CN105869128A - 基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯投影变形方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯正形投影变形的方法。为了更好控制工程最大投影变形，此类工程应当以最大投影变形最小化为准则进行严密的归算方法研究。本发明先确定中央子午线至测区投影重心位置的距离Y_m'，依据子午线移动前已知的Y_m及L求解Δl_W及Δl_E，进而确定出投影重心位置Y_g；然后根据投影重心位置Y_g，得到新的中央子午线至原子午线的距离，再通过大地反算，得到新中央子午线的大地经度M；最后将中央子午线设置到M，将测区坐标转换到该中央子午线M下进行投影计算，便可减小任意带高斯正形投影变形。同时还确定了本发明方法的最大适用范围。

Description

基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯投影变形方法

技术领域

本发明属于地理测绘科学技术领域，具体涉及一种基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯正形投影变形的方法。

背景技术

由于高斯正形投影的影响，在远离计算所选择的中央子午线的位置，会产生较大的投影变形。而工程测量对投影长度变形有着严格的限差要求，如《工程测量规范》(GB50026-2007)中要求投影长度变形值不得大于2.5cm/km。为了满足相关规范对测区最大投影变形的要求，需要采取措施抑制测区投影变形。

目前，减小边长投影变形的基本方法主要有2种：抵偿投影面高斯正形投影和任意带高斯正形投影。任意带高斯正形投影是通过测区所选定的投影高程面重新定义测区中央子午线位置，使得归算至高斯投影面上的变形刚好可以抵消边长归算至参考椭球面上的变形。其关键是中央子午线至测区相对位置的确定，现有参数确定中一般将参考位置选择在测区中央，这是一个近似的处理方法，这个位置的选择并没有顾及到投影的最优准则问题，也就是选择在什么位置可以更好的满足工程具体的需求。对于不同类型的工程，应当根据不同准则进行投影，而现有任意带高斯正形投影方法，未顾及这些因素。很多工程要求其最大投影变形应尽可能小，研究者认为，此类工程应当以最大投影变形最小化为准则进行严密的归算方法研究，采用现有方法并不能使投影变形在该准则下达到最优化。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯正形投影变形的方法，该方法基于最大投影变形最小标准确定了任意带高斯正形投影的参数，进而解决了现有投影方法不能保证最大投影变形最小化的问题。

本发明所采用的技术方案是，一种基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯正形投影变形的方法，包括以下步骤：

步骤1，确定中央子午线至测区投影重心位置距离Y′_m

通过公式确定中央子午线至测区投影重心位置的距离Y′_m，式中，H_m为边长归算所选投影面高出参考椭球面的平均高程，R＝6371km；

步骤2，确定测区投影重心位置Y_g

依据子午线移动前已知的Y′_m及L求解测区投影重心位置Y_g以东及以西的测区范围值Δl_E及Δl_W：

Δl_W＝(Y_max-Y_min)-Δl_E

式中Y_max、Y_min分别为测区最大及最小横坐标自然值。

将Δl_E和Δl_W分别代入Y′_max＝Y′_m+Δl_E和Y′_min＝Y′_m-Δl_W，求出测区在新的投影带中的位置，新坐标与老坐标中横坐标变化值ΔY＝Y′_max-Y_max，或者则测区重心位置横坐标Y_g在源平面坐标系中为Y_g＝Y_m+ΔY-(Y_m-Y′_m)，则有Y_g＝Y′_m+ΔY，由此确定出投影重心位置Y_g；

步骤3，测区新的中央子午线位置确定

根据投影重心位置Y_g，得到新的中央子午线至原子午线的距离为 Y_g-Y′_m＝ΔY，通过大地反算，得到新中央子午线的大地经度M＝l+M₀，其中，M₀为原中央子午线经度，l通过下式计算，

步骤4，将原投影带平面坐标转换至新投影带

根据步骤3所确定的M值，将中央子午线设置到M，将测区坐标转换到该中央子午线M下进行投影计算，便可基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯正形投影变形。

步骤1公式的推导过程如下：

测距边长水平距离为D，水平距离归算至测区某一高程面H_p的边长变形值为ΔD₀，水平距离归算至参考椭球面上的变形ΔD₁，椭球面上的边长归算至高斯投影面上的变形ΔD₂；

上面两式中：H_m为边长归算所选投影面高出参考椭球面的平均高程，Y_m为所选边端点自然横坐标平均值，R_m系参考椭球面选定边长中点平均曲率半径，R与R_m取6371km；

水平距离归算到参考椭球面上的测距边长D₁＝D+ΔD₁，参考椭球面上的测距边投影到高斯平面上的长度D₂＝D₁+ΔD₂，于是边长综合变形为：

则推出归算边高斯投影变形量抵偿值，令Y₀点处的ΔD＝0，得：

H′_m为归算边高斯投影变形量抵偿值，则抵偿投影面的高程为H_m-H′_m；

由于Y′_m的选择需保证ΔD＝0，则存在如下关系：

得出：

通过公式即可确定中央子午线至测区投影重心位置的距离Y′_m。上述步骤2中Δl_W及Δl_E的求解方法为：

设定Y_min与Y_max位置变形量相等，即ΔD_E＝ΔD_W，得出，

将Y′_max＝Y′_m+Δl_E、Y′_min＝Y′_m-L+Δl_E与上式联立得到：

2Y′_m ²＝(Y′_m+Δl_E)²+(Y′_m-L+Δl_E)²

由于Y′_m及L已知，则可求出Δl_E的值为：

将Δl_E代入下式求出Δl_W：

Δl_W＝L-Δl_E。

本发明方法的最大适用范围为：

Y′_min＝Y_m-Δl′_W至Y′_max＝Y_m+Δl′_E

其中，Δl'_E为在做抵偿投影其东侧允许的最大适用范围，Δl'_W为在Y_m做抵偿投影其西侧允许的最大适用范围，

其中，ΔD_lim为规范规定的限差；Y_m为所选边端点自然横坐标平均值，R_m＝6371km，D₁为水平距离归算到参考椭球面上的测距边长。

本发明方法的最大适用范围的确定方法为：

所述方法投影所采用横坐标位置为Y′_m，该位置高斯投影计算公式：

当采用抵偿投影后，该点位置变形量便为0，基于Y_m列出Y_m以东任意位置的高斯投影计算公式：

式中Δl为偏离坐标位置，对上面两式求差得到：

按照规范规定限差要求为ΔD_lim，将上式ΔD_E用ΔD_lim替代求解出在Y_m做抵偿投影其东侧允许的最大适用范围Δl′_E：

然后求解西测允许范围为Δl′_W，将下式ΔD_W用ΔD_lim替代：

则求解出Δl'_W，

根据规范对最大投影变形量ΔD_lim的限差要求，确定抵偿投影最大适用范围为：

Y′_min＝Y_m-Δl′_W至Y′_max＝Y_m+Δl′_E

本发明的有益效果是，采用本发明基于最大投影变形最小标准的方法可以保证在测区的最远端投影变形达到最小化，相对现有方法，在同样的限制条件下，在保证最大投影变形最小化的同时，可在同一投影带具有更大的适用范围。

附图说明

图1是本发明减小任意带高斯正形投影变形的方法的曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的详细说明，但本发明并不限于这些实施方式。

本发明提供了一种基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯正形投影变形的方法，该方法基于最大投影变形最小标准，适用于对最大投影变形要求严格的工程。该方法包括以下步骤：

步骤1，确定中央子午线至测区投影重心位置距离Y′_m

任意带高斯正形投影，首先需要确定出中央子午线至测区参考位置的距离。其确定方法如下：

测距边长水平距离为D，水平距离归算至测区某一高程面H_p的边长变形值为ΔD₀，水平距离归算至参考椭球面上的变形ΔD₁，椭球面上的边长归算至高斯投影面上的变形ΔD₂。

上式中：H_m为边长归算所选投影面高出参考椭球面的平均高程，Y_m为所选边端点自然横坐标平均值，R_m系参考椭球面选定边长中点平均曲率半径，实用中一般采用地球平均曲率半径，R与R_m一般皆取为6371km。

水平距离归算到参考椭球面上的测距边长D₁＝D+ΔD₁，参考椭球面上的测距边投影到高斯平面上的长度D₂＝D₁+ΔD₂。

于是边长综合变形为：

则推出归算边高斯投影变形量抵偿值，令Y₀点处的ΔD＝0，得：

H′_m就是归算边高斯投影变形量抵偿值。则抵偿投影面的高程为H_m-H′_m。

Y′_m的选择需保证ΔD＝0，则存在如下关系：

得出：

由此确定出中央子午线至测区投影重心位置的距离Y′_m。

依据Y′_m重新定义测区中央子午线位置，并对测区坐标进行换带计算。

在习惯上一般认为Y′_m表达的是测区中央位置与所定义中央子午线的距离，当采用抵偿投影后，该位置变形量便为0，也就是说，当采用抵偿投影后，测区其他位置的投影变形量均是相对Y_m的。

步骤2，确定测区投影重心位置

在第一步确定出中央子午线至测区投影重心位置的距离Y′_m后，就需要确定Y′_m值所对应的测区参考位置。由于在大多数工程项目投影中，其限差标准一般是针对最大投影变形，同时高斯投影后的边长变形量沿横向呈二次曲线变化，将测区重心位置定义在测区中央，一般不能保证最大投影变形最小化，因此，本发明依据投影后最大投影变形最小化标准确定投影重心位置。

最大投影变形最小化，也就是最大投影变形max(ΔS_i)＝max(ΔD_E，ΔD_W)，ΔD_E和ΔD_W表示测区东、西两端最大高斯投影变形，显然只有ΔD_E＝ΔD_W方可保证最大投影变形最小，对于任意带投影，就需要依据所计算的Y′_m确定测区在满足ΔD_E＝ΔD_W前提下的测区重心位置。

由于子午线移动前Y_min与Y_max已知，其东西跨度为L＝Y_max-Y_min。下边依据已知的Y_m及L来确定Δl_W及Δl_E。设定Y_min与Y_max位置变形量相等，即ΔD_E＝ΔD_W，得出。

则：

将Y′_max＝Y′_m+Δl_E，Y′_min＝Y′_m-L+Δl_E，代入上式：

2Y′_m ²＝(Y′_m+Δl_E)²+(Y′_m-L+Δl_E)²

由于Y′_m及L已知，容易求出Δl_E。

设X＝Y′_m-L，则：

将X＝Y′_m-L代入:

解出Δl_E的值为：

在这里Δl_E只取正值：

将Δl_E代入下式求出Δl_W：

Δl_W＝L-Δl_E

将Δl_E和Δl_W分别代入Y′_max＝Y′_m+Δl_E和Y′_min＝Y′_m-Δl_W，便可求出测区在新的投影带中的位置，新坐标与老坐标中横坐标变化值ΔY＝Y′_max-Y_max，或者那么测区重心位置横坐标Y_g在源平面坐标系中为Y_g＝Y_m+ΔY-(Y_m-Y′_m)，则

Y_g＝Y′_m+ΔY

由此确定出投影重心位置，在使用中，所定义中央子午线至测距距离Y′_m系相对于投影重心位置Y_g。

步骤3，测区新的中央子午线位置确定

根据以上确定好的投影重心位置Y_g，就可确定出新的中央子午线至原子午线的距离为Y_g-Y′_m＝ΔY。

通过大地反算，便可确定出新中央子午线的大地经度，大地经度计算公式如下：

其中：B_f为底点纬度，也就是当x＝X时的子午线弧长所对应的纬度。

按照子午线弧长公式：迭代进行计算；

t_f＝tanB_f；

由此确定的新的中央子午线经度为：

M＝l+M₀

其中M₀为原中央子午线经度，由此便可确定出测区新的中央子午线位置M。

将中央子午线设置到M，将测区坐标转换到该中央子午线下进行投影计算，实现最大投影变形最小化准则下的任意带高斯正形投影。

步骤4，将原投影带平面坐标转换至新投影带

步骤3确定新的中央子午线M后，由于原平面坐标是相对于原中央子午线M₀计算而来，就需要将原投影带M₀下的平面坐标(x₀、y₀)转换到新的投影带M下的平面坐标(x、y)。

方法是先根据原投影带的平面坐标(x₀、y₀)和中央子午线的经度L₀。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标(B、L)，然后根据(B、L)和新投影带中的中央子午线经度M，按高斯投影坐标正算公式求得在新投影带中的平面坐标(x、y)。

至此完成了中央子午线至测区投影重心位置距离Y′_m的确定，测区投影重心位置的确定，测区新的中央子午线位置确定以及投影换带计算，经过以上步骤，测区东、西两侧最远端投影变形达到最小化，容易满足要求最大投影变形最小化的工程需求。

本发明还确定了该方法的最大适用范围，具体方法如下：

该方法投影所采用横坐标位置为Y′_m，该位置高斯投影计算公式为：

当采用抵偿投影后，该点位置变形量便为0，也就是说，当采用抵偿投影后，测区其他位置的投影变形量均是相对Y_m的。基于Y_m列出Y_m以东任意位置的高斯投影计算公式为：

式中Δl'_E为投影重心以东允许的最大适用范围，我们对上面两式求差：

按照规范规定限差要求为ΔD_lim，将上式ΔD_E用ΔD_lim替代，则有：

Δl'_E就是所求出的在Y_m做抵偿投影其东侧允许的最大适用范围。设定西测允许范围为Δl′_W，则：

同样将上式ΔD_W用ΔD_lim，则有：

由以上步骤求得选定抵偿投影方案在测区东西两侧允许的最大适用范围，因此，为了满足规范对最大投影变形量ΔD_lim的限差要求，抵偿投影不宜超过如下范围：

Y′_min＝Y_m-Δl′_W至Y′_max＝Y_m+Δl′_E。

为了确定任意指定位置的投影变形量，设定任意位置为Y_i，则Δl'＝Y_m-Y_i，将Δl'用Y_m-Y_i替代，容易得出任意位置投影变形量计算公式为：

下边列出以Y_m＝116km确定的参数抵偿投影后的变形情况，见图1。

由图1可看出，在所选择的抵偿投影位置116km处，其变形量为0，参照每公里允许变形量最大值ΔD_lim＝2.5cm，则：

Y_min＝Y_m-Δl′_W＝106895(m)

Y_max＝Y_m+Δl′_E＝124441(m)

这个项目的最大允许跨度为Δl′_E+Δl′_W＝17.55km。

通过该方法在减小任意带投影变形方面具有较大优势，精密测距边长具有很高的观测精度，通过将归算成果与精密测距成果进行对比，以进行精度判定，具体结果见表1。

表1 相对传统方法边长比较表

通过上表结果可看出，采用本发明的方法计算的成果更优。

本发明以上描述只是部分实施例，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式。上述的具体实施方式是示意性的，并不是限制性的。凡是采用本发明的材料和方法，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，所有具体拓展均属本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯投影变形方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，确定中央子午线至测区投影重心位置距离Y′_m

通式公式确定中央子午线至测区投影重心位置的距离Y′_m，式中，H_m为边长归算所选投影面高出参考椭球面的平均高程，R＝6371km；

步骤2，确定测区投影重心位置Y_g

依据子午线移动前已知的Y′_m及L求解测区投影重心位置Y_g以东及以西的测区范围值Δl_E及Δl_W：

${\mathrm{\Δl}}_E=\frac{-(2Y_m^{\′}-(Y_{max}-Y_{\min }\left)\right)+\sqrt{{\[2Y_m^{\′}-(Y_{max}-Y_{\min })\]}^2+2\[2Y_m^{\′}-(Y_{max}-Y_{\min })\](Y_{max}-Y_{\min })}}{2}$

Δl_W＝(Y_max-Y_min)-Δl_E

式中Y_max、Y_min分别为测区最大及最小横坐标自然值；

将Δl_E和Δl_W分别代入Y′_max＝Y′_m+Δl_E和Y′_min＝Y′_m-Δl_W，求出测区在新的投影带中的位置，新坐标与老坐标中横坐标变化值ΔY＝Y′_max-Y_max，或者则测区重心位置横坐标Y_g在源平面坐标系中为Y_g＝Y_m+ΔY-(Y_m-Y′_m)，则有Y_g＝Y′_m+ΔY，由此确定出投影重心位置Y_g；

步骤3，测区新的中央子午线位置确定

根据投影重心位置Y_g，得到新的中央子午线至原子午线的距离为Y_g-Y′_m＝ΔY，通过大地反算，得到新中央子午线的大地经度M＝l+M₀，其中M₀为原中央子午线经度，l通过下式计算，

$\begin{array}{c}l=\frac{\mathrm{\Δ}Y}{N_f{\mathrm{cosB}}_f}-\frac{{\mathrm{\ΔY}}^3}{6N_f^3{\mathrm{cosB}}_f}\left(1+2t_f^2+{\mathrm{\η}}_f^2\right)\\ +\frac{{\mathrm{\ΔY}}^5}{120N_f^5{\mathrm{cosB}}_f}\left(5+28t_f^2+24t_f^4+6{\mathrm{\η}}_f^2+8{\mathrm{\η}}_f^2{t}_t^2\right);\end{array}$

步骤4，将原投影带平面坐标转换至新投影带

将中央子午线设置到M，将测区坐标转换到该中央子午线L下进行投影计算，便可减小任意带高斯正形投影变形。

2.根据权利要求1所述的基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯投影变形方法，其特征在于，步骤2所述Δl_W及Δl_E的求解方法为：

设定Y_min与Y_max位置变形量相等，即ΔD_E＝ΔD_W，得出，

$D_1\left(\frac{{Y_m^{\′}}^2}{2R_m^2}\right)-D_1\left(\frac{{Y_{\min }}^2}{2R_m^2}\right)=D_1\left(\frac{Y_{\max }^2}{2R_m^2}\right)-D_1\left(\frac{{Y_m^{\′}}^2}{2R_m^2}\right)$

将Y′_max＝Y′_m+Δl_E、Y′_min＝Y′_m-L+Δl_E与上式联立得到：

${2Y}_m^{\′2}={(Y_m^{\′}+\mathrm{\Δ}{l}_E)}^2+{(Y_m^{\′}-L+\mathrm{\Δ}{l}_E)}^2$

由于Y′_m及L已知，则可求出Δl_E的值为：

${\mathrm{\Δl}}_E=\frac{-(2Y_m^{\′}-L)+\sqrt{{(2Y_m^{\′}-L)}^2+2(2Y_m^{\′}-L)L}}{2}$

将Δl_E代入下式求出Δl_W：

Δl_W＝L-Δl_E。

3.根据权利要求1或2所述的基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯投影变形方法，其特征在于，所述方法的最大适用范围为

Y′_min＝Y_m-Δl′_W至Y′_max＝Y_m+Δl′_E

其中，Δl′_E为在Y_m做抵偿投影其东侧允许的最大适用范围，Δl′_W为在Y_m做抵偿投影其西侧允许的最大适用范围，

${\mathrm{\Δl}}_E^{\′}=\sqrt{2\·R_m^2\frac{{\mathrm{\ΔD}}_{\lim }}{D_1}+Y_m^2}-Y_m$

${\mathrm{\Δl}}_W^{\′}=-\sqrt{-2\·R_m^2\frac{{\mathrm{\ΔD}}_{\lim }}{D_1}+Y_m^2}+Y_m;$

其中，ΔD_lim为规范规定的限差；Y_m为所选边端点自然横坐标平均值，R_m＝6371km，D₁为水平距离归算到参考椭球面上的测距边长。

4.根据权利要求3所述的基于最大投影变形最小标准减小任意带高斯投影变形方法，其特征在于，所述最大适用范围的确定方法为：

所述方法投影所采用横坐标位置为Y′_m，该位置高斯投影计算公式：

${\mathrm{\ΔD}}_M=D_1\left(\frac{Y_m^2}{2R_m^2}\right)$

当采用抵偿投影后，该点位置变形量便为0，基于Y_m列出Y_m以东任意位置的高斯投影计算公式：

${\mathrm{\ΔD}}_l=D_1\left(\frac{{(Y_m+{\mathrm{\Δl}}_E^{\′})}^2}{2R_m^2}\right)$

式中Δl为偏离坐标位置，对上面两式求差得到：

${\mathrm{\ΔD}}_E=D_1\left(\frac{{\left(Y_m+{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}\right)}^2}{2R_m^2}\right)-D_1\left(\frac{Y_m^2}{2R_m^2}\right)=D_1\left(\frac{2{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}\·Y_m+{{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}}^2}{2\·R_m^2}\right)$

按照规范规定限差要求为ΔD_lim，将上式ΔD_E用ΔD_lim替代求解出在Y_m做抵偿投影其东侧允许的最大适用范围Δl′_E：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔD}}_{\lim }=D_1\left(\frac{2{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}\·Y_m+{{\mathrm{\Δl}}_E}^2}{2\·R_m^2}\right)\\ \⇒{{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}}^2+2{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}\·Y_m+Y_m^2=2\·R_m^2\frac{{\mathrm{\ΔD}}_{\lim }}{D_1}+Y_m^2\end{array}$

$\⇒{\mathrm{\Δl}}_E^{\′}=\sqrt{2\·R_m^2\frac{{\mathrm{\ΔD}}_{\lim }}{D_1}+Y_m^2}-Y_m$

然后求解西测允许范围为Δl′_W，将下式ΔD_W用ΔD_lim替代：

${\mathrm{\ΔD}}_W=D_1\left(\frac{Y_m^2}{2R_m^2}\right)-D_1\left(\frac{{(Y_m-{\mathrm{\Δl}}_W^{\′})}^2}{2R_m^2}\right)=D_1\left(\frac{-({{\mathrm{\Δl}}_W^{\′}}^2-2{\mathrm{\Δl}}_W^{\′}\·Y_m)}{2\·R_m^2}\right)$

则求解出Δl′_W，

${\mathrm{\Δl}}_W^{\′}=-\sqrt{-2\·R_m^2\frac{{\mathrm{\ΔD}}_{\lim }}{D_1}+Y_m^2}+Y_m$

根据规范对最大投影变形量ΔD_lim的限差要求，确定抵偿投影最大适用范围为：

Y′_min＝Y_m-Δl′_W至Y′_max＝Y_m+Δl′_E。