CN105633965A - 一种对分数阶单调谐lc滤波器进行设计的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种利用电容和电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计的方法，属于无源滤波器设计领域。本发明首先对电容电感的分数阶模型进行了分析，提出了电容和电感的分数阶阻抗形式，然后再根据串联电路的阻抗形式，对不同分数阶阶数下的电路的阻抗频率特性进行了分析。最后以最小电容安装容量和电路最佳调谐锐度Q值为目标进行对单调谐LC滤波器中的电容值、电感值和电阻值进行了分析。得出的单调谐LC滤波的导纳轨迹更加丰富而不仅仅是整数阶情况下的半圆；设计出的LC滤波器的阻抗频率特性相较与整数阶的情况下也更加准确；由于分数阶阶数的加入使得滤波器的设计也更加灵活；而且对于以后更多分数阶器件更广泛地用于滤波器设计具有指导意义。

Description

一种对分数阶单调谐LC滤波器进行设计的方法

技术领域

本发明提出了一种对分数阶单调谐LC滤波器进行设计的方法，属于无源滤波器设计领域。

背景技术

无源电力滤波器因为具有成本低，容量大，结构简单等优点，从而成为当前处理电力谐波问题的主要手段。而在无源滤波器的设计方法中，对LC元件参数的确定和优化是关键，关于无源滤波器中LC参数的设计方法已经提出了很多，但是目前提出的设计方法都是基于电容和电感的整数阶模型提出的。

而对实际电容和实际电感的数学模型的研究结果表明：实际电容和电感在本质上均是分数阶的，只不过分数阶阶数非常接近于1。所以对分数阶单调谐LC滤波器的设计更加符合电容和电感的本质属性。而且已经有国外学者制造出了分数阶阶数为0.59阶、0.42阶等更低阶数的分数阶电容。所以利用电容电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计对于未来分数阶器件用于LC滤波器具有指导意义。而且，分数阶电路的研究也已经成为了广大学者研究的热门课题，已经取得了一定的进展，无论是在分数阶系统的稳定性方面还是在分数阶电路的电路特性方面都取得了许多重要的结论。另外，由于分数阶LC滤波器的设计中，加入了分数阶阶数，设计时增加了一个自由度，因此使得工程设计更加灵活。所以利用电容和电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计更加准确和灵活，这是传统的整数阶设计方法没法达到的。

发明内容

本发明的内容是，以电容和电感的分数阶模型为基础，在单调谐LC滤波器设计过程中以最小电容器安装容量为目标，确定单调谐LC滤波器的电容值；根据需要滤除的谐波频率和电路的谐振频率，确定单调谐LC滤波器的电感值；之后考虑到滤波器实际应用时会发生失谐的情况，根据系统的总失谐度和最大阻抗角确定电路的最佳调谐锐度值Q；最后通过得到的Q值确定单调谐LC滤波器的电阻值。

本发明采取的技术方案是：

首先，对电容和电感的分数阶模型进行分析，得到分数阶电容和电感的阻抗形式，进一步得到分数阶串联RLC电路的阻抗形式。所述的分数阶模型，指的是电容和电感具有相同的分数阶阶数，而且分数阶阶数在0到1之间。

然后，考虑到滤波器电容安装容量越小，滤波器投资越小，以电容的最小安装容量为目标，对电路中电容分数阶阶数与电容安装容量的关系进行分析，得到电容值与分数阶阶数的关系。所述的电容最小安装容量，是既包括有功容量又包括无功容量。

其次，根据需要滤出的电路中的谐波频率和电路的谐振频率的关系，确定出单调谐LC滤波器中的电感值的大小。

再次，考虑到实际应用过程中滤波器会发生失谐的情况，根据系统的总失谐度和分数阶单调谐LC滤波器的阻抗形式，得到单调谐LC滤波器导纳轨迹以及系统导纳平面，对单调谐LC滤波器的导纳轨迹进行分析得到最佳调谐锐度Q值。所述的调谐锐度，是指在谐振频率下电路的电抗值与电阻值的比值。所述的导纳轨迹，由于分数阶阶数的不同而不再是整数阶情况下的半圆，是根据分数阶阶数的不同而不同弧度的圆弧。

最后根据得到的最佳调谐锐度Q值计算得到单调谐LC滤波器中的电阻值。

本发明的有益效果是：

(1)分数阶设计方法更加符合电容和电感的分数阶本质。

(2)设计出的元件参数值更加准确。

(3)增加了一个自由度，使得设计更加灵活。

(4)在一定情况下，电阻值为0，减少使用的元件数量。

(5)由于分数阶阶数的加入，使得串联RLC电路的阻抗形式中出现了很多整数阶不能够实现的情况。

附图说明

图1是分数阶单调谐LC滤波器的电路原理图。

图2是分数阶RLC串联电路的阻抗频率特性。

图3是不同阶数下滤波器的导纳轨迹。

图4是导纳轨迹及系统谐波导纳平面。

图5是系统的谐波导纳分析图；(a)第一种情况θ_max≥θ₀；(b)第二种情况θ_max＜θ₀。

具体实施方案

下面结合说明书附图和技术方案，对本发明具体实施方案作详细说明。

1.分数阶串联RLC电路

单调谐LC滤波器由滤波电容器、电抗器和电阻器串联而成的滤波装置，与谐波源并联，起到滤除谐波和无功补偿的作用。当电路中的电容和电感为分数阶模型式，滤波器则成为分数阶单调谐LC滤波器，α为电路的分数阶阶数，图1所示为单调谐滤波器的电路原理图。

电路中的电容和电感的阻抗形式分别为：

$Z_C=\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}cos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}-j\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}sin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}---\left(1\right)$

$Z_L={\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}Lcos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+{\mathrm{j\ω}}^{\mathrm{\α}}Lsin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}---\left(2\right)$

根据电路理论可以得知，分数阶单调谐LC滤波器电路的阻抗为：

$\frac{Z(j\mathrm{\ω},\mathrm{\α})}{R}=1+\frac{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}L}{R}cos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}RC}cos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+j(\frac{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}L}{R}sin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}RC}sin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2})---\left(3\right)$

根据公式(3)，当RC＝L/R＝0.01时，电路的阻抗频率特性，如图2所示。

由上图可见，电路分数阶阶数的变化会导致的谐振频率和调谐锐度的变化，会对电路的阻抗频率特性产生影响，进而影响滤波效果。

2.电容值C的确定

滤波器电容安装容量最小，则滤波器投资最少，从最小滤波电容安装容量方面来设计滤波器的电容值C。

流过滤波支路的电流包括n次谐波电流I_f(n)和由基波电压U₍₁₎引起的基波电流I_f(1)。

$I_{f\left(1\right)}=\frac{U_{\left(1\right)}}{\sqrt{{({\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}Lcos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}cos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2})}^2+{({\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}Lsin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}-\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}sin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2})}^2}}---\left(4\right)$

利用式(12)对式(4)进行化简可得：

$I_{f\left(1\right)}={\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C\frac{n^{2\mathrm{\α}}}{\sqrt{n^{4\mathrm{\α}}+2n^{2\mathrm{\α}}cos\mathrm{\α}\mathrm{\π}+1}}{U}_{\left(1\right)}---\left(5\right)$

因此安装容量S_(n)包括有功容量P和无功容量Q，其中P包括基波有功容量P₍₁₎和谐波有功容量P_(n)，Q包括基波无功容量Q₍₁₎和谐波无功容量Q_(n)。

$\begin{array}{c}{S}_{\left(n\right)}=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{{(P_{\left(1\right)}-P_{\left(n\right)})}^2+{(Q_{\left(1\right)}+Q_{\left(n\right)})}^2}\\ =\sqrt{\begin{array}{c}{(I_{f\left(1\right)}^2\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+I_{f\left(n\right)}^2\frac{1}{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}C}\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2})}^2\\ +{(I_{f\left(1\right)}^2\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+I_{f\left(n\right)}^2\frac{1}{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}C}\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2})}^2\end{array}}\\ =\frac{1}{{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C}{I}_{f\left(1\right)}^2+\frac{1}{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}C}{I}_{f\left(n\right)}^2\end{array}---\left(6\right)$

滤波支路输出的基波容量为：

$Q_1=U_{\left(1\right)}{I}_{f\left(1\right)}={\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}C\frac{n^{2\mathrm{\α}}}{\sqrt{n^{4\mathrm{\α}}+2n^{2\mathrm{\α}}cos\mathrm{\α}\mathrm{\π}+1}}{U}_{\left(1\right)}^2---\left(7\right)$

利用式(5)、(7)可将式(6)写成：

$S_{\left(n\right)}=\frac{n^{2\mathrm{\α}}}{\sqrt{n^{4\mathrm{\α}}+2n^{2\mathrm{\α}}cos\mathrm{\α}\mathrm{\π}+1}}(Q_1+\frac{U_{\left(1\right)}^2{I}_{f\left(1\right)}^2}{n^{\mathrm{\α}}{Q}_1})---\left(8\right)$

取基准容量为S_B＝U₍₁₎I_f(n)，上式可以写成标幺值形式：

$S_{\left(n\right)}=\frac{n^{2\mathrm{\α}}}{\sqrt{n^{4\mathrm{\α}}+2n^{2\mathrm{\α}}cos\mathrm{\α}\mathrm{\π}+1}}(Q_1^{*}+\frac{1}{n^{\mathrm{\α}}{Q}_1^{*}})---\left(9\right)$

式中，

由上式可以求得，当时，为最小，且为

$S_{\left(n\right)min}^{*}=\frac{2n^{2\mathrm{\α}}}{\sqrt{n^{\mathrm{\α}}}\sqrt{n^{4\mathrm{\α}}+2n^{2\mathrm{\α}}cos\mathrm{\α}\mathrm{\π}+1}}---\left(10\right)$

因此，可以得出对应最小电容器安装容量的电容量为：

$C=\frac{I_{f\left(n\right)}}{U_{\left(1\right)}{\mathrm{\ω}}^{\mathrm{\α}}}\frac{\sqrt{n^{4\mathrm{\α}}+2n^{2\mathrm{\α}}cos\mathrm{\α}\mathrm{\π}+1}}{\sqrt{n^{\mathrm{\α}}}{n}^{2\mathrm{\α}}}---\left(11\right)$

3.电感值L的确定

单调谐LC滤波器的谐振频率为：

${\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}---\left(12\right)$

根据电路的谐振条件可以得到电感值为：

$L=\frac{1}{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{2\mathrm{\α}}C}---\left(13\right)$

4.电阻值R确定

考虑滤波器失谐因素之后，可得相对偏差δ为(ω_s为实际电网角频率，ω_sN为额定电网角频率)：

$\mathrm{\δ}=\frac{{\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_{sN}}{{\mathrm{\ω}}_{sN}}---\left(14\right)$

于是n次谐波下电路的阻抗

$Z_{fh}=R+{\left({\mathrm{n\ω}}_s\right)}^{\mathrm{\α}}L\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+\frac{1}{{\left({\mathrm{n\ω}}_s\right)}^{\mathrm{\α}}C}\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+j\[{\left({\mathrm{n\ω}}_s\right)}^{\mathrm{\α}}L\sin \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}-\frac{1}{{\left({\mathrm{n\ω}}_s\right)}^{\mathrm{\α}}C}\sin \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}\]---\left(15\right)$

根据式(12)、(14)对式(15)进行化简可得：

Z_fn＝R_fn+jX_fn(16)

式(16)中

$\left\{\begin{array}{c}{R}_{fn}=R+\frac{{(1+\mathrm{\δ})}^{2\mathrm{\α}}+1}{{(1+\mathrm{\δ})}^{\mathrm{\α}}}\\ R_X=\sqrt{\frac{L}{C}}\cos \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}\\ X_{fn}=\frac{{(1+\mathrm{\δ})}^{2\mathrm{\α}}-1}{{(1+\mathrm{\δ})}^{\mathrm{\α}}}{X}_0\\ X_0=\sqrt{\frac{L}{C}}\sin \frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}\end{array}\right.---\left(17\right)$

根据(17)式可得电路的导纳为：

$Y_{fn}=\frac{1}{R_{fn}+{\mathrm{jX}}_{fn}}=G+jB---\left(18\right)$

其中对导纳进行数学分析可得：

$G^2+{(B+\frac{1}{2X_{fn}})}^2={\left(\frac{1}{2X_{fn}}\right)}^2---\left(19\right)$

导纳向量与G轴的夹角θ为：

$tan\mathrm{\θ}=\frac{B}{G}=\frac{\[{(1+\mathrm{\δ})}^{2\mathrm{\α}}-1\]X_0}{{(1+\mathrm{\δ})}^{\mathrm{\α}}R+\[{(1+\mathrm{\δ})}^{2\mathrm{\α}}+1\]R_X}---\left(20\right)$

看出当R＝0时，tanθ取得最大值，其最大值为

${\mathrm{tan\θ}}_{max}=\frac{\[{(1+\mathrm{\δ})}^{2\mathrm{\α}}-1\]}{\[{(1+\mathrm{\δ})}^{2\mathrm{\α}}+1\]}tan\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}---\left(21\right)$

当α＝0.95，098，0.995，1时的系统的导纳轨迹(L＝1mH、C＝1uF、δ＝0.02，R的变化范围从0到100Ω)，如图3所示的不同阶数下滤波器的导纳轨迹。

由于滤波器的失谐，滤波器的滤波性能不仅取决于谐振频率点处的阻抗值而且取决于谐振频率附近的阻抗特性，因此需要对滤波器的调谐锐度进行设计。滤波器的调谐锐度为谐振频率下L或C的电抗与支路电阻R_fn的比值：

$Q=\frac{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}Lsin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}}{R+{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}Lcos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}+\frac{1}{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}C}cos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}}---\left(22\right)$

由于单调谐滤波器与系统是并联的，综合谐波导纳：Y_sf＝Y_fn+Y_s(Y_s为系统导纳)，如图4所示的导纳轨迹及系统谐波导纳平面。可用系统最大阻抗角来描述系统谐波阻抗Y_s，最大阻抗角一般在±80°～±85°范围内。谐波电压为U(n)＝I(n)/Y_sf，因此可以分析为了使谐波电压满足滤波的要求，考虑最不利的情况下，应该使Y_sf为最小值，即Y_sf(n)垂直于系统谐波导纳阴影的边界线为了谐波电压达到最小值，选取的最佳Q值应该使得Y_sf极小值达到最大。要求系统谐波导纳的阴影部分在点D处与滤波器导纳圆相切，这样能使系统获得最佳的滤波效果。

当系统阻抗最大阻抗角与导纳圆相切时，由几何关系可以得：

${\mathrm{\θ}}_0=\frac{\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}_m}{2}---\left(23\right)$

当电路中的电容和电感是分数阶元件时，电路的导纳轨迹将不再是完整的半圆，将最佳Q值的选择问题分成两种情况进行讨论，如图5所示的谐波导纳分析图。

(1)当θ_max≥θ₀时：为了使得Y_sf的极小值为最大，应选择导纳角为θ₀的RL_αC_α电路，这与整数阶情况下的选取规则是一致的。根据公式(20)、(22)、(23)可以推得此时RL_αC_α电路的最佳Q值为：

(2)当θ_max＜θ₀时：同样为了Y_sf的极小值为最大，应选择导纳角为θ_max的RL_αC_α电路。此时RL_αC_α电路中R＝0，所以由公式(12)、(22)得此时电路的最佳Q值为：

$Q_{opt}=\frac{1}{2}tan\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}---\left(25\right)$

如果最佳Q值的选取是第一种情况，滤波器中电阻值根据公式(22)得：

$R=\frac{{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}Lsin\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}}{Q_{opt}}-2{\left(n\mathrm{\ω}\right)}^{\mathrm{\α}}Lcos\frac{\mathrm{\α}\mathrm{\π}}{2}---\left(26\right)$

如果最佳Q值的选取是第二种情况，则滤波器中电阻值为0。

Claims (2)

1.一种利用电容和电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计的方法，其特征在于：根据分数阶串联RLC电路的阻抗形式，以电容最小安装容量和电路最佳调谐锐度为目标，对分数阶单调谐LC滤波器中的电容值、电感值和电阻值进行分析，利用单调谐LC滤波器的导纳轨迹，得到最后单调谐LC滤波器的元件参数；具体步骤如下：

(1)对电容和电感的分数阶模型进行分析，得到分数阶电容和电感的阻抗形式，进一步得到分数阶串联RLC电路的阻抗形式；所述的分数阶模型，指的是电容和电感具有相同的分数阶阶数，而且分数阶阶数在0到1之间；

(2)考虑到滤波器电容安装容量越小，滤波器投资越小，以电容的最小安装容量为目标，对电路中电容分数阶阶数与电容安装容量的关系进行分析，得到电容值与分数阶阶数的关系；所述的电容最小安装容量，是既包括有功容量又包括无功容量；

(3)根据需要滤出的电路中的谐波频率和电路的谐振频率的关系，确定出单调谐LC滤波器中的电感值的大小；

(4)考虑到实际应用过程中滤波器会发生失谐的情况，根据系统的总失谐度和分数阶单调谐LC滤波器的阻抗形式，得到单调谐LC滤波器导纳轨迹以及系统导纳平面，对单调谐LC滤波器的导纳轨迹进行分析得到最佳调谐锐度Q值；所述的调谐锐度，是指在谐振频率下电路的电抗值与电阻值的比值；所述的导纳轨迹，由于分数阶阶数的不同而不再是整数阶情况下的半圆，是根据分数阶阶数的不同而不同弧度的圆弧；

(5)最后根据得到的最佳调谐锐度Q值计算得到单调谐LC滤波器中的电阻值。

2.根据权利要求1所述的一种利用电容和电感的分数阶模型对单调谐LC滤波器进行设计的方法，其特征在于以下步骤：

(1)分数阶串联RLC电路

单调谐LC滤波器由滤波电容器、电抗器和电阻器串联而成的滤波装置，与谐波源并联，起到滤除谐波和无功补偿的作用；当电路中的电容和电感为分数阶模型式，滤波器则成为分数阶单调谐LC滤波器，α为电路的分数阶阶数；

电路中的电容和电感的阻抗形式分别为：

根据电路理论得知，分数阶单调谐LC滤波器电路的阻抗为：

(2)电容值C的确定

流过滤波支路的电流包括n次谐波电流I_f(n)和由基波电压U₍₁₎引起的基波电流I_f(1)；

利用式(12)对式(4)进行化简得：

安装容量S_(n)包括有功容量P和无功容量Q，其中P包括基波有功容量P₍₁₎和谐波有功容量P_(n)，Q包括基波无功容量Q₍₁₎和谐波无功容量Q_(n)；

滤波支路输出的基波容量为：

利用式(5)、(7)将式(6)写成：

取基准容量为S_B＝U₍₁₎I_f(n)，上式可以写成标幺值形式：

式中，

由上式求得，当时，为最小，且为

因此，得出对应最小电容器安装容量的电容量为：

(3)电感值L的确定

单调谐LC滤波器的谐振频率为：

根据电路的谐振条件得到电感值为：

(4)电阻值R确定

考虑滤波器失谐因素之后，得相对偏差δ为：

ω_s为实际电网角频率，ω_sN为额定电网角频率；

n次谐波下电路的阻抗

根据式(12)、(14)对式(15)进行化简可得：

Z_fn＝R_fn+jX_fn(16)

式(16)中

根据(17)式得电路的导纳为：

其中对导纳进行数学分析得：

导纳向量与G轴的夹角θ为：

看出当R＝0时，tanθ取得最大值，其最大值为

滤波器的调谐锐度为谐振频率下L或C的电抗与支路电阻R_fn的比值：

由于单调谐滤波器与系统是并联的，综合谐波导纳：Y_sf＝Y_fn+Y_s(Y_s为系统导纳)；可用系统最大阻抗角来描述系统谐波阻抗Y_s，最大阻抗角一般在±80o～±85o范围内；谐波电压为U(n)＝I(n)/Y_sf，因此可以分析为了使谐波电压满足滤波的要求，考虑最不利的情况下，应该使Y_sf为最小值，即Y_sf(n)垂直于系统谐波导纳阴影的边界线为了谐波电压达到最小值，选取的最佳Q值应该使得Y_sf极小值达到最大；要求系统谐波导纳的阴影部分在点D处与滤波器导纳圆相切，这样能使系统获得最佳的滤波效果；

当系统阻抗最大阻抗角与导纳圆相切时，由几何关系得：

当电路中的电容和电感是分数阶元件时，电路的导纳轨迹将不再是完整的半圆，将最佳Q值的选择问题分成两种情况：

(1)当θ_max≥θ₀时：为了使得Y_sf的极小值为最大，应选择导纳角为θ₀的RL_αC_α电路，这与整数阶情况下的选取规则是一致的；根据公式(20)、(22)、(23)可以推得此时RL_αC_α电路的最佳Q值为：

(2)当θ_max<θ₀时：同样为了Y_sf的极小值为最大，应选择导纳角为θ_max的RL_αC_α电路；此时RL_αC_α电路中R＝0，所以由公式(12)、(22)得此时电路的最佳Q值为：

如果最佳Q值的选取是第一种情况，滤波器中电阻值根据公式(22)得：

如果最佳Q值的选取是第二种情况，则滤波器中电阻值为0。