CN105528580A

CN105528580A - 一种基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法

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Publication number: CN105528580A
Application number: CN201510887371.0A
Authority: CN
Inventors: 郭宝峰; 石俊峰; 沈宏海; 杨名宇
Original assignee: Hangzhou Dianzi University
Current assignee: Optosky Xiamen Optoelectronic Co ltd
Priority date: 2015-12-04
Filing date: 2015-12-04
Publication date: 2016-04-27
Anticipated expiration: 2035-12-04
Also published as: CN105528580B

Abstract

本发明提出了一种基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法。本发明首先对高光谱曲线进行包络线消除并提取光谱特征参量矩阵，然后根据标准特征参量矩阵与待测特征参量矩阵的每个向量的余弦距离-欧氏距离来逐一寻找吸收峰的匹配向量，之后根据选择后的吸收峰特征参量矩阵进行光谱匹配。本发明可以搜寻到最佳的特征参量向量，从而实现吸收峰的选择，用选择后的吸收峰的特征参量矩阵进行高光谱匹配后，匹配的误差也有一定程度的下降。

Description

一种基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法

技术领域

本发明涉及一种基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法。

背景技术

在进行基于高光谱曲线的物质识别时，往往出现同一种物质，提取的光谱曲线会不尽相同，主要表现为吸收峰个数不同。如果在不经过前期处理而用传统的匹配方法时，会导致匹配的误差比较大，甚至出现错误匹配的现象。

在不影响匹配结果准确性的基础上，如何对光谱曲线吸收峰进行选择，寻找匹配度最高的吸收峰，是解决这个问题的一个思路。

吸收峰是物质本质特性的表现。总体来说，不同的物质，其吸收峰个数不一样，吸收峰的位置、深度、宽度、对称度、面积等光谱吸收指数(Spectralabsorptionindex，SAI)都会呈现不同的数值。

因此基于高光谱曲线的物质识别可以首先提取吸收峰的特征参量，再根据这些特征参量来进行光谱的吸收峰选择。然后根据选择后的光谱特征进行匹配即光谱特征参量匹配(Characteristicparametermatrixmatching，CPMM)。

发明内容

在应用传统基于高光谱的地物识别方法时，为了解决由于吸收峰个数不同，造成的光谱匹配误差较大的问题，本发明提供了一种基于高光谱吸收峰特征的选择方法，根据选择后的吸收峰特征进行光谱曲线匹配。基于向量最小距离的矩阵选择方法，以基于向量的夹角余弦距离—欧氏距离双重指数作为判定标准；把维数低的矩阵作为基准逐一寻找目标矩阵每个向量的最佳匹配向量，直到维数少的矩阵的所有向量被提取出来，找到每个向量最匹配的向量为止。在吸收峰选择以后，再根据光谱特征参量矩阵匹配方法进行光谱匹配。最后通过与常用的光谱角匹配法和最小距离匹配法进行比较，验证本文所提选择方法和匹配方法的有效性。本发明方法可以搜寻到最佳的特征参量向量，从而实现吸收峰的选择，用选择后的吸收峰的特征参量矩阵进行高光谱匹配后，匹配的误差也有一定程度的下降。

本发明的技术路线是：

一种基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤一，基于光谱特征参量的光谱匹配：

1)从实验光谱库中提取某物质的光谱反射曲线，进行包络线去除和归一化处理；

2)提取待测光谱反射曲线的特征参量即吸收波峰位置(P)、吸收深度(H)、吸收宽度(W)、面积(A)及吸收对称度(S)面积(M)、变化率(V)，组成光谱特征参量矩阵M＝[P,H,W,K,S,M,V],(M)的维数是光谱吸收峰的个数；

3)提取标准光谱库的光谱特征参量矩阵N，计算待测物质光谱矩阵M和标准物质矩阵N的匹配程度，用矩阵的相似度计算矩阵的匹配；

步骤二，对光谱特征参量矩阵的选择：

选择方法的具体实现步骤如下：

A、设标准光谱特征矩阵M＝[m₁,m₂,…m_i]^T,待测光谱特征矩阵N＝[n₁,n₂,…n_j]^T.i为标准光谱吸收峰个数，j为待测光谱吸收峰个数。吸收峰位置表明了该种物质在特定波长的吸收情况，是最能表征光谱的特征，将其当作匹配的重要参量，

B、取矩阵维数小的矩阵的第一行向量(假设M矩阵的维数小)m₁，分别计算m₁与待测光谱特征矩阵N的向量n₁,n₂,…n_j的夹角余弦与欧氏距离的联合距离D₁₁,D₁₂…D_1j；向量联合距离最小值为D_1k，即m₁和n_k的距离最接近，

D_{1 k} = (1 - \frac{m_{1} \cdot n_{k}}{| m_{1} | \cdot | n_{k} |} \cdot) \cdot P_{E D} (m_{1} \cdot n_{k}) - - - (5);

C、由步骤B求出的第k个向量作为与N中最匹配的向量，现计算n_k与标准光谱特征矩阵M的行向量m₁,m₂,…m_i的向量联合距离，分别记为D_k1,D_k2…D_ki，取其中的最小值的D_kh；即n_k和m_h的距离最小，

D_{k h} = (1 - \frac{m_{h} \cdot n_{k}}{| m_{h} | \cdot | n_{k} |}) \cdot P_{E D} (m_{h} \cdot n_{k}) - - - (6);

D、若h＝1，即联合距离为D_k1，由于D_k1＝D_1k；所以与n_k距离最小的向量为m₁；若h≠1，由吸收位置为第一权重特征参量分析^[11]，下一步比较m₁和m_h的吸收位置与n_k的距离和的大小。把与n_k的距离最接近的吸收峰为最匹配的吸收峰，

d_{1} = {| d_{m_{1}} - d_{n_{k}} |, | d_{m_{h}} - d_{n_{k}} |}_{m i n} - - - (7);

E、取出M和N中的已匹配的向量，M和N剩余的矩阵为：

当m₁和n_k匹配时，

\{\begin{matrix} M_{1} = (m_{2}, m_{3}, ... m_{i}) \\ N_{1} = (n_{1}, n_{2} ... n_{k - 1}, n_{k + 1}, ... n_{j}) \end{matrix}

当m_h和n_k匹配时，

\{\begin{matrix} M_{1} = (m_{1}, m_{2} ... m_{h - 1}, m_{h + 1}, ... m_{i}) \\ N_{1} = (n_{1}, n_{2} ... n_{k - 1}, n_{k + 1}, ... n_{j}) \end{matrix} - - - (8);

F、重复步骤B～D，直到维数小的矩阵的所有向量在维数大的向量中得到最匹配的向量，按照匹配的顺序组成新的矩阵则为降维后的矩阵，矩阵维数为δ，

δ＝(i,j)_min(9)；

G、标准光谱和待测光谱吸收峰个数在经过本选择方法后达到统一，而且每个相对应的向量也是夹角最小的向量，特征参量矩阵的维数也相同；

步骤三，根据选择后的吸收峰特征参量矩阵进行光谱匹配。

所述步骤一的第3)步中矩阵相似度匹配方法如下：

设C^m×n表示m×n矩阵全体，若A,B∈C^m×n，定义矩阵内积为:＜A,B＞＝tr(B^TA),由此内积导出范数‖·‖为公式：

‖A‖＝＜A,A＞^1/2(1)

其中tr(·)表示矩阵主对角线元素之和；

因A,B为实数矩阵，则符合Canchy-Schwartz不等式，即公式(2)：

|＜A,B＞|≤‖A‖·‖B‖(2)

当且仅当A与B完全线性相关，等式|＜A,B＞|＝‖A‖·‖B‖成立，定义公式(3)：

c o s θ = \frac{< A, B >}{| | A | | \cdot | | B | |} - - - (3)

其中θ定义为两个矩阵的夹角，cosθ作为衡量两个矩阵A,B相似性依据，其值域为[-1,1]，若设r＝cosθ，若θ＝90°时，r＝0，两个矩阵没有相关性，当θ＝0时，r＝1，此时两个矩阵相似性最好。

附图说明

图1是本发明选择方法流程图。

图2是本发明实施例第60波段图像。

图3沥青的标准光谱曲线和包络线消除归一化处理结果图。

图4屋顶的标准光谱曲线和包络线消除归一化处理结果图。

图5草地的标准光谱曲线和包络线消除归一化处理结果图。

图6树木的标准光谱曲线和包络线消除归一化处理结果图。

具体实施方式

本方案首先是对光谱反射曲线进行包络线消除。从高光谱数据中提取待识别物质的某个像素光谱曲线后，进行归一化和包络线消除。由于原始信号存在噪声现象比较明显，会造成光谱反射曲线波动、对光谱特征参量的提取以及后续的识别造成不利影响，因此需对其进行降噪处理，在此用小波降噪方法。

高光谱遥感的地物光谱曲线反映了地物的吸收和反射特征。不同的地物具有相异的光谱吸收特征。因此,在高光谱遥感识别各种地物成分和成图研究中，其重要任务就包括从许多光谱吸收特征参数(SpectralAbsorptionFeatureParameter,SAFP)中提取各种地物的定性、定量信息。常用的描述光谱吸收特征的参数包括吸收波峰位置(P)、吸收深度(H)、吸收宽度(W)、面积(A)及吸收对称度(S)等。

根据上述所求的光谱特征参量具体算法步骤如下：

(1)从实验光谱库中提取某物质的光谱反射曲线，进行包络线去除和归一化处理；

(2)提取待测光谱反射曲线的特征参量即吸收波峰位置(P)、吸收深度(H)、吸收宽度(W)、面积(A)及吸收对称度(S)面积(M)、变化率(V)，组成光谱特征参量矩阵M＝[P,H,W,K,S,M,V],(M)的维数是光谱吸收峰的个数；

(3)提取标准光谱库的光谱特征参量矩阵N，计算待测物质光谱矩阵M和标准物质矩阵N的匹配程度，可以用矩阵的相似度计算矩阵的匹配。

矩阵内积反映了两个矩阵的夹角,表征了两个矩阵相似程度。设C^m×n表示m×n矩阵全体，若A,B∈C^m×n，定义矩阵内积为:＜A,B＞＝tr(B^TA),由此内积导出范数‖·‖为公式：

‖A‖＝＜A,A＞^1/2(1)

其中tr(·)表示矩阵主对角线元素之和。

因A,B为实数矩阵，则符合Canchy-Schwartz不等式，即公式(2)：

|＜A,B＞|≤‖A‖·‖B‖(2)

c o s θ = \frac{< A, B >}{| | A | | \cdot | | B | |} - - - (3)

其中θ定义为两个矩阵的夹角，cosθ可以作为衡量两个矩阵A,B相似性依据，其值域为[-1,1]，若设r＝cosθ，若θ＝90°时，r＝0，两个矩阵没有相关性，当θ＝0时，r＝1，此时两个矩阵相似性最好。2.对光谱特征参量矩阵的选择算法

由于欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，而夹角余弦距离更多是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感。因此采用欧氏距离和夹角余弦距离的结合，便提高了向量距离间描述的准确性。向量a,b的联合距离D公式如下：

D_{a b} = (1 - \frac{m_{a} \cdot n_{b}}{| m_{a} | \cdot | n_{b} |}) \cdot P_{E D} (m_{a} \cdot n_{b}) - - - (4)

为了解决吸收峰个数不一样而导致的特征参数矩阵匹配时维数不等的问题，综合欧氏距离与向量夹角余弦在判定向量的距离时的优缺点，本文提出了一种新的吸收峰选择方法。根据向量之间的夹角余弦距离—欧氏距离的双重指数即作为相似度判定标准和吸收峰特征参量和，设计了一种特征参量选择方法，其算法流程图如图1所示。

该方法的具体实现步骤如下：

(1)设标准光谱特征矩阵M＝[m₁,m₂,…m_i]^T,待测光谱特征矩阵N＝[n₁,n₂,…n_j]^T.i为标准光谱吸收峰个数，j为待测光谱吸收峰个数。吸收峰位置表明了该种物质在特定波长的吸收情况，是最能表征光谱的特征，将其当作匹配的重要参量。

(2)取矩阵维数小的矩阵的第一行向量(假设M矩阵的维数小)m₁，分别计算m₁与待测光谱特征矩阵N的向量n₁,n₂,…n_j的夹角余弦与欧氏距离的联合距离D₁₁,D₁₂…D_1j；向量联合距离最小值为D_1k，即m₁和n_k的距离最接近。

D_{1 k} = (1 - \frac{m_{1} \cdot n_{k}}{| m_{1} | \cdot | n_{k} |} \cdot) \cdot P_{E D} (m_{1} \cdot n_{k}) - - - (5)

(3)由(2)求出的第k个向量作为与N中最匹配的向量，现计算n_k与标准光谱特征矩阵M的行向量m₁,m₂,…m_i的向量联合距离，分别记为D_k1,D_k2…D_ki，取其中的最小值的D_kh；即n_k和m_h的距离最小。

D_{k h} = (1 - \frac{m_{h} \cdot n_{k}}{| m_{h} | \cdot | n_{k} |}) \cdot P_{E D} (m_{h} \cdot n_{k}) - - - (6)

(4)若h＝1，即联合距离为D_k1，由于D_k1＝D_1k；所以与n_k距离最小的向量为m₁；若h≠1，由吸收位置为第一权重特征参量分析，下一步比较m₁和m_h的吸收位置与n_k的距离和的大小。把与n_k的距离最接近的吸收峰为最匹配的吸收峰。

d_{1} = {| d_{m_{1}} - d_{n_{k}} |, | d_{m_{h}} - d_{n_{k}} |}_{m i n} - - - (7)

(5)取出M和N中的已匹配的向量，M和N剩余的矩阵为：

当m₁和n_k匹配时，

\{\begin{matrix} M_{1} = (m_{2}, m_{3}, ... m_{i}) \\ N_{1} = (n_{1}, n_{2} ... n_{k - 1}, n_{k + 1}, ... n_{j}) \end{matrix}

当m_h和n_k匹配时，

\{\begin{matrix} M_{1} = (m_{1}, m_{2} ... m_{h - 1}, m_{h + 1}, ... m_{i}) \\ N_{1} = (n_{1}, n_{2} ... n_{k - 1}, n_{k + 1}, ... n_{j}) \end{matrix} - - - (8)

(6)重复步骤(2)～(4)，直到维数小的矩阵的所有向量在维数大的向量中得到最匹配的向量。按照匹配的顺序组成新的矩阵则为降维后的矩阵。矩阵维数为δ。

δ＝(i,j)_min(9)

(7)至此，标准光谱和待测光谱吸收峰个数在经过选择后达到统一，而且每个相对应的向量也是夹角最小的向量。特征参量矩阵的维数也相同。

3.实验与分析

3.1实验数据

实验所用数据是拍摄于1995年10月的Urban数据，图像大小为307×307，包含210个波段，其第60波段的灰度图如图2所示。成像区域位于美国德克萨斯州胡德堡(FortHood，TX)附近的科珀勒斯科夫镇(CopperasCove)，图像范围内的人工目标包括一条高速公路、一家大型购物中心以及停车场、一些小路和整齐排列的房子。我们选取图像中的沥青、屋顶、草地和树木四种物质进行实验。

3.2光谱曲线预处理与特征参量提取

实验之前，我们去除了低信噪比和水蒸气吸收的波段(1-4，76，87，101-111，136-153和198-210)，剩下162波段用于本实验现将Urban数据经过去除噪声和改善图像的视觉效果。在进行光谱匹配之前，需要提取标准光谱曲线以备下述的光谱匹配。现提取土壤的高光谱曲线，每种物质提取出其中的100条光谱曲线，对这一百条的光谱曲线求均值，所求得的均值作为光谱匹配时的标准光谱曲线。随后再每种物质提取一百条光谱曲线作为待测光谱曲线，用来计算与待测光谱的匹配度。在得到土壤的标准光谱曲线后，为了进行下一步的分析的方便，需要对所有的光谱曲线进行预处理，预处理包括滤波，包络线消除，归一化处理。在此首先进行光谱曲线的小波平滑滤波处理。在平滑滤波后，将标准光谱曲线和待测光谱曲线进行包络线消除处理和归一化处理，其余三种物质也做同样的处理。图3～图6为待测的沥青、屋顶、草地和树木四种物质提取的标准光谱曲线以及进行包络线消除后的结果。

3.3吸收峰的选择

首先根据上文提出来的包络线消除吸收峰选择方法对吸收峰进行选择。将光谱曲线每种物质提取100条曲线作为待测样本。表1和表2分别为降维前后四种物质100条光谱曲线中统计的吸收峰个数不同的曲线个数，其中光谱曲线条数(Samplesize,SS),吸收峰不同的曲线条数(DifferentSamplesize,DSS),吸收峰不同曲线百分比(Differentsamplessroportion,DSP)。由表1和表2可以看出，在经过选择算法后，特征参量矩阵的吸收峰个数相同，吸收峰个数不同的光谱曲线数目分别有了明显的下降，四种物质中的吸收峰不同的光谱曲线所占的比率从28％，42％，37％,23％下降为2％，5％，4％，4％。吸收峰选择算法效果得到验证。

表1吸收峰不同的光谱曲线个数

表2吸收峰不同的光谱曲线个数

3.4根据选择后的吸收峰进行光谱匹配

在对光谱曲线吸收峰进行选择以后，需要根据选择后的特征参量矩阵进行光谱匹配。根据上文所提出的光谱匹配方法，计算出每条待测曲线与标准光谱曲线的匹配度。现选择常用的光谱匹配方法即光谱角匹配(SAM)，最小距离匹配法(Minimumdistancematching，MDM)和特征参量矩阵匹配法(CPMM)。光谱角匹配方法(SpectralAngleMapper,SAM)采用角度相似系数(夹角余弦)描述光谱间的匹配度，是基于光谱度量匹配的高光谱分类方法中最具有代表的一种匹配方法。由于特征参量匹配方法是把光谱曲线的特征参数提取出来组成矩阵形式，求列向量的夹角余弦作为匹配的参数，再对多条光谱曲线的匹配度求均值。由于都是对光谱角余弦的比较，可以作为对比吸收峰选择前后光谱匹配的一种标准。

在用于对比的经典方法中，最小距离匹配法采取计算标准光谱与待测光谱之间的距离，距离越小，光谱相似性越大；本文采用常用的欧氏距离，马氏距离。另外一种是用光谱角匹配法计算光谱角余弦值大小。现取100条经过初步处理过的待测光谱，分别使用上述两种方法和本文提出的方法进行光谱匹配计算；其中降维曲线匹配度(Dimensionreduction,DR),未降维的曲线匹配度(Nodimensionreduction,NDR)，所有曲线匹配度(Allspectralcurve,ASC)现匹配结果如下表3所示：

表3四种物质匹配结果

由实验结果可以看出，在和常用的光谱角匹配法和最小距离法进行比较之后，发现未经过选择的吸收峰的光谱曲线在用传统的光谱角匹配时的误差较大问题，通过本文提出来的吸收峰选择方法，计算的光谱匹配度有所改观。在不同的匹配方法的横向比较时，如表4所示，四种物质的光谱曲线在两种不同的匹配方法SAM，MDM和CPMM时，匹配结果之差要比未选择的匹配方法之差有所增大，也就是说，降维后拉大了光谱曲线之间匹配度的差。在原始光谱不变的情况下，说明选择后的匹配度有所增强。

表4不同匹配方法的匹配度之差分析结果

比较相同匹配方法下的四种物质的匹配度，用SAM算法,MDM算法和用CPMM算法的时候计算所得的匹配度，来分析降维前后的匹配度之差，如下表所示：

表5相同匹配方法以及欧氏距离和闵式距离的分析结果

从表5分析得出，吸收峰选择后得到的矩阵在后续进行光谱匹配的时，相同的匹配方法经过选择算法处理的特征参量矩阵比未进行选择的匹配度之差要大。而且在用欧式距离和马式距离进行分析时，进行过选择的光谱曲线，其马式距离和欧式距离普遍要小于没有进行选择的。分析原因，是因为在吸收峰的选择过程中，标准光谱的每个列向量，也就是每个吸收峰的特征参量向量，总是与待测光谱中的匹配度最高的向量进行匹配，每个与标准光谱的吸收峰特征向量对应的，都是与待测光谱中最匹配的吸收峰，把匹配度小的吸收峰在这一步直接排除掉，从而达到选择的目的。综上所述，该方法不仅选择效果达到，而且提高了光谱的匹配效果。

4结论

本方法主要介绍了对光谱特征参量矩阵进行选择的算法，以及根据选择后特征参量矩阵的光谱匹配方法。由于同一种物质的光谱曲线不同，造成的吸收峰个数不同，从而导致匹配的误差比较大。本文根据每个吸收峰的特征参量向量求取与之距离最小的特征参量向量，并结合吸收位置是吸收峰最重要的特性，选择向量间联合距离最小的特征参量向量，从而达到吸收峰选择的目的，并根据选择后的特征参量矩阵进行光谱匹配。

用高光谱数据对本章提出的光谱曲线特征参量矩阵选择方法进行仿真实验，实验结果表明，本文的吸收峰的选择算法，不论待测光谱吸收峰个数大于或者小于标准光谱的吸收峰个数，都能达到选择的目的。并且在对选择后的特征参量矩阵进行光谱匹配的时候，由于本算法在对吸收峰选择的同时，把匹配度最低的吸收峰排除掉，在与传统的光谱角匹配方法结果进行横向和纵向比较时，可以看出光谱匹配度都有一定程度的提升。

Claims

1.一种基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法，其特征在于该匹配方法包括以下步骤：

步骤一，基于光谱特征参量的光谱匹配：

2)提取待测光谱反射曲线的特征参量即吸收波峰位置P、吸收深度H、吸收宽度W、面积A及吸收对称度S、面积M、变化率V，组成光谱特征参量矩阵M＝[P,H,W,K,S,M,V]，M的维数是光谱吸收峰的个数；

步骤二，对光谱特征参量矩阵的选择：

选择方法的具体实现步骤如下：

A、设标准光谱特征矩阵M＝[m₁,m₂,…m_i]^T,待测光谱特征矩阵N＝[n₁,n₂,…n_j]^T，i为标准光谱吸收峰个数，j为待测光谱吸收峰个数，吸收峰位置表明了该种物质在特定波长的吸收情况，是最能表征光谱的特征，将其当作匹配的重要参量，

B、假设M矩阵的维数小，取矩阵维数小的矩阵的第一行向量m₁，分别计算m₁与待测光谱特征矩阵N的向量n₁,n₂,…n_j的夹角余弦与欧氏距离的联合距离D₁₁,D₁₂…D_1j；向量联合距离最小值为D_1k，即m₁和n_k的距离最接近，

D_{1 k} = (1 - \frac{m_{1} \cdot n_{k}}{| m_{1} | \cdot | n_{k} |} \cdot) \cdot P_{E D} (m_{1} \cdot n_{k}) - - - (5);

D_{k h} = (1 - \frac{m_{h} \cdot n_{k}}{| m_{h} | \cdot | n_{k} |}) \cdot P_{E D} (m_{h} \cdot n_{k}) - - - (6);

D、若h＝1，即联合距离为D_k1，由于D_k1＝D_1k；所以与n_k距离最小的向量为m₁；若h≠1，由吸收位置为第一权重特征参量分析，下一步比较m₁和m_h的吸收位置与n_k的距离和的大小，把与n_k的距离最接近的吸收峰为最匹配的吸收峰，

d_{1} = {| d_{m_{1}} - d_{n_{k}} |, | d_{m_{h}} - d_{n_{k}} |}_{m i n} - - - (7);

E、取出M和N中的已匹配的向量，M和N剩余的矩阵为：

当m₁和n_k匹配时，

\{\begin{matrix} M_{1} = (m_{2}, m_{3}, ... m_{i}) \\ N_{1} = (n_{1}, n_{2} ... n_{k - 1}, n_{k + 1}, ... n_{j}) \end{matrix}

当m_h和n_k匹配时，

\{\begin{matrix} M_{1} = (m_{1}, m_{2} ... m_{h - 1}, m_{h + 1}, ... m_{i}) \\ N_{1} = (n_{1}, n_{2} ... n_{k - 1}, n_{k + 1}, ... n_{j}) \end{matrix} - - - (8);

δ＝(i,j)_min(9)；

步骤三，根据选择后的吸收峰特征参量矩阵进行光谱匹配。

2.根据权利要求1所述的基于吸收峰特征的高光谱曲线匹配方法，其特征在于所述步骤一的第3)步中矩阵相似度匹配方法如下：

设C^m×n表示m×n矩阵全体，若A,B∈C^m×n，定义矩阵内积为:＜A,B＞＝tr(B^TA),由此内积导出范数||·||为公式：

||A||＝＜A,A＞^1/2(1)

其中tr(·)表示矩阵主对角线元素之和；

因A,B为实数矩阵，则符合Canchy-Schwartz不等式，即公式(2)：

|＜A,B＞|≤||A||·||B||(2)

当且仅当A与B完全线性相关，等式|＜A,B＞|＝||A||·||B||成立，定义公式(3)：

c o s θ = \frac{< A, B >}{| | A | | \cdot | | B | |} - - - (3)