CN105652438A

CN105652438A - 一种非成像透镜的设计方法

Info

Publication number: CN105652438A
Application number: CN201610060403.4A
Authority: CN
Inventors: 施伟斌; 翁振克; 苏胜君; 张学宁; 乐燕芬
Original assignee: SHANGHAI BAOLIN EXPLOSIONPROOF ELECTRIC CO Ltd; University of Shanghai for Science and Technology
Current assignee: SHANGHAI BAOLIN EXPLOSIONPROOF ELECTRIC CO Ltd; University of Shanghai for Science and Technology
Priority date: 2016-01-28
Filing date: 2016-01-28
Publication date: 2016-06-08
Anticipated expiration: 2036-01-28
Also published as: CN105652438B

Abstract

本发明涉及一种非成像透镜的设计方法，照明的区域为矩形区域，采用分组的样本曲线构造透镜出射表面，每两条样本曲线为一组，分为主样本曲线和辅助样本曲线，将光源辐射空间和照明区域细分为光通量对应相等的单元，在离散的光线与受照区域网格节点之间建立对应关系，根据主样本曲线上各样本点处的入射和出射光线求解主样本曲线和辅助样本曲线上所有样本点的坐标，拟合得到所有样本曲线，再求出通过所有样本曲线的自由曲面，作为透镜出射表面。本方法能够减小透镜表面法线方向的偏差，使照明区域内光通量的实际分布与预期分布更加一致，提高照明均匀度和能量利用率。透镜表面没有曲率突变的过渡连接面，便于制造。

Description

一种非成像透镜的设计方法

技术领域

本发明涉及一种光学器件设计方法，特别涉及一种能够在矩形区域形成均匀照明的非成像透镜的设计方法。

背景技术

非成像透镜通过改变光路将光源辐射的光通量分配到受照面上特定的区域，从而产生所需要的照明效果。固态光源的发光表面尺寸较小，光辐射集中在芯片上方2π立体角的空间中，适于使用透镜实现配光。随着固态照明技术的发展，非成像透镜在照明灯具中得到了广泛应用。

在城市道路和室内外大面积场地的照明中，需要对矩形区域提供均匀照明，目前已有多种使用透镜的技术方案被提出，并获得实际应用。一类典型的透镜设计方法是依据能量守恒原理，对光源和受照区域进行细分，在离散的光线和受照区域网格节点之间建立对应关系，然后从选定的起点开始，通过迭代计算出透镜表面样本点的坐标及在各样本点处的法线，从而得到透镜曲面，参见专利“Illuminationlensesdesignedbyextrinsicdifferentialgeometry”(US6273596B1)和“一种三维光学透镜的设计方法及透镜”(CN1928624N)。此类方法存在的一个问题是，所生成的曲面在样本点处的实际法线方向可能偏离计算过程中求出的法线方向，导致受照面上光通量的实际分布与预期分布存在差异，这种差异在矩形受照区域的边缘部分较为明显，并且随着光源相对于受照面倾斜角度的增加，实际分布与预期分布的差异会变得更加显著。

发明内容

本发明是针对现有透镜设计方法存在的问题，提出了一种非成像透镜的设计方法，在现有方法基础上做出改进，采用分组的样本曲线构造曲面，通过调整组内样本曲线的间距，减小由法线方向偏差导致的光通量分布差异，从而获得更好的照明效果。

本发明的技术方案为：一种非成像透镜的设计方法，照明的区域为矩形区域，透镜出射表面采用样本曲线构造，共有n+1条样本曲线，依次表示为SL₁，SL₂，...，SL_n+1，每条样本曲线包括m+1个样本点，分组求解样本曲线，每两条样本曲线为一组，一条为主样本曲线，一条为辅助样本曲线，将光源的辐射空间和所述矩形区域细分为光通量对应相等的单元，光源辐射空间按角度细分，将光源离散为(m+1)×(n+1)条光线，在离散的光线与所述矩形区域的网格节点之间建立一一对应关系；根据主样本曲线上各样本点处的入射光线和出射光线求解主样本曲线和辅助样本曲线上所有样本点的坐标，通过拟合得到所有样本曲线，求出所有样本曲线后，通过拟合得到通过所有样本曲线的自由曲面，作为透镜出射表面。

所述将光源辐射空间按角度细分，具体包括：以光源中心为坐标原点O，X轴和Y轴分别与所述矩形区域的宽度和长度方向平行，光源主轴与Z轴重合，矩形区域的对称中心位于XOZ平面内，建立球面坐标系统，X轴为球面坐标系统的主轴，将光源辐射的总立体角Ω细分为m×n个单元，其中m为球面坐标系统中角θ的取值区间A的细分数，n为角的取值区间B的细分数，m和n均取偶数，区间A采用等间隔方式细分，步长Δθ＝Θ/m，其中，Θ为角θ的取值范围；区间B按组等间隔细分，从区间下限开始，每2个细分单元为一组，相邻两组之间的间隔为其中，Φ为角的取值范围，区间B每组内两个单元的步长之比其中，0＜k＜2，i＝1，3，5，...，n-1，在处取一条光线，对应于第i个圆锥面与第j个扇面的交线，整个光源被离散为(m+1)×(n+1)条光线，光源细分单元表示为Ω_ij，其中，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n，由相邻的第i和第i+1个圆锥面和第j和第j+1个扇面围成。

所述在离散的光线与所述矩形区域的网格节点之间建立一一对应关系具体包括：与光源细分对应，沿宽度方向将矩形区域细分为m个子矩形，光源在立体角Ω_i内发出的光通量与所述矩形区域内第i个子矩形内接收的光通量相等，其中i＝1，2，...，m，由此确定所述矩形区域在宽度方向的细分步长Δx₁，Δx₂，...，Δx_m；沿所述矩形区域长度方向将上述各子矩形分别细分为n个矩形单元D_ij，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n，在一个矩形单元D_ij内接收的光通量与光源细分单元Ω_ij内的光通量相等，由此计算出各子矩形沿长度方向细分的各个步长，当所述矩形区域内照度均匀分布时，各子矩形沿长度方向细分的步长对应相等，分别为Δy₁，Δy₂，...，Δy_n；在所述矩形区域内形成m×n的网格，在网格节点T_ij，i＝1，2，...，m+1，j＝1，2，...，n+1与光源光线R_ij，i＝1，2，...，m+1，j＝1，2，...，n+1之间建立了一一对应关系。

所述求解主样本曲线和辅助样本曲线上所有样本点的坐标，具体步骤如下：当n/2为偶数时，先求样本曲线SL_n/2+1上的样本点，再分组求出其他样本曲线上的参考点，具体方法如下：

1)求样本曲线SL_n/2+1上的样本点：

1.1)在光源主光轴上取一点(π/2，π/2，r₀)作为样本曲线SL_n/2+1的计算起点P_ij，其中，i＝m/2+1，j＝n/2+1，r₀取明显大于光源发光表面尺寸的值；

1.2)计算出从光源中心指向P_ij的入射光线矢量和从P_ij指向受照区域网格节点T_ij的出射光线矢量根据折射定律，由入射光线矢量和出射光线矢量求出透镜出射表面在P_ij处的法线矢量由此得到经过点P_ij并以为法线的平面S_ij；

1.3)求与相邻的从光源中心指向点P_(i-1)j的光线矢量计算与S_ij的交点，得到点P_(i-1)j；

1.4)求与相邻的从光源中心指向点P_(i+1)j的光线矢量计算与S_ij的交点，得到点P_(i+1)j；

1.5)对样本曲线SL_n/2+1上的各点P_ij，i＝m/2，m/2-1，...，2；j＝n/2+1，依次重复步骤1.2)～1.3)，对样本曲线SL_n/2+1上的各点P_ij，i＝m/2+2，m/2+3，...，m；j＝n/2+1，依次重复步骤1.2)和1.4)，求出样本曲线SL_n/2+1上所有样本点；

2)对各组样本曲线G_k，k＝n/4，n/4-1，...，1，重复执行以下步骤2.1)～2.7)，求出各组样本曲线的全部样本点；

2.1)求出从光源中心指向点P_ij的光线矢量计算与平面S_i(j+1)的交点，得到点P_ij.其中，i＝m/2+1，j＝2k；

2.2)按照与步骤1.2)相同的方法，求出点P_ij处的法线矢量以及相应的平面S_ij；

2.3)计算从光源中心指向点P_i(j-1)的光线矢量计算与S_ij的交点，得到点P_i(j-1)；

2.4)当i＞0时，计算从光源中心指向点P_(i-1)j的光线矢量计算与S_ij的交点，得到点P_(i-1)j；

2.5)当i≤m时，计算从光源中心指向点P_(i+1)j的光线矢量计算与S_ij的交点，得到点P_(i+1)j；

2.6)对样本曲线SL_j上的各点P_ij，i＝m/2，m/2-1，...，1；j＝2k，依次重复步骤2.2)～2.4)；对样本曲线SL_j上的各点P_ij，i＝m/2+2，m/2+3，...，m+1；j＝2k，依次重复步骤2.2)～2.3)和2.5)，求出主样本曲线SL_j和辅助样本曲线SL_j-1上所有的样本点；

2.7)按照与步骤1.2)相同的方法，求出点P_i(j-1)处的法线矢量以及相应的平面S_i(j-1)·其中，i＝m/2+1，j＝2k；

3)按照与步骤2)类似的方法，求出各组样本曲线G_k，k＝n/4+1，n/4+2，...，n/2的全部样本点；

4)利用在步骤1)～3)中求出的样本点，通过拟合得到样本曲线SL₁，SL₂，...，SL_n+1·当n/2为奇数时，以样本曲线SL_n/2+1作为相邻两组G_(n+2)/4和G_(n+2)/4+1的公共主样本曲线，按照步骤1.1)和步骤1.2)确定点P_ij，并求出点P_ij处的法线和经过点P_ij并以为法线的平面S_ij，其中，i＝m/2+1，j＝n/2+1，按照与步骤2)相同的方法求出各组样本曲线G_k，k＝(n+2)/4，(n+2)/4-1，...，1的全部样本点，按照与步骤2)类似的方法求出各组样本曲线G_k，k＝(n+2)/4+1，(n+2)/4+2，...，n/2的全部样本点。

本发明的有益效果在于：本发明非成像透镜的设计方法，能够减小透镜表面法线方向的偏差，使照明区域内光通量的实际分布与预期分布更加一致，提高照明均匀度和能量利用率。透镜表面没有曲率突变的过渡连接面，便于制造。

附图说明

图1为本发明光源与受照区域位置示意图；

图2为本发明光源细分模型主视图；

图3为本发明光源细分模型左视图；

图4为本发明矩形受照区域沿宽度方向细分的示意图；

图5为本发明矩形受照区域沿长度方向细分的示意图；

图6为本发明分组求解样本曲线的示意图之一；

图7为本发明分组求解样本曲线的示意图之二；

图8为按照本发明设计方法得到的透镜曲面；

图9为本发明图8所示曲面的局部放大图；

图10为本发明受照区域的等照度曲线之一；

图11为本发明受照区域的等照度曲线之二。

具体实施方式

本发明所设计的透镜用于矩形区域的照明，透镜具有一个光线入射表面和一个出射表面，其中，光线入射表面为球面，球心与光源发光表面的中心重合，出射表面为自由曲面，采用分组的样本曲线构造，下面结合实例具体说明透镜的设计方法。

如图1所示光源与受照区域位置示意图，设需要照明的矩形区域11的长度为L、宽度为W，要求在该区域内照度均匀分布，照明光源12为LED，发光强度符合余弦分布，光源中心到受照区域的垂直距离为H，与矩形区域中心的水平距离为DX。

建立如图1所示的初始坐标系统，光源中心位于坐标原点O，光源主轴与Z轴重合，X轴与矩形宽度方向平行，Y轴与矩形长度方向平行，矩形区域11的一个对称轴13位于XOZ平面内，与X轴平行。同时建立球面坐标系统，以X轴为主轴，空间一点P的坐标表示为表示，其中θ为向量与X轴正方向的夹角，为在YOZ平面上的投影与Y轴正方向的夹角，r为的长度。

根据能量守恒的原理，对光源和受照区域分别进行细分，并在离散的光线和受照区域网格节点之间建立一一对应关系。方法如下：

1、光源细分：

如图2和图3所示光源细分模型主视和左视图，将光源辐射的总立体角Ω细分为m×n个单元，其中m为角θ的取值区间A的细分数，n为角的取值区间B的细分数，m和n均取偶数，为清晰起见，图2和图3中显示的细分数量比较少，m＝12，n＝24，在实际设计中，m和n应该取足够度大的值，如取m＝n＝180，以提高设计精度。区间A采用等间隔方式细分，步长Δθ＝Θ/m，其中，Θ为角θ的取值范围。区间B按组等间隔细分，从区间下限开始，每2个细分单元为一组，相邻两组之间的间隔为其中，Φ为角的取值范围。区间B每组内两个单元的步长之比其中，0＜k＜2，i＝1，3，5，...，n-1.调整r可以减小矩形受照区域边缘部分的光通量分布偏差。

坐标θ＝θ_i(其中，i＝1，2，...，m+1)的所有光线形成以x轴为旋转轴的部分圆锥面21，坐标(其中，j＝1，2，...，n+1)的所有光线形成扇面31，在处取一条光线，对应于第i个圆锥面与第j个扇面的交线，整个光源被离散为(m+1)×(n+1)条光线。光源细分单元22(表示为Ω_ij，其中，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n)由相邻的第i和第i+1个圆锥面和第j和第j+1个扇面围成。

2、受照区域细分：

与光源细分对应，沿宽度方向将矩形区域11细分为m个子矩形，如图4所示矩形受照区域沿宽度方向细分的示意图，光源在立体角45(由上述第i个圆锥面41和第i+1个圆锥面42以及第1个扇面43和第n个扇面44所围成)内发出的光通量与矩形区域11内第i个子矩形46内接收的光通量相等(其中，i＝1，2，...，m)，由此确定矩形区域11在宽度方向的细分步长(各子矩形的宽度)Δx₁，Δx₂，...，Δx_m.如图5所示矩形受照区域沿长度方向细分的示意图，沿矩形区域11长度方向将上述各子矩形分别细分为n个矩形单元，在一个矩形单元52(表示为D_ij，其中，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n)内接收的光通量与光源细分单元51(即上述Ω_ij)内的光通量相等，由此可以计算出各子矩形沿长度方向细分的各个步长，当矩形受照区域内照度均匀分布时，各子矩形沿长度方向细分的步长对应相等，分别为Δy₁，Δy₂，...，Δy_n.

通过上述细分，在矩形受照区域内形成m×n的网格，在网格节点54(表示为T_ij，其中，i＝1，2，...，m+1，j＝1，2，...，n+1)与光源光线53(表示为R_ij，其中，i＝1，2，...，m+1，j＝1，2，...，n+1)之间建立了一一对应关系。

为了使透镜外形比较规则，并减少光线在透镜内的反射损失，将光源绕y轴转动一定角度，使光源主轴指向矩形受照区域的中心，以光源主轴为Z轴，建立新的坐标系，新坐标系原点和Y轴与原始坐标系相同，求出矩形受照区域内所有网格节点在新坐标系中的坐标。

本发明的透镜出射表面采用样本曲线构造，与光源细分方式对应，共有n+1条样本曲线，依次表示为SL₁，SL₂，...，SL_n+1，每条样本曲线包括m+1个样本点(第i条样本曲线上的样本点依次表示为P_1i，P_2i，...，P_(m+1)i，其中，i＝1，2，...，n+1)。样本曲线SL_i上的各样本点P_ki与光源发出的光线R_ki对应。

以分组的方式求解样本曲线，每组由相邻的两条样本曲线组成(例如{SL₁，SL₂}，{SL₃，SL₄}等)，依次表示为G₁，G₂，...，G_n/2，在每组曲线中一条为主样本曲线，一条为辅助样本曲线，根据主样本曲线上各样本点处的入射和出射光线求解主样本曲线和辅助样本曲线上样本点的坐标。当n/2为偶数时，如图6所示分组求解样本曲线的示意图之一，样本曲线SL_n/2+1(图中617)单独计算，其他样本曲线按组求解。当n/2为奇数时，如图7所示分组求解样本曲线的示意图之二，样本曲线SL_n/2+1(图中78)与SL_n/2(图中79)和SL_n/2+2(图中710)分别构成G_(n+2)/4(图中76)和G_(n+2)/4+1(图中77)两组样本曲线，SL_n/2+1(图中78)在两组中均为主样本曲线。

当n/2为偶数时求解样本曲线的方法如下：

1)求样本曲线SL_n/2+1(图中617)：

1.1)在光源主光轴上取一点(π/2，π/2，r₀)作为样本曲线SL_n/2+1(图中617)的计算起点P_ij(图中61)，其中，i＝m/2+1，j＝n/2+1，r₀取值应明显大于光源发光表面的半径或边长。

1.2)计算从光源中心指向P_ij(图中61)的入射光线矢量和从P_ij(图中61)指向受照区域网格点T_ij的出射光线矢量

根据折射定律，按公式(3)由入射光线矢量和出射光线矢量求出透镜出射表面在P_ij(图中61)处的法线矢量(62)，由此得到经过点P_ij(61)并以(62)为法线的平面S_ij(图中63)。公式(3)中，n₀为透镜材料的折射率，n₁为空气的折射率。

1.3)求与相邻的从光源中心指向点P_(i-1)j(图中64)的光线矢量计算与S_ij(图中63)的交点64，得到点P_(i-1)j。

1.4)求与相邻的从光源中心指向点P_(i+1)j(图中65)的光线矢量计算与S_ij的交点65，得到点P_(i+1)j。

1.5)对样本曲线SL_n/2+1(图中617)上的各点P_ij(其中，i＝m/2，m/2-1，...，2，j＝n/2+1)，依次按照与步骤1.2)～1.3)相同的方法，求出相邻点P_(i-1)j；对样本曲线SL_n/2+1上的各点P_ij(其中，i＝m/2+2，m/2+3，...，m；j＝n/2+1)，依次按照与步骤1.2)和1.4)相同的方法，求出相邻点P_(i+1)j，从而得到样本曲线SL_n/2+1上所有样本点。

2)求各组样本曲线：

在一组样本曲线中，相邻的样本点构成连续排列的三角单元，每个三角单元由主样本曲线上相邻2点和辅助样本曲线上1点构成，如图6中由P_i(j-1)(图中66)、P_(i-1)(j-1)(图中67)和P_i(j-2)(图中68)三点构成的三角单元69，以及由P_(i-1)(j-1)(图中67)、P_(i-2)(j-1)(图中610)和P_(i-1)(j-2)(图中611)构成的三角单元612，每个三角单元以主样本曲线上的一个顶点为基准点，三角单元的法线由基准点处的入射光线和出射光线确定。

每组样本曲线以三角单元为单位求解，以三角单元69为例，求解一个三角单元的方法如下：

首先求出三角单元69的基准点66的坐标，然后按照与上述步骤1.2)相同的方法，求出基准点处的法线向量613，再按照与上述步骤1.3)相似的方法，求出三角单元69的其他两点67和68。

利用相邻样本曲线上已求出的样本点(如61)及其法线(如62)求解各组样本曲线中第一个三角单元(如69)的基准点，然后通过迭代求出各三角单元的基准点，从而求出所有样本点。

从G_n/4(图中622，由样本曲线618和619组成)开始计算各组样本曲线G_k，其中，k＝n/4，n/4-1，...，1，如图6所示，69为G_n/4的首个求解的三角单元，66为该三角单元的基准点，按照与步骤1.3)相似的方法，利用点61其法线62求出点66的坐标，然后按照上述方法，求解三角单元69和614，再通过迭代可以求出G_n/4中所有样本点。类似地，可以依次求出其他各组样本曲线的样本点。

样本曲线G_n/4+1，G_n/4+2，...，G_n/2的求解与上述过程类似，从G_n/4+1(图中623，由样本曲线620和621组成)开始，先求出三角单元615的基准点616，然后求解G_n/4+1中各三角单元，得到G_n/4+1中的全部样本点，再依次计算其他各组样本曲线的样本点。

3)利用所求出的样本点，通过拟合得到样本曲线SL₁，SL₂，...，SL_n+1：

当n/2为奇数时，如图7所示，首先按照步骤1.1)确定计算起始点71，以71作为三角单元72、73、74和75的基准点，采用与上述类似的方法分别求出G_(n+2)/4(76)和G_(n+2)/4+1(77)两组曲线的样本点，然后通过迭代求出其他各组样本曲线的样本点，最后通过拟合得到所有样本曲线。

求出所有样本曲线后，通过拟合得到通过所有样本曲线的自由曲面，作为透镜出射表面。图8为利用上述方法得到的透镜出射表面的曲面形状。图9是局部放大图，可以看出，在透镜表面具有细微波动的表面结构。

利用本发明的设计方法可以设计道路照明灯具的透镜，一个设计案例如下：需要照明的路面宽度为10米，长36米，灯杆高度8米，光源功率100W，灯具位于路面的正上方，根据上述要求设计的透镜的照明效果如图10所示。另一个设计案例的照明区域尺寸和光源功率与第一个案例相同，灯具位于路边，灯杆高度10米，悬挑长度为2.5米，照明效果如图11所示。

Claims

1.一种非成像透镜的设计方法，其特征在于，照明的区域为矩形区域，透镜出射表面采用样本曲线构造，共有n+1条样本曲线，依次表示为SL₁，SL₂，...，SL_n+1，每条样本曲线包括m+1个样本点，分组求解样本曲线，每两条样本曲线为一组，一条为主样本曲线，一条为辅助样本曲线，将光源的辐射空间和所述矩形区域细分为光通量对应相等的单元，光源辐射空间按角度细分，将光源离散为(m+1)×(n+1)条光线，在离散的光线与所述矩形区域的网格节点之间建立一一对应关系；根据主样本曲线上各样本点处的入射光线和出射光线求解主样本曲线和辅助样本曲线上所有样本点的坐标，通过拟合得到所有样本曲线，求出所有样本曲线后，通过拟合得到通过所有样本曲线的自由曲面，作为透镜出射表面。

2.根据权利要求1所述非成像透镜的设计方法，其特征在于，所述将光源辐射空间按角度细分，具体包括：以光源中心为坐标原点O，X轴和Y轴分别与所述矩形区域的宽度和长度方向平行，光源主轴与Z轴重合，矩形区域的对称中心位于XOZ平面内，建立球面坐标系统，X轴为球面坐标系统的主轴，将光源辐射的总立体角Ω细分为m×n个单元，其中m为球面坐标系统中角θ的取值区间A的细分数，n为角的取值区间B的细分数，m和n均取偶数，区间A采用等间隔方式细分，步长Δθ＝Θ/m，其中，Θ为角θ的取值范围；区间B按组等间隔细分，从区间下限开始，每2个细分单元为一组，相邻两组之间的间隔为其中，Φ为角的取值范围，区间B每组内两个单元的步长之比其中，0＜k＜2，i＝1，3，5，...，n-1，在处取一条光线，对应于第i个圆锥面与第j个扇面的交线，整个光源被离散为(m+1)×(n+1)条光线，光源细分单元表示为Ω_ij，其中，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n，由相邻的第i和第i+1个圆锥面和第j和第j+1个扇面围成。

3.根据权利要求2所述非成像透镜的设计方法，其特征在于，所述在离散的光线与所述矩形区域的网格节点之间建立一一对应关系具体包括：与光源细分对应，沿宽度方向将矩形区域细分为m个子矩形，光源在立体角Ω_i内发出的光通量与所述矩形区域内第i个子矩形内接收的光通量相等，其中i＝1，2，...，m，由此确定所述矩形区域在宽度方向的细分步长Δx₁，Δx₂，...，Δx_m；沿所述矩形区域长度方向将上述各子矩形分别细分为n个矩形单元D_ij，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n，在一个矩形单元D_ij内接收的光通量与光源细分单元Ω_ij内的光通量相等，由此计算出各子矩形沿长度方向细分的各个步长，当所述矩形区域内照度均匀分布时，各子矩形沿长度方向细分的步长对应相等，分别为Δy₁，Δy₂，...，Δy_n；在所述矩形区域内形成m×n的网格，在网格节点T_ij，i＝1，2，...，m+1，j＝1，2，...，n+1与光源光线R_ij，i＝1，2，...，m+1，j＝1，2，...，n+1之间建立了一一对应关系。

4.根据权利要求3所述非成像透镜的设计方法，其特征在于，所述求解主样本曲线和辅助样本曲线上所有样本点的坐标，具体步骤如下：

当n/2为偶数时，先求样本曲线SL_n/2+1上的样本点，再分组求出其他样本曲线上的参考点，具体方法如下：

1)求样本曲线SL_n/2+1上的样本点：

2.7)按照与步骤1.2)相同的方法，求出点P_i(j-1)处的法线矢量以及相应的平面S_i(j-1).其中，i＝m/2+1，j＝2k；

4)利用在步骤1)～3)中求出的样本点，通过拟合得到样本曲线SL₁，SL₂，...，SL_n+1.当n/2为奇数时，以样本曲线SL_n/2+1作为相邻两组G_(n+2)/4和G_(n+2)/4+1的公共主样本曲线，按照步骤1.1)和步骤1.2)确定点P_ij，并求出点P_ij处的法线和经过点P_ij并以为法线的平面S_ij，其中，i＝m/2+1，j＝n/2+1，按照与步骤2)相同的方法求出各组样本曲线G_k，k＝(n+2)/4，(n+2)/4-1，...，1的全部样本点，按照与步骤2)类似的方法求出各组样本曲线G_k，k＝(n+2)/4+1，(n+2)/4+2，...，n/2的全部样本点。