CN105510435A - 一种基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，属于无损检测技术领域。该方法包括振动激励、确定频率、沿线扫描、得到坐标等步骤，由边界效应理论处理两条相互垂直的操作变形振型(ODS)扫描曲线，获取用于评判缺陷位置的10个损伤指标。本发明利用激光测振的多普勒效应理论，可以方便快捷获取金属波纹管的振动信息，具有灵敏精确、效率提高、数据可靠、结果直观、精度可控、可在线检测、远程控制等显著优点。

Description

一种基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法

技术领域

本发明涉及一种检测金属波纹管缺陷的方法，尤其是一种基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，属于无损检测技术领域。

背景技术

无损检测技术广泛应用于航空航天、建筑、机械、石油化工、冶金等领域。传统无损检测主要有超声波检测、磁粉检测、X射线检测、渗透检测和涡流检测等。但是这些现有方法均只能识别局部损伤，即每次检测中只能识别针对性的小区域缺陷，并且需要专业人员实施检测和解释结果，操作繁琐、费时、费力。

激光振动检测产品的缺陷是之后发展起来的一项无损检测技术，与上述传统检测技术相比，其适用范围广，可非接触检测任何金属材料的外部和内部缺陷，且具有操作简便、检测效率高、灵敏度高等优点。然而，基于振动的损伤检测需要同步测量波纹管局部或整体的振动情况，通过测量振动时间来提取波纹管的动态特性(如固有频率)以揭示损伤的存在，并使用异常点的振动情况来定位损伤位置，因此不仅面临如何从带有非线性噪声的信号中提取动态特性，以及如何关联物理测量的损伤指标、并找出损伤和定位损伤的难题，而且波纹管不同于常规的压力容器，表面有巨大的弯曲变形(波峰和波谷)，增加了激光振动数据采集的难度。

发明内容

本发明的目的在于：提出一种具有科学依据的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，使金属波纹管缺陷的检测不仅灵敏度高，而且无需全面扫描即可准确确定缺陷位置，使检测操作简便、效率提高。

本发明进一步的目的在于：通过数据加工，获得包括缺陷大小、深度在内的缺陷损伤指标，以便对金属波纹管的健康状态进行合理的评估，采取相应的处理措施。

申请人研读了作者白彭津的《HighlyFlexibleStructures:Modeling,ComputationandExperimentation》一书(Pai,P.F.,HighlyFlexibleStructures:Modeling,ComputationandExperimentation,AIAA,Reston,Virginia,2007)，并经过结合实际的深入研究认识到：基于BEEM(Boundary-effectevaluationmethod边界效应评估法)，把结构产生的振动进行拟合，可以得到相应的中心函数和边界层函数，其边界层函数及其组合只在结构边界上才是非零的。对于一个损伤结构，由于损伤在结构内部引入了新的边界，因此从由结构得到的边界函数在损伤边界上也是非零值。通过判断损伤曲线的突变区域就能获得损伤的位置、大小，而通过缺陷形成能和吉布斯自由能平衡公式可以获得损伤的深度。

金属波纹管的损伤缺陷将局部边界点/线引入到波纹管的结构中，该结构缺陷附近的斜率、曲率或其他高阶空间导数会存在不连续，必然使其振动参数(振幅、速度和加速度等)以某种规律发生相应的改变，因此这种不连续性的提取可以清楚地显示损伤位置。

基于以上研究，申请人提出了本发明基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，包括以下基本步骤：

第一步、振动激励——向被检测金属波纹管发出预定频率范围的振动激励(该激励可以由激光测振仪内部信号控制或者纯外界信号控制)；

第二步、确定频率——采用激光测振仪扫描被测金属波纹管(线扫描或面扫描均可)，获取金属波纹管的振动频谱，根据频谱中的振型图(例如动画图等)及振动频率峰值确定被测金属波纹管在预定频率范围的各阶固有频率，并在各阶固有频率中选取振动峰值大于平均振动峰值的频率之一作为检测频率；

第三步、沿线扫描——用激光测振仪在选定的检测频率下先后沿被测金属波纹管两个相互垂直的方向扫描获取波纹管的操作变形振型曲线(该曲线可以为振动振幅曲线——通常为平均振幅、或相应的振动速度曲线、振动加速度曲线，平均振幅曲线对时间的一阶微分为相应的振动速度曲线，二阶微分为相应的振动加速度曲线)；

第四步、得到坐标——由两条操作变形振型曲线上振动突变处的纵横坐标确定缺陷位置。

为了达到进一步的目的，本发明还包括以下步骤：

第五步、确定大小——根据两条操作变形振型曲线上突变段的长度与相应方向扫描实际长度的比例关系，分别得出决定缺陷大小的缺陷实际长度和宽度。

当缺陷较小时，以上第四步的操作变形振型曲线往往难以清晰显示振动突变，此时可采用BEEM边界效应理论对每条操作变形振型曲线进行数据处理，以得到所需的验证结果。根据BEEM，每条曲线均能获取10个相互印证的用于表征缺陷位置的损伤指标，分别为C₃,C₄,C₁C₃,A,β,φ,SSD(其物理意义参见表1)，且这些指标均能绘制成相应的曲线将很小的缺陷在相应的曲线上显现出来，直观表现为曲线的突变或不连续。选取该10个指标中任一个能清晰显示损伤位置的曲线(如曲线)，通过其曲线上突变处的纵横坐标即能确定缺陷的位置。

该数据处理方法以边界效应评估理论为科学依据，试验研究表明，一个常规的金属波纹管在频率为Ω的谐波激励下，其稳定操作变形振动(ODS)可以表示成以下关系式：

$\begin{array}{c}W\left(\stackrel{\‾}{x}\right)=a_1\cos \mathrm{\β}x+b_1\sin \mathrm{\β}x+a_2\cosh \mathrm{\β}x+b_2\sinh \mathrm{\β}x\\ =C_1\cos \mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}+C_2\sin \mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}+C_3\cosh \mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}+C_4\sinh \mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}\\ =C_1\cos \mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}+C_2\sin \mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}+C_3^{*}{e}^{\mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}}+C_4^{*}{e}^{-\mathrm{\β}\stackrel{\‾}{x}}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{C}_1\≡\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cos \left({\mathrm{\βx}}_m-\mathrm{\φ}\right),& C_3\≡a_2{\mathrm{cosh\βx}}_m+b_2{\mathrm{sinh\βx}}_m,& \tan \mathrm{\φ}\≡b_1/a_1,& \mathrm{\β}=2\mathrm{\π}/\mathrm{\λ}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{C}_2\≡\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sin \left({\mathrm{\βx}}_m-\mathrm{\φ}\right),& C_4\≡a_2{\mathrm{sinh\βx}}_m+b_2{\mathrm{cosh\βx}}_m,& C_3^{*}\≡\left(C_3+C_4\right)/2,& C_4^{*}\≡\left(C_3-C_4\right)/2\end{array}$

$\begin{array}{cc}K-\mathrm{\Π}=2{\mathrm{m\ω}}^2{C}_1{C}_3=2{\mathrm{m\ω}}^2{C}_1\left(C_3^{*}+C_4^{*}\right)& SSD\≡\sqrt{\frac{{\mathrm{\Σ}}_{i=-n}^n{\left(W_i-Y_i\right)}^2}{2n+1}}\end{array}$

式中：

a₁、a₂、b₁和b₂——为表达式中各项式系数，可以通过激光振

动试验数据拟合获得，无量纲

——为相对于观测点x_m的坐标，x为坐标变量，单位mmβ——激光振动仪测得的金属波纹管操作变形振型的单个波长的平均波数，单位个

λ——金属波纹管激光振动试验数据所代表的信号波长，可在操作变形振型曲线中直接获得

m——为金属波纹管每单位长度的质量，单位Kg

ω(≡2π/T)——金属波纹管振动时在一个周期T的平均频率，单位HzC₁、C₂、C₃、C₄，和——表达式中各项式系数，均为x_m的函数。

C₁、C₂、C₃、C₄可通过BEEM理论的如下拟合误差过程得到：

$E_{rror}=\underset{i=-N}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{(W_i-Y_i)}^2---\left(1\right)$

(1)式中

E_rror——无量纲拟合误差

α_i——加权系数，α_i＝1/(1+|99i/N|)，i＝1,2……N,N为激光振动仪采集的数据总个数

W_i——为在第i个点模拟的振动数据，单位mm

Y_i——为在第i个数据采集点测得的振动数据，单位mm令拟合误差最小，得到

$\frac{\∂E_{rror}}{\∂C_i}=0,i=1,2,3,4---\left(2\right)$

求解(2)即可得到所需的C₁、C₂、C₃、C₄值。

K-∏——为稳定状态下金属波纹管简谐振动最大弹性能密度和最大动能密度的差值,单位J

W_i即——为在点的模拟数据，单位mm

Y_i——为在点的激光振动采集的数据，单位mm

SSD——为拟合曲线横截面标准误差

理论上，由以上运算处理可以得到下表的10个相互关联的损伤指标，包括C₃,C₄,C₁C₃,A,β,φ,SSD，并由此确保损伤缺陷检测结果的正确性。

表110个损伤指标的物理意义

此外，第五步也可借助BEEM理论，对每条操作变形振型曲线进行处理，获取10个损伤指标，选取任一个能清晰显示损伤位置的印证曲线(如曲线)，通过印证曲线上突变段的长度和相应方向扫描实际长度的比例关系，分别得出决定缺陷大小的缺陷实际长度和宽度。

第六步、确定深度——求解以下方程组得出缺陷深度

$-2{\mathrm{\β}}^4{\∫}_0^L{C}_1{C}_{3}dx=\frac{E}{E^{\′}}\[W^{\′\′2}{\mathrm{hf}}_1+W^{\′\′\′2}{l}^2{\mathrm{hf}}_1-2W^{\′\′}{W}^{\′\′\′}{\mathrm{lhf}}_1+W^{\′\′\′2}{h}^3{f}_2/12\]$

$\frac{E}{E^{\′}}=1-{\mathrm{\ν}}^2$

$f_1=f_1\left(s\right)=3\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_I^{2}ds,f_2=f_2\left(s\right)=\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_{II}^{2}ds$

$F_I=F_I\left(s\right)=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\π}s}tan\frac{2}{\mathrm{\π}s}}\frac{0.923+0.199{\[1-sin(\mathrm{\π}s/2)\]}^4}{cos(\mathrm{\π}s/2)}$

$F_{II}=F_{II}\left(s\right)=(3s-2s^2)\frac{1.122-0.561s+0.085s^2+0.18s^3}{\sqrt{1-s}}$

s≡e/h

其中

β——激光振动仪测得的金属波纹管操作变形振型的单个波长平均波数，单位个

L——缺陷处到缺陷右侧数据采集点之间的距离，单位mm

W——为最大惯性载荷下金属波纹管的静态变形，由激光测振仪测得，单位mm，W”、W”'分别为其二阶和三阶导数

h——金属波纹管壁厚，单位mm

e——缺陷的深度，单位mm

s——缺陷深度e与波纹管壁厚h的比值

v——泊松比

f₁即f₁(s)——Ⅰ类应力强度因子，单位由下式求得：

$\begin{array}{c}{f}_1=f_1\left(s\right)3\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_I^{2}ds=-49.949\sin \mathrm{\θ}+18.647{\sin }^2\mathrm{\θ}-15.513{\sin }^3\mathrm{\θ}+9.3236{\sin }^4\mathrm{\θ}-5.0825{\sin }^5\mathrm{\θ}\\ +2.2186{\sin }^6\mathrm{\θ}-0.60504{\sin }^7\mathrm{\θ}+0.075634{\sin }^8\mathrm{\θ}+(2.4043+6.3274{\sin }^2\mathrm{\θ}-3.4113{\sin }^3\mathrm{\θ}-7.0417{\sin }^5\mathrm{\θ}\\ +5.996{\sin }^6\mathrm{\θ}-4.2354{\sin }^7\mathrm{\θ}+2.1177{\sin }^8\mathrm{\θ}-0.60504{\sin }^9\mathrm{\θ}+0.075634{\sin }^{10}\mathrm{\θ})\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}+49.949\ln (1+\sin \mathrm{\θ})\\ -2.4043\end{array}$

式中θ≡πs/2

f₂即f₂(s)——Ⅱ类应力强度因子，单位由下式求得：

$\begin{array}{c}{f}_2=f_2\left(s\right)=\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_{II}^{2}ds=\mathrm{\π}\[-0.68228s-0.34114s^2-0.22743s^3+2.6619s^4-3.1578s^5+1.4837s^6\\ +0.082613s^7-0.35689s^8+0.11015s^9+0.01368s^{10}-0.011782s^{11}-0.68228\ln \left(1-s\right)\]\end{array}$

F_I即F_I(s)——以s为变量的中间函数，无量纲

F_II即F_II(s)——以s为变量的中间函数，无量纲

C₁——位移中心解，无量纲

C₃——边界层位移解，无量纲

以上公式的推导依据及有关详解可查看《HighlyFlexibleStructures:Modeling,ComputationandExperimentation》。

由此可见，本发明利用激光测振的多普勒效应理论，可以方便快捷获取金属波纹管的振动信息，经过相应的BEEM(Boundary-effectEvaluationMethod)数据处理方法对采集到的ODS(OperationalDeflectionShapes操作变形振型)数据进行处理，从而获取金属波纹管缺陷的相关结果。采用本发明后，与现有技术相比，具有如下显著进步：

1)灵敏精确——可以检测出金属波纹管尺度0.1mm级的微小缺陷；

2)效率提高——借助激光测振仪可进行线或面扫描快速检测大型金属波纹管；

3)在线检测——可以在线检测，不影响金属波纹管的正常工作；

4)数据可靠——可以得到彼此相互印证10种损伤识别指数，确保损伤的定位精度和检测结果的可靠；

5)结果直观——检测结果易于图形化，容易理解和处理；

6)精度可控——可根据需要设置检测点，从而提供不同精度的检测结果；

7)远程控制——可利用云计算等技术手段远程检测金属波纹管，同步获取实时监测数据。

为了进一步确保检测结果的准确可靠，在所述第三步和第四步之间还包括消除噪音步骤——根据最小二乘法准则，用一元高阶多项式将操作变形振型曲线各扫描点拟合出相邻域内的最佳值，再据此重构操作变形振型曲线。这样可以显著地提高信噪比。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步的说明。

图1为本发明一个待测金属波纹管的结构示意图。

图2为本发明一个实施例的检测过程示意图。

图3为图1金属波纹管的振动频谱图。

图4为图2实施例根据双向扫描振动曲线确定缺陷位置示意图。

图5为图1实施例的扫描ODS曲线图，其中(a)为横向扫描ODS曲线图，(b)为纵向扫描ODS曲线图。

图6和图7分别为图1实施例的横向和纵向扫描ODS曲线BEEM分析图；其中(a)操作变形振型(ODS)与位移中心解和位移边界解的乘积(C₁C₃)曲线；(b)中心解斜率表征值(C₂)与边界解斜率表征值(C₄)曲线；(c)预定终止位置边界条件引起的位移边界解与预定起始位置边界条件引起的的位移边界解曲线；(d)位移中心解和位移边界解的乘积(C₁C₃)曲线；(e)边界条件引起的位移边界解的乘积曲线；(f)单个波长的平均波数(β)曲线；(g)位移中心解的相位延迟(φ)曲线；(h)拟合曲线横截面标准误差(SSD)曲线。

具体实施方式

实施例一

本实施例基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法中，被测金属波纹管具有典型结构，如图1所示，波纹管直边段外径D_o＝278mm，平均直径D_m＝315.86mm，厚度h＝1.44mm，层数n＝1，波数β＝8，波高h＝39.3mm，波距q＝33mm，两端自由长度L＝296mm，波纹管所用材料为304不锈钢。该波纹管在第4个波中部位置有一个人为的外在缺陷。

本实施例实际检测的主要过程参见图2，具体步骤如下：

第一步、振动激励——采用PZT压电陶瓷传感器对被检测金属波纹管进行激励，将该金属波纹管底部固定，PZT压电陶瓷传感器贴在波纹管首波位置，以压电功率放大器(PiezoPowerAmplifier)对输入电压进行放大，在FFT(FastFourierTransform)模式下发出激光扫频激振，扫频范围为0-600Hz，线数6400。

第二步、确定频率——采用激光测振仪线扫描被测金属波纹管，获取金属波纹管的振动频谱后，通过多次平均，根据频谱中的共振频率峰值确定被测金属波纹管在预定频率范围的各阶固有频率(参见图3)37.5,131.25,265.63,390.63,521.88、568.75Hz，并在各阶固有频率中选取大于平均共振峰值的次高峰值频率521.88Hz作为检测频率，频率带宽为0.75Hz，激振电压为0.5V。

第三步、沿线扫描——用激光测振仪先后沿被测金属波纹管两个相互垂直的方向——横向和轴向扫描，得到图4所示两个方向的ODS曲线。

第四步、得到坐标——由两条ODS曲线2、3上振动突变处的纵横坐标确定缺陷位置，图4中4和5分别为两个方向扫描曲线的突变区域，由于4和5的强度与距离L1和L2呈比例关系，因此4和5的垂直相交处即为缺陷1的位置；

为了进一步印证，由同时得到的图6金属波纹管横向扫描ODS分析结果损伤指标均显示在各扫描曲线0.44处有一处损伤，而图7的金属波纹管纵向扫描ODS分析结果损伤指标显示各扫描曲线0.50处有一处损伤，由此印证了金属波纹管的损伤点位置。

第五步、确定大小——根据两条ODS振动突变段的长度与相应方向扫描实际长度的比例关系，分别得出决定缺陷大小的缺陷实际长度和宽度；因横向突变长度与实际长度的比例为1:20，纵向突变长度与实际长度的比例为1:40，故缺陷大小为：

缺陷横向长度L1＝0.02*20＝4mm

缺陷纵向长度L2＝0.04*40＝16mm。

也可以根据BEEM理论处理ODS曲线获得金属波纹管横向和纵向的10个损伤指标，选取曲线，因横向突变长度与实际长度的比例为1:20，纵向突变长度与实际长度的比例为1:40，故缺陷大小为：

缺陷横向长度L1＝0.02*20＝4mm

缺陷纵向长度L2＝0.04*40＝16mm。

第六步、确定深度——求解以下方程组得到缺陷深度

$-2{\mathrm{\β}}^4{\∫}_0^L{C}_1{C}_{3}dx=\frac{E}{E}\[W^{\′\′2}{\mathrm{hf}}_1+W^{\′\′\′2}{l}^2{\mathrm{hf}}_1-2W^{\′\′}{W}^{\′\′\′}{\mathrm{lhf}}_1+W^{\′\′\′2}{h}^3{f}_2/12\]$

$\frac{E}{E^{\′}}=1-{\mathrm{\ν}}^2$

$f_1\left(s\right)=3\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_I^{2}ds,f_2=f_2\left(s\right)=\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_{II}^{2}ds$

$F_I\left(s\right)=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\π}s}tan\frac{2}{\mathrm{\π}s}}\frac{0.923+0.199{\[1-sin(\mathrm{\π}s/2)\]}^4}{cos(\mathrm{\π}s/2)}$

$F_{II}\left(s\right)=(3s-2s^2)\frac{1.122-0.561s+0.085s^2+0.18s^3}{\sqrt{1-s}}$

s≡e/h

以上方程组虽非简单方程，但借助计算机程序——例如用MATLAB编写程序，输入已知数据即可解得缺陷的深度e＝0.5mm；其中的C₁、C₃通过如下算式得到：

$E_{rror}=\underset{i=-N}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{(W_i-Y_i)}^2---\left(1\right)$

$\frac{\∂E_{rror}}{\∂C_i}=0,i=1,3---\left(2\right)$

求解(2)即可得到C₁、C₃，参见图5(a)、(d)和图6(a)、(d)。

实践证明，采用本实施例的方法，不需要全面也无需针对性对金属波纹管进行扫描，可在线检测，获知缺陷的位置、大小和深度，大大减少了前期扫描的工作量，为金属波纹管的安全等级评估提供了方便、快捷、可靠、准确的依据。

除上述实施例外，本发明还可以有其他实施方式。凡采用等同替换或等效变换形成的技术方案，均落在本发明要求的保护范围。

Claims (7)

1.一种基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于包括以下步骤：

第一步、振动激励——向被检测金属波纹管发出预定频率范围的振动激励；

第二步、确定频率——采用激光测振仪扫描被测金属波纹管，获取金属波纹管的振动频谱，根据频谱中的振型图及振动频率峰值确定被测金属波纹管在预定频率范围的各阶固有频率，并在各阶固有频率中选取振动峰值大于平均振动峰值的频率之一作为检测频率；

第三步、沿线扫描——用激光测振仪在选定的检测频率下先后沿被测金属波纹管两个相互垂直的方向扫描获取波纹管的操作变形振型曲线；

第四步、得到坐标——由两条操作变形振型曲线上振动突变处的纵横坐标确定缺陷位置。

2.根据权利要求1所述的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于还包括以下步骤：

第五步、确定大小——根据两条操作变形振型曲线上突变段的长度与相应方向扫描实际长度的比例关系，分别得出决定缺陷大小的缺陷实际长度和宽度。

3.根据权利要求1或2所述的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于：在所述第三步和第四步之间还包括

消除噪音步骤——根据最小二乘法准则，用一元高阶多项式将操作变形振型曲线各扫描点拟合出相邻域内的最佳值，再据此重构操作变形振型曲线。

4.根据权利要求3所述的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于：

所述第四步还根据边界效应理论，至少建立与所述两条操作变形振型曲线相应的印证曲线之一中的两个方向曲线：

(a)操作变形振型(ODS)与位移中心解和位移边界解的乘积(C₁C₃)曲线；

(b)中心解斜率表征值(C₂)与边界解斜率表征值(C₄)曲线；

(c)预定终止位置边界条件引起的位移边界解与预定起始位置边界条件引起的的位移边界解曲线；

(d)位移中心解和位移边界解的乘积(C₁C₃)曲线；

(e)边界条件引起的位移边界解的乘积曲线；

(f)单个波长的平均波数(β)曲线；

(g)位移中心解的相位延迟(φ)曲线；

(h)拟合曲线横截面标准误差(SSD)曲线；

由建立的两个方向的印证曲线突变处的纵横坐标确定缺陷位置。

5.根据权利要求4所述的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于：所述第五步还包括至少选择与所述两条操作变形振型曲线相应的印证曲线之一中的两个方向曲线，根据所选印证曲线上突变段的长度与相应方向扫描实际长度的比例关系，分别得出决定缺陷大小的缺陷实际长度和宽度。

6.根据权利要求5所述的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于：所述操作变形振型曲线为振动平均振幅曲线、振动平均速度曲线或振动平均加速度曲线之一。

7.根据权利要求6所述的基于激光振动检测金属波纹管缺陷的方法，其特征在于还包括：

第六步、确定深度——求解以下方程组得出缺陷深度

$-2{\mathrm{\β}}^4{\∫}_0^L{C}_1{C}_{3}dx=\frac{E}{E^{\′}}\[W^{\′\′2}{\mathrm{hf}}_1+W^{\′\′\′2}{l}^2{\mathrm{hf}}_1-2W^{\′\′}{W}^{\′\′\′}{\mathrm{lhf}}_1+W^{\′\′\′2}{h}^3{f}_2/12\]$

$\frac{E}{E^{\′}}=1-v^2$

$f_1=f_1\left(s\right)=3\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_I^{2}ds,f_2=f_2\left(s\right)=\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_{II}^{2}ds$

$F_I=F_I\left(s\right)=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\π}s}tan\frac{2}{\mathrm{\π}s}}\frac{0.923+0.199{\[1-sin(\mathrm{\π}s/2)\]}^4}{cos(\mathrm{\π}s/2)}$

$F_{II}=F_{II}\left(s\right)=(3s-2s^2)\frac{1.122-0.561s+0.085s^2+0.18s^3}{\sqrt{1-s}}$

s≡e/h

其中

β——激光振动仪测得的金属波纹管操作变形振型的单个波长平均波数，单位个

L——缺陷处到缺陷右侧数据采集点之间的距离，单位mm

W——为最大惯性载荷下金属波纹管的静态变形，由激光测振仪测得，单位mm，W”、W”'分别为其二阶和三阶导数

h——金属波纹管壁厚，单位mm

e——缺陷的深度，单位mm

s——缺陷深度e与波纹管壁厚h的比值

v——泊松比

f₁即f₁(s)——Ⅰ类应力强度因子，单位由下式求得：

$\begin{array}{c}{f}_1=f_1\left(s\right)3\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_I^{2}ds=-49.949\sin \mathrm{\θ}+18.647{\sin }^2\mathrm{\θ}-15.513{\sin }^3\mathrm{\θ}+9.3236{\sin }^4\mathrm{\θ}-5.0825{\sin }^5\mathrm{\θ}\\ +2.2186{\sin }^6\mathrm{\θ}-0.60504{\sin }^7\mathrm{\θ}+0.075634{\sin }^8\mathrm{\θ}+(2.4043+6.3274{\sin }^2\mathrm{\θ}-3.4113{\sin }^3\mathrm{\θ}-7.0417{\sin }^5\mathrm{\θ}\\ +5.996{\sin }^6\mathrm{\θ}-4.2354{\sin }^7\mathrm{\θ}+2.1177{\sin }^8\mathrm{\θ}-0.60504{\sin }^9\mathrm{\θ}+0.075634{\sin }^{10}\mathrm{\θ})\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{\θ}}+49.949\ln (1+\sin \mathrm{\θ})\\ -2.4043\end{array}$

式中θ≡πs/2

f₂即f₂(s)——Ⅱ类应力强度因子，单位由下式求得：

$\begin{array}{c}{f}_2=f_2\left(s\right)=\mathrm{\π}{\∫}_0^s{\mathrm{sF}}_{II}^{2}ds=\mathrm{\π}\[-0.68228s-0.34114s^2-0.22743s^3+2.6619s^4-3.1578s^5+1.4837s^6\\ +0.082613s^7-0.35689s^8+0.11015s^9+0.01368s^{10}-0.011782s^{11}-0.68228\ln \left(1-s\right)\]\end{array}$

F_I即F_I(s)——以s为变量的中间函数，无量纲

F_II即F_II(s)——以s为变量的中间函数，无量纲

C₁——位移中心解，无量纲

C₃——边界层位移解，无量纲。