CN105509638A - 一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法，属于光学检测和数字信息处理技术领域；本发明基于移相激光干涉检测随机误差源对移相干涉测量的敏感方程，通过在最小二乘方法中添加待定的权重获取约束方程组，通过解多组约束方程组确定权重从而确定对误差源不敏感的移相干涉信息处理方法；本方法基于误差补偿的思想，能消除多种误差源对移相干涉检测的影响，显著提高移相激光干涉仪的重复性、复现性和精度，从而促进移相干涉仪技术在超高精度光学检测中的应用。

Description

一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法

技术领域

本发明属于光学检测和数字信息处理技术领域，具体涉及一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法，主要应用于移相干涉信息处理。

背景技术

随着现代光学技术的发展，高精度光学系统对光学加工和光学检测提出了越来越高的要求。传统的干涉信息处理方法是条纹跟踪法，通过直接判断干涉条纹中心确定其序号来计算被测量。由于受到条纹判断准确性、待测波面的起伏程度影响，这种方法精度有限，不能满足高精度光学检测的要求。

1974年Bruning提出移相干涉技术以来，移相干涉技术有了广泛的应用。这种技术能够减小噪声的影响，在干涉条纹对比度不好的情况下也能获得较好的结果；降低了光强分布不均匀对测量精度的影响，避免了激光高斯分布带来的影响。这种技术的关键之一是利用移相干涉图处理算法获得待测的相位分布。

移相干涉测量技术发展到至今已经有多种模式，主要包括等步长移相、定步长移相和随机移相。Novak提出了几种移相量为任意值的等间隔多步移相算法，并且通过理论分析和仿真实验找到每一种算法的最佳移相量，当移相量为最佳移相量时相位误差最小。这种算法对移相误差抑制能力较好，但是无法有效抑制光源的不稳定和振动。ShouhongTang提出了一种相移量为已知量的非等间隔五步移相算法，这种算法能有效抑制移相误差，但是无法抑制光源的光强不稳定。

基于等步长移相干涉检测技术，在进行等步长移相干涉测量时，干涉场的光强分布可表示为

I_n(x,y)＝A(x,y)+B(x,y)cos[φ(x,y)+δ_n(x,y)](1)

式中A(x,y)为背景光强，B(x,y)为调制光强，Φ(x,y)为待求解的相位分布，它包含了待测光波波面的信息，δn(x,y)为引入的移相量。通过微位移移相控制系统在参考光和测试光之引入按某种规律变化的移相量δn(x,y)，从而获得多组方程以求解出Φ(x,y)。令

B_cos(x,y)＝B(x,y)cos[φ(x,y)]

B_sin(x,y)＝-B(x,y)sin[φ(x,y)](2)

那么待求的相位分布可表示为

$\mathrm{\φ}(x,y)=arctan\[-\frac{B_{sin}(x,y)}{B_{\cos }(x,y)}\]---\left(3\right)$

设定代表实际采集的移相干涉图，每一幅干涉图对应的权重为w_n，误差函数ε可表示为

$\mathrm{\ϵ}=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{(I_n-{\tilde{I}}_n)}^2=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\[A+B_{cos}cos\left({\mathrm{\δ}}_n\right)+B_{sin}sin\left({\mathrm{\δ}}_n\right)-{\tilde{I}}_n\]}^2---\left(4\right)$

对等式(5)分别求A,Bcos,Bsin的偏导数，当偏导数分别为零时误差函数受这三个参量变化的影响最小。由此得到等式(6)

$\left[\begin{array}{ccc}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n& \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)& \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)& \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)& \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)& \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)& \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}A\\ B_{\cos }\\ B_{\sin }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\tilde{I}}_n\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\tilde{I}}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\tilde{I}}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

设定合适的权重，满足

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n=1\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

由等式(4)、(6)和(7)得到待测相位可表示为

$\mathrm{\φ}=arctan\[-\frac{\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\tilde{I}}_{n}sin\left({\mathrm{\δ}}_n\right)}{\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\tilde{I}}_{n}cos\left({\mathrm{\δ}}_n\right)}\]---\left(7\right).$

发明内容

本发明的目的是提供一种移相干涉图相位提取算法设计方法，以消除移相干涉检测中多种误差源引入的影响，提高干涉检测的重复性、复现性和精度。

本发明的技术方案如下：

一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法，其特征是，包括以下步骤，

第一步，确定移相干涉检测的误差源的敏感方程；

所述误差源为移相不准误差、探测器的响应误差、光源的光强不稳定和频率不稳定；

各种误差源的敏感方程如下：

移相不准误差，实际移相量和移相不准可用理想移相量的多项式表示为

δ′_n＝(1+ε₁)δ_n+ε₂(δ_n)²+ε₃(δ_n)³+....

Δδ_n＝ε₁δ_n+ε₂(δ_n)²+ε₃(δ_n)³+....(8)＝ε₁(n-1)δ+ε₂[(n-1)δ]²+ε₃[(n-1)δ]³+....

对待测相位等式求偏微分，并带入待测相位等式，可得到移相不准的敏感方程

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}={\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n+{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\end{array}---\left(9\right)$

探测器响应误差，探测器存在二阶非线性响应误差时，探测器输出的干涉图信号与干涉图光强信号之间的关系以及响应ΔIn偏差可表示为，

I′_n(x,y)＝I_n(x,y)+ηI_n ²(x,y)

ΔI_n＝I_n′-I_n＝η[A²+2ABcos(φ+δ_n)+B²cos²(φ+δ_n)](10)

对待测相位等式求偏微分，并带入等式(10)，可得到探测器响应非线性的敏感方程：

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}=\frac{-1}{B}\left\{\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηA}}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηA}}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +{\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)-2{\sin }^2\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}B\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)-2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +\frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\\ \frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\sin \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)+\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\sin \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\end{array}\right\}---\left(11\right)$

光源的光强不稳定和频率不稳定，存在光强波动时，干涉图可以用帧数的多项式表示，第n帧干涉图以及探测器输出的干涉图信号与理想干涉图光强信号之间的偏差可表示为可分别表示为，

I′_n(x,y)＝[1+ε₁(n-1)+ε₂(n-1)²+……+ε_k(n-1)^k]I_n(x,y)

ΔI′_n＝I′_n-I_n＝[ε₁(n-1)+ε₂(n-1)²+……+ε_k(n-1)^k]I_n(12)

对待测相位等式求偏微分，并带入等式(12)，可得到光强不稳定的敏感方程：

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}=\left\{\frac{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{A\ϵ}}_1\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+{\mathrm{A\ϵ}}_2\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\mathrm{...}\\ +{\mathrm{A\ϵ}}_1\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{A\ϵ}}_2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\mathrm{...}\\ +{\mathrm{B\ϵ}}_1\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)+{\mathrm{B\ϵ}}_2\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)+\mathrm{...}\\ +{\mathrm{B\ϵ}}_1\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)+{\mathrm{B\ϵ}}_2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)+\mathrm{...}\end{array}\right]}{-B}\right\}---\left(13\right)$

当仅存在激光器的频率波动时，引入的额外相位差可表示为

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}=\[\frac{(OPD+\mathrm{\Δ}OPD)\×(\mathrm{\υ}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\υ})}{C}-\frac{OPD\×\mathrm{\υ}}{C})\×2\mathrm{\π}\\ \≈\[\frac{OPD\×\mathrm{\Δ}\mathrm{\υ}}{C}\]\×2\mathrm{\π}\end{array}$

这种移相不准与激光器的频率波动大小成正比，当存在频率波动时，频率波动引起的移相不准可用帧数的多项式表示，

Δδ_n＝ε₁(n-1)δ+ε₂(n-1)²δ+ε₃(n-1)³δ+…(14)

对待测相位等式求偏微分，并带入等式(14)，可得到光源频率不稳定引入的测量误差ΔΦ：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}={\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n+{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\end{array}---\left(15\right);$

第二步：基于权重待定最小二乘法和敏感方程，获取约束方程组；

综合敏感方程(9)、(11)、(13)、和(15)，要实现移相算法对上述误差源不敏感，需要满足约束条件为，

$\left\{\begin{array}{c}{\Σ}_{n=1}^N{w}_n=0\\ {\Σ}_{n=1}^N{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ {\Σ}_{n=1}^N{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ {\Σ}_{n=1}^N(n-1)w_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\mathrm{...}=0\\ {\Σ}_{n=1}^N(n-1)w_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\mathrm{...}=0\\ {\Σ}_{n=1}^N(n-1)w_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=\mathrm{...}=0\\ {\Σ}_{n=1}^N(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=\mathrm{...}=0\\ {\Σ}_{n=1}^N{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ {\Σ}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\Σ}_{n=1}^N{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\end{array}\right.---\left(16\right);$

第三步：解约束方程组，确定权重，获取对误差不敏感的相位提取算法；

当误差源伟PZT的移相不准、CCD的二阶响应非线性和光源的不稳定性不敏感，权重为正实数且对称分布，移相量为π/2的等间隔多步移相，移相步数为13，解方程组获得权重如下

$\begin{array}{c}{w}_1=w_{13}=\frac{1}{256};w_2=w_{12}=\frac{4}{256}\\ w_3=w_{11}=\frac{1}{256};w_4=w_{10}=\frac{20}{256}\\ w_5=w_9=\frac{31}{256};w_6=w_8=\frac{40}{256}\\ w_7=\frac{44}{256}\end{array}---\left(17\right)$

确定加权最小二乘相位提取算法为

$\mathrm{\φ}=arctan\[-\frac{4({\tilde{I}}_2-{\tilde{I}}_{12})-20({\tilde{I}}_4-{\tilde{I}}_{10})+40({\tilde{I}}_6-{\tilde{I}}_8)}{({\tilde{I}}_1+{\tilde{I}}_{13})-10({\tilde{I}}_3+{\tilde{I}}_{11})+31({\tilde{I}}_5+{\tilde{I}}_9)-44{\tilde{I}}_7}\]---\left(18\right).$

本发明的有益效果是：1)该方法可根据移相激光干涉仪所使用硬件性能，如移相器的移相精度、光源的稳定性、CCD的响应曲线等，有针对性设计相位提取算法；2)该方法基于误差补偿的思想，采用权重待定的最小二乘法设计相位提取算法以抑制影响模式确定已知的各种误差源，能显著消除多种误差源对移相干涉检测的影响，明显提高了移相激光干涉仪的重复性、复现性和精度，从而促进了移相干涉仪技术在超高精度光学检测中的应用。

附图说明

图1是本发明一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法与Harihara算法对移相误差抑制能力的对比图。

图2是本发明一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法与Harihara算法对光源光强波动误差抑制能力的对比图。

图3是本发明一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法与Harihara算法对光源频率波动误差抑制能力的对比图。

具体实施方式

针对632.8nm的移相干涉仪，结合具体的误差形式给出本方法的实施方法。

第一步确定硬件性能，根据硬件性能获取敏感方程

1、移相干涉仪存在线性移相误差和二阶非线性移相误差。利用发明内容中等式(9)可以得到如下敏感方程：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}={\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\{{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\[(n-1)\mathrm{\δ}\]}^2\}\\ +{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\{{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\[(n-1)\mathrm{\δ}\]}^2\}\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\{{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\[(n-1)\mathrm{\δ}\]}^2\}\end{array}$

2、移相干涉仪中存在探测器的线性响应误差和二阶非线性响应误差，由发明内容中的等式(11)可以得到如下敏感方程：

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}=\frac{-1}{B}\left\{\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηA}}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηA}}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +{\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)-2{\sin }^2\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}B\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)-2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +\frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\\ \frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\sin \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)+\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\sin \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\end{array}\right\}$

3、移相干涉仪中存在光源的光强一阶波动误差和二阶波动误差，由发明内容中的等式(13)可以得到如下敏感方程：

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}=\left\{\frac{\left[\begin{array}{c}{\mathrm{A\ϵ}}_1\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+{\mathrm{A\ϵ}}_2\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +{\mathrm{A\ϵ}}_1\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{A\ϵ}}_2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +{\mathrm{B\ϵ}}_1\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)+{\mathrm{B\ϵ}}_2\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)\\ +{\mathrm{B\ϵ}}_1\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)+{\mathrm{B\ϵ}}_2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\δ}}_n)\end{array}\right]}{-B}\right\}$

4、移相干涉仪中存在光源一阶频率波动误差和二阶频率波动误差，由发明内容中的等式(15)可以得到如下敏感方程：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}={\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\{{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\[(n-1)\mathrm{\δ}\]}^2\}\\ +{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\{{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\[(n-1)\mathrm{\δ}\]}^2\}\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\{{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\[(n-1)\mathrm{\δ}\]}^2\}\end{array}$

第二步，综合第一步中的2、3、4、5中敏感方程，基于权重待定最小二乘算法，获得如下约束方程组

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n=1\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}(n-1)w_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{(n-1)}^2{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ \underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\end{array}\right..$

第三步：解得的权重为；

$w_1=w_{13}=\frac{\mathrm{\β}-40\×0.25}{64};w_2=w_{12}=\frac{\mathrm{\β}-39\×0.25}{32}$

$w_3=w_{11}=\frac{\mathrm{\β}-36\×0.25}{32};w_4=w_{10}=\frac{\mathrm{\β}-31\×0.25}{32}$

$w_5=w_9=\frac{72\×0.25-\mathrm{\β}}{64};w_6=w_8=\frac{51\×0.25-\mathrm{\β}}{16}$

$w_7=\frac{52\×0.25-\mathrm{\β}}{16}$

令β＝41×0.25，获得对移相器一阶二阶移相不准、探测器一阶二阶响应误差、光源一阶二阶光强波动误差和光源一阶二阶频率波动误差不敏感的算法为：

$\mathrm{\φ}=arctan\[-\frac{4({\tilde{I}}_2-{\tilde{I}}_2)-20({\tilde{I}}_4-{\tilde{I}}_0)+40({\tilde{I}}_6-{\tilde{I}}_8)}{({\tilde{I}}_1+{\tilde{I}}_{13})-10({\tilde{I}}_3+{\tilde{I}}_{11})+31({\tilde{I}}_6+{\tilde{I}}_9)-44{\tilde{I}}_7}\].$

第四步，对所获得算法进行仿真分析。

分析结果如图所示：存在移相器移相误差时，图1a为本发明提出方法处理误差(6.3mradRMS)；图1b为Hariharan算法处理误差(13.3mradRMS)。

存在探测器响应误差时，图2a为本发明提出方法处理误差(0mradRMS)；图2b为Hariharan算法处理误差(0.5mradRMS)。

存在光源光强波动时，图3a为本发明提出方法处理误差(3.8mradRMS)；图3b为Hariharan算法处理误差(7mradRMS)。

Claims (1)

1.一种基于误差补偿的移相干涉信息处理方法，其特征是，包括以下步骤，

第一步，确定移相干涉检测的误差源的敏感方程；

所述误差源为移相不准误差、探测器的响应误差、光源的光强不稳定和频率不稳定；

各种误差源的敏感方程如下：

移相不准误差，实际移相量和移相不准可用理想移相量的多项式表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_n^{\′}=(1+{\mathrm{\ϵ}}_1){\mathrm{\δ}}_n+{\mathrm{\ϵ}}_2{\left({\mathrm{\δ}}_n\right)}^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{\left({\mathrm{\δ}}_n\right)}^3+...\·\\ {\mathrm{\Δ\δ}}_n={\mathrm{\ϵ}}_1{\mathrm{\δ}}_n+{\mathrm{\ϵ}}_2{\left({\mathrm{\δ}}_n\right)}^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{\left({\mathrm{\δ}}_n\right)}^3+...\·\\ ={\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)\mathrm{\δ}+{\mathrm{\ϵ}}_2{\mathrm{\[}(n-1)\mathrm{\δ}\mathrm{\]}}^2+{\mathrm{\ϵ}}_3{\mathrm{\[}(n-1)\mathrm{\δ}\mathrm{\]}}^3+...\·\end{array}---\left(8\right)$

对待测相位等式求偏微分，并带入待测相位等式，可得到移相不准的敏感方程

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}{\mathrm{=cos}}^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n+{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\end{array}---\left(9\right)$

探测器响应误差，探测器存在二阶非线性响应误差时，探测器输出的干涉图信号与干涉图光强信号之间的关系以及响应ΔIn偏差可表示为，

I′_n(x,y)＝I_n(x,y)+ηI_n ²(x,y)

ΔI_n＝I′_n-I_n＝η[A²+2ABcos(φ+δ_n)+B²cos²(φ+δ_n)](10)

对待测相位等式求偏微分，并带入等式(10)，可得到探测器响应非线性的敏感方程：

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}=\frac{-1}{B}\left\{\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηA}}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηA}}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +2{\cos }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)-{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)-2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\mathrm{\η}AB\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +\frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)+\frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\\ \frac{\cos \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\sin \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)+\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\\ +\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\frac{\sin \left(\mathrm{\φ}\right){\mathrm{\ηB}}^2\sin \left(2\mathrm{\φ}\right)}{2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)\end{array}\right\}---\left(11\right)$

光源的光强不稳定和频率不稳定，存在光强波动时，干涉图可以用帧数的多项式表示，第n帧干涉图以及探测器输出的干涉图信号与理想干涉图光强信号之间的偏差可表示为可分别表示为，

$\begin{array}{c}{I}_n^{\′}(x,y)=\[1+{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)+{\mathrm{\ϵ}}_2{(n-1)}^2+......+{\mathrm{\ϵ}}_k{(n-1)}^k\]I_n(x,y)\\ {\mathrm{\ΔI}}_n^{\′}=I_n^{\′}-I_n=\[{\mathrm{\ϵ}}_1(n-1)+{\mathrm{\ϵ}}_2{(n-1)}^2+......+{\mathrm{\ϵ}}_k{(n-1)}^k\]I_n\end{array}---\left(12\right)$

对待测相位等式求偏微分，并带入等式(12)，可得到光强不稳定的敏感方程：

当仅存在激光器的频率波动时，引入的额外相位差可表示为

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}=\[\frac{(OPD+\mathrm{\Δ}OPD)\×(\mathrm{\υ}+\mathrm{\Δ}\mathrm{\υ})}{C}-\frac{OPD\×\mathrm{\υ}}{C})\×2\mathrm{\π}\\ \≈\[\frac{OPD\×\mathrm{\Δ}\mathrm{\υ}}{C}\]\×2\mathrm{\π}\end{array}$

这种移相不准与激光器的频率波动大小成正比，当存在频率波动时，频率波动引起的移相不准可用帧数的多项式表示，

Δδ_n＝ε₁(n-1)δ+ε₂(n-1)²δ+ε₃(n-1)³δ+…(14)

对待测相位等式求偏微分，并带入等式(14)，可得到光源频率不稳定引入的测量误差ΔΦ：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}\mathrm{\φ}{\mathrm{=cos}}^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n{\sin }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n+{\sin }^2\left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n{\cos }^2\left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\\ +2\sin \left(\mathrm{\φ}\right)\cos \left(\mathrm{\φ}\right)\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right){\mathrm{\Δ\δ}}_n\end{array}---\left(15\right);$

第二步：基于权重待定最小二乘法和敏感方程，获取约束方程组；

综合敏感方程(9)、(11)、(13)、和(15)，要实现移相算法对上述误差源不敏感，需要满足约束条件为，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n=1\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N(n-1)w_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=...=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N(n-1)w_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=...=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N(n-1)w_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=...=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N(n-1)w_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{(n-1)}^2{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)=...=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\cos \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\cos \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)={\mathrm{\Σ}}_{n=1}^N{w}_n\sin \left({\mathrm{\δ}}_n\right)\sin \left(2{\mathrm{\δ}}_n\right)=0\end{array}\right.---\left(16\right);$

第三步：解约束方程组，确定权重，获取对误差不敏感的相位提取算法；

当误差源伟PZT的移相不准、CCD的二阶响应非线性和光源的不稳定性不敏感，权重为正实数且对称分布，移相量为π/2的等间隔多步移相，移相步数为13，解方程组获得权重如下

$w_1=w_{13}=\frac{1}{256};w_2=w_{12}=\frac{4}{256}$

$w_3=w_{11}=\frac{10}{256};w_4=w_{10}=\frac{20}{256}$

$w_5=w_9=\frac{31}{256};w_6=w_8=\frac{40}{256}$

$w_7=\frac{44}{256}---\left(17\right)$

确定加权最小二乘相位提取算法为

$\mathrm{\φ}=arctan\[-\frac{4({\tilde{I}}_2-{\tilde{I}}_{12})-20({\tilde{I}}_4-{\tilde{I}}_{10})+40({\tilde{I}}_6-{\tilde{I}}_8)}{({\tilde{I}}_1+{\tilde{I}}_{13})-10({\tilde{I}}_3+{\tilde{I}}_{11})+31({\tilde{I}}_5+{\tilde{I}}_9)-44{\tilde{I}}_7}\]---\left(18\right).$