CN105809743B - 一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法。本发明首先对用户输入的网格进行均匀采样，得到关键点，然后计算关键点处的特征，从而得到关键点处的局部标架。再进行关键点之间的两两配对，并通过其各自的局部标架计算配对所需的变换，为了从这些变换中检测出模型上显著存在的对称和orbit，本发明在变换的对数空间中对这些变换进行聚类及拟合，所得到的聚类中心在经过检验和校正后即为所求的对称变换，而所得到的有效的一维及高维orbit拟合结果即为所求的orbit变换。本发明方法能处理任意形状的网格模型及复杂的三维场景，在一个灵活统一的框架下同时实现了对称检测和orbit检测，并能保证在变化模型摆放和位置的情况下始终得到相同的检测结果。

Description

一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法

技术领域

本发明属于几何处理领域中技术，尤其是涉及了一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，实现局部的、允许误差存在的对称和orbit检测。

技术背景

对称和orbit检测在几何处理和建模领域意义重大，对称及orbit信息基于模型中的高级语义，对称及oribt检测是对模型进行结构化理解和操作的基础。之前也有方法研究如何进行对称和orbit检测，但它们都有其局限性。

目前的局部对称及orbit检测方法有各自的不足：

1、传统的方法没有注意到模型摆放、位置对模型对称性检测的影响。做为模型的固有特性，模型中存在的对称及orbit不应该随着模型摆放和位置的变化而变化。已往的方法无法做到这一点；

2、以往的方法有的只能检测相似变换中某一种变换(如旋转、反射)的对称，有的只能检测对称和orbit中的一种，没有一个统一的框架；

3、[MITRA,N.J.,GUIBAS,L.,AND PAULY,M.2006.Partial and approximatesymmetry detection for 3D geometry.ACM Trans.Graph.25,3,560–568.]提出了一种局部对称的检测方法，能检测相似变换下的对称；[PAULY,M.,MITRA,N.J.,WALLNER,J.,POTTMANN,H.,AND GUIBAS,L.2008.Discovering structural regularity in 3D ge-ometry.ACM Trans.Graph.27,3,43:1–11.]提出了一种orbit的检测方法，能检测相似变换下的orbit。但这两种方法的检测结果受到模型摆放和位置变化的影响，并且对称和orbit的检测是分开进行的。

4、[LIPMAN,Y.,CHEN,X.,DAUBECHIES,I.,AND FUNKHOUSER,T.2010.Symmetryfactored embedding and distance.ACM Trans.Graph.29,4(July),103:1–103:12.]提出了一种刚体变换下的对称检测方法；以及[BOKELOH,M.,BERNER,A.,WAND,M.,SEIDEL,H.-P.,AND SCHILLING,A.2009.Symmetry detection using linefeatures.Comp.Graph.Forum 28,2,697–706.]提出了反射对称的检测方法。这几种方法针对于相似变换的某一种变换，针对性的解决了该种类型的对称检测，但都不能推广到相似变换，从而限制了它们的应用；

5、对称检测在三维建筑及三维城市建模中也有一些研究。但是这些研究针对输入模型的特点做了一些特殊处理，因而不适用于处理其它类型的模型。

发明内容

针对背景技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法。本发明方法能处理任意形状的网格模型，及复杂的三维场景，在一个灵活统一的框架下同时实现了对称检测和orbit检测，并且检测的结果不会因为模型摆放和位置的变化而改变。

为实现上述的目的，本发明采用的技术方案如下步骤：

1)输入流形表面三角形网格M，对流形表面三角形网格进行均匀采样，得到一组采样点的集合P；

2)对于每一个采样点p_i，p_i∈P，计算该采样点处的最大主曲率及最小主曲率，并以该采样点处的法向方向及两个主曲率方向建立正交的局部标架；剔除最小主曲率与最大主曲率的比值大于曲率阈值的采样点，剩下的采样点作为关键点，获得关键点集合每个关键点处的局部标架为并建立每个关键点的邻域

3)从关键点集合中随机采样得到一个子集P′，p′_i和分别表示关键点集合和子集P′中的任意一点，p′_i∈P′,将点p′_i和点处的邻域对进行两两对齐，得到初始对齐变换矩阵其中初始对齐变换矩阵的放缩量为 分别为点p′_i处的最小主曲率与最大主曲率，分别为点处的最小主曲率与最大主曲率，初始对齐变换矩阵的旋转和平移部分则通过对齐点p′_i处的局部标架F′_i和点处的局部标架得到；然后判断各个初始对齐变换矩阵的有效性，剔除无效的初始对齐变换矩阵将有效的初始对齐变换矩阵构成集合{T}；

4)将集合{T}中的有效对齐变换矩阵T进行参数化，即将有效对齐变换矩阵T映射到其对数空间log(T)，并将log(T)重新组织为七维的向量δ；其中，向量δ表示为(ω,u,λ)^T，ω对应于变换中的旋转部分，u对应于变换中的平移部分，λ对应于变换中的放缩部分；

5)在对数空间中，对所有向量δ通过均值偏移算法沿着概率梯度的上升方向寻找分布的峰值，得到聚类中心点；

6)对所有向量δ进行RANSAC拟合，得到k维orbit的基变换，如果支持拟合结果的向量δ多于拟合阈值，则确定该orbit存在于流形表面三角形网格M的模型中并作为结果进行显示；否则确定不存在于模型中，不进行显示；

在对数空间中，所述k维orbit的所有基变换表示为一个7×k的矩阵G＝(δ₁,...,δ_k)，k维orbit中的任意变换表示为Gr，r是一个k维的实数向量；

7)将步骤5)中得到的聚类中心点从对数空间映射回原空间得到聚类后的对齐变换矩阵T_c，找到聚类后的对齐变换矩阵T_c对应的点对p′_i和从点p′_i和点同时出发向外依次不断扩散一环邻域，直到扩散后的两个区域在聚类后的对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差大于重合阈值，则停止扩散；

扩散具体是：从点p′_i出发向外依次不断扩散一环邻域，从点出发也向外扩散一环邻域，检测扩散得到的两个区域在聚类后的对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差，并判断是否小于等于重合阈值，是的话则沿着两个区域的边界再向外扩散一环邻域，再检测扩散得到的两个区域在聚类后的对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差是否小于等于重合阈值，重复以上过程，直到扩散得到的两个区域在聚类后的对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差大于重合阈值；

8)判断最后得到的两个区域的总面积是否大于显著阈值，如果最后得到的两个区域的总面积小于显著阈值，则判定聚类后的对齐变换矩阵T_c不是一个有效的对称，不进行显示；如果最后得到的两个区域的总面积大于等于显著阈值，则判定聚类后的对齐变换矩阵T_c是流形表面三角形网格M的模型中存在的一个有效的对称，作为结果进行显示。

所述步骤3)中判断各个初始对齐变换矩阵的有效性具体采用以下方式：如果点p′_i的邻域R′_i和点的邻域在初始对齐变换矩阵的作用下得到的对齐误差小于等于对齐阈值，则初始对齐变换矩阵视为有效；如果点p′_i的邻域R′_i和点的邻域在初始对齐变换矩阵的作用下得到的对齐误差大于对齐阈值，则初始对齐变换矩阵视为无效，而所有有效的初始对齐变换矩阵作为有效对齐变换矩阵T，并构成集合{T}。

所述的对齐误差采用以下方式计算：将初始对齐变换矩阵作用到点p′_i的邻域R′_i获得的邻域作为对齐的输入，将邻域作为对齐的目标，采用迭代就近点算法计算邻域到邻域的平均最近点距离作为对齐误差。

所述步骤2)中关键点采用以下方式建立得到局部标架：局部标架的第一维沿着法向方向，第二维沿着最大主曲率方向，第三维沿着最小主曲率方向，并且最小主曲率的朝向使标架符合右手准则。

所述步骤2)中关键点的邻域采用以下方式建立：以每个关键点为球心，做包围球，三角形网格在包围球内的部分做为该关键点的邻域。

所述步骤4)中，对齐变换矩阵T参数化映射到δ＝(ω,u,λ)^T具体是采用以下公式进行获得：

其中，R是T中的旋转部分，t是T中的平移部分，s是T中的放缩部分，而θ是角度中间变量，X是正弦中间变量，Y是余弦中间变量，Z是正弦余数中间变量，W是余弦余数中间变量，μ是伸缩中间变量，v是三角余数中间变量，V是平移中间变量。

所述步骤5)中，均值偏移算法的核函数采用标准的高斯核函数，所述对数空间中的两个向量δ之间的距离通过以下公式进行计算：

其中，ε表示平滑阈值，用来解决当ω接近于零时定义的有效性，a,β,γ分别表示旋转分量权重、平移分量权重和放缩分量权重，是运算时产生的中间变量。

所述步骤6)中，所述对数空间中的七维向量δ到k维orbit之间的距离通过以下公式进行计算：

其中，F是三维标架，R_F是F中的旋转部分，t_F是F中的平移部分，Ad_F是对数空间中七维向量表示δ的伴随算子，dist_G(δ)表示七维向量δ到k维orbit(该orbit的基变换为G)之间的距离。

所述步骤7)中，对数空间中的七维向量δ映射回到相似变换矩阵T具体是采用以下公式进行计算：

其中，R是T中的旋转部分，t是T中的平移部分，s是T中的放缩部分，而θ是角度中间变量，X是正弦中间变量，Y是余弦中间变量，Z是正弦余数中间变量，W是余弦余数中间变量，μ是伸缩中间变量，v是三角余数中间变量，V是平移中间变量。

本发明与背景技术相比，具有的有益效果是：

本发明方法能够做到检测结果不受模型的摆放和位置的影响，保证了检测结果的鲁棒性。

本发明方法适应于任意形状的模型与复杂场景，能够在一个统一的框架下同时检测对称和orbit。

本发明方法能够检测相似变换下所有变换形式的对称和orbit。

本发明方法可以用于对称和orbit检测，也可以进一步用于基于对称的模型修复，拼接等应用。

附图说明

图1是本发明的流程图。

图2是实施例输入模型的示意图。

图3是实施例关键点采样的示意图。

图4是实施例中检测出的对称结果示意图。

图5是实施例中检测出的orbit结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明,本发明的目的在于对模型中显著的局部对称和oribt进行检测。

如图1所示，本发明的实施例如下：

1)输入一个工业零件的流形表面三角形网格M的模型(如图2所示)，对流形表面三角形网格进行均匀采样，得到一组采样点的集合P(如图3中深黑色圆点所示，本实例中采样了1000个点)。

2)对于每一个采样点p_i，p_i∈P，计算该采样点处的最大主曲率及最小主曲率，并以该采样点处的法向方向及两个主曲率方向建立正交的局部标架；

剔除最小主曲率与最大主曲率的比值大于曲率阈值的采样点(本实例中为0.9)，剩下的采样点作为关键点，获得关键点集合每个关键点处的局部标架为并建立每个关键点的邻域其中，局部标架的第一维沿着法向方向，第二维沿着最大主曲率方向，第三维沿着最小主曲率方向，并且最小主曲率的朝向使标架符合右手准则。

3)从关键点集合中随机采样得到一个子集P′(本实例中子集包含200个点)，p′_i和分别表示关键点集合和子集P′中的任意一点，p′_i∈P′,将点p′_i和点处的邻域对进行两两对齐，得到初始对齐变换矩阵并筛选获得有效的初始对齐变换矩阵则构成集合{T}；

4)将集合{T}中的有效对齐变换矩阵T进行参数化，即将有效对齐变换矩阵T映射到其对数空间log(T)，并将log(T)重新组织为七维的向量形式δ，其中δ可以表示为(ω,u,λ)^T；

5)在对数空间中对所有变换运行均值偏移算法，沿着概率梯度的上升方向寻找分布的峰值，得到聚类的中心点。其中，均值偏移算法的核函数采用标准的高斯核函数，而平滑阈值ε＝1e^-6，旋转分量权重，平移分量权重和放缩分量权重分别为a＝1,β＝1,γ＝1。

6)在对数空间中，k维orbit的所有基变换可以表示为一个7×k的矩阵G＝(δ₁,...,δ_k)，而k维orbit中的任意变换可以表示为Gr，r是一个k维的实数向量。对所有向量δ进行RANSAC拟合，即可得到k维orbit的基变换，如果支持拟合结果的向量δ多于拟合阈值，则算法判定该orbit的确存在于模型中；本实例中，仅存在一维的orbit，因此，算法运行时设定k＝1。

推导证明三维标架F中的旋转部分R_F不会对dist_G(δ)的求解产生影响，因而δ到某一k维orbit的模型的距离最终转化为了一个二次优化问题来迭代求解t_F,r(迭代从r＝0开始)。本实例中，因为模型中仅存在一个orbit，所以算法在拟合得到该orbit后，因为拟合失败，终止了算法的运行。

7)将步骤5)中得到的聚类中心点从对数空间映射回原空间得到聚类后的对齐变换矩阵T_c，找到聚类后的对齐变换矩阵T_c对应的点对p′_i和从点p′_i出发向外扩散一环邻域，从点出发向外扩散一环邻域，检测扩散得到的两个区域在聚类后的对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差是否小于等于重合阈值(实施例中设定为模型中平均边长的2倍)，是的话则沿着两个区域的边界再向外扩散一环邻域，再检测扩散得到的两个区域在对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差是否小于等于重合阈值，重复以上过程，直到扩散得到的两个区域在对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差大于重合阈值；

8)显著阈值取模型总面积的十分之一，判断最后得到的区域面积是否大于显著阈值，如果最后得到的区域小于模型总面积的十分之一，则判定对齐变换矩阵T_c不是一个有效的对称，如果最后得到的区域大于等于模型总面积的十分之一，则判定对齐变换矩阵T_c是模型中存在的一个有效的对称。

实施例得到的对称检测结果如图4所示，黑色部分标记出了模型上的对称区域。注意到实施例中将模型旋转并沿着X轴平移之后，对称检测结果和图4所示完全一致，证明了算法与型摆放和位置无关的优势。

实施例得到的orbit检测结果如图5所示，实施例中检测得到了一个一维的orbit，该orbit对应的基变换为一个绕着旋转轴(0.548,0.104,0.830)^T旋转的旋转变换。图中用黑色的圆点及其连接线来标识该orbit。

由此可见，本发明技术效果显著突出，的确能准确检测出模型中存在的对称和orbit，并能处理任意形状的网格模型及复杂的三维场景，在变化模型摆放和位置的情况下能始终获得相同检测结果。

上述具体实施方式用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特点在于包括以下步骤：

1)输入流形表面三角形网格M，对流形表面三角形网格进行均匀采样，得到一组采样点的集合P；

2)对于每一个采样点p_i，p_i∈P，计算该采样点处的最大主曲率及最小主曲率，并以该采样点处的法向方向及两个主曲率方向建立正交的局部标架；

剔除最小主曲率与最大主曲率的比值大于曲率阈值的采样点，剩下的采样点作为关键点，获得关键点集合每个关键点处的局部标架为并建立每个关键点的邻域

3)从关键点集合中随机采样得到一个子集P′，和p′_i分别表示关键点集合和子集P′中的任意一点，p′_i∈P′,将点p′_i和点处的邻域对进行两两对齐，得到初始对齐变换矩阵其中初始对齐变换矩阵的放缩量为 分别为点p′_i处的最小主曲率与最大主曲率，分别为点处的最小主曲率与最大主曲率，初始对齐变换矩阵的旋转和平移部分则通过对齐点p′_i处的局部标架F_i′和点处的局部标架得到；

然后判断各个初始对齐变换矩阵的有效性，将有效的初始对齐变换矩阵构成集合{T}；

4)将集合{T}中的有效对齐变换矩阵T进行参数化获得对数空间下的七维向量δ；

其中，向量δ表示为(ω,u,λ)^T；

5)在对数空间中，对所有向量δ通过均值偏移算法沿着概率梯度的上升方向寻找分布的峰值，得到聚类中心点；

6)对所有向量δ进行RANSAC拟合，得到k维orbit的基变换，如果支持拟合结果的向量δ多于拟合阈值，则确定该orbit存在于流形表面三角形网格M的模型中并作为结果进行显示；否则确定不存在于模型中，不进行显示；

在对数空间中，所述k维orbit的所有基变换表示为一个7×k的矩阵G＝(δ₁,...,δ_k)，k维orbit中的任意变换表示为Gr，r是一个k维的实数向量；

7)将步骤5)中得到的聚类中心点从对数空间映射回原空间得到聚类后的对齐变换矩阵T_c，找到聚类后的对齐变换矩阵T_c对应的点对p′_i和从点p′_i和点同时出发向外依次不断扩散一环邻域，直到扩散后的两个区域在聚类后的对齐变换矩阵T_c作用下对齐误差大于重合阈值，则停止扩散；

8)判断最后得到的两个区域的总面积是否大于显著阈值，如果最后得到的两个区域的总面积小于显著阈值，则判定聚类后的对齐变换矩阵T_c不是一个有效的对称，不进行显示；如果最后得到的两个区域的总面积大于等于显著阈值，则判定聚类后的对齐变换矩阵T_c是流形表面三角形网格M的模型中存在的一个有效的对称，作为结果进行显示。

2.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤3)中判断各个初始对齐变换矩阵的有效性具体采用以下方式：如果点p′_i的邻域R′_i和点的邻域在初始对齐变换矩阵的作用下得到的对齐误差小于等于对齐阈值，则初始对齐变换矩阵视为有效；如果点p′_i的邻域R′_i和点的邻域在初始对齐变换矩阵的作用下得到的对齐误差大于对齐阈值，则初始对齐变换矩阵视为无效，而所有有效的初始对齐变换矩阵作为有效对齐变换矩阵T，并构成集合{T}。

3.根据权利要求2所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述的对齐误差采用以下方式计算：将初始对齐变换矩阵作用到点p′_i的邻域R′_i获得的邻域作为对齐的输入，将邻域作为对齐的目标，采用迭代就近点算法计算邻域到邻域的平均最近点距离作为对齐误差。

4.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤2)中关键点采用以下方式建立得到局部标架：局部标架的第一维沿着法向方向，第二维沿着最大主曲率方向，第三维沿着最小主曲率方向，并且最小主曲率的朝向使标架符合右手准则。

5.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤2)中关键点的邻域采用以下方式建立：以每个关键点为球心，做包围球，三角形网格在包围球内的部分做为该关键点的邻域。

6.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤4)中，有效对齐变换矩阵T参数化映射到δ＝(ω,u,λ)^T具体是采用以下公式进行获得：

其中，R是T中的旋转部分，t是T中的平移部分，s是T中的放缩部分，θ是角度中间变量，X是正弦中间变量，Y是余弦中间变量，Z是正弦余数中间变量，W是余弦余数中间变量，μ是伸缩中间变量，v是三角余数中间变量，V是平移中间变量。

7.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤5)中，均值偏移算法的核函数采用标准的高斯核函数，在均值偏移算法中对数空间中的两个向量δ之间的距离通过以下公式进行计算：

其中，ε表示平滑阈值，用来解决当ω接近于零时定义的有效性，a,β,γ分别表示旋转分量权重、平移分量权重和放缩分量权重，是运算时产生的中间变量。

8.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤6)中，在RANSAC拟合中对数空间中的七维向量δ到k维orbit之间的距离通过以下公式进行计算：

其中，F是三维标架，R_F是F中的旋转部分，t_F是F中的平移部分，Ad_F是对数空间中七维向量表示δ的伴随算子，dist_G(δ)表示七维向量δ到k维orbit之间的距离。

9.根据权利要求1所述的一种基于变换对数空间的对称及orbit检测方法，其特征在于：所述步骤7)中，对数空间中的七维向量δ映射回到相似变换矩阵T具体是采用以下公式进行计算：

其中，R是T中的旋转部分，t是T中的平移部分，s是T中的放缩部分，而θ是角度中间变量，X是正弦中间变量，Y是余弦中间变量，Z是正弦余数中间变量，W是余弦余数中间变量，μ是伸缩中间变量，v是三角余数中间变量，V是平移中间变量。