CN105760345A - 扩散型动态数据重构的奇异边界法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种扩散型动态数据重构的奇异边界法，适用于流体流动、传热传质和图像处理等有关扩散型数据的重构问题。该发明采用时间依赖基本解作为插值基函数，无需拉普拉斯变换或者有限差分法去离散时间项；采用了经验公式计算源点强度因子。本方法有效避免了现有标准的网格划分困难，也避免了数值积分处理。此外，利用插值矩阵的特殊结构，整个计算过程无需求解方程，极大地节省了计算时间和内存需求，降低了计算误差，提高了计算效率。该发明为扩散型动态数据的重构提供了新的，简单高效的工具。

Description

扩散型动态数据重构的奇异边界法

技术领域

本发明属于扩散型动态数据重构领域，具体涉及一种基于无网格奇异边界法的扩散型动态数据重构方法。

背景技术

扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域普遍地存在。因此，发展高精度、耗时少、计算简便的数值方法去处理扩散型动态数据具有非常重要的实际工程和应用价值。

纵观国内外重构扩散型动态数据的方法有有限元法、边界元法、及其一些无网格方法。有限元法需要对整个区域进行网格划分，对于瞬态问题来说这项工作相当费时费力。边界元法无需划分网格，只需对边界进行剖分，但涉及奇异积分和拟奇异积分的处理，相当麻烦，特别是对于这类瞬态问题来说涉及区域积分的计算。更重要的是上述两种方法需要采用Laplace变换或者有限差分法去处理时间项。基本解法作为一种无网格方法可有效进行扩散数据的处理，但是采用这个方法的弊端体现在：涉及虚拟边界的选取，虚拟边界的位置会严重影响解的精度；计算中需要求解两个方程组，这非常耗时且方程的求解会对结果带来一定误差(见：文献1D.Young,C.Tsai,K.Murugesan,C.Fan,C.Chen,Time-dependentfundamentalsolutionsforhomogeneousdiffusionproblems(J).EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2004,28(12):1463-1473)。

另外，目前应用较为广泛的扩散数据的重构方法都是基于有限元和差分法，如专利CN104166792A“一种预应力混凝土连续钢结构桥温度作用有限元分析方法”，通过基于有限元和结构力学的计算分析，从而达到扩散数据的重构；专利CN101615219A“一种模拟输移扩散问题的高精度差分方法”，提出一种非均匀网格下的高精度差分方法行扩散数据的重构；上述方法需要对整个区域划分网格，工作量非常巨大，重构时间相当长，不利于实际工程应用。

因此，找到一种无需划分网格、计算简单、高效精确的数值方法去模拟扩散型数据具有积极的工程实践意义。

发明内容

发明目的：针对现有扩散数据重构技术过程复杂、耗时耗力的缺陷，本发明旨在提供一种简单、高效的无网格方法去重构扩散型动态数据，从而达到节约重构时间，提高重构效率的目的。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明基于无网格奇异边界法去重构扩散型动态数据，该方法直接利用时间依赖基本解作为插值基函数，且无网格、无数值积分、无插值方程求解。方法采用如下技术方案：

扩散型动态数据重构的奇异边界法，包括如下步骤：

(1)在所考察物质的内部和边界配置若干测试点，获得这些测试点的扩散数据；

(2)根据奇异边界法的基本思想，直接采用扩散问题的时间依赖基本解作为插值基函数，建立扩散问题相应的奇异边界法方程组；

(3)利用经验公式计算奇异边界法的源点强度因子；

(4)将源点强度因子代入奇异边界法公式，计算奇异边界法公式的组合系数；

(5)根据奇异边界法公式，计算任意时刻任意内点的扩散数据值。

进一步地，步骤(1)中具体包括：

初始时刻应在所考察物质的内部配置N₁个测试点，获得初始时刻这些测试点的扩散数据值u_i,i＝1,...,N₁；

在所考察物质的表面配置N₂个测试点，随着扩散的进行，获得不同时刻这些点的扩散数据值u_i,i＝N₁+1,...,N₁+N₂。

在一种具体的实施方案中，步骤(2)中采用的扩散问题控制方程为：

其中，Ω表示所考察物质的区域，x为空间坐标，t为x所对应的时刻，k是扩散系数；

初始条件和边界条件分别为：

其中，Γ表示所考察物质的边界，t₀是初始时刻，表示初始时刻所测扩散数据，表示t时刻所测边界扩散数据；

扩散问题所对应的时间依赖性基本解为：

其中，n为空间维数，x和ξ分别表示场点和源点的坐标，t和τ分别表示场点和源点所对应的时刻，H(t)为Heaviside函数。

所述奇异边界法方程组为：

其中，x_i，ξ_j均表示测试点坐标，t_i，τ_j为各测试点所对应的时刻，α_j为待求的奇异边界法组合系数，u_ii为奇异边界法的源点强度因子，i,j＝1,...,N₁+N₂表示测试点的编号，N₁、N₂分别为在所考察物质的内部和边界配置的测试点个数。

进一步地，步骤(3)中扩散问题奇异边界法的源点强度因子经验公式为：

式中，n表示空间维数，Δl为空间步长，Δt为时间步长。对于一维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(1.714,2.084)，b∈(-0.0009,0.0037)，c∈(9.842,13.97)，d∈(-1.044,-0.9913)，e∈(0.7625,0.7647)；对于二维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(-20.35,-12.131)，b∈(0.6078,0.8197)，c∈(-35.04,-17.44)，d∈(-1.12,-0.481)，e∈(0.8859,1.426)；对于三维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(-206.8,-131.69)，b∈(6.329,12.15)，c∈(-18.16,-12.717)，d∈(-0.5595,-0.1568)，e∈(1.441,1.607)。

进一步地，步骤(4)中奇异边界法的组合系数的计算公式为：

其中，A_ij＝u*(x_i,t_i；ξ_j,τ_j)。

进一步地，步骤(5)中在时刻t任意内点x的扩散数据可通过下面奇异边界法公式求得：

有益效果：与现有技术相比，本发明提出的一种扩散型动态数据重构的无网格奇异边界法，其优点是：无需网格划分，无需数值积分求解；直接采用时间依赖性基本解作为插值基函数，无需利用耗时耗力的有限差分法或者拉普拉斯变换去离散时间项；奇异边界法的核心问题和难点在于其源点强度因子的计算，本发明直接采用经验公式去估算奇异边界法的源点强度因子，无需反插值技术等复杂的方法去求解源点强度因子；利用插值矩阵的特殊结构，整个计算过程无需求解方程，极大地节省了计算时间和内存需求，降低了计算误差，提高了计算效率。该发明方法简单快速，易于实施，方便工程技术人员的使用，可用于流体流动、传热传质和图像处理等有关扩散型数据重构的问题，具有重要的理论和工程意义。

附图说明

图1为扩散型动态数据重构的无网格奇异边界法的流程图。

图2为二维扩散问题奇异边界法的源点分布图。

图3为奇异边界法计算二维扩散问题所得数值结果和精确解的对比图。

图4为奇异边界法计算三维扩散问题所得数值结果和精确解的对比图。

图5为采用反插值技术和经验公式的奇异边界法计算三维扩散问题的结果对比图。

图6为采用反插值技术和经验公式的奇异边界法计算三维扩散问题的误差对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

奇异边界法(见：文献2陈文.奇异边界法:一个新的,简单,无网格,边界配点数值方法[J].固体力学学报,2009,30(6):592-599)采用算子依赖的径向基函数——奇异基本解作为基函数，引入源点强度因子来替换源点和边界点重合时的奇异基本解。该方法属于边界型数值离散方法，有着无网格和无数值积分的优点，避免了奇异和近奇异积分的数值计算，克服了在配点法中高度病态稠密矩阵的计算。其中，奇异边界法的关键点是精确得到问题对应的源点强度因子。至今为止，该方法已广泛应用于位势，声波，水波和弹性力学等领域。

请参阅图1所示，本发明基于无网格奇异边界法重构扩散型动态数据，包括如下步骤：

(1)获得初始及其边界测试点的数据；

在初始时刻应配置N₁个内部测试点，获得初始时刻这些测试点的扩散数据(u_i,i＝1,...,N₁)，此时的空间步长记为Δl；另外应在物体的表面配置N₂个测试点，随着扩散的进行，获得不同时刻这些点的扩散数据值(u_i,i＝N₁+1,...,N₁+N₂)，时间步长为Δt。

(2)利用扩散问题奇异边界法的基本思想，建立奇异边界法方程组；

本实施例所采用的扩散问题的控制方程为：

其中，Ω为所考察的区域，x为空间坐标，t为x所对应的时刻，k是扩散系数；

初始条件和边界条件分别为：

其中，Γ表示所考察物质的边界，t₀是初始时刻，表示初始时刻所测扩散数据，表示t时刻所测扩散数据；

扩散问题所对应的时间依赖性基本解为：

其中n为空间维数，x和ξ分别表示场点和源点的坐标，t和τ分别表示场点和源点所对应的时刻，H(t)为Heaviside函数。

根据奇异边界法的基本思想，步骤(2)中所布置的各个观测点的数据值可以表示成上述时间依赖基本解的线性组合：

其中α_j为待求系数，u_ii为奇异边界法的源点强度因子，x_i，ξ_j均表示测试点坐标，t_i，τ_j为各测试点所对应的时刻。

(3)利用经验公式计算奇异边界法的源点强度因子；

源点强度因子是奇异边界法的核心和难点，反插值技术可以有效计算源点强度因子，但涉及样本点布置和方程的求解。当时间步长较小时，需要求解的方程阶数将变得非常大，特别是三维问题。其计算过程复杂，耗时耗力，并且可能导致计算结果不稳定。本发明对反插值技术所得源点强度因子进行观察和拟合，得到简单精确的经验公式，利用插值矩阵的特殊结构，整个计算过程无需求解方程，极大地节省了计算时间和内存需求，降低了计算误差，提高了计算效率。下面给出扩散问题奇异边界法的源点强度因子经验公式

式中，n表示空间维数，Δl为空间步长，Δt为时间步长。对于一维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(1.714,2.084)，b∈(-0.0009,0.0037)，c∈(9.842,13.97)，d∈(-1.044,-0.9913)，e∈(0.7625,0.7647)；对于二维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(-20.35,-12.131)，b∈(0.6078,0.8197)，c∈(-35.04,-17.44)，d-(-1.12,-0.481)，e∈(0.8859,1.426)；对于三维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(-206.8,-131.69)，b∈(6.329,12.15)，c∈(-18.16,-12.717)，d∈(-0.5595,-0.1568)，e∈(1.441,1.607)。下面分别给出经过多次试验和验证获得的一维、二维、三维扩散问题奇异边界法的优选的源点强度因子经验公式：

I)一维扩散问题：

II)二维扩散问题：

III)三维扩散问题：

(4)利用源点强度因子确定奇异边界法公式的组合系数；

由于扩散问题奇异边界法插值矩阵为下三角矩阵，故可直接给出如下计算奇异边界法待求组合系数α_j的表达式：

将根据经验公式求得的源点强度因子u_ii,i＝1,...,N₁+N₂带入上式，可计算出奇异边界法的组合系数α_j，式中A_ij＝u*(x_i,t_i；ξ_j,τ_j)。

(5)计算任意时刻的函数值。

根据奇异边界法的基本公式，可通过下式重构出时刻t任意内点x的扩散数据：

实施例1

在[0,1]×[0,1]上考虑如下二维扩散方程初边值问题：

初始和边界条件如下

该问题的解析解为

其中扩散系数k＝0.5。

为了验证方法的有效性，我们选取时间步长和空间步长分别为Δt＝0.005和Δl＝0.1，经验公式中的参数分别为：a＝-16.73，b＝-0.7618，c＝-23.69，d＝-0.7018，e＝1.099。按照图2所示方式布置源点，图3给出了点(0.5,0.5)处函数值精确解和采用本发明提出的经验公式奇异边界法获得的数值结果的比较。从图中可以看出，重构值和精确值相当吻合，其最大绝对误差为3.63×10^-3。表明本发明方法具有较高精度。另外，图4分别给出了直线y＝3、y＝4、y＝5上各点在t＝2时刻的精确值和采用本发明提出的方法所得重构值比较。从图中可以看到，采用本发明获得的结果和精确值任然非常吻合。因此，本发明所提出的奇异边界法对扩散型动态数据的重构具有很高的效率和精度。

实施例2

为了考察本发明对三维扩散问题的计算效率和精度，在[0,1]×[0,1]×[0,1]上考虑如下扩散问题：

初始和边界条件分别为

u(x,y,z,t＝0)＝sin(πx)+sin(πy)+sin(πz)

该问题的解析解为

其中扩散系数k＝0.1。

在初始时刻区域内部配置216个源点，在边界上布置127个源点，时间步长和空间步长分别为Δt＝0.05和Δl＝1/6，经验公式中的参数分别为：a＝-160.9，b＝9.392，c＝-15.35，d＝-0.3473，e＝1.503。我们分别采用反插值技术奇异边界法和经验公式奇异边界法重构了点(0.5,0.5,0.5)在不同时刻函数值。两种方法计算所得结果的对比如图5所示。从图中可以看出，本发明方法所得数值结果与精确解重合，而反插值技术是不稳定的，其结果严重偏离了精确解。图6中给出了两种方法的计算误差比较，从中可看出，采用反插值计算的误差相当大，因此该方法不能正确地重构扩散扩散型动态数据。但是，采用经验公式的奇异边界法计算误差相当小，其最大误差小于1.0×10^-2。这充分表明了本发明方法对三维扩散型动态数据的处理具有相当的效率和精度。

本发明采用无网格奇异边界法重构扩散型动态数据。该发明的特点是直接采用时间依赖性基本解作为插值基函数，无需利用耗时耗力的有限差分法或者拉普拉斯变换处理时间导数项；奇异边界法的核心问题和难点在于其源点强度因子的计算，本发明采用经验公式去估算其源点强度因子，无需反插值技术等复杂的方法去求解源点强度因子；利用插值矩阵的特殊结构，整个求解过程无需求解任何方程组。因此，本发明方法简单快速，易于实施，大大节约了重构时间，提高了重构效率。

本发明可用于流体流动、传热传质和图像处理等有关扩散型数据重构的问题，具有重要的理论和工程意义。

Claims (6)

1.一种扩散型动态数据重构的奇异边界法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)在所考察物质的内部和边界配置若干测试点，获得这些测试点的扩散数据；

(2)根据奇异边界法的基本思想，直接采用扩散问题的时间依赖基本解作为插值基函数，建立扩散问题相应的奇异边界法方程组；

(3)利用经验公式计算奇异边界法的源点强度因子；

(4)将源点强度因子代入奇异边界法公式，计算奇异边界法公式的组合系数；

(5)根据奇异边界法公式，计算任意时刻任意内点的扩散数据值。

2.根据权利要求1所述扩散型动态数据重构的奇异边界法，其特征在于，步骤(1)中，具体包括：

初始时刻应在所考察物质的内部配置N₁个测试点，获得初始时刻这些测试点的扩散数据值u_i,i＝1,...,N₁；

在所考察物质的表面配置N₂个测试点，随着扩散的进行，获得不同时刻这些点的扩散数据值u_i,i＝N₁+1,...,N₁+N₂。

3.根据权利要求1所述扩散型动态数据重构的奇异边界法，其特征在于，步骤(2)中采用的扩散问题控制方程为：

$\frac{\∂u(x,t)}{\∂t}=k{\▿}^{2}u(x,t),x\∈\mathrm{\Ω}$

其中，Ω表示所考察物质的区域，x为空间坐标，t为x所对应的时刻，k是扩散系数；

初始条件和边界条件分别为：

$u(x,t_0)={\stackrel{\‾}{u}}_0,x\∈\mathrm{\Ω}$

$\begin{array}{cc}u(x,t)=\stackrel{\‾}{u}(x,t)& forx\∈\mathrm{\Γ}\end{array}$

其中，Γ表示所考察物质的边界，t₀是初始时刻，表示初始时刻所测扩散数据，表示t时刻所测边界扩散数据；

扩散问题所对应的时间依赖性基本解为：

$u*(x,t;\mathrm{\ξ},\mathrm{\τ})=\frac{e^{\frac{-{\left|x-\mathrm{\ξ}\right|}^2}{4k(t-\mathrm{\τ})}}}{{\[4\mathrm{\π}k(t-\mathrm{\τ})\]}^{n/2}}H(t-\mathrm{\τ})$

其中，n为空间维数，x和ξ分别表示场点和源点的坐标，t和τ分别表示场点和源点所对应的时刻，H(t)为Heaviside函数；

所述奇异边界法方程组为：

$u(x_i,t_i)=\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N_1+N_2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{j}u*(x_i,t_i;{\mathrm{\ξ}}_j,{\mathrm{\τ}}_j)+{\mathrm{\α}}_i{u}_{ii}$

其中，x_i，ξ_j均表示测试点坐标，t_i，τ_j为各测试点所对应的时刻，α_j为待求的奇异边界法组合系数，u_ii为奇异边界法的源点强度因子，i,j＝1,...,N₁+N₂表示测试点的编号，N₁、N₂分别为在所考察物质的内部和边界配置的测试点个数。

4.根据权利要求3所述扩散型动态数据重构的奇异边界法，其特征在于，步骤(3)中扩散问题奇异边界法的源点强度因子经验公式为：

$u_{ii}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\left(\mathrm{\Δ}l\right)}^n},& (i=1,...,N_1)\\ (a\mathrm{\Δ}t+b)t^{c\mathrm{\Δ}t-d}+\frac{e}{{\left(\mathrm{\Δ}t\right)}^{n/2}},& (i=N_1+1,...,N_1+N_2)\end{array}\right.$

式中，n表示空间维数，Δl为空间步长，Δt为时间步长；对于一维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(1.714,2.084)，b∈(-0.0009,0.0037)，c∈(9.842,13.97)，d∈(-1.044,-0.9913)，e∈(0.7625,0.7647)；对于二维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(-20.35,-12.131)，b∈(0.6078,0.8197)，c∈(-35.04,-17.44)，d∈(-1.12,-0.481)，e∈(0.8859,1.426)；对于三维扩散问题，经验公式中的系数取值范围为：a∈(-206.8,-131.69)，b∈(6.329,12.15)，c∈(-18.16,-12.717)，d∈(-0.5595,-0.1568)，e∈(1.441,1.607)。

5.根据权利要求3所述扩散型动态数据重构的奇异边界法，其特征在于，步骤(4)中奇异边界法的组合系数的计算公式为：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\α}}_1=u_1/u_{11}& \\ {\mathrm{\α}}_i=(u_i-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{ij}{\mathrm{\α}}_j)/u_{ii}& (i=2,3,...,N_1+N_2)\end{array}\right.$

其中，A_ij＝u*(x_i,t_i；ξ_j,τ_j)。

6.根据权利要求3所述扩散型动态数据重构的奇异边界法，其特征在于，步骤(5)中在时刻t任意内点x的扩散数据可通过下面奇异边界法公式求得：

$u(x,t)=\underset{j=1}{\overset{N_1+N_2}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j\mathrm{\μ}*(x,t;{\mathrm{\ξ}}_j,{\mathrm{\τ}}_j).$