CN109062868A - 一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明给出了一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，该方法可针对任意分布的系统建立系统状态方程，给出获得系统稳态概率的方法。运用补充变量法将系统状态的转移描述为广义马尔科夫过程，由稳态时系统状态不依据绝对时间变化的特点，将系统状态方程转化为常微分方程。结合系统的边界条件和初始条件对方程组初步求解，运用广义积分中值定理提取系统状态方程中的重要参数，借助参数间的等价关系对系统状态方程变换。运用全概率公式得到广义概率方程并使用最小二乘法进行求解。该方法能够显著降低获取多状态系统各状态概率稳态解的难度且具有一定的普适性，适用于解决可靠性工程、机械工程等领域中的系统状态分析、维修策略优化等问题。

Description

一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法

技术领域

本发明给出了一种一般分布下的多态系统稳态概率求解方法，该方法可针对任意分布的系统建立系统状态方程，给出获得系统稳态概率的方法。该方法适用于解决可靠性工程、机械工程等领域中的系统状态分析、系统稳态可用度求解、维修策略优化等问题。

背景技术

对于用马尔科夫过程描述的系统状态转移过程，可以运用拉普拉斯变换方法对系统的状态方程进行转化，再对变换后的方程求极限得到系统状态的稳态概率。马尔科夫过程要求系统的工作、故障以及维修等状态时间均服从指数分布，而对于一般系统而言，这种假设往往不能够被满足。对于时间分布不全为指数分布的系统，其状态之间的转移过程不能够被马尔科夫过程描述，对于这一类系统，其稳态概率的求解方法主要有三种，更新过程法、差分法与补充变量法。由于更新过程方法的更新点不易选取、差分法建模复杂且效率不高，因而补充变量法应用更为广泛。通过补充变量法可以将原有过程描述为一个广义的马尔可夫过程，从而可以类似使用针对马尔科夫过程的求解方法获得系统的稳态概率。

然而实际的工程领域，系统的故障速率、维修速率等更为一般化，其时间分布存在全非指数分布的可能性。对于时间分布均为一般分布的系统，虽然仍可以通过补充变量法将其描述为一个广义的马尔科夫过程，但是系统的状态方程以及边界条件更为复杂，这种情况下传统的求解方法将不再适用。因此，为了获得一般分布下的系统状态稳态概率，发明一种新的求解方法是非常必要的。

发明内容

(1)本发明的目的

针对一般分布下多状态系统给出一种新的稳态可用度求解方法，为多状态系统分析、维修策略优化等实际问题提供解决思路。

(2)本发明的技术方案

本发明中抽象后的系统状态包括：初始状态、n个不同退化程度的状态以及n个相应的维修状态，系统的状态转移图见附图1，其稳态概率的求解通过如下步骤实施：

步骤一：广义马尔科夫过程模型的建立

引入系统在当前状态的逗留时间x，并定义以逗留时间x为变量的系统状态转移速率函数。运用补充变量法将多状态系统的状态转移过程用广义马尔科夫过程描述，然后通过状态转移关系给出系统状态方程组。

步骤二：稳态时系统状态方程的初步求解

基于稳态时系统状态的概率值与绝对时间t无关这一特性，将原有的偏微分方程组简化为仅对系统在当前状态的逗留时间x求导的常微分方程组。结合系统的边界条件和初始条件对简化后的常微分方程组进行初步求解。

步骤三：积分方程组中平均速率的提取

运用广义积分中值定理对通过初步求解得到的系统状态方程组中含有速率函数与概率函数乘积的积分项进行变换，将平均速率从积分项中提取出来。具体方式如下：

其中λ(x)为速率函数，P(x)为系统状态概率函数，α_λ为平均速率。

步骤四：常量参数定义及状态概率表达式

对通过初步求解得到的方程组中各方程进行积分并定义常量参数替换各方程中的可靠度函数积分值。分析常量参数与平均速率之间的数值关系，并建立用常量参数与平均速率表示的系统状态概率表达式。

步骤五：系统状态概率稳态值的获取

结合全概率公式得到矩阵形式的系统状态概率方程组，通过最小二乘法获得系统状态方程的稳态解。

(3)本发明的优点

与现有的多状态系统稳态概率求解方法相比，本发明提出的方法有如下的优点：

a)本发明提出的多状态系统稳态概率求解方法，解决了时间分布均为一般分布时无法使用传统方法进行简便求解的问题。

b)本发明对多状态系统状态方程采用的化简方法具有较强的普适性，也能够清晰、直观地反应出系统各状态之间的转移规律。并且在很大程度上降低了状态方程的求解难度，提高了求解效率和精度。

c)本发明具有广阔的应用前景。它能够对具有相似结构关系的多状态系统进行分析，适用于对解决工程领域内的实际问题。

附图说明

图1系统状态转移图。

图2存在五个退化状态的系统状态转移示例。

具体实施方式

步骤一：广义马尔科夫过程模型的建立

补充多状态系统在当前状态的逗留时间变量x，定义各状态间转移速率函数，将多状态系统的状态转移描述为广义马尔科夫过程。

表1系统状态方程中符号说明表

符号	说明
		t	绝对时间
x	系统在当前状态的逗留时间
		P<sub>i</sub>(t,x)(0≤i≤2n)	t时刻系统在状态i已逗留时间x的概率
P<sub>i</sub>(t,0)(0≤i≤2n)	t时刻系统刚好变为状态i的概率
		λ<sub>i</sub>(x)(0≤i≤n-1)	从状态i到状态i+1的系统退化速率函数
μ<sub>i</sub>(x)(1≤i≤n)	从状态n+i到状态i-1的维修速率函数
		w<sub>i</sub>(x)(1≤i≤n)	从状态i到状态n+i的维修周转速率函数

根据系统的状态转移关系图，得到系统的状态方程如下

边界条件与初始条件为

其中P₀(t,x)，P_i(t,x)(1≤i≤n-1)，P_n(t,x)，P_n+j(t,x)(1≤j≤n-1)，P_2n(t,x)分别对应系统t时刻在初始状态、退化状态、故障状态、系统故障前的维修状态、系统故障的维修状态逗留了时间x的概率，λ₀(x)为系统在当前状态的逗留时间为x时的故障率，w_n(x)为系统在当前状态的逗留时间为x时的维修周转速率，μ_j(x)(1≤j≤n-1)为系统在当前状态的逗留时间为x时的维修速率，μ_n(x)为系统在当前状态的逗留时间为x时的维修速率。

步骤二：稳态时系统状态方程的初步求解

当系统处于稳态时各状态概率值与绝对时间t无关，基于此条件将系统的状态方程进行简化，并结合系统的边界条件和初始条件对一阶偏微分方程组进行变换得到

上式中方程左侧P₀(x)，P_i(x)(1≤i≤n-1)，P_n(x)，P_n+j(x)(1≤j≤n)与方程右侧P_n+1(x)，P_i-1(x)(1≤i≤n-1)，P_n+i+1(x)(1≤i≤n-1)，P_n-1(x)，P_j(x)(1≤j≤n)为稳态时系统在当前状态的逗留时间为x的概率，μ₁(x)，μ_i+1(x)(1≤i≤n-1)为系统在当前状态的逗留时间为x的修复速率，λ_i-1(x)(1≤i≤n-1)，λ_n-1(x)为系统在当前状态的逗留时间为x的故障率，w_j(x)为系统在当前状态的逗留时间为x的维修周转速率，λ₀(z)，λ_i(z)(1≤i≤n-1)，w_i(z)(1≤i≤n-1)，w_n(z)，μ_j(z)(1≤j≤n)为运算过程量。

步骤三：积分方程组中平均速率的提取

通过广义积分中值定理，对系统状态方程中的积分项进行变换，将速率函数λ_i(x)(0≤i≤n-1)，μ_i(x)(1≤i≤n)，w_i(x)(1≤i≤n)从积分项中提取出来，并用α_λi(0≤i≤n-1，)α_μi(1≤i≤n)，α_wi(1≤i≤n)来分别表示系统各状态转移的平均速率，进一步变换系统状态方程如下

其中α_μ1，α_μi+1(1≤i≤n-1)为系统在各维修状态的平均修复速率，α_λi-1(1≤i≤n-1)，α_λn-1为系统在初始状态与退化状态中各状态的平均故障速率，α_wj(1≤j≤n)为系统在退化状态与故障状态中各状态的维修周转速率。

步骤四：常量参数定义及状态概率表达式

对系统状态方程两端积分，并用定义的常量 替换系统状态方程中的指数函数积分项，得到简化的系统状态方程

方程中P₀，P_n+1，P_i(1≤i≤n-1)，P_i-1(1≤i≤n-1)，P_n+i+1(1≤i≤n-1)，P_n，P_n-1，P_n+i(1≤i≤n-1)为系统稳态时处于各状态的概率，引入的常量参数为方程左端系统稳态概率的系数，当系统的速率函数λ_i(x)(0≤i≤n-1)，μ_i(x)(1≤i≤n)，w_i(x)(1≤i≤n)给出确定的表达式时，引入的常量参数则为定值，同时，引入的常量参数与平均速率满足如下关系

其中为系统在初始状态与退化状态中各状态的平均故障速率，为系统在退化状态与故障状态中各状态的维修周转速率，为系统在各维修状态的平均修复速率。

步骤五：系统状态概率稳态值的获取

结合全概率公式得到矩阵形式的系统状态概率方程，形式如下

对此矩阵方程应用最小二乘法，得到系统在稳态下处于各状态的概率。

实施例

本发明给出了一种一般分布下的多态系统稳态概率求解方法，可以应用到可靠性工程中服从一般时间分布的可修复系统稳态可用度求解问题。以五退化状态的可修复机电系统为例，系统的状态转移图见附图2，当故障速率、维修周转速率、修复速率全部服从一般时间分布时，传统的稳态可用度求解方法无法适用，采用本发明提出的计算方法能够完成其稳态可用度的求解。

本实施例中系统各速率函数均服从威布尔分布，λ_i(0≤i≤4)，μ_i(1≤i≤5)，w_i(1≤i≤5)分别对应故障速率函数、维修速率函数、维修周转速率函数的尺度参数，r_i(0≤i≤4)，p_i(1≤i≤5)，q_i(1≤i≤5)分别为对应的形状参数，具体赋值见表2。

表2实施例速率函数参数赋值表

λ<sub>0</sub>	λ<sub>1</sub>	λ<sub>2</sub>	λ<sub>3</sub>	λ<sub>4</sub>	μ<sub>1</sub>	μ<sub>2</sub>	μ<sub>3</sub>	μ<sub>4</sub>	μ<sub>5</sub>	w<sub>1</sub>	w<sub>2</sub>	w<sub>3</sub>	w<sub>4</sub>	w<sub>5</sub>
															0.09	0.121	0.183	0.37	0.51	0.5	0.1	0.15	0.2	0.25	0.016	0.032	0.05	0.06	0.08
r<sub>0</sub>	r<sub>1</sub>	r<sub>2</sub>	r<sub>3</sub>	r<sub>4</sub>	p<sub>1</sub>	p<sub>2</sub>	p<sub>3</sub>	p<sub>4</sub>	p<sub>5</sub>	q<sub>1</sub>	q<sub>2</sub>	q<sub>3</sub>	q<sub>4</sub>	q<sub>5</sub>
															1.12	0.61	0.93	1.31	1.56	0.97	1	1.11	1.28	0.87	1.13	1.36	0.73	1	0.95

补充系统在当前状态的逗留时间x，将其状态转移描述为广义马尔科夫过程。系统的状态方程如下

边界条件与初始条件为

结合系统的边界条件和初始条件对一阶微分方程组进行初步求解得到

通过广义积分中值定理，对系统状态方程中的积分项进行变换，得到的系统状态方程如下

对系统状态方程两端积分，并用定义的常量 替换原系统状态方程中的指数函数积分项，得到简化的系统状态方程

同时，引入的常量参数与平均速率满足如下关系

在简化后的系统状态方程基础上，结合全概率公式得到系统状态概率方程的矩阵形式表达式，如下

此时，对此矩阵方程应用最小二乘法，得到系统在稳态下处于各状态的概率，在系统的状态集合中，初始的状态0、退化状态1～4为系统的可用状态，由此可以通过已求得的各状态概率，求解计算系统的稳态可用度为

Claims (6)

1.一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：广义马尔科夫过程模型的建立

引入系统在当前状态的逗留时间x，并定义以逗留时间x为变量的系统状态转移速率函数；运用补充变量法将多状态系统的状态转移过程用广义马尔科夫过程描述，然后通过状态转移关系给出系统状态方程组；

步骤二：稳态时系统状态方程的初步求解

基于稳态时系统状态的概率值与绝对时间t无关这一特性，将原有的偏微分方程组简化为仅对系统在当前状态的逗留时间x求导的常微分方程组；结合系统的边界条件和初始条件对简化后的常微分方程组进行初步求解；

步骤三：积分方程组中平均速率的提取

运用广义积分中值定理对通过初步求解得到的系统状态方程组中含有速率函数与概率函数乘积的积分项进行变换，将平均速率从积分项中提取出来；具体方式如下：

其中λ(x)为速率函数，P(x)为系统状态概率函数，α_λ为平均速率；

步骤四：常量参数定义及状态概率表达式

对通过初步求解得到的方程组中各方程进行积分并定义常量参数替换各方程中的可靠度函数积分值；分析常量参数与平均速率之间的数值关系，并建立用常量参数与平均速率表示的系统状态概率表达式；

步骤五：系统状态概率稳态值的获取

结合全概率公式得到矩阵形式的系统状态概率方程组，通过最小二乘法获得系统状态方程的稳态解。

2.根据权利要求1所述的一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，其特征在于：系统的状态方程组如下：

其中，t为绝对时间；x为系统在当前状态的逗留时间；P_i(t,x),0≤i≤2n,为t时刻系统在状态i已逗留时间x的概率；P_i(t,0),0≤i≤2n,为t时刻系统刚好变为状态i的概率；λ_i(x),0≤i≤n-1,为从状态i到状态i+1的系统退化速率函数；μ_i(x),1≤i≤n,为从状态n+i到状态i-1的维修速率函数；w_i(x),1≤i≤n,为从状态i到状态n+i的维修周转速率函数；

边界条件与初始条件为：

其中，P₀(t,x)，P_i(t,x),1≤i≤n-1,，P_n(t,x)，P_n+j(t,x),1≤j≤n-1,，P_2n(t,x)分别对应系统t时刻在初始状态、退化状态、故障状态、系统故障前的维修状态、系统故障的维修状态逗留了时间x的概率，λ₀(x)为系统在当前状态的逗留时间为x时的故障率，w_n(x)为系统在当前状态的逗留时间为x时的维修周转速率，μ_j(x),1≤j≤n-1,为系统在当前状态的逗留时间为x时的维修速率，μ_n(x)为系统在当前状态的逗留时间为x时的维修速率。

3.根据权利要求1或2所述的一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，其特征在于：当系统处于稳态时各状态概率值与绝对时间t无关，基于此条件将系统的状态方程进行简化，并结合系统的边界条件和初始条件对一阶偏微分方程组进行变换得到

上式中方程左侧P₀(x)，P_i(x),1≤i≤n-1,，P_n(x)，P_n+j(x),1≤j≤n,与方程右侧P_n+1(x)，P_i-1(x),1≤i≤n-1,，P_n+i+1(x),1≤i≤n-1,，P_n-1(x)，P_j(x),1≤j≤n,为稳态时系统在当前状态的逗留时间为x的概率，μ₁(x)，μ_i+1(x),1≤i≤n-1,为系统在当前状态的逗留时间为x的修复速率，λ_i-1(x),1≤i≤n-1,，λ_n-1(x)为系统在当前状态的逗留时间为x的故障率，w_j(x)为系统在当前状态的逗留时间为x的维修周转速率，λ₀(z)，λ_i(z),1≤i≤n-1,，w_i(z),1≤i≤n-1,，w_n(z)，μ_j(z),1≤j≤n,为运算过程量。

4.根据权利要求3所述的一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，其特征在于：通过广义积分中值定理，对系统状态方程中的积分项进行变换，将速率函数λ_i(x),0≤i≤n-1,，μ_i(x),1≤i≤n,，w_i(x),1≤i≤n,从积分项中提取出来，并用0≤i≤n-1,，1≤i≤n,，1≤i≤n,来分别表示系统各状态转移的平均速率，进一步变换系统状态方程如下

其中1≤i≤n-1,为系统在各维修状态的平均修复速率，1≤i≤n-1,，为系统在初始状态与退化状态中各状态的平均故障速率，1≤j≤n,为系统在退化状态与故障状态中各状态的维修周转速率。

5.根据权利要求4所述的一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，其特征在于：对系统状态方程两端积分，并用定义的常量 1≤i≤n,，1≤i≤n-1,替换系统状态方程中的指数函数积分项，得到简化的系统状态方程

方程中P₀，P_n+1，P_i,1≤i≤n-1,，P_i-1,1≤i≤n-1,，P_n+i+1,1≤i≤n-1,，P_n，P_n-1，P_n+i,1≤i≤n-1,为系统稳态时处于各状态的概率，引入的常量参数为方程左端系统稳态概率的系数，当系统的速率函数λ_i(x),0≤i≤n-1,，μ_i(x),1≤i≤n,，w_i(x),1≤i≤n,给出确定的表达式时，引入的常量参数则为定值，同时，引入的常量参数与平均速率满足如下关系

其中1≤i≤n-1,为系统在初始状态与退化状态中各状态的平均故障速率，1≤i≤n-1,，为系统在退化状态与故障状态中各状态的维修周转速率，1≤i≤n-1,为系统在各维修状态的平均修复速率。

6.根据权利要求5所述的一种一般分布下的多态系统状态稳态概率求解方法，其特征在于：结合全概率公式得到矩阵形式的系统状态概率方程，形式如下

对此矩阵方程应用最小二乘法，得到系统在稳态下处于各状态的概率。