂,B₃}；分别表示子系统的状态空间模型所对应的化简后的转移率矩阵；

步骤3.1：利用式(4)，求得每个子系统的状态空间模型所对应的稳态概率如式(5)所示；1≤i≤3；1≤j≤m_i：

$\left\{\begin{array}{c}{p}^{\left(i\right)}{A}_i=0\\ \underset{j=1}{\overset{m_i}{\Σ}}{p}_j^{\left(i\right)}=1\end{array}\right.---\left(4\right)$

本实施例中，即：

$\begin{array}{c}{p}^{\left(1\right)}=\[p_1^{\left(1\right)},\mathrm{...},p_5^{\left(1\right)}\]=\frac{\left[\begin{array}{ccccc}\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2& 3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}& 3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}& 2{\mathrm{\λ}}^2& 3{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}\end{array}\right]}{5{\mathrm{\λ}}^2+10\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}\\ p^{\left(2\right)}=\[p_1^{\left(2\right)},\mathrm{...},p_7^{\left(2\right)}\]=\frac{\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{\μ}}^2& \mathrm{\λ}\mathrm{\μ}& \mathrm{\λ}\mathrm{\μ}& \mathrm{\λ}\mathrm{\μ}& {\mathrm{\λ}}^2& {\mathrm{\λ}}^2& {\mathrm{\λ}}^2\end{array}\right]}{3{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}\\ p^{\left(3\right)}=\[p_1^{\left(3\right)},\mathrm{...},p_2^{\left(3\right)}\]=\frac{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}& \mathrm{\λ}\end{array}\right]}{\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ}}\end{array}---\left(5\right)$

步骤3.2：根据3个子系统的运行方式，可将子系统Ω₁,Ω₂分别合并成2个状态：运行、故障，如图6～图7所示；对阶数分别为m₁,m₂的单位矩阵进行处理，从而获得Ω₁,Ω₂所对应的转移率矩阵所对应的中间矩阵M₁,M₂；子系统Ω₃不需要进行合并，则B₃＝A₃；

步骤3.2.1：子系统Ω₁合并状态1～3，合并状态4～5；由式(5)可知m₁＝5；对5阶单位矩阵I₁进行处理，即将I₁的1～3行叠加至第一行，并删除2～3行；将I₁的第5行叠加至第4行，并删除第5行，从而获得与A₁对应的中间矩阵M₁，如式(6)所示；

$M_1=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

步骤3.2.2：子系统Ω₂合并状态1～5，合并状态6～7；由式(5)可知m₂＝7；对5阶单位矩阵I₂进行处理，即将I₂的1～5行叠加至第一行，并删除2～5行；将I₂的第7行叠加至第6行，并删除第7行，从而获得与A₂对应的中间矩阵M₂，如式(7)所示；

$M_2=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]---\left(7\right)$

步骤3.3：利用式(8)～(9)求得子系统Ω₁,Ω₂的状态空间模型所对应的化简后的转移率矩阵B₁,B₂：

步骤4：初始化i＝1；

步骤5：将第1个化简后的转移率矩阵B₁和第2个化简后的转移率矩阵B₂进行组合，获得组合后的转移率矩阵C_1,2；

步骤5.1：第1个化简后的转移率矩阵B₁中包含2个状态，即B₁为2阶矩阵；第2个化简后的转移率矩阵B₂中包含2个状态，即B₂为2阶矩阵；

步骤5.2：利用式(10)获得修正前的转移率矩阵C″_1，2，C″_1，2的阶数为2×2＝4：

$C_{1,2}^{\′\′}=\left[\begin{array}{cccc}-\mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}& \frac{4{\mathrm{\λ}}^2\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}& 0\\ \frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& -\frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& 0& \frac{4{\mathrm{\λ}}^2\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}\\ 2\mathrm{\μ}& 0& -\mathrm{\λ}& \mathrm{\λ}\\ 0& 2\mathrm{\μ}& \frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& -\frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}\end{array}\right]---\left(10\right)$

步骤5.3：对转移率矩阵C″_1，2进行修正，得到组合后的转移率矩阵C_1,2；

步骤5.3.1：对转移率矩阵C″_1，2所对应的4个状态进行判别，根据组合规则，这4个状态分别为子系统Ω₁运行&子系统Ω₂运行、子系统Ω₁故障&子系统Ω₂运行、子系统Ω₁运行&子系统Ω₂故障、子系统Ω₁故障&子系统Ω₂故障；由于子系统Ω₁和Ω₂是并联关系，二者的运行状态不会影响对方的运行状态，因此两个子系统Ω₁和Ω₂相对独立，没有不存在的状态；故不需要对C″_1，2修正，第一次更新后的转移率矩阵

步骤5.3.2：对第一次更新后的转移率矩阵中每个元素所对应的状态间转移关系进行判别，由于两个子系统Ω₁和Ω₂相对独立，因此没有不存在的转移关系；故不需要对修正，第二次更新后的转移率矩阵

步骤5.3.3：将第二次更新后的转移率矩阵的所有对角线元素置为对应行除对角线元素外的所有元素之和的相反数，得到组合后的转移率矩阵C_1,2，见式(11)；

$C_{1,2}=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{{\mathrm{\λ}}^3+7{\mathrm{\λ}}^2\mathrm{\μ}+{\mathrm{\λ\μ}}^2}{{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}& \mathrm{\λ}& \frac{4{\mathrm{\λ}}^2\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}& 0\\ \frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& -\frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}-\frac{4{\mathrm{\λ}}^2\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}& 0& \frac{4{\mathrm{\λ}}^2\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2}\\ 2\mathrm{\μ}& 0& -\mathrm{\λ}-2\mathrm{\μ}& \mathrm{\λ}\\ 0& 2\mathrm{\μ}& \frac{7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& -\frac{17\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+9{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}\end{array}\right]---\left(11\right)$

步骤6：采用转移频率守恒原则对组合后的转移率矩阵C_1,2进行状态合并，获得化简组合后的转移率矩阵C′_1,2；

步骤6.1：利用式(11)，求得C_1,2所对应的稳态概率如式(12)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{p}^{\left(C_{1,2}\right)}{C}_{1,2}=0\\ \underset{t=1}{\overset{4}{\Σ}}{p}_t^{\left(C_{1,2}\right)}=1\end{array}\right.---\left(11\right)$

式(11)中，1≤t≤4；

$\begin{array}{c}{p}^{\left(C_{1,2}\right)}=(p_1^{\left(C_{1,2}\right)},...,p_4^{\left(C_{1,2}\right)})\\ =\[\frac{\begin{array}{cccc}(7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2)({\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)& (5{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ})({\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)& 14{\mathrm{\λ}}^3\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\μ}}^2& 10{\mathrm{\λ}}^4+6{\mathrm{\λ}}^3\mathrm{\μ}\end{array}}{(3{\mathrm{\λ}}^2+3\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)(5{\mathrm{\λ}}^2+10\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2)}\]\end{array}---\left(12\right)$

步骤6.2：根据C_1,2对应的4个状态，即4种运行方式，可将其合并成2个状态：运行、故障；由于Ω₁和Ω₂是并联关系且相互独立，因此合并状态1～3；对4阶单位矩阵进行处理，即将的1～3行叠加至第一行，并删除2～3行，从而获得每个子系统的状态空间模型所对应的转移率矩阵所对应的中间矩阵见式(13)；

$M_{C_{1,2}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(13\right)$

步骤6.3：利用式(14)求得C_1,2所对应的化简后的转移率矩阵C′_1,2：

步骤7：判断1+1≥3是否成立；不成立，执行步骤8；

步骤8：将化简组合后的转移率矩阵C′_1,2赋值给第2个化简后的转移率矩阵B₂；再将i+1的值赋值给i，即i＝2；并返回步骤5执行；

步骤8.1(即步骤5)：将转移率矩阵B₂和B₃进行组合，获得组合后的转移率矩阵C_2,3；

步骤8.1.1(即步骤5.1)：B₂和B₃各包含2个状态，均为2阶矩阵；

步骤8.1.2(即步骤5.2)：利用式(15)获得修正前的转移率矩阵C″_2,3，C″_2,3的阶数为2×2＝4：

$C_{2,3}^{\′\′}={\left[\begin{array}{cc}{B}_2& \begin{array}{cc}\mathrm{\λ}& 0\\ 0& \mathrm{\λ}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{\μ}& 0\\ 0& \mathrm{\μ}\end{array}& B_2\end{array}\right]}_{4\×4}---\left(15\right)$

步骤8.1.3(即步骤5.3)：对转移率矩阵C″_2,3进行修正，得到组合后的转移率矩阵C_2,3；

步骤8.1.3.1(即步骤5.3.1)：对转移率矩阵C″_2,3所对应的4个状态进行判别，根据组合规则，这4个状态分别为Ω₁和Ω₂组成的子系统运行&子系统Ω₃运行、Ω₁和Ω₂组成的子系统故障&子系统Ω₃运行、Ω₁和Ω₂组成的子系统&子系统Ω₃故障、Ω₁和Ω₂组成的子系统故障&子系统Ω₃故障；由于两者是串联关系，其中有一个故障则整个系统故障，不会发生新的故障，则状态4不存在，删去C″_2,3的第4行和第4列，得到第一次更新后的转移率矩阵

步骤8.1.3.2(即步骤5.3.2)：对第一次更新后的转移率矩阵中每个元素所对应的状态间转移关系进行判别，删去不可能存在的状态4后，没有不存在的转移关系；故不需要对修正，第二次更新后的转移率矩阵

步骤8.1.3.3(即步骤5.3.3)：将第二次更新后的转移率矩阵的所有对角线元素置为对应行除对角线元素外的所有元素之和的相反数，得到组合后的转移率矩阵C_2,3，见式(15)；

$C_{2,3}={\left[\begin{array}{ccc}\frac{-2{\mathrm{\λ}}^3\mathrm{\μ}(17\mathrm{\λ}+9\mathrm{\μ})}{(5{\mathrm{\λ}}^2+4\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)({\mathrm{\λ}}^2+7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2)}-\mathrm{\λ}& \frac{2{\mathrm{\λ}}^3\mathrm{\μ}(17\mathrm{\λ}+9\mathrm{\μ})}{(5{\mathrm{\λ}}^2+4\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)({\mathrm{\λ}}^2+7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2)}& \mathrm{\λ}\\ \frac{17\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+9{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& -\frac{17\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+9{\mathrm{\μ}}^2}{5\mathrm{\λ}+3\mathrm{\μ}}& 0\\ \mathrm{\μ}& 0& -\mathrm{\μ}\end{array}\right]}_{4\×4}---\left(15\right)$

步骤8.2(即步骤6)：采用转移频率守恒原则对组合后的转移率矩阵C_2,3进行状态合并，即合并状态2～3，获得化简组合后的转移率矩阵C′_2,3，见式(16)；

$C_{2,3}^{\′}=\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{\λ}-\frac{34{\mathrm{\λ}}^4\mathrm{\μ}+18{\mathrm{\λ}}^3{\mathrm{\μ}}^2}{(5{\mathrm{\λ}}^2+4\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)({\mathrm{\λ}}^2+7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2)}& \mathrm{\λ}+\frac{34{\mathrm{\λ}}^4\mathrm{\μ}+18{\mathrm{\λ}}^3{\mathrm{\μ}}^2}{(5{\mathrm{\λ}}^2+4\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+{\mathrm{\μ}}^2)({\mathrm{\λ}}^2+7\mathrm{\λ}\mathrm{\μ}+3{\mathrm{\μ}}^2)}\\ \mathrm{\μ}+\frac{12{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\μ}}^2(2\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})}{5{\mathrm{\λ}}^4+49{\mathrm{\λ}}^3\mathrm{\μ}+50{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\μ}}^2+19{\mathrm{\λ\μ}}^3+3{\mathrm{\μ}}^4}& -\mathrm{\μ}-\frac{12{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\μ}}^2(2\mathrm{\λ}+\mathrm{\μ})}{5{\mathrm{\λ}}^4+49{\mathrm{\λ}}^3\mathrm{\μ}+50{\mathrm{\λ}}^2{\mathrm{\μ}}^2+19{\mathrm{\λ\μ}}^3+3{\mathrm{\μ}}^4}\end{array}\right]---\left(16\right)$

步骤8.3(即步骤7)：判断2+1≥3是否成立，成立，则表示完成3个化简后的转移率矩阵的组合化简，获得研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵D＝C′_2,3；并执行步骤9；

步骤9：将研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵D带入如式(17)所示的状态空间法计算式中，从而获得研究对象的各稳态状态概率p＝[p₁,p₂]，见式(18)；1≤k≤2：

$\left\{\begin{array}{c}pD=0\\ \underset{k=1}{\overset{2}{\Σ}}{p}_k=1\end{array}\right.---\left(17\right)$

本实施例中，

p₁即为研究对象处于运行状态的稳态概率。

Claims (3)

1.一种适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，其特征是按如下步骤进行：

步骤1：将研究对象划分为n个子系统，并确定各个子系统的组合顺序，记为{Ω₁,Ω₂,…,Ω_i,…,Ω_n}；Ω_i表示第i个子系统；1≤i≤n；

步骤2：分别建立所述n个子系统的状态空间模型，从而获得n个转移率矩阵，记为{A₁,A₂,…,A_i,…,A_n}；A_i表示所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的转移率矩阵，令m_i表示转移率矩阵A_i的阶数；

步骤3：采用转移频率守恒原则对所述n个子系统进行状态合并，从而获得n个化简后的转移率矩阵；记为{B₁,B₂,…,B_i,…,B_n}；B_i表示所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的化简后的转移率矩阵；

步骤4：初始化i＝1；

步骤5：将第i个化简后的转移率矩阵B_i和第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1进行组合，获得组合后的转移率矩阵C_i,i+1；

步骤6：采用转移频率守恒原则对所述组合后的转移率矩阵C_i,i+1进行状态合并，获得化简组合后的转移率矩阵C′_i,i+1；

步骤7：判断i+1≥n是否成立，若成立，则表示完成n个化简后的转移率矩阵的组合化简，获得所述研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵D＝C′_i,i+1；并执行步骤9；否则执行步骤8；

步骤8：将所述化简组合后的转移率矩阵C′_i,i+1赋值给所述第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1；再将i+1的值赋值给i；并返回步骤5执行；

步骤9：将所述研究对象的状态空间模型所对应的转移率矩阵D带入如式(1)所示的状态空间法计算式中，从而获得所述研究对象的各稳态状态概率p＝[p₁,p₂,…,p_k,…,p_s]；1≤k≤s：

$\left\{\begin{array}{c}pD=0\\ \underset{k=1}{\overset{s}{\Σ}}{p}_k=1\end{array}\right.---\left(1\right)$

式(1)中，p_k表示所述研究对象的状态空间模型所对应的第k个稳态状态概率；s表示所述转移率矩阵D的阶数。

2.根据权利要求1所述的适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，其特征是所述步骤3是按如下步骤进行：

步骤3.1：利用式(2)，求得所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的稳态概率

$\left\{\begin{array}{c}{p}^{\left(i\right)}{A}_i=0\\ \underset{j=1}{\overset{m_i}{\Σ}}{p}_j^{\left(i\right)}=1\end{array}\right.---\left(2\right)$

步骤3.2：假设所述第i个子系统Ω_i需要合并r⁽ⁱ⁾个状态；对与所述第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的转移率矩阵A_i同阶数的单位矩阵I_i进行处理，即将r⁽ⁱ⁾个状态所对应的单位矩阵I_i中的r⁽ⁱ⁾行叠加至r⁽ⁱ⁾行中的任一行，并删除r⁽ⁱ⁾行中的其余行，从而获得第i个中间矩阵M_i；

步骤3.3：利用式(3)求得第i个子系统Ω_i的状态空间模型所对应的化简后的转移率矩阵B_i：

3.根据权利要求1所述的适用于组合状态空间模型转移率矩阵的计算方法，其特征是所述步骤5是按如下步骤进行：

步骤5.1：假设所述第i个化简后的转移率矩阵B_i中包含α个状态，即B_i为α阶矩阵；所述第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1中包含β个状态，即B_i+1为β阶矩阵；且b_uv表示所述第i+1个化简后的转移率矩阵B_i+1中的第u行第v列的元素；1≤u,v≤β；

步骤5.2：利用式(4)获得修正前的转移率矩阵C″_i，i+1，C″_i，i+1的阶数为αβ：

步骤5.3：对所述转移率矩阵C″_i,i+1进行修正，得到组合后的转移率矩阵C_i,i+1；

步骤5.3.1：对所述转移率矩阵C″_i,i+1所对应的αβ个状态进行判别，若任一状态不存在，则删除相应状态在所述转移率矩阵C″_i,i+1中所对应的行和列，得到第一次更新后的转移率矩阵

步骤5.3.2：对所述第一次更新后的转移率矩阵中每个元素所对应的状态间转移关系进行判别，若状态间转移关系不存在，则将相应状态间转移关系在所述第一次更新后的转移率矩阵中所对应的元素置为“0”；从而获得第二次更新后的转移率矩阵

步骤5.3.3：将所述第二次更新后的转移率矩阵的所有对角线元素置为对应行除对角线元素外的所有元素之和的相反数，得到组合后的转移率矩阵C_1,2。