CN105550970B - 一种矢量地图可逆信息隐藏方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种矢量地图可逆信息隐藏方法。包括如下步骤：获取顶点坐标；选择参照顶点；计算量化步长；嵌入水印；水印提取及无损恢复。本发明依据参照顶点和矢量地图的精度误差容限，设置嵌入参数并计算归一化量化步长，量化参照顶点和每个顶点所在的直线，通过改变每个顶点在其量化区间内的位置以嵌入水印，有效控制水印嵌入给矢量地图带来的扰动的同时，对旋转、均匀缩放和平移操作鲁棒；另一方面该算法在水印提取后，无损恢复矢量地图原始数据，能够有效确保矢量地图的精确使用。

Description

一种矢量地图可逆信息隐藏方法
技术领域
本发明涉及地理信息科学、信息隐藏领域，具体讲是一种旋转、均匀缩放、平移不变的矢量地图可逆信息隐藏方法。
背景技术
现今，矢量地图作为地理信息系统(Geographical Information System,GIS)的基础数据在军事、民用制图、城市规划、导航等领域得到了广泛的应用。获取矢量地图数据要耗费大量人力、物力，而借助网络和地理信息处理工具，这些具有巨大经济价值的数据很容易被非法复制、篡改和传播，使地理信息生产者和发布者蒙受重大损失。因此，如何有效地保护矢量地图数据的版权及其完整性已成为地理信息产业迫切需要解决的问题。
矢量地图信息隐藏技术是一种有效保护矢量地图版权和认证完整性的前沿技术，它是在不影响矢量地图可用性的前提下，将秘密信息即水印隐藏在其中，并在需要时利用一定的检测方法将其提取出来的方法。现有的大部分矢量地图信息隐藏方法通过修改顶点坐标嵌入水印，这会给矢量地图的精度带来一定的扰动。而这种扰动在一些对矢量地图精度有极其严格要求的高保真应用场景中是不容许的。为此，研究学者提出了水印提取后能够恢复矢量地图原始数据的可逆信息隐藏方法。
近年来，可逆信息隐藏技术已在图像、视频，音频以及文本数据领域取得了相当多的研究成果，但在矢量地图可逆信息隐藏技术方面，人们取得的成果还比较少。Voigt等人于2004年首先给出了一种用于二维矢量数据的可逆信息隐藏算法。该算法通过更改8个顶点的整数DCT系数完成水印信息的嵌入，并在提取水印信息的同时无损恢复原始矢量地图数据。这种方法能灵活调整隐藏容量以满足不同的应用需求。但是这种算法在变换域实现，不容易控制水印的嵌入给二维矢量数据带来的扰动，且嵌入容量不高。Wang等人基于Tian的差值扩大思想提出了两种二维矢量地图的可逆信息隐藏算法。一种算法通过直接改变相邻坐标的差值嵌入水印；另外一种方法则通过改变顶点间曼哈顿距离的差值嵌入水印。这两种方法简单易于实现，但由于嵌入水印时没有考虑矢量地图的形状特征，使得含水印矢量地图在放大的状态下具有不自然的外形特征。周璐等人提出了一种基于差值直方图的矢量地图可逆信息隐藏算法。此方案首先计算相邻顶点对的差值的直方图，然后优先选择绝对值小的差值嵌入水印。该方案能够较好地保持矢量地图形状特征，但嵌入容量不足。钟尚平等人提出一种采用复合整数变换差值扩大法的矢量地图可逆信息隐藏算法以提高水印信息的透明性和水印的嵌入容量。这种方法在嵌入水印时充分考虑矢量地图图元的形状特征，有较好的水印嵌入容量，但并不适用于点图元。Cao等人给出了通过改变中间值和平均值的关系迭代嵌入水印信息的方法。该方法的嵌入容量较高，但多次迭代嵌入水印后，含水印矢量地图质量可能不够高。基于虚拟坐标的思想，Wang等人提出了一种高嵌入容量的可逆信息隐藏方法。该方法能够有效控制水印嵌入给矢量地图带来的精度扰动。这些二维矢量地图可逆水印算法侧重于无损恢复原始数据、高嵌入容量和低精度扰动，不能容忍旋转、缩放和平移攻击。但在一些应用中，旋转、缩放和平移后的矢量地图仍具有使用价值。因此，一个好的矢量地图可逆信息隐藏算法应具有旋转、缩放和平移不变性，即能够容忍旋转、缩放和平移操作，对旋转、缩放和平移鲁棒。
综上所述，虽然人们目前提出了一些用于矢量地图可逆信息隐藏方法，试图解决在传递秘密信息的同时，恢复原始数据的问题，但这些方法在抵抗旋转、缩放和平移攻击方面还存在不足。
另外，专利申请号2013102366569，名称为“一种基于LSD平面的矢量地图可逆信息隐藏方法”；专利授权公告号CN102110281B，名称为“一种针对shape点图层数据的差值扩展水印嵌入与提取方法”；专利授权公告号CN101604440B，名称为“基于空间特征的矢量地图可逆水印处理方法”的中国专利文件中也涉及矢量地图的可逆信息隐藏问题，但本专利申请采用方法不同，都不能同时对旋转、均匀缩放和平移鲁棒。
美国专利库中的“Reversible watermarking using expansion,rate controland iterative embedding”，与本专利申请针对内容不同，具体方法也不同。
发明内容
本发明提出一种矢量地图可逆信息隐藏方法，一方面该方法依据参照顶点和矢量地图的精度误差容限，计算归一化量化步长，量化参照顶点和每个顶点所在的直线，通过改变每个顶点在其量化区间内的位置嵌入水印，获得较好不可见性的同时，对旋转、均匀缩放和平移操作鲁棒；另一方面该算法在水印提取后，无损恢复矢量地图原始数据，能够有效确保矢量地图的精确使用。该方案可逆，具有较好的不可见性和可逆性，能够抵抗旋转、均匀缩放和平移攻击，是一种用于矢量地图可逆信息隐藏的实用算法。
矢量地图图元(点图元、线图元和面图元)是由大量密集的顶点按照特定的顺序排列而成的，地图数据就是这些顶点的二维坐标序列。矢量地图可逆信息隐藏技术是一种传递秘密信息的重要手段，已有的矢量地图可逆信息隐藏技术不能在兼顾高嵌入容量的同时，抵抗旋转、均匀缩放和平移攻击。针对上述问题，本发明提出一种矢量地图可逆信息隐藏方法，包括如下步骤：
(1)获取顶点坐标；
顺次扫描矢量地图顶点，获取顶点坐标序列V＝{vj(xj,yj)|j＝1,2,…,n}，vj表示顶点序列V中的第j个顶点，xj和yj分别表示顶点vj的x坐标和y坐标，n表示序列V的顶点数目；
(2)选择参照顶点；
在密钥Key的控制下，从步骤(1)的序列V中随机选取两个顶点作为水印嵌入过程中采用的参照顶点，将选取的参照顶点记为顶点vf1(xf1,yf1)和顶点vf2(xf2,yf2)，xf1和yf1分别表示顶点vf1的x坐标和y坐标，xf2和yf2分别表示顶点vf2的x坐标和y坐标；
(3)计算量化步长；
依据矢量地图的精度误差容限τ，计算嵌入参数Qw和归一化量化步长Sw，参数Qw将直接作为水印提取及数据恢复阶段的输入参数；
(4)嵌入水印；
依据步骤(3)得到的量化步长Sw，利用量化的方法，在步骤(1)的序列V的顶点中嵌入水印，得到含水印顶点坐标序列V'＝{vj'(xj',yj')|j＝1,2,…,n}，vj'表示V'中的第j个顶点，xj'和yj'分别表示顶点vj'的x坐标和y坐标；
(5)水印提取及无损恢复；
依据参照顶点和嵌入参数Qw，从步骤(4)含水印顶点坐标序列V'中提取含水印矢量地图水印信息并恢复其原始数据；具体步骤如下：
(5.1)获取含水印顶点坐标；
依据步骤(1)，获取含水印矢量地图的顶点坐标序列V'＝{vj'(xj',yj')|j＝1,2,…,n}；其中，vj'表示V'的第j个顶点，xj'和yj'分别表示顶点vj'的x坐标和y坐标，n表示序列V'的顶点数目。
(5.2)选择参照顶点；
在密钥Key的控制下，从顶点坐标序列V'中随机选取两个顶点作为水印嵌入过程中采用的参照顶点；
(5.3)计算量化步长；
依据Qw和步骤(3)的公式，计算归一化量化步长Sw；
(5.4)提取水印和恢复原始数据；
提取步骤(1)中含水印顶点序列V'的水印信息，恢复V'的原始数据，最终得到恢复后的顶点序列V＝{vi(xi,yi)|i＝1,2,…,n}，恢复矢量地图原始数据。
进一步的，所述的计算嵌入参数Qw和归一化量化步长Sw的方法为：
其中，‖vf1vf2‖为参照顶点vf1和vf2之间的欧几里得距离，参数Qw将直接作为水印提取及数据恢复阶段的输入参数。
进一步的，假设顶点vj(xj,yj)(j＝1,2,…,n,vj≠vf1,vj≠vf2)为待嵌入水印的顶点，w(0≤w<2c)为待嵌入的水印，c为每个顶点中嵌入的水印比特数目，所述的嵌入水印的具体步骤如下：
(4.1)依据归一化量化步长Sw，以参照顶点vf1为起点，将参照顶点vf1和顶点vj确定的直线量化，并计算顶点vj所在的量化区间的索引值
其中，‖vf1vj‖表示参照顶点vf1和顶点vj之间的欧几里得距离；将第个量化区间记为 和是定义量化区间范围的两个端点；
(4.2)计算量化区间的两个端点，即和
(4.3)以为起点，将区间量化为2c+1个子区间，计算每个子区间的长度ls
ls＝Sw/2c+1
(4.4)计算区间的r状态
(4.5)计算含水印顶点vj(记为vj')所在子区间的索引值s
s＝2c×r+w
(4.6)将顶点vj移动到第s个子区间，得到含水印顶点vj'
其中，
ε(ε≥0)为浮点数的存储精度，‖vf1vj'‖为参照顶点vf1和含水印顶点vj'之间的欧几里得距离；将含水印顶点vj'的x坐标和y坐标分别记为xj'和yj'，按照下式获取xj'和yj'，
进一步的，所述的从含水印顶点vj'(xj',yj')(j＝1,2,…,n,vj'≠vf1,vj'≠vf2)中提取水印及恢复原始数据的具体步骤如下：
(5.4.1)依据归一化量化步长Sw，以参照顶点vf1为起点，将参照顶点vf1和顶点vj'确定的直线量化，并依据步骤(4.1)的公式，计算顶点vj'所在的量化区间
(5.4.2)利用步骤(4.2)的公式，计算定义量化区间范围的端点，即和
(5.4.3)以为起点，将区间平均分为2c+1个子区间，并依据步骤(4.3)的公式，计算每个子区间的长度ls；
(5.4.4)计算顶点vj'在区间中所在的子区间的索引值s
(5.4.5)依据步骤(4.4)的公式，计算区间的r状态；
(5.4.6)利用如下公式，提取水印信息w
w＝s-r×2c
(5.4.7)依据下式，计算原始顶点vj(xj,yj)的坐标
其中
利用步骤(4.5)的公式，计算顶点vj的x坐标xj和y坐标yj。
本发明一方面该方法依据参照顶点和矢量地图的精度误差容限，设置嵌入参数并计算归一化量化步长，量化参照顶点和每个顶点所在的直线，通过改变每个顶点在其量化区间内的位置以嵌入水印，获得较好不可见性的同时，对旋转、均匀缩放和平移操作鲁棒；另一方面该算法在水印提取后，无损恢复矢量地图原始数据，能够有效确保矢量地图的精确使用。与其他矢量地图可逆信息隐藏方法相比，本发明具有以下优点：本发明依据参照顶点和矢量地图的精度误差容限设置嵌入参数，能够有效控制水印嵌入给矢量地图带来的扰动，保证含水印矢量地图质量；本发明依据参照顶点和矢量地图的精度误差容限计算归一化量化步长，量化参照顶点和每个顶点所在的直线，通过改变每个顶点在其量化区间内的位置以嵌入水印，当含水印矢量地图遭到旋转、均匀缩放和平移攻击后，依然能够正确提取出嵌入的水印；本发明在提取水印信息后，无损恢复矢量地图原始数据，有效传达秘密信息的同时，能够确保高保真场合下矢量地图数据的精确使用。
附图说明
图1旋转、均匀缩放和平移不变的矢量地图可逆信息隐藏方法流程图。
图2量化后的参照顶点vf1和顶点vj确定的直线。
图3嵌入水印前的矢量地图(泰勒卢克丽海岸线地图)。
图4嵌入水印后的矢量地图(含水印泰勒卢克丽海岸线地图)。
图5提取水印后恢复数据的矢量地图(恢复数据的泰勒卢克丽海岸线地图)。
具体实施方式
下面结合附图和实例对本发明技术方案做进一步的描述：
如图1所示，一种矢量地图可逆信息隐藏方法，该方法总体分为两个方面：A、矢量地图水印嵌入算法；B、矢量地图水印提取及数据恢复算法。
A、矢量地图水印嵌入算法，步骤如下：
(1)获取顶点坐标；
顺次扫描矢量地图顶点，获取顶点坐标序列V，
V＝{vj(xj,yj)|j＝1,2,…,n}
其中，vj表示顶点坐标序列V的第j个顶点，xj和yj分别表示顶点vj的x坐标和y坐标，n表示序列V的顶点数目。
(2)选择参照顶点；
在密钥Key的控制下，从步骤(1)的序列V中随机选取两个顶点作为水印嵌入过程中采用的参照顶点。将选取的参照顶点记为顶点vf1(xf1,yf1)和顶点vf2(xf2,yf2)，xf1和yf1分别表示顶点vf1的x坐标和y坐标，xf2和yf2分别表示顶点vf2的x坐标和y坐标。
(3)计算量化步长；
依据矢量地图的精度误差容限τ，计算嵌入参数Qw和归一化量化步长
其中，‖vf1vf2‖为参照顶点vf1和vf2之间的欧几里得距离。参数Qw将直接作为水印提取及数据恢复阶段的输入参数。
(4)嵌入水印；
依据步骤(3)得到量化步长Sw，利用量化的方法，在步骤(1)中序列X的顶点中嵌入水印。需要说明的是，本发明不在参照顶点中嵌入水印。假设顶点vj(xj,yj)(j＝1,2,…,n,vj≠vf1,vj≠vf2)为待嵌入水印的顶点，w(0≤w<2c)为待嵌入的水印，c为每个顶点中嵌入的水印比特数目，水印嵌入的具体步骤如下：
a.依据归一化量化步长Sw，以参照顶点vf1为起点，将参照顶点vf1和顶点vj确定的直线量化，并计算顶点vj所在的量化区间的索引值
其中，‖vf1vj‖表示参照顶点vf1和顶点vj之间的欧几里得距离。将第个量化区间记为 和是定义量化区间范围的两个端点。
b.计算量化区间的两个端点，即和
图2所示为参照顶点vf1和顶点vj确定的直线量化后的结果。由于参照顶点vf1和顶点vj确定的直线并不真实存在于矢量地图中，该直线以虚线显示。
c.以为起点，将区间量化为2c+1个子区间，计算每个子区间的长度ls，
ls＝Sw/2c+1
d.计算区间的r状态，
e.计算含水印顶点vj(记为vj')所在子区间的索引值s，
s＝2c×r+w
f.将顶点vj移动到第s个子区间，得到含水印顶点vj'，
其中，
ε(ε≥0)为浮点数的存储精度，‖vf1vj'‖为参照顶点vf1和含水印顶点vj'之间的欧几里得距离。将含水印顶点vj'的x坐标和y坐标分别记为xj'和yj'，按照下式获取xj'和yj'，
在顶点坐标序列V的顶点中嵌入水印后，得到含水印顶点坐标序列V'＝{vj'(xj',yj')|j＝1,2,…,n}。其中，vj'表示V'的第i个顶点，xj'和yj'分别表示顶点vj'的x坐标和y坐标。
下面将对本发明能够有效控制水印嵌入给矢量地图带来的扰动进行说明。步骤(4)通过在顶点vj在其所在区间范围内的移动嵌入水印w，依据子步骤a-d可知，
因此，顶点vj和其对应的含水印顶点vj'之间的欧几里得距离‖vjvj'‖满足以下关系
‖vjvj'‖＜Sw/2
依据步骤(3)，可知
Sw≤2τ
所以，可得
‖vjvj'‖＜τ
即嵌入水印后，每个顶点移动的距离都小于τ。因此，本发明能够确保水印嵌入给矢量地图带来的扰动幅度不超出精度误差容限，确保含水印矢量地图的质量。图3和图4给出了水印嵌入前后矢量地图对比情况，其中图3为原始泰勒卢克丽海岸线地图，图4为含水印泰勒卢克丽海岸线地图。
B、矢量地图水印提取及数据恢复算法
(5)水印提取及无损恢复；
依据参照顶点和嵌入参数Qw，提取含水印矢量地图水印信息并恢复其原始数据。具体步骤如下：
a.获取含水印顶点坐标；
依据步骤(1)，获取含水印矢量地图的顶点坐标序列V'＝{vj'(xj',yj')|j＝1,2,…,n}。其中，vj'表示V'的第j个顶点，xj'和yj'分别表示顶点vj'的x坐标和y坐标，n表示序列V'中的顶点数目。
b.选择参照顶点；
在密钥Key的控制下，从序列V'中随机选取两个顶点作为水印嵌入过程中采用的参照顶点，即vf1和vf2。
c.计算量化步长；
将两个参照顶点间的欧几里得距离量化，并依据Qw和步骤(3)的公式，计算归一化量化步长Sw。
d.提取水印和恢复原始数据；
提取含水印顶点坐标序列V'的水印信息，恢复V'的原始数据。假设顶点vj'(xj',yj')(j＝1,2,…,n,vj'≠vf1,vj'≠vf2)为待提取水印的顶点，水印提取及原始数据恢复步骤具体如下：
P1.依据归一化量化步长Sw，以参照顶点vf1为起点，将参照顶点vf1和顶点vj'确定的直线量化，并依据步骤(4)中子步骤a的公式，计算顶点vj'所在的量化区间
P2.利用步骤(4)中子步骤b的公式，计算定义量化区间范围的端点，即和
P3.以为起点，将区间平均分为2c+1个子区间，并依据步骤(4)中子步骤c的公式，计算每个子区间的长度ls。
P4.计算顶点vj'在区间中所在的子区间的索引值s,
P5.依据步骤(4)中子步骤d的公式，计算区间的r状态。
P6.利用如下公式，提取水印信息w，
w＝s-r×2c
P7.依据下式，计算原始顶点vj(xj,yj)的坐标，
其中
利用步骤(4)中子步骤f的公式，计算顶点vj的x坐标xj和y坐标yj。
从含水印顶点序列V'中提取水印后，最终得到恢复后的顶点坐标序列V，恢复矢量地图原始数据。图5为从图4所示的含水印泰勒卢克丽海岸线地图中提取水印并恢复数据后的泰勒卢克丽海岸线地图。
由于利用参照顶点获得归一化量化步长，并通过量化顶点间的欧几里得距离嵌入和提取水印，当将含水印矢量地图发生旋转、均匀缩放和平移操作后，本发明依然能够正确提取出嵌入的水印。将图4的含水印泰勒卢克丽海岸线地图分别进行以下操作：旋转不同的角度，以不同的缩放因子进行缩放和平移不同的距离，水印提取结果如表1、表2和表3所示，由于本发明能够容忍旋转、均匀缩放和平移操作，含水印矢量地图经上述操作后，提取出的水印的误码率(bit error rate,BER)均为零。
表1旋转操作的实验结果
表2均匀缩放的实验结果
表3.5平移操作的实验结果

Claims (3)

1.一种旋转、均匀缩放和平移不变的矢量地图可逆信息隐藏方法，其特征在于：
(1)获取顶点坐标；
顺次扫描矢量地图顶点，获取顶点坐标序列V＝{vj(xj,yj)|j＝1,2,...,n}，vj表示顶点序列V中的第j个顶点，xj和yj分别表示顶点vj的x坐标和y坐标，n表示序列V的顶点数目；
(2)选择参照顶点；
在密钥Key的控制下，从步骤(1)的序列V中随机选取两个顶点作为水印嵌入过程中采用的参照顶点，将选取的参照顶点记为顶点vf1(xf1,yf1)和顶点vf2(xf2,yf2)，xf1和yf1分别表示顶点vf1的x坐标和y坐标，xf2和yf2分别表示顶点vf2的x坐标和y坐标；
(3)计算量化步长；
依据矢量地图的精度误差容限τ，计算嵌入参数Qw和归一化量化步长Sw，参数Qw将直接作为水印提取及数据恢复阶段的输入参数；计算嵌入参数和归一化量化步长的方法为：
其中，||vf1vf2||为参照顶点vf1和vf2之间的欧几里得距离，参数Qw将直接作为水印提取及数据恢复阶段的输入参数；
(4)嵌入水印；
依据步骤(3)得到的量化步长Sw，利用量化的方法，在步骤(1)的序列V的顶点中嵌入水印，得到含水印顶点坐标序列V'＝{vj'(xj',yj')|j＝1,2,...,n}，vj'表示V'中的第j个顶点，xj'和yj'分别表示顶点vj'的x坐标和y坐标，其中，不在参照顶点中嵌入水印；
(5)水印提取及无损恢复；
依据参照顶点和嵌入参数Qw，从步骤(4)含水印顶点坐标序列V'中提取含水印矢量地图水印信息并恢复其原始数据，具体步骤如下：
(5.1)获取含水印顶点坐标；
依据步骤(1)，获取含水印矢量地图的顶点坐标序列V'＝{vj'(xj',yj')|j＝1,2,...,n}； 其中，vj'表示V'的第j个顶点，xj'和yj'分别表示顶点vj'的x坐标和y坐标，n表示序列V'的顶点数目；
(5.2)选择参照顶点；
在密钥Key的控制下，从顶点坐标序列V'中随机选取两个顶点作为水印嵌入过程中采用的参照顶点；
(5.3)计算量化步长；
依据Qw和步骤(3)的公式，计算归一化量化步长Sw；
(5.4)提取水印和恢复原始数据；
提取步骤(1)中含水印顶点序列V'的水印信息，恢复V'的原始数据，最终得到恢复后的顶点序列V＝{vi(xi,yi)|i＝1,2,...,n}，恢复矢量地图原始数据。
2.根据权利要求1所述的旋转、均匀缩放和平移不变的矢量地图可逆信息隐藏方法，其特征在于：假设顶点vj(xj,yj)，j＝1,2,...,n,vj≠vf1,vj≠vf2为待嵌入水印的顶点，0≤w<2c为待嵌入的水印，c为每个顶点中嵌入的水印比特数目，所述的嵌入水印的具体步骤如下：
(4.1)依据归一化量化步长Sw，以参照顶点vf1为起点，将参照顶点vf1和顶点vj确定的直线量化，并计算顶点vj所在的量化区间的索引值
其中，||vf1vj||表示参照顶点vf1和顶点vj之间的欧几里得距离；将第个量化区间记为 和是定义量化区间范围的两个端点；
(4.2)计算量化区间的两个端点，即和
(4.3)以为起点，将区间量化为2c+1个子区间，计算每个子区间的长度ls
ls＝Sw/2c+1
(4.4)计算区间的r状态
(4.5)含水印顶点vj记为vj'，计算vj所在子区间的索引值s
s＝2c×r+w
(4.6)将顶点vj移动到第s个子区间，得到含水印顶点vj'
其中，
ε为浮点数的存储精度，ε≥0，||vf1vj′‖为参照顶点vf1和含水印顶点vj'之间的欧几里得距离；将含水印顶点vj'的x坐标和y坐标分别记为xj'和yj'，按照下式获取xj'和yj'，
3.根据权利要求1所述的旋转、均匀缩放和平移不变的矢量地图可逆信息隐藏方法，其特征在于：所述的(5.4)提取水印和恢复原始数据的具体步骤如下：
(5.4.1)依据归一化量化步长Sw，以参照顶点vf1为起点，将参照顶点vf1和顶点vj'确定的直线量化，并依据公式计算顶点vj'所在的量化区间其中，||vf1vj||表示参照顶点vf1和顶点vj之间的欧几里得距离；将第个量化区间记为 和是定义量化区间范围的两个端点；
(5.4.2)利用公式计算定义量化区间范围的端点，即和
(5.4.3)以为起点，将区间平均分为2c+1个子区间，并依据公式ls＝Sw/2c+1计算每个子区间的长度ls，其中，c为每个顶点中嵌入的水印比特数目；
(5.4.4)计算顶点vj'在区间中所在的子区间的索引值s
(5.4.5)依据公式计算区间的r状态；
(5.4.6)利用如下公式，提取水印信息w
w＝s-r×2c，
(5.4.7)依据下式，计算原始顶点vj(xj,yj)的坐标
其中
h＝5×10-(ε+1)，ε为浮点数的存储精度，ε≥0；
利用公式s＝2c×r+w计算顶点vj的x坐标xj和y坐标yj。
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