CN105553900A - 一种空间调制信号的球形译码方法 - Google Patents

Abstract

一种空间调制信号的球形译码方法，属于多天线无线通信领域。为了解决传统用于空间调制的球形译码算法运算复杂度高的问题。本发明将球形译码算法应用于空间调制系统，根据球形译码算法在一个给定半径的球体内逐层搜索的思想，空间调制的球形译码算法仅仅搜索欧几里得距离在超球半径以内的点，保留下来的具有最短欧几里得距离的点就是检测出的发射信号。这种算法减少了遍历搜索的可能发射向量个数，可以明显减小搜索范围。本发明具有独特的码搜索树结构，每个检测符号实数化后的对应的两层位置相邻且相互独立，减少了欧几里得运算次数，从而降低了运算复杂度。通过仿真，验证了本发明具有和最大似然检测几乎一致的最优误码性能，且运算复杂度最低。

Description

一种空间调制信号的球形译码方法

技术领域

本发明属于多天线无线通信领域，具体涉及的是一种用于空间调制系统的球形译码检测方法。

背景技术

空间调制(SpatialModulation,SM)技术是一种具有创造性的多天线传输技术，克服了MIMO系统在信道间干扰、天线间同步、能量效率等方面的不足。SM系统采用工作发射天线的位置和调制星座图来共同表示发射信息，即将发射信息分为两部分：第一部分被称为“空间比特”，用以选择在各个时刻进行符号发送的发射天线序号；第二部分被称为“调制比特”，用来在调制星座图中选择一个调制符号。在一个发送符号时隙只有一个发射天线工作，其它发射天线则暂时处于空闲的状态。这样不仅有效避免了信道间干扰和天线间同步，还降低了射频模块数量，并减少了整个系统能耗。

球形译码(SphereDecoding,SD)算法的思想是在以接收信号为中心，初始半径给定的球体内进行遍历搜索，寻求超球体内距离接收信号最近的点。若搜索到一个信号格点与接收信号格点间欧几里得距离小于搜索半径，则将搜索半径更新为其欧几里得距离，在缩小后的球体内继续搜索；如果在给定半径内没有搜索到满足条件的信号点，则放大半径重新搜索，直到得到满足最后条件的信号点，即为发射信号的估计值。SD的过程可等效为一颗“码搜索树”。搜索从第一层，即球体的最外维开始，按照上述搜索方法逐次向更低维进行，在搜索结束后保留下来的最短路径就是检测到的发射信号。

将球形译码的思想运用到空间调制之中，便得到了空间调制——球形译码(SM-SD)算法。SM-SD算法运用了球形译码算法的思想，

$\left\{\right||y-{\mathrm{Hx}}_{l,s}|{|}_F^2\}\≤R^2$

y为接收向量，x_l,s为可能的发射向量，R为给定的搜索半径，SM-SD算法仅仅搜索欧几里得距离在超球搜索半径以内的点，这种算法减少了遍历搜索的可能发射向量个数，可以明显减小搜索范围，并且具有优良的性能。

传统空间调制——球形译码(SM-SD)算法所采用的的实数化方式，使得搜索过程只能逐层进行，任一层检测符号的解码都建立在之前所有层检测符号的解码基础上，使得算法不能并行运算，这个缺点使得这些算法的运算复杂度较高。

发明内容

本发明的目的是为了解决传统用于空间调制的球形译码算法运算复杂度高导致译码速度低的问题，本发明提供一种空间调制信号的球形译码方法。

本发明的一种空间调制信号的球形译码方法，所述方法包括如下步骤：

步骤一、发射天线数为N_t，接收天线数为N_r的SM系统的接收信号b为高斯白噪声，将接收信号y、信道H和发送信号x_l,s进行实数化，转变为高维的实数形式 和

步骤二、利用码搜索树进行搜索，码搜索树的第i层对应第k＝2N_t-i+1维，从第i＝1层开始搜索；

步骤三、根据 转换成2N_t×1维的接收向量计算出第i层中的取值范围，找到满足此取值范围的发射向量判断满足取值范围的发射向量对应的的值是否等于0，若否，则转入步骤四；若是，则转入步骤六；

步骤四、对于满足步骤二中取值范围且的发射向量根据 转换成2N_t×1维的接收向量计算出第i+1层的取值范围，找到满足此取值范围的发射向量转入步骤五；

步骤五、计算满足步骤四中取值范围的发射向量与接收向量间的欧几里得距离，并检验发射向量是否位于球体之中；若是，则确定发射向量为一个球内的发射信号，将此格点保存，并将搜索半径R更新为此格点的欧几里得距离，转入步骤四；

步骤六、对于满足步骤三中取值范围且的发射向量其第i+1层若满足i<2N_t，转入步骤三，否则，转入步骤七；

步骤七、保存的格点为检测到的发射信号本方法结束。

所述为：

H_m,n是从第n根发射天线到第m根接收天线间的复数路径增益，和分别表示取括号内变量的实部和虚部；n＝{1,2,…,N_t}，m＝{1,2,…,N_r}；

利用码搜索树进行搜索，检测发射向量中各维元素的顺序

所述步骤三和步骤四中，根据计算取值范围时，将经QR分解： $\stackrel{\&OverBar;}{H}=Q\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{D}\\ 0_{(2N_r-N_t)\&times;2N_t}\end{array}\right]$

其中，为2N_t×2N_t维的上三角矩阵，Q为2N_r×2N_r维的正交矩阵，且Q＝[Q₁Q₂]，Q₁和Q₂分别是2N_r×2N_t维和2N_r×(2N_r-2N_t)维的矩阵；

定义表示2N_t×1维的接收向量，为接收向量的第i维元素，(·)^H表示括号内信号的共轭转置；

$\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{y}-{\stackrel{\&OverBar;}{Hx}}_{l,s}|{|}_F^2\&le;R^2$ 变换为：

$\underset{i=1}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_i-\underset{j=i}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(i,j)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}\left(j\right)\&rsqb;}^2\&le;R^2;$

表示矩阵中的第i行第j列的元素，表示向量的第j维元素；

所述步骤三和步骤四，根据计算取值范围。

所述在经过QR分解后的上三角矩阵呈现的稀疏性：当k＝1,3,…,2N_t-1时， ${\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{k,k+1}=0;$

因为的这种稀疏性，使得码搜索树相邻两层是相互独立的，2N_t-1层和2N_t层的欧几里得距离可以并行计算。

所述步骤三中，计算出第i层中的取值范围为：

$\frac{-R^{\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i+1,2N_t-i+1)}}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i+1)\&le;\frac{R^{\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i+1,2N_t-i+1)}};$

其中，R'表示 $R^{\&prime;2}=R^2-\underset{m=2N_t-i+2}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\left|{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_m\right|}^2.$

所述步骤四中，计算出第i+1层的取值范围为：

$\frac{-R^{\&prime;\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i,2N_t-i)}}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i)\&le;\frac{R^{\&prime;\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i,2N_t-i)}};$

其中， $R^{\&prime;\&prime;2}=R^{\&prime;2}-{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1|2N_t-i+1}^2.$

本发明的有益效果在于，本发明采用新型实数化方式的空间调制——球形译码算法，对复向量经过实数化重排之后，信号的检测顺序发生改变，码搜索树结构新颖独特，两维非零元素位于相邻位置。除此之外，信道经QR分解之后的上三角矩阵呈现了稀疏性，使得搜索树中相邻的两层互不影响，有效降低了运算复杂度。本发明提出的新型SM-SD算法在保持了与ML算法相同的误码率性能的同时，与传统SM-SD算法相比，有效降低了运算复杂度。通过仿真表明，在适合MIMO系统的结构、调制方式和接收端的信噪比等参数，新型SM-SD算法降低运算复杂度的效果十分明显，如当N_t＝N_t＝4，调制星座图大小M＝4和N_t＝N_t＝8，调制星座图大小M＝16时，新型SM-SD算法相比其他算法，在降低运算复杂度方面的有很大优势，仅仅为SM-ML算法的10％左右。另外，在N_t或M较小，N_r不是很大的情况下，新型SM-SD算法降低运算复杂度的效果十分理想，提高了译码速度，这也表明了本发明在实际应用中具有可行性。

附图说明

图1为具体实施方式涉及的一种4×4且采用4QAM调制的SM系统的码搜索树结构图；

图2为具体实施方式中Step1和Step2的流程示意图。

图3为具体实施方式中Step3的流程示意图。

图4为具体实施方式中涉及的在发收天线数量为N_t＝N_t＝4且采用4QAM调制时，本实施方式提出的新型SM-SD算法与传统算法(Rx-SD、C-SD)、SM-ML算法的误码性能对比图；

图5为具体实施方式中涉及的在发收天线数量为N_t＝N_t＝4且采用4QAM调制时，本具体实施方式提出的新型SM-SD算法与传统算法(Rx-SD、C-SD)的运算复杂度对比图，纵轴表示相对运算复杂度，其结果以相对于SM-ML算法的减少量来表示。

具体实施方式

传统SM-SD算法中，信道矩阵和发射信号向量的实数化形式分别为：

发射向量中只有两个非零变量，即发射信号x_l,s中非零元素的的虚部和实部假设工作发射天线的位置是l，则两个非零值和实部的位置分别位于发射向量的第l+N_t维中和在第l维，其他维度上的元素均为0，代表该位置的发射天线不工作。

经QR分解后得到的上三角矩阵的形式为

的这种结构给码搜索树带来限制，使得在检测时的搜索过程必须按顺序从一层向下一层进行，且高维非零元素会对低维非零元素的检测产生影响。

本实施方式采用了一种新型实数化方式，信道矩阵和发射信号的实数化形式分别变成：

H_m,n是从第n根发射天线到第m根接收天线间的复数路径增益，和分别表示取括号内变量的实部和虚部；n＝{1,2,…,N_t}，m＝{1,2,…,N_r}；

利用码搜索树进行搜索，检测发射向量中各维元素的顺序

此时，经QR分解后得到的上三角矩阵的形式为

所述在经过QR分解后的上三角矩阵呈现的稀疏性：当k＝1,3,…,2N_t-1时， ${\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{k,k+1}=0;$

由此使得实数发射向量非零元素位置相邻，码搜索树相邻两层是相互独立的，层欧几里得距离可以并行计算，因而降低了运算复杂度。例如，在计算最上层的层欧几里得距离的同时，下一层的层欧几里得距离也进行计算，实数乘法的运算次数减少1次。

而球形译码的思想将经QR分解： $\stackrel{\&OverBar;}{H}=Q\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{D}\\ 0_{(2N_r-N_t)\&times;2N_t}\end{array}\right]$

其中，为2N_t×2N_t维的上三角矩阵，Q为2N_r×2N_r维的正交矩阵，且Q＝[Q₁Q₂]，Q₁和Q₂分别是2N_r×2N_t维和2N_r×(2N_r-2N_t)维的矩阵；

定义表示2N_t×1维的接收向量，为接收向量的第i维元素，(·)^H表示括号内信号的共轭转置；

$\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{y}-{\stackrel{\&OverBar;}{Hx}}_{l,s}|{|}_F^2\&le;R^2$ 变换为：

$\underset{i=1}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_i-\underset{j=i}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(i,j)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}\left(j\right)\&rsqb;}^2\&le;R^2$ 公式一；

表示矩阵中的第i行第j列的元素，表示向量的第j维元素；

结合图1说明本实施方式，本实施方式所述的一种空间调制信号的球形译码方法，所述方法包括：

发射天线数为N_t，接收天线数为N_r的SM系统的接收信号b为高斯白噪声，将接收信号y、信道H和发送信号x_l,s进行实数化，转变为高维的实数形式和

在此SM-SD算法中，能执行到第i层(第k＝2N_t-i+1维)的点必然满足在第i-1层(第k＝2N_t-i+2维)和第i-2层(第k＝2N_t-i+3维)中，和 ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i+3)=0.$ 由于当i＝1时，并不存在和所以上述的分析只适用于i≥3的层，对于第1层和第2层，直接进行计算，如果这两层对应的 ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}\left(2N_t\right)=0$ 和 ${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-1)=0,$ 则开始执行第3层。

此算法从码搜索树第一层(i＝1)开始执行以下步骤。初始条件下，假设所有发射向量构成一个集合φ₁，再定义一个φ₂为空集，将来用于保存位于半径内的发射向量。图1为一种4×4且采用4QAM调制的SM系统的码搜索树结构图；

如图2所示，Step1：

根据公式一，按照SD分析方法，在第i层(第k＝2N_t-i+1维)，考虑的可取值。所以第i层中，的取值范围如下：

$\frac{-R^{\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i+1,2N_t-i+1)}}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i+1)\&le;\frac{R^{\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i+1,2N_t-i+1)}};$

其中， $R^{\&prime;2}=R^2-\underset{m=2N_t-i+2}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\left|{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_m\right|}^2;$

遍历集合φ₁中的发射向量，如果集合φ₁中任何一个发射向量的都不满足取值范围，并且集合φ₂为空集，则增大半径R，令i＝1，φ₁装入全部发射向量，重新回到Step1。

如果集合φ₁中任何一个发射向量的都不满足取值范围，但集合φ₂为非空集，则算法结束，集合φ₂中的唯一发射向量即是发射信号。

如果集合φ₁中存在发射向量的满足取值范围，则去掉集合φ₁中不满足取值范围的发射向量，执行Step2。

如图2所示，Step2：

对集合φ₁中每个发射向量的的取值进行依次判断。如果结果是集合φ₁中全部发射向量满足这一情况，则对每个向量执行Step3，执行完毕，集合φ₁为空，返回到Step1。

其他情况下，对于满足的每一个发射向量，都执行Step3。

之后，令i＝i+2，若满足i<2N_t，则返回Step1；若i>2N_t，集合φ₁为空，对集合φ₂进行判断。若集合φ₂非空，则算法结束，若集合φ₂仍为空，则增大半径R，令i＝1，φ₁装入全部发射向量，重新回到Step1。

如图3所示，Step3：

若某个发射向量满足根据公式一，则这个发射向量的的取值范围为：

$\frac{-R^{\&prime;\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i,2N_t-i)}}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i)\&le;\frac{R^{\&prime;\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i,2N_t-i)}};$

其中 $R^{\&prime;\&prime;2}=R^{\&prime;2}-{|{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}-\stackrel{\&OverBar;}{D}(2N_t-i+1,2N_t-i+1){\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i+1)|}^2,$ 设 ${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{a|b}={\stackrel{\&OverBar;}{z}}_a-\stackrel{\&OverBar;}{D}(a,b){\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}\left(b\right),$ 所以 $R^{\&prime;\&prime;2}=R^{\&prime;2}-{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1|2N_t-i+1}^2.$

如果这个发射向量的不满足取值范围，则从集合φ₁中去除这个发射向量，然后返回到Step2。

如果这个发射向量的满足取值范围，需要对这一对可取值所对应发射向量的总欧几里得距离以给定半径R进行检验，计算第i+1层的部分欧几里得距离w_i+1。由于实数化矩阵中元素所以在计算第i层和第i+1层的层欧几里得距离时相互独立，即第i+1层的层欧几里得距离不受的影响。

如果此时集合φ₂为空，则令M＝R²。如果w_i+1大于M，则从集合φ₁中去除此发射向量，返回Step2；否则，对总的欧几里得距离进行检验。

在累加计算总距离的过程中，一旦发现累加和大于M，则从集合φ₁中去除此点，返回Step2。若总距离小于M，则得到一个球内的点，对应的发射向量为：

${\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}={(0,...0,{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i+1),{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i),0,...,0)}^T$

将此发射向量保存到集合φ₂中替换其中原来的发射向量。更新M为此点的欧几里得总距离，并从集合φ₁中删去此发射向量。返回Step2。

下面结合一个具体例子来对空间调制信号的球形译码算法做进一步说明。

设定SM系统的发射天线和接收天线数量为N_t＝N_r＝4，采用4QAM调制方式，信道为瑞利平坦衰落信道，噪声为加性高斯白噪声。SD的初始搜索半径是在这一条件下根据来选取的，α为常数，为噪声功率。分别采用新型的SM-SD算法，传统的算法(Rx-SD算法和C-SD算法)和最大似然检测SM-ML算法，将此新型SM-SD算法的误码性能和运算复杂度与其他几种算法相比较。

图4给出了在上述仿真条件下，此新型SM-SD算法与其他几种算法的误码性能比较图。从图中我们可以发现，本发明提出的新型SM-SD算法的误码性能与SM-ML完全相同，说明该算法可以达到几乎最优的误码性能。

图5给出了在上述仿真条件下，此新型SM-SD算法与其他几种算法的运算复杂度的比较图。图的纵轴表示本发明提出的新型SM-SD算法，Rx-SD算法和C-SD算法相对于SM-ML算法的运算复杂度减少量，曲线位置越高表示运算复杂度越低。从图中可以看出，新型SM-SD算法的运算复杂度明显低于现有的Rx-SD算法和C-SD算法，相对SM-ML的运算复杂度减少量可以达到90％以上。

Claims (6)

1.一种空间调制信号的球形译码方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤一、发射天线数为N_t，接收天线数为N_r的SM系统的接收信号b为高斯白噪声，将接收信号y、信道H和发送信号x_l,s进行实数化，转变为高维的实数形式 和

步骤二、利用码搜索树进行搜索，码搜索树的第i层对应第k＝2N_t-i+1维，从第i＝1层开始搜索；

步骤三、根据 转换成2N_t×1维的接收向量计算出第i层中的取值范围，找到满足此取值范围的发射向量判断满足取值范围的发射向量对应的的值是否等于0，若否，则转入步骤四；若是，则转入步骤六；

步骤四、对于满足步骤二中取值范围且的发射向量根据 转换成2N_t×1维的接收向量计算出第i+1层的取值范围，找到满足此取值范围的发射向量转入步骤五；

步骤五、计算满足步骤四中取值范围的发射向量与接收向量间的欧几里得距离，并检验发射向量是否位于球体之中；若是，则确定发射向量为一个球内的发射信号，将此格点保存，并将搜索半径R更新为此格点的欧几里得距离，转入步骤四；

步骤六、对于满足步骤三中取值范围且的发射向量其第i+1层i＝i+2，若满足i<2N_t，转入步骤三，否则，转入步骤七；

步骤七、保存的格点为检测到的发射信号本方法结束。

2.根据权利要求1所述的一种空间调制信号的球形译码方法，其特征在于，所述为：

H_m,n是从第n根发射天线到第m根接收天线间的复数路径增益，和分别表示取括号内变量的实部和虚部；n＝{1,2,…,N_t}，m＝{1,2,…,N_r}；

利用码搜索树进行搜索，检测发射向量中各维元素的顺序

3.根据权利要求1或2所述的一种空间调制信号的球形译码方法，其特征在于，

所述步骤三和步骤四中，根据计算取值范围时，将经QR分解：

$\stackrel{\&OverBar;}{H}=Q\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{D}\\ 0_{(2N_r-N_t)\&times;2N_t}\end{array}\right]$

其中，为2N_t×2N_t维的上三角矩阵，Q为2N_r×2N_r维的正交矩阵，且Q＝[Q₁Q₂]，Q₁和Q₂分别是2N_r×2N_t维和2N_r×(2N_r-2N_t)维的矩阵；

定义表示2N_t×1维的接收向量，为接收向量的第i维元素，(·)^H表示括号内信号的共轭转置；

$\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{y}-{\stackrel{\&OverBar;}{Hx}}_{l,s}|{|}_F^2\&le;R^2$ 变换为：

$\underset{i=1}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_i-\underset{j=i}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(i,j)}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}\left(j\right)\&rsqb;}^2\&le;R^2;$

表示矩阵中的第i行第j列的元素，表示向量的第j维元素；

所述步骤三和步骤四，根据计算取值范围。

4.根据权利要求3所述的一种空间调制信号的球形译码方法，其特征在于，所述在经过QR分解后的上三角矩阵呈现的稀疏性：当k＝1,3,…,2Nt-1时，

因为的这种稀疏性，使得码搜索树相邻两层是相互独立的，2N_t-1层和2N_t层的欧几里得距离可以并行计算。

5.根据权利要求4所述一种空间调制信号的球形译码方法，其特征在于：所述步骤三中，计算出第i层中的取值范围为：

$\frac{-R^{\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i+1,2N_t-i+1)}}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i+1)\&le;\frac{R^{\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i+1,2N_t-i+1)}};$

其中， $R^{\&prime;2}=R^2-\underset{m=2N_t-i+2}{\overset{2N_t}{\&Sigma;}}|{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_m{|}^2.$

6.根据权利要求4所述一种空间调制信号的球形译码方法，其特征在于：所述步骤四，计算出第i+1层的取值范围为：

$\frac{-R^{\&prime;\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i,2N_t-i)}}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{l,s}(2N_t-i)\&le;\frac{R^{\&prime;\&prime;}+{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i}}{{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_{(2N_t-i,2N_t-i)}};$

其中， $R^{\&prime;\&prime;2}=R^{\&prime;2}-{\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{2N_t-i+1|2N_t-i+1}^2.$