CN105790769A - 基于离散椭球序列的随机解调方法 - Google Patents

Abstract

基于离散椭球序列的随机解调方法，涉及压缩采样技术领域，具体涉及一种信号的随机解调方法。为了解决现有的随机解调系统利用DFT矩阵对信号进行稀疏表示存在的基不匹配导致随机解调系统重构信号时存在较大误差的问题，本发明首先将信号的频谱等分为L份，构造对角矩阵E(f_c[l])，依据信号长度及归一化带宽构造一组DPSS向量，然后构造一组调制DPSS矩阵Ψ_l，并构造形成DPSS稀疏表示矩阵Ψ；根据随机解调采样结构得到信号的压缩采样值，得到有限观测值y；最后利用压缩感知信号恢复方法基于有限观测值y进行信号恢复，得到原信号x。本发明适用于信号的随机解调。

Description

基于离散椭球序列的随机解调方法

技术领域

本发明涉及压缩采样技术领域，具体涉及一种信号的随机解调方法。

背景技术

随机解调系统是基于压缩感知(CompressedSensing，CS)针对稀疏多频率信号实现压缩采样及精确重构的新型采样结构，可以以远低于信号奈奎斯特频率对信号进行采样，以较少的观测值精确恢复原信号。随机解调系统如图1所示。

连续时间信号x(t)可表示为

x(t)＝∑_ω∈Λa_ωe^-2πjωt,t∈[0,1)

其中，a_ω表示幅度信息。Λ是一组整数频率集合，并且满足

$\mathrm{\Λ}\⋐\{0,\±1,\±2,\mathrm{...},\±(\frac{{\mathrm{\ω}}_N}{2}-1),\frac{{\mathrm{\ω}}_N}{2}\}$

随机解调系统假设输入信号的频率个数K＝|Λ|、信号的奈奎斯特频率ω_N满足K＜＜ω_N，即满足稀疏性假设。

输入随机序列定义为

$p\left(t\right)={\mathrm{\β}}_n,t\∈\[\frac{n}{{\mathrm{\ω}}_N},\frac{n+1}{{\mathrm{\ω}}_N}),n=0,1,\mathrm{...},{\mathrm{\ω}}_N-1$

其中，β_n以相同的概率取值为1或-1。

根据采样原理，定义x(n)为x(t)在时间1/ω_N内积分值，

$x\left(n\right)={\∫}_{t_n}^{t_n+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_N}}x\left(t\right)dt$

代入原信号表达式，

$x\left(n\right)=\underset{\mathrm{\ω}\∈\mathrm{\Λ}}{\Σ}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{\ω}}{e}^{-2\mathrm{\π}j\mathrm{\ω}\frac{n}{{\mathrm{\ω}}_N}},n=0,1,\mathrm{...},{\mathrm{\ω}}_N-1$

此处， ${\mathrm{\α}}_{\mathrm{\ω}}=a_{\mathrm{\ω}}\frac{e^{-2\mathrm{\π}j\mathrm{\ω}/{\mathrm{\ω}}_N}-1}{2\mathrm{\π}j\mathrm{\ω}}$

离散时间序列x(n)可视为连续时间信号的奈奎斯特采样序列。根据奈奎斯特采样定理x(n)与x(t)有唯一的对应关系。因而，随机解调系统的目的是建立压缩采样值y(n)与x(n)之间的关系。

定义离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform,DFT)矩阵F，其维数为ω_N×ω_N，或简记为N×N。

此处，ω＝0,±1,±2,...,±(ω_N/2-1),ω_N/2，对应信号带宽内所有可能的整数频率分量。因此，可以将离散时间序列x(n)表示为

x＝Fα

随机±1波形与原信号相乘，其对x(n)作用可以用如下对角矩阵表示

假设降采样率为R，并假设ω_N/R为整数，则降采样过程可以理解为对连续ω_N/R个相乘后的离散点进行求和。以ω_N＝12、R＝3为例，降采样过程可以用矩阵H等效。

$H=\left[\begin{array}{ccc}1111& & \\ & 1111& \\ & & 1111\end{array}\right]$

从而得到如下关系式

y＝HDFα＝ΦFα＝Φx

其中，Φ＝HD，其维数为m×ω_N，定义为随机解调系统的观测矩阵；根据CS理论,只要观测点数满足一定的条件,通过正交匹配追踪(OrthogonalMatchingPursuit，OMP)方法可以经由观测值y精确重构原信号x

随机解调系统利用DFT矩阵对信号进行稀疏表示，每一列可以理解为一个频率信号，如果未知信号的频率成分正好对应DFT矩阵的某一列，则随机解调系统可以实现信号的精确重构。如果未知信号的频率成分无法对应DFT矩阵的任意一列，则该信号在此DFT矩阵的表示下不再严格稀疏，而是近似稀疏。此时随机解调系统重构信号时存在较大的误差。这种现象称为基不匹配，或者基的失配，DFT矩阵作为假定的信号稀疏表示基与信号真实的稀疏表示基存在差别。因为实际测量时，未知信号的频率成分经常是随机且未知的，因而无法预先构造合适的DFT矩阵，这样就限制了随机解调系统的应用。

发明内容

为了解决现有的随机解调系统利用DFT矩阵对信号进行稀疏表示存在的基不匹配导致随机解调系统重构信号时存在较大误差的问题。进而提出了一种基于离散椭球序列的随机解调方法。

基于离散椭球序列的随机解调方法，包括以下步骤：

步骤1、将信号的频谱等分为L份；信号的分割方式如图2所示，每一份的宽度为ω_B；

步骤2、给定信号长度N，定义归一化带宽W＝ω_BT_s/2，归一化中心频率f_c[l]＝ω_c[l]T_s；其中，T_s为采样时间间隔；ω_c[l]为没有经过归一化的中心频率；

步骤3、构造一组共计L个N×N维对角矩阵E(f_c[l])，其主对角线元素为 $e(f_c\[l\])={\[e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\]0},e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\]1},\mathrm{...},e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\](N-1)}\]}^T;$ 其中j表示复数的虚数部分；

步骤4、依据信号长度N及归一化带宽W，构造一组DPSS向量，一组DPSS向量中的向量个数为k，向量维数为N×1；并根据DPSS向量构造DPSS矩阵S，其维数为N×k；

步骤5、根据步骤3和步骤4的结果，构造一组个数为L的调制DPSS矩阵Ψ_l＝E(f_c[l])·S；

并根据调制DPSS矩阵Ψ_l构造形成DPSS稀疏表示矩阵Ψ＝{Ψ₀,…,Ψ_l,…Ψ_L-1}，其维数为N×kL；

步骤6、根据随机解调采样结构得到信号的压缩采样值，得到有限观测值y＝HDΨα＝ΦΨα＝Φx；其中，Φ为随机解调系统的观测矩阵；

步骤7、利用压缩感知信号恢复方法基于有限观测值y进行信号恢复，得到原信号x。

本发明具有以下有益效果：

本发明基于DPSS矩阵的信号重构能够较好的恢复原信号的频谱信息，这是因为DPSS稀疏表示是建立在一个个独立的窄带信号基础之上的，仍然满足严格稀疏模型，只要系统参数满足一定的关系，就可以实现信号的精确重构。这样就避免了使用DFT矩阵分析所带来的频谱泄露现象。

发明方法的恢复信号信噪比、均方误差较传统基于DFT进行稀疏表示的随机解调系统有大幅提高；以频率个数为3为例，恢复信噪比由8.7723提高到51.6986，提高近6倍。均方误差由7.2354e-2降低为5.1660e-4，提高近2个数量级。信号的频率成分随机生成，本发明方法恢复信噪比优于50dB，总能够根据随机解调系统的观测值精确恢复原信号。本发明方法尤其适用于对信号频率成分无任何先验信息的场合，如未知载频的窄带通信、雷达或地球物理中的慢变扫频等领域。

附图说明

图1为随机解调系统结构示意图；

图2为信号频谱分块示意图；

图3(a)为原信号信号时域波形图；

图3(b)为DPSSRD重构信号时域波形图；

图3(c)为DFTRD重构信号时域波形图；

图4为原信号与重构信号频域对比全局视图；

图5中圆圈标注部分局部视图。

具体实施方式

具体实施方式一：

基于离散椭球序列的随机解调方法，包括以下步骤：

步骤1、将信号的频谱等分为L份；信号的分割方式如图2所示，每一份的宽度为ω_B；

步骤2、给定信号长度N，定义归一化带宽W＝ω_BT_s/2，归一化中心频率f_c[l]＝ω_c[l]T_s；其中，T_s为采样时间间隔；ω_c[l]为没有经过归一化的中心频率；

步骤3、构造一组共计L个N×N维对角矩阵E(f_c[l])，其主对角线元素为 $e(f_c\[l\])={\[e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\]0},e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\]1},\mathrm{...},e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\](N-1)}\]}^T;$ 其中j表示复数的虚数部分；

步骤4、依据信号长度N及归一化带宽W，构造一组DPSS向量，一组DPSS向量中的向量个数为k，向量维数为N×1；并根据DPSS向量构造DPSS矩阵S，其维数为N×k；

步骤5、根据步骤3和步骤4的结果，构造一组个数为L的调制DPSS矩阵Ψ_l＝E(f_c[l])·S；

并根据调制DPSS矩阵Ψ_l构造形成DPSS稀疏表示矩阵Ψ＝{Ψ₀,…,Ψ_l,…Ψ_L-1}，其维数为N×kL；

步骤6、根据随机解调采样结构得到信号的压缩采样值，得到有限观测值y＝HDΨα＝ΦΨα＝Φx；其中，Φ为随机解调系统的观测矩阵；

步骤7、利用压缩感知信号恢复方法基于有限观测值y进行信号恢复，得到原信号x。

具体实施方式二：

实施方式步骤1所述的将信号的频谱等分为L份中的L与信号稀疏度的关系满足L∝10²K；其中K为频率成分。

其他步骤和参数与实施方式一相同。

具体实施方式三：

实施方式步骤4所述的向量个数k＝2NW+2。

其他步骤和参数与实施方式一或二相同。

具体实施方式四：

实施方式所述的步骤2所述的ω_c[l]＝-ω_N/2+(l+0.5)ω_B，l∈{0,1,...,L-1}，其中ω_N是奈奎斯特频率。

其他步骤和参数与实施方式三相同。

实施例

将本发明方法(记为DPSSRD)和传统的基于DFT矩阵进行信号稀疏表示的随机解调系统(记为DFTRD)进行比较。

步骤a：产生信号

信号的奈奎斯特频率f_NYQ＝1.024kHz，根据图2对信号x(t)进行建模。N＝2048，实验中选择k＝2。随机选取一组个数为K＝3的平移窄带信号，此时ω_B＝1Hz，等效稀疏信号维数L＝1024。并定义其索引集合为信号支撑集supp。

与supp对应的每一个平移窄带信号带宽内随机选择一组频率，个数为r≥1。ω_i＝-ω_B/2+(i-1)+rand(r,1),i∈supp

信号形式为

$x\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{rK-1}{\Σ}}\sqrt{i+1}{x}_i\left(t\right)=\underset{i=0}{\overset{rK-1}{\Σ}}\sqrt{i+1}sin\left(2{\mathrm{\π\ω}}_{i}t\right)$

步骤b：信号采样

通过图1所示随机解调系统进行采样，采样点数m＝256。

步骤c：信号恢复

仿真实验原信号用其奈奎斯特采样值序列x表示,T_s＝1/f_NYQ,其维数为N×1.重构信号为定义信噪比、均方误差来描述重构精度.信噪比定义形式为

$SNR=20log\frac{\left|\right|x|{|}_2}{\left|\right|x-\hat{x}|{|}_2}$

单位是dB.均方误差定义形式为

$MSE=\frac{1}{N}\left|\right|x-\hat{x}|{|}_2$

实验1：令r＝5,实验结果如图3(a)—图3(c)所示。

此实验条件下，DFTRD系统信号稀疏度为rK＝15，考虑到在非整数频率存在的条件下，原信号在DFT矩阵表示下不再严格稀疏，因而将对应OMP算法的迭代次数为设置为30，增加迭代次数，期望OMP算法能够找出泄露的频谱分量，从而提高重构信号的信噪比。

原信号及重构信号的时域结果如图3所示。从图3可以看出，DPSSRD系统重构得到的信号与原信号基本一致，而原DFTRD系统重构得到的信号和原信号有较大的差别。为更具体说明该结果，分别计算得到信噪比及均方误差，结果如表1所示。从表1的结果可以看出，DPSSRD系统的信号重构效果要远好于原DFTRD系统。

表1重构信号的SNR、MSE对比

重构信号的频域结果如图4、图5所示。信号频率成分的随机性,使得利用基于整数栅格化的DFT矩阵对信号做频谱分析时存在着频谱泄露现象。信号的频谱在相应整数频率分量处最大，而随着远离该整数频率分量，信号的频谱幅度呈现衰减趋势，因而只能作为近似稀疏信号来处理。而DFTRD系统仍然假定原信号是严格稀疏的，即只在有限整数谐波分量位置具有不为零的频谱，这就必然会导致较多频谱分量的丢失，从而带来较大的重构误差。而DPSSRD系统基于DPSS矩阵的信号重构则能够较好的恢复原信号的频谱信息，这是因为DPSS稀疏表示是建立在一个个独立的窄带信号基础之上的，仍然满足严格稀疏模型，只要系统参数满足一定的关系，就可以实现信号的精确重构。这样就避免了使用DFT矩阵分析所带来的频谱泄露现象。

从图4、图5中可见，本发明方法的恢复信号信噪比、均方误差较传统基于DFT进行稀疏表示的随机解调系统有大幅提高；信号的频率成分随机生成，本发明方法总能够根据随机解调系统的观测值精确恢复原信号。本发明方法尤其适用于对信号频率成分无任何先验信息的场合，如未知载频的窄带通信、雷达或地球物理中的慢变扫频等领域。

Claims (4)

1.基于离散椭球序列的随机解调方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、将信号的频谱等分为L份；每一份的宽度为ω_B；

步骤2、给定信号长度N，定义归一化带宽W＝ω_BT_s/2，归一化中心频率f_c[l]＝ω_c[l]T_s；其中，T_s为采样时间间隔；ω_c[l]为没有经过归一化的中心频率；

步骤3、构造一组共计L个N×N维对角矩阵E(f_c[l])，其主对角线元素为 $e(f_c\[l\])={\[e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\]0},e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\]1},...,e^{-j2{\mathrm{\πf}}_c\[l\](N-1)}\]}^T;$ 其中j表示复数的虚数部分；

步骤4、依据信号长度N及归一化带宽W，构造一组DPSS向量，一组DPSS向量中的向量个数为k，向量维数为N×1；并根据DPSS向量构造DPSS矩阵S，其维数为N×k；

步骤5、根据步骤3和步骤4的结果，构造一组个数为L的调制DPSS矩阵Ψ_l＝E(f_c[l])iS；

并根据调制DPSS矩阵Ψ_l构造形成DPSS稀疏表示矩阵Ψ＝{Ψ₀,…,Ψ_l,…Ψ_L-1}，其维数为N×kL；

步骤6、根据随机解调采样结构得到信号的压缩采样值，得到有限观测值y＝ΦΨα＝Φx；

其中，Φ为随机解调系统的观测矩阵；

步骤7、利用压缩感知信号恢复方法基于有限观测值y进行信号恢复，得到原信号x。

2.根据权利要求1所述的基于离散椭球序列的随机解调方法，其特征在于步骤1所述的将信号的频谱等分为L份中的L与信号稀疏度的关系满足L∝10²K；其中K为频率成分。

3.根据权利要求1或2所述的基于离散椭球序列的随机解调方法，其特征在于步骤4所述的向量个数k＝2·N·W+2。

4.根据权利要求3所述的基于离散椭球序列的随机解调方法，其特征在于步骤2所述的ω_c[l]＝-ω_N/2+(l+0.5)ω_B，l∈{0,1,...,L-1}，其中ω_N是奈奎斯特频率。