CN105701311A - 一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法。以Bernstein多项式为基函数构造出Bézier三角曲面，将Bézier三角曲面网格中每一个三角面称为B-B三角面，在此基础上提出B-B三角面的合并算法，将各个三角面合并为平面片，再根据平面片的位置拓扑关系建立平面片连接图，将各个较小的平面片合并为较大的片。采用Bézier三角曲面方法能有效解决表面形状复杂或曲率变化大的工件几何造型问题，效果好、精度较高，为后续的机器人喷涂轨迹优化奠定了基础，在自动喷涂轨迹优化领域将有很好的发展和应用前景。

Description

一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法

技术领域

本发明涉及喷涂领域，尤其涉及一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法。

背景技术

工件曲面造型是机器人自动喷涂轨迹优化工作的第一步。喷涂工件的表面结构千变万化，可能简单也可能十分复杂，因此现在还没有一套能够适用于各种喷涂工件的曲面造型方法。为了保证后面的喷涂轨迹优化工作顺利完成，对待喷涂工件表面几何特征进行分析，寻找到一种合适的曲面造型方法尤为重要。现在工业生产中实际使用的喷涂工件曲面造型方法，主要有以下三类：

(1)基于CAD数据的造型方法

该方法是指在离线编程系统数据库中已经有了工件的CAD模型数据，在对该CAD数据进行简单处理后，获取工件表面的形状数据，就可以规划出机器人喷涂轨迹。具体操作时直接使用三角网格划分法对工件曲面进行造型。该方法的优点是：在现有的各种数学方法和工程CAD软件的支持下，建模方法比较简单，三角划分比较容易实现且对每个三角面的位置和面积数据等都比较易于分析。而缺点是造型时依赖于原始CAD模型数据，且不能反映出喷涂工件的相关材料特性，由于喷涂涂料的沉积模型特性与工件材质有一定关系，因此为了得到更为精确的喷涂模型，有时需要考虑工件材质问题。另一缺点是工件曲面进行三角划分后，网格数据容易出现错误，例如丢失网格或重叠网格计算等等，并且工件曲面越大，网格数据越多；这种情况下系统计算量是相当大的，容易导致实时性变差。

(2)工件外观重新扫描方法

如果在机器人喷涂轨迹优化之前，系统中没有工件CAD数据，可以使用光学扫描仪对工件外观进行扫描，从而得到新的CAD数据。这种方法需要先对工件表面进行光学扫描，在获取例如工件点云数据等CAD模型数据后，再对这些数据进行详细分析处理后获取工件表面数学模型。该方法优点是计算速度较快，实时性较好；缺点是由于需要对工件外观曲面进行重新扫描后再根据CAD数据进行造型，故导致误差较大，精确度不高，并且在对扫描数据处理过程中的工作量也较大。

(3)基于参数曲面的造型方法

常用的参数曲面造型方法有Bézier法、B样条法等。使用Bézier法等对曲面进行造型时，需要利用多个控制顶点写出逼近原有曲面的参数曲面数学表达式。然而，喷涂工件的表面结构千变万化，很多情况下喷涂作业中经常遇到的涂件表面都是凹凸不平的自由曲面或是带有复连通区域的复杂曲面。这种情况下，得到的参数曲面表达式精度比较高，但表达式非常复杂，易导致离线编程系统计算速度变慢，自动喷涂轨迹优化实时性变差。

专利ZL201310413121.4中提出了一种基于平面片连接图的喷涂工件曲面造型方法，该方法其实是对基于CAD数据的曲面喷涂造型方法进行了改进，是在三角网格划分法的基础上提出的能够适用于各种复杂工件曲面且计算速度较快的方法。但实际应用表明，该方法虽然效率较高，但精度较差，且在工件某些区域涂层厚度不能达到设定范围。而随着计算机应用技术的发展，Bézier方法在CAGD和机械设计与制造中已经是较成熟的技术，但在喷涂工件曲面造型中的应用仍是空白。因此，将Bézier三角曲面方法应用于喷涂工件曲面造型中，不仅能克服现有参数曲面造型方法实时性差的缺点，而且效果好、精度高，具有广阔的应用前景。

发明内容

发明目的：本发明是为了解决机器人喷涂复杂自由曲面时工件造型效率低、精度差的问题，提出一种基于Bézier三角曲面的工件造型方法，该方法能有效地解决表面形状复杂或曲率变化大的工件几何造型的问题，在机器人喷涂轨迹优化领域将会有很好的发展和应用前景。

技术方案：一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法，包括以下步骤：

第一步，以Bernstein多项式为基函数构造Bézier三角曲面；

(1)设平面上有一个任意给定的三角形，其顶点按逆时针方向依次为T₁、T₂、T₃，点P为三角形T₁T₂T₃所在平面内任意一点，则定义：

$u_1=\frac{\[{\mathrm{PT}}_2{T}_3\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]},u_2=\frac{\[T_1{\mathrm{PT}}_3\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]},u_3=\frac{\[T_1{T}_{2}P\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]}$

式中，[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的有向面积；T₁、T₂、T₃逆时针时[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的面积S，即[T₁T₂T₃]＝S；T₁、T₂、T₃顺时针时[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的面积的相反数，即[T₁T₂T₃]＝-S；

(2)设坐标三角形T上一点P的面积坐标为(u₁,u₂,u₃)，构造

$B_{i,j,k}^n\left(P\right)=\frac{n!}{i!j!k!}{u}_1^i{u}_2^j{u}_3^k,i+j+k=n$

为Bernstein基函数，共个，i、j、k为参数，n为Bézier三角面次数；

(3)设b_i,j,k(i+j+k＝n)为任意实数，称

$B^n\left(P\right)=B^n(u_1,u_2,u_3)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}{b}_{i,j,k}{B}_{i,j,k}^n\left(P\right)$

为坐标三角形T上的n次Bézier三角面(片)；称b_i,j,k(i+j+k＝n)为该Bézier三角曲面的Bernstein系数；称Ρ_i,j,k＝(P_i,j,k；b_i,j,k)，(i+j+k＝n)为该Bézier三角曲面的控制点；称在结点P_i,j,k处取值为b_i,j,k的分片线性连续函数为该Bézier三角曲面的控制网格；

第二步，采用B-B三角面连接算法将三角面合并；

B-B三角面指的是Bézier-Bernstein三角面；B-B三角面连接算法步骤是：

(1)计算Bézier三角曲面中各个三角面或者三角片的法向量，在系统中设定最大法向量阈值后，根据B-B三角面连接算法将三角面或者三角片连接成平面片；

(2)根据平面片的位置关系和拓扑结构建立有向连接图；

(3)采用平面片合并算法将各个平面片进行合并，得到工件曲面表达式。

所述第一步中Bernstein基函数具有如下性质：

(a)非负性：P∈T，i+j+k＝n；

(b)规范性： $\underset{i+j+k=n}{\Σ}{B}_{i,j,k}^n\left(P\right)=1;$

且根据三项式定理可得：

${\left(a+b+c\right)}^n=\underset{i+j+k=n}{\Σ}\frac{n!}{i!j!k!}{a}^i{b}^j{c}^k,a,b,c\∈R,n\∈N$

令a＝u₁,b＝u₂,c＝u₃，由u₁+u₂+u₃＝1可得；

使用平行于三角形一边的任意直线将坐标三角形T的其余两边n等分，则三组平行直线将三角形T分成n²个全等的小三角形，即可组成坐标三角形T的n次剖分，记为S_n(T)，称每个小三角形为S_n(T)的子三角形，子三角形的顶点共个，称为剖分S_n(T)的结点，结点的面积坐标如下式：

$(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n}),i+j+k=n$

记为： $P_{i,j,k}=(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})$

所述第一步还包括对任意函数f:T→R，取Bernstein系数为：

$b_{i,j,k}=f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})$

则称

$B^n\left(P\right)=B^n(u_1,u_2,u_3)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})B_{i,j,k}^n\left(P\right)$

为f在T上的n次Bernstein三角多项式；

引入三个移位算子E₁，E₂，E₃，将其定义为：

E₁b_i,j,k＝b_i+1,j,k

E₂b_i,j,k＝b_i,j+1,k

E₃b_i,j,k＝b_i,j,k+1

则 $E_1^i{E}_2^j{E}_3^k{b}_{0,0,0}=b_{i,j,k},$ 且有：

$B^n\left(P\right)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}\frac{n!}{i!j!k!}{u}_1^i{u}_2^j{u}_3^k\left(E_1^i{E}_2^j{E}_3^k{b}_{0,0,0}\right)$

利用三项式展开，可将上式表示为：

Bⁿ(P)＝(u₁E₁+u₂E₂+u₃E₃)ⁿb_0,0,0

从而有： $B^n\left(T_1\right)=E_1^n{b}_{0,0,0}=b_{n,0,0}$

$B^n\left(T_2\right)=E_2^n{b}_{0,0,0}=b_{0,n,0}$

$B^n\left(T_3\right)=E_3^n{b}_{0,0,0}=b_{0,0,n}$

称点Ρ_n,0,0＝(1,0,0；b_n,0,0)，Ρ_0,n,0＝(0,1,0；b_0,n,0)，Ρ_0,0,n＝(0,0,1；b_0,0,n)为三角曲面的角点；

当u₁＝0时，u₃＝1-u₂，有：

$B_{i,j,k}^n\left(P\right)=\frac{n!}{j!(n-j)!}{u}_2^j{(1-u_2)}^{n-j}=B_j^n\left(u_2\right)$

则：

$B^n(0,u_2,1-u_2)=\underset{j=0}{\overset{n}{\Σ}}{b}_{0,j,n-j}{B}_j^n\left(u_2\right),0\≤u_2\≤1$

即三角曲面的边界是以三角曲面控制网格边界为控制多边形的n次Bézier曲线。

所述方法用于机器人研磨工件曲面造型、机器人焊接工件曲面造型。

有益效果：相对于现有技术，本发明能有效地解决表面形状复杂或曲率变化大的工件几何造型的问题，使得算法简单又稳定可靠，易于编程实现，十分有利于后续的机器人喷涂路径的快速生成和轨迹优化，可提高喷涂机器人工作效率和产品品质。

附图说明

图1为本发明坐标三角形上点P面积坐标示意图；

图2为本发明Bézier三角曲面分片后的曲面转换为平面片连接图；

图3为本发明平面片合并算法流程图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的实施案例进行详细的描述。

1、以Bernstein多项式为基函数构造Bézier三角曲面

第一步，设平面上有一个任意给定的三角形，其顶点按逆时针方向依次为T₁、T₂、T₃，点P为三角形T₁T₂T₃所在平面内任意一点，定义：

$u_1=\frac{\[{\mathrm{PT}}_2{T}_3\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]},u_2=\frac{\[T_1{\mathrm{PT}}_3\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]},u_3=\frac{\[T_1{T}_{2}P\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]}---\left(4\right)$

式(4)中，[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的有向面积；T₁、T₂、T₃逆时针时[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的面积，即[T₁T₂T₃]＝S；T₁、T₂、T₃顺时针时[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的面积的相反数，即[T₁T₂T₃]＝-S；称(u₁,u₂,u₃)为点P的面积坐标，记为P＝(u₁,u₂,u₃)，也称三角形T₁T₂T₃为坐标三角形，见附图1。

第二步，设坐标三角形T上点P的面积坐标为(u₁,u₂,u₃)，构造

$B_{i,j,k}^n\left(P\right)=\frac{n!}{i!j!k!}{u}_1^i{u}_2^j{u}_3^k,i+j+k=n---\left(5\right)$

为Bernstein基函数(共个)，i、j、k为参数，n为Bézier三角面次数。Bernstein基函数具有如下性质：

(a)非负性：P∈T，i+j+k＝n；

(b)规范性： $\underset{i+j+k=n}{\Σ}{B}_{i,j,k}^n\left(P\right)=1;$

根据三项式定理可得：

${(a+b+c)}^n=\underset{i+j+k=n}{\Σ}\frac{n!}{i!j!k!}{a}^i{b}^j{c}^k,a,b,c\∈R,n\∈N---\left(6\right)$

令a＝u₁,b＝u₂,c＝u₃，由u₁+u₂+u₃＝1可得。

使用平行于三角形一边的任意直线将坐标三角形T的其余两边n等分，则三组平行直线将三角形T分成n²个全等的小三角形，即可组成坐标三角形T的n次剖分，记为S_n(T)。称每个小三角形为S_n(T)的子三角形，子三角形的顶点(共个)称为剖分S_n(T)的结点，结点的面积坐标如下式：

$(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n}),i+j+k=n---\left(7\right)$

简记为： $P_{i,j,k}=(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})---\left(8\right)$

第三步，设b_i,j,k(i+j+k＝n)为任意实数，称

$B^n\left(P\right)=B^n(u_1,u_2,u_3)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}{b}_{i,j,k}{B}_{i,j,k}^n\left(P\right)---\left(9\right)$

为坐标三角形T上的n次Bézier三角面(片)；称b_i,j,k(i+j+k＝n)为该Bézier三角曲面的Bernstein系数；称Ρ_i,j,k＝(P_i,j,k；b_i,j,k)，(i+j+k＝n)为该Bézier三角曲面的控制点；称在结点P_i,j,k处取值为b_i,j,k的分片线性连续函数为该Bézier三角曲面的控制网格。

特别地，对任意函数f:T→R，取Bernstein系数为：

$b_{i,j,k}=f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})---\left(10\right)$

则称

$B^n\left(P\right)=B^n(u_1,u_2,u_3)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})B_{i,j,k}^n\left(P\right)---\left(11\right)$

为f在T上的n次Bernstein三角多项式。

为简化推导过程，引入三个移位算子E₁，E₂，E₃，将其定义为：

E₁b_i,j,k＝b_i+1,j,k(12)

E₂b_i,j,k＝b_i,j+1,k(13)

E₃b_i,j,k＝b_i,j,k+1(14)

则 $E_1^i{E}_2^j{E}_3^k{b}_{0,0,0}=b_{i,j,k},$ 且有：

$B^n\left(P\right)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}\frac{n!}{i!j!k!}{u}_1^i{u}_2^j{u}_3^k\left(E_1^i{E}_2^j{E}_3^k{b}_{0,0,0}\right)---\left(15\right)$

利用三项式展开，可将式(15)表示为：

Bⁿ(P)＝(u₁E₁+u₂E₂+u₃E₃)ⁿb_0,0,0(16)

从而有： $B^n\left(T_1\right)=E_1^n{b}_{0,0,0}=b_{n,0,0}---\left(17\right)$

$B^n\left(T_2\right)=E_2^n{b}_{0,0,0}=b_{0,n,0}---\left(18\right)$

$B^n\left(T_3\right)=E_3^n{b}_{0,0,0}=b_{0,0,n}---\left(19\right)$

这里称点Ρ_n,0,0＝(1,0,0；b_n,0,0)，Ρ_0,n,0＝(0,1,0；b_0,n,0)，Ρ_0,0,n＝(0,0,1；b_0,0,n)为三角曲面的角点。

当u₁＝0时，u₃＝1-u₂，代入到式(5)有：

$B_{i,j,k}^n\left(P\right)=\frac{n!}{j!(n-j)!}{u}_2^j{(1-u_2)}^{n-j}=B_j^n\left(u_2\right)---\left(20\right)$

则式(5)可表示为：

$B^n(0,u_2,1-u_2)=\underset{j=0}{\overset{n}{\Σ}}{b}_{0,j,n-j}{B}_j^n\left(u_2\right),0\≤u_2\≤1---\left(21\right)$

即三角曲面的边界是以三角曲面控制网格边界为控制多边形的n次Bézier曲线。

2、采用B-B三角面连接算法将三角面合并

B-B三角面连接指的是Bézier-Bernstein三角面。B-B三角面连接算法具体步骤如下：

第一步，计算Bézier三角曲面中各个三角面(片)的法向量，设定最大法向量阈值后，根据B-B三角面连接算法将三角面连接成平面片。

Bézier三角曲面可以表示为以下集合形式：

M＝{T_l；l＝1,2,…,p}(22)

式(22)中T_l是Bézier三角曲面中的第l个B-B三角面(片)，p是Bézier三角曲面的三角网格中三角面的总个数。

得到Bézier三角曲面后，选定任意一个B-B三角面为初始三角面，将与初始三角面相邻的B-B三角面与其相连接成为一个新的片。连接完成后如果满足以下要求：即若该片为Bézier三角曲面的一部分，且其平均法向量n_a与其最大偏角法向量v_a之间的夹角小于最大法向量阈值θ_th，则该片即为一个平面片。该平面片上的平均法向量n_a的表达式为：

$n_a=\frac{\underset{l=1}{\overset{p}{\Σ}}{s}_l{n}_l}{\underset{l=1}{\overset{p}{\Σ}}{s}_l}/\left|\right|\frac{\underset{l=1}{\overset{p}{\Σ}}{s}_l{n}_l}{\underset{l=1}{\overset{p}{\Σ}}{s}_l}\left|\right|---\left(23\right)$

其中，n_l为第T_l个B-B三角面的法向量，s_l为第T_l个B-B三角面的面积，p为Bézier三角曲面中B-B三角面的总个数。设v_a为平面片的最大偏角法向量，即为某个片最大投影面的法向量，则某个片最大投影面面积S_a可以表示成：

$S_a=\underset{l=1}{\overset{p}{\Σ}}{s}_l|n_l.v_a|,---\left(24\right)$

令求解方程后即可得到平面片最大偏角法向量v_a。设最大法向量阈值为θ_th，设n_a与v_a之间的夹角为θ_MDA，则称θ_MDA为最大法向量偏角。

第二步，根据平面片的位置关系和拓扑结构建立有向连接图。

将按照上述步骤得到的Bézier三角曲面中的每个平面片表示为一个节点，用一个有向连接图G＝(V,E)表示每个平面片的位置，V表示连接图中的节点，E表示该组节点连接而成的边界线，由此，任意第l个节点v_l与以下三个参量有关，即平面片法向量n_pl、面积A_l、最大法向量偏角θ_MDAl。故节点v_l的表达式可以写为：v_l＝{n_pl,A_l,θ_MDAl}。若将任意节点v_l与节点v_m的边表示为e_lm，边e_lm的权值为ω(l,m)(即为两片法向量的夹角)，则法向量夹角最小的两个片就是权值ω(l,m)最小的边。举例说明：若某Bézier三角曲面中B-B三角面经过组合得到了5个平面片，并且A片与C片法向量夹角为θ，则平面片连接图中边AC的长度即为ω(A,C)＝θ，如附图2所示。

第三步，采用平面片合并算法将各个平面片进行合并，从而得到工件曲面表达式。

将平面片连接图中节点v_l与节点v_m合并为新的平面片v_lm，可以用以下公式进行表示：

$v_{lm}=v_l\⊕v_m=\{n_{pl},A_l,{\mathrm{\θ}}_{MDAl}\}\⊕\{n_{pm},A_m,{\mathrm{\θ}}_{MDAm}\}=\{\frac{n_{pl}{A}_l+n_{pm}{A}_m}{A_l+A_m},A_{pl}+A_{pm},{\mathrm{\θ}}_{MDAlm}\}$

上式中，表示合并运算，n_pm表示第m个节点的法向量，A_l和A_m分别表示第l个和第m个平面片的面积，A_pl+A_pm表示两个片面积之和，θ_MDAlm表示新平面片v_lm的最大法向量偏角，表示合并后的片的法向量；其中， $\frac{n_{pl}{A}_l+n_{pm}{A}_m}{A_l+A_m}=n_{pl}\frac{A_1}{A_l+A_m}+n_{pm}\frac{A_m}{A_l+A_m},$ 即合并后的片的法向量为一个加权平均值。Bézier三角曲面中B-B三角面组成平面片后，各个平面片的合并算法流程图如附图3所示，图中参数BV为初始设定值。

本发明公开的是喷涂工件曲面造型方法，该方法也可用于机器人研磨工件曲面造型、机器人焊接工件曲面造型等，所不同的是机器人用途不同，但不影响方法使用效果。

Claims (4)

1.一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，以Bernstein多项式为基函数构造Bézier三角曲面；

(1)设平面上有一个任意给定的三角形，其顶点按逆时针方向依次为T₁、T₂、T₃，点P为三角形T₁T₂T₃所在平面内任意一点，则定义：

$u_1=\frac{\[{\mathrm{PT}}_2{T}_3\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]},u_2=\frac{\[T_1{\mathrm{PT}}_3\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]},u_3=\frac{\[T_1{T}_{2}P\]}{\[T_1{T}_2{T}_3\]}$

式中，[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的有向面积；T₁、T₂、T₃逆时针时[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的面积S，即[T₁T₂T₃]＝S；T₁、T₂、T₃顺时针时[T₁T₂T₃]表示三角形T₁T₂T₃的面积的相反数，即[T₁T₂T₃]＝-S；

(2)设坐标三角形T上一点P的面积坐标为(u₁,u₂,u₃)，构造

$B_{i,j,k}^n\left(P\right)=\frac{n!}{i!j!k!}{u}_1^i{u}_2^j{u}_3^k,i+j+k=n$

为Bernstein基函数，共个，i、j、k为参数，n为Bézier三角面次数；

(3)设b_i,j,k(i+j+k＝n)为任意实数，称

$B^n\left(P\right)=B^n(u_1,u_2,u_3)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}{b}_{i,j,k}{B}_{i,j,k}^n\left(P\right)$

为坐标三角形T上的n次Bézier三角面(片)；称b_i,j,k(i+j+k＝n)为该Bézier三角曲面的Bernstein系数；称Ρ_i,j,k＝(P_i,j,k；b_i,j,k)，(i+j+k＝n)为该Bézier三角曲面的控制点；称在结点P_i,j,k处取值为b_i,j,k的分片线性连续函数为该Bézier三角曲面的控制网格；

第二步，采用B-B三角面连接算法将三角面合并；

B-B三角面指的是Bézier-Bernstein三角面；B-B三角面连接算法步骤是：

(1)计算Bézier三角曲面中各个三角面或者三角片的法向量，在系统中设定最大法向量阈值后，根据B-B三角面连接算法将三角面或者三角片连接成平面片；

(2)根据平面片的位置关系和拓扑结构建立有向连接图；

(3)采用平面片合并算法将各个平面片进行合并，得到工件曲面表达式。

2.如权利要求1所述的一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法，其特征在于，所述第一步中Bernstein基函数具有如下性质：

(a)非负性： $B_{i,j,k}^n\left(P\right)\≥0,P\∈T,i+j+k=n;$

(b)规范性： $\underset{i+j+k=n}{\Σ}{B}_{i,j,k}^n\left(P\right)=1;$

且根据三项式定理可得：

${(a+b+c)}^n=\underset{i+j+k=n}{\Σ}\frac{n!}{i!j!k!}{a}^i{b}^j{c}^k,a,b,c\∈R,n\∈N$

令a＝u₁,b＝u₂,c＝u₃，由u₁+u₂+u₃＝1可得；

使用平行于三角形一边的任意直线将坐标三角形T的其余两边n等分，则三组平行直线将三角形T分成n²个全等的小三角形，即可组成坐标三角形T的n次剖分，记为S_n(T)，称每个小三角形为S_n(T)的子三角形，子三角形的顶点共个，称为剖分S_n(T)的结点，结点的面积坐标如下式：

$(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n}),i+j+k=n$

记为： $P_{i,j,k}=(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})$

3.如权利要求1所述的一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法，其特征在于，所述第一步还包括对任意函数f:T→R，取Bernstein系数为：

$b_{i,j,k}=f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})$

则称

$B^n\left(P\right)=B^n(u_1,u_2,u_3)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})B_{i,j,k}^n\left(P\right)$

为f在T上的n次Bernstein三角多项式；

引入三个移位算子E₁，E₂，E₃，将其定义为：

E₁b_i,j,k＝b_i+1,j,k

E₂b_i,j,k＝b_i,j+1,k

E₃b_i,j,k＝b_i,j,k+1

则 $E_1^i{E}_2^j{E}_3^k{b}_{0,0,0}=b_{i,j,k},$ 且有：

$B^n\left(P\right)=\underset{i+j+k=n}{\Σ}\frac{n!}{i!j!k!}{u}_1^i{u}_2^i{u}_3^k\left(E_1^i{E}_2^j{E}_3^k{b}_{0,0,0}\right)$

利用三项式展开，可将上式表示为：

Bⁿ(P)＝(u₁E₁+u₂E₂+u₃E₃)ⁿb_0,0,0

从而有： $B^n\left(T_1\right)=E_1^n{b}_{0,0,0}=b_{n,0,0}$

$B^n\left(T_2\right)=E_2^n{b}_{0,0,0}=b_{0,n,0}$

$B^n\left(T_3\right)=E_3^n{b}_{0,0,0}=b_{0,0,n}$

称点Ρ_n,0,0＝(1,0,0；b_n,0,0)，Ρ_0,n,0＝(0,1,0；b_0,n,0)，Ρ_0,0,n＝(0,0,1；b_0,0,n)为三角曲面的角点；

当u₁＝0时，u₃＝1-u₂，有：

$B_{i,j,k}^n\left(P\right)=\frac{n!}{j!(n-j)!}{u}_2^j{(1-u_2)}^{n-j}=B_j^n\left(u_2\right)$

则：

$B^n(0,u_2,1-u_2)=\underset{j=0}{\overset{n}{\Σ}}{b}_{0,j,n-j}{B}_j^n\left(u_2\right),0\≤u_2\≤1$

即三角曲面的边界是以三角曲面控制网格边界为控制多边形的n次Bézier曲线。

4.如权利要求1所述的一种喷涂工件Bézier三角曲面造型方法，其特征在于，所述方法用于机器人研磨工件曲面造型、机器人焊接工件曲面造型。