CN105426630A - 一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法，本方法首先确定轴承的基本参数及轴承的工况条件，然后以角接触球轴承的寿命为优化目标，以轴承内、外滚道沟曲率半径系数f_i和f_o、滚珠数目Z、滚珠直径d_w以及轴承的节圆直径D_m为设计变量，以轴承的刚度要求、滚珠的接触强度要求及轴承尺寸要求为约束条件，建立了优化设计数学模型，最后应用基本粒子群算法对角接触球轴承进行优化，得到轴承5个设计变量的最优解。本发明将粒子群算法应用于角接触球轴承的优化设计中，在轴承满足一定刚度条件下，最大限度提高轴承的寿命，该方法具有准确性高、可靠性强、计算速度快等优点，是一种切实有效的角接触球轴承优化设计方法。

Description

一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法

技术领域

本发明是一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法，属于轴承优化设计技术领域。

背景技术

角接触球轴承是一种常见的机械产品，可同时承受径向载荷和轴向载荷，且能在较高转速下工作，因此广泛应用于机床主轴、高频马达、油泵等机电设备。随着时代的进步，科技的发展，高刚度、长寿命成为机械产品发展的方向。在轴承设计过程中，由于缺少适合角接触球轴承的优化方法，人们只能不断地设计、校核，最终达到产品设计要求。这种方法费时费力，因此，发明一种适合角接触球轴承的优化设计方法有着重要的意义。

目前对轴承参数进行优化的方式主要有两种，一是给定各个参数的取值范围，将各个参数随机组合，设计出新的轴承，通过实验确定新轴承的性能参数，经过大量实验，最终得到性能参数较好的轴承设计参数；二是选用适当的优化方法对轴承进行优化，得到最优设计参数。显然，通过大量实验的方式确定最优设计参数，需要耗费大量的实验成本，且耗时较长。相比之下，通过选用优化方法对轴承进行优化，可以较为快速的、准确的得到轴承优化设计参数。

国内外许多专家和学者一直在轴承优化设计技术领域进行不懈地探索与研究，开展了多方面的工作。例如：利用Powell法对单列向心轴承和圆锥滚子轴承进行了优化设计；通过双目标函数优化设计对角接触球轴承的结构参数进行优化，达到额定动载荷与刚度的综合最优。但这些常规非线性优化方法对目标函数要求严格，需要显性表达式或表达式连续可微，且在优化时易于陷于局部最优。为改进这一问题，很多学者应用智能优化算法对轴承进行优化。例如以滚针轴承额定修正寿命为目标函数，采用改进的粒子群算法对多工况下的滚针轴承进行非线性优化设计；对单列球轴承优化设计的约束条件做了详细的分析，以额定动载荷为目标函数，利用遗传算法优化了向心球轴承的结构尺寸；应用一种改进的粒子群算法对圆锥滚子轴承优化设计，得到其最优设计参数等等。

上述研究提出了很多轴承优化的方法，但上述研究对于角接触球轴承优化设计问题的研究较少。因此，本文提出一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法，在满足一定刚度要求的前提下，最大限度提高轴承的寿命。本文以角接触球轴承的寿命为优化目标，以角接触球轴承内外滚道沟曲率半径系数、滚珠数目、滚珠直径以及轴承的节圆直径为设计变量，以角接触球轴承的刚度要求、滚珠的接触强度要求及轴承尺寸要求为约束条件，建立了优化设计数学模型并应用粒子群算法对角接触球轴承进行优化，通过迭代计算，得到其最优设计参数。

本发明是一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法，在满足一定刚度要求的前提下，最大限度提高轴承的寿命，并且可以应用于角接触球轴承的设计过程中，提高设计工作的效率。本设计方法首先确定轴承的基本参数及轴承的工况条件，然后以角接触球轴承的寿命为优化目标，以轴承内、外滚道沟曲率半径系数f_i和f_o、滚珠数目Z、滚珠直径d_w以及轴承的节圆直径D_m为设计变量，以轴承的刚度要求、滚珠的接触强度要求及轴承尺寸要求为约束条件，建立了优化设计数学模型，最后应用基本粒子群算法对角接触球轴承进行优化，得到轴承5个设计变量的最优解，即角接触球轴承的最优设计参数。

如图1所示，本发明提供的一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法包括以下步骤。

S1.确定角接触球轴承的型号、工况条件以及粒子群算法关键参数。

确定角接触球轴承的型号，得到轴承内、外圈沟道曲率半径系数f_i和f_o，滚珠数目Z，滚珠直径d_w，节圆直径D_m，接触角α，滚珠材料布氏强度(HB)等参数。

确定角接触球轴承的工况条件，得到轴承所受轴向力F_a、径向力F_r、轴承允许的最小轴向刚度[K_a]_min以及轴承允许的最小径向刚度[K_r]_min等参数。

根据实际问题选取粒子群算法的关键参数，所述关键参数为惯性权因子w、学习因子c₁与c₂、粒子数目N、最大迭代次数M等。惯性权因子w取1；学习因子c₁与c₂取2.05；粒子规模N根据经验选取，一般为30-50，对于设计变量大于8个的复杂的问题，粒子规模增加到100以上；最大迭代次数M根据经验选取，若达到最大迭代次数M后目标函数仍未收敛，适当增大M。

这些数据为后续建立优化数学建模以及应用粒子群算法优化提供数据。

S2.建立角接触球轴承优化数学模型。

S2.1目标函数。

本方法以提高角接触球轴承寿命为优化目标。按照Lundberg和Palmgren的理论，轴承的额定寿命表示为对应的额定动载荷与当量载荷之比的某一指定函数。

$L={\left(\frac{C}{F}\right)}^3---\left(1\right)$

式中，L为轴承的基本额定寿命，C为轴承的基本额定动载荷，F为轴承的当量动载荷。从(1)式中可以发现，在轴承工况条件一定的前提下(即轴承的当量动载荷F一定)，轴承的基本额定寿命L与轴承的基本额定动载荷C成正比。

根据Harris等人的理论得到改进的轴承基本额定动载荷C的表达式：

$C=b_m{f}_c{\left(cos\mathrm{\α}\right)}^{0.7}{Z}^{2/3}{d}_w^{1.8}---\left(2\right)$

式中：b_m——额定载荷系数，对于角接触球轴承，b_m＝1.3；

α——轴承初始接触角，文中α＝15°；

f_c——与轴承结构相关的系数，具体表达式如下：

$f_c=39.9{\{1+{\[1.04{\left(\frac{1-\mathrm{\γ}}{1+\mathrm{\γ}}\right)}^{1.72}{(\frac{f_i}{f_o}*\frac{2f_o-1}{2f_i-1})}^{0.41}\]}^{\frac{10}{3}}\}}^{-0.3}*\frac{{\mathrm{\γ}}^{0.3}{(1-\mathrm{\γ})}^{1.39}}{{(1+\mathrm{\γ})}^{1/3}}{\left(\frac{2f_i}{2f_i-1}\right)}^{0.41}---\left(3\right)$

式中：γ＝d_wcosα/D_m。

式(3)适用于轴承节圆直径D_m小于25.4mm的轴承。角接触球轴承的节圆直径通常小于25.4mm，故该公式适用于本方法。

将式(3)代入式(2)，得到轴承基本额定动载荷C的表达式,即本方法的目标函数：

F(x)＝C(4)

S2.2设计变量。

由式(4)可知，有5个变量对目标函数有着直接影响，分别是：轴承内、外滚道沟曲率半径系数f_i和f_o、滚珠数目Z、滚珠直径d_w以及轴承的节圆直径D_m。确定这5个关键参数就可以确定轴承的型号，因此，选取这5个参数为本方法的设计变量，表达形式如下：

X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T＝[f_i,f_o,Z,d_w,D_m]^T(5)

轴承的结构图如图2所示，其中d、D、r_i、r_o、B分别为轴承内径、外径、内圈沟道半径、外圈沟道半径、宽度。这几个参数均由本方法选取的5个设计变量确定，故在此不作为设计变量。

S2.3约束条件。

S2.3.1轴承刚度约束。

在轴承设计过程中，轴承刚度是重要的设计要求之一。由于刚度矩阵是非线性函数，不便于对其进行计算，因此工程计算中常采用简化计算公式。在简化计算公式中，忽略力矩对刚度的影响，并假设接触角保持不变，可得到角接触球轴承径向刚度K_r与轴向刚度K_a的简化计算公式：

$K_r=1.26096*{10}^3{F}_r^{1/3}{Z}^{2/3}{d}_w^{1/3}{\left(cos\mathrm{\α}\right)}^{5/3}---\left(6\right)$

$K_a=3.37079*{10}^3{F}_a^{1/3}{Z}^{2/3}{d}_w^{1/3}{\left(sin\mathrm{\α}\right)}^{5/3}---\left(7\right)$

则轴承的刚度约束条件为：

$g_1\left(x\right)=1.26096*{10}^3{F}_r^{\frac{1}{3}}{x}_3^{\frac{2}{3}}{x}_4^{\frac{1}{3}}\left(cos\mathrm{\α}\right)\frac{5}{3}-{\[K_r\]}_{min}\≥0---\left(8\right)$

$g_2\left(x\right)=3.37079*{10}^3{F}_a^{\frac{1}{3}}{x}_3^{\frac{2}{3}}{x}_4^{\frac{1}{3}}\left(sin\mathrm{\α}\right)\frac{5}{3}-\[K_a\]min\≥0---\left(9\right)$

S2.3.2滚珠接触强度约束。

滚珠是轴承的关键部件之一，若钢球出现损伤，会对轴承的寿命及旋转精度等参数有着直接的影响，因此需确保滚珠的接触刚度达到下式要求：

$d_w\≥\frac{207.2}{\left(HB\right)}\sqrt{\frac{1.5F_a+1.5F_{r}tan\mathrm{\α}}{Z\sin \mathrm{\α}}}---\left(10\right)$

则滚珠接触强度约束为：

$g_3\left(x\right)=d_w-\frac{207.2}{\left(HB\right)}\sqrt{\frac{1.5F_a+1.5F_{r}tan\mathrm{\α}}{x_{3}sin\mathrm{\α}}}\≥0---\left(11\right)$

S2.3.3滚珠数目约束。

滚珠数目的经验取值范围为：

$\frac{{\mathrm{\πD}}_m}{K_{z\max }{d}_w}\≤Z\≤\frac{{\mathrm{\πD}}_m}{K_{zmin}{d}_w}---\left(12\right)$

式中：K_zmax与K_zmin分别为球数系数最大值与最小值，对于角接触球轴承K_zmax＝1.90，K_zmin＝1.55。

因此，滚珠数目约束为：

$g_4\left(x\right)=x_3-\frac{{\mathrm{\πx}}_5}{K_{z\max }{x}_4}\≥0---\left(13\right)$

$g_5\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\πx}}_5}{K_{zmin}{x}_4}-x_3\≥0---\left(14\right)$

S2.3.4内外滚道沟曲率半径系数约束。

根据经验公式，轴承内外滚道沟曲率半径不应小于0.515d_w，当轴承内外滚道沟曲率半径大于0.52d_w时，额定动载荷将下降，因此该模型需满足以下约束方程：

0.515d_w≤f_id_w≤0.52d_w(15)

0.515d_w≤f_od_w≤0.52d_w(16)

将式(15)、(16)式中的d_w消掉，则内外滚道沟曲率半径系数约束为：

g₆(x)＝x₁-0.515≥0(17)

g₇(x)＝x₂-0.515≥0(18)

g₈(x)＝0.52-x₁≥0(19)

g₉(x)＝0.52-x₂≥0(20)

综上所述，角接触球轴承优化设计数学模型为：

S3.应用粒子群算法对角接触球轴承进行优化。

S3.1算法原理。

首先初始化一群随机粒子，然后粒子们即追随当前的最优粒子在解空间中搜索，即通过迭代找到最优解。定义d维搜索空间的第i个粒子的位置和速度分别为xⁱ＝(x_i,1x_i,2x_i,d)和vⁱ＝(v_i,1v_i,2v_i,d)，在每次迭代中，粒子通过跟踪最优解来更新自己，第一个就是粒子本身所找到的最优解，即个体极值p_best，p_i＝(p_i,1p_i,2p_i,d)；另一个是整个种群目前找到的最优解，即全局最优解g_best。在找到这两个最优值时，粒子根据如下公式来更新自己的速度和新的位置。

v_i，j(t+1)＝wv_i，j(t)+c₁r₁[p_i，j-x_i，j(t)]+c₂r₂[p_i，j-x_i，j(t)](22)

x_i，j(t+1)＝x_i，j(t)+v_i，j(t+1)，j＝1，2，...d(23)

式中，r₁与r₂——0-1之间均匀分布的随机数。

S3.2算法步骤。

(1)随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

(2)评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应度存储在各微粒的p_best中，将所有的p_best中适应值最优个体的位置和适应值储存于g_best中；

(3)应用式(22)、(23)对粒子的速度和位移进行更新；

(4)对每个微粒，将其适应值与经历的最好位置做比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置；

(5)比较当前所有p_best和g_best的值，更新g_best；

(6)若满足停止条件(通常为预设的运算精度或迭代次数)，搜索停止，输出结果，否则返回步骤(3)继续搜索。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1.本发明将粒子群算法应用于角接触球轴承的优化设计中，在轴承满足一定刚度条件下，最大限度提高轴承的寿命，该方法具有准确性高、可靠性强、计算速度快等优点，是一种切实有效的角接触球轴承优化设计方法。

附图说明

图1是一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法流程图。

图2是轴承结构图。

图3是粒子群算法迭代过程图。

具体实施方式

如图1-3所示，首先，确定角接触球轴承的型号、工况条件以及粒子群算法关键参数。

本文选取7012C型角接触球轴承为算例，其基本参数、工况条件以及粒子群算法关键参数如下表所示。表中的工况条件以及粒子群算法关键参数由人为设定，在优化设计中，根据工程需要进行设置。

其次，根据上述理论，建立角接触球轴承优化数学模型，其中包括：目标函数、设计变量及约束条件。

目标函数：F(x)＝C。

设计变量分别为：轴承内外滚道沟曲率半径系数f_i和f_o、滚珠数目Z、滚珠直径d_w以及轴承的节圆直径D_m，表达式如下：

X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T＝[f_i,f_o,Z,d_w,D_m]^T

约束条件分别为：轴承刚度约束、滚珠强度约束、滚珠数目约束及内外滚道沟曲率半径系数，具体公式如下：

$g_1\left(x\right)=1.26096*{10}^3{F}_r^{\frac{1}{3}}{x}_3^{\frac{2}{3}}{x}_4^{\frac{1}{3}}{\left(cos\mathrm{\α}\right)}^{\frac{5}{3}}-{\[K_r\]}_{min}\≥0$

$g_2\left(x\right)=3.37079*{10}^3{F}_a^{\frac{1}{3}}{x}_3^{\frac{2}{3}}{x}_4^{\frac{1}{3}}{\left(sin\mathrm{\α}\right)}^{\frac{5}{3}}-{\[K_a\]}_{min}\≥0$

$g_3\left(x\right)=d_w-\frac{207.2}{\left(HB\right)}\sqrt{\frac{1.5F_a+1.5F_{r}tan\mathrm{\α}}{x_{3}sin\mathrm{\α}}}\≥0$

$g_4\left(x\right)=x_3-\frac{{\mathrm{\πx}}_5}{K_{z\max }{x}_4}\≥0$

$g_5\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\πx}}_5}{K_{zmin}{x}_4}-x_3\≥0$

g₆(x)＝x₁-0.515≥0

g₇(x)＝x₂-0.515≥0

g₈(x)＝0.52-x₁≥0

g₉(x)＝0.52-x₂≥0

综上所述，角接触球轴承优化设计数学模型为：

然后，应用粒子群算法对角接触球轴承进行优化。

最后，得到轴承的最优设计参数。

优化迭代过程图如图3所示，图中可以看出在第149次迭代后，优化结果收敛，说明粒子群算法参数设置合理，所得结果真实有效。

设计参数的最优解如下表所示，从表中可以看出，优化后额定动载荷C为56.326KN，比优化前提高了63.89％，说明优化效果明显。

fi	fo	Z	dw/(mm)	Dm/(mm)	C(KN)
						0.5153	0.5162	16	11.026	87.809	56.326

Claims (1)

1.一种基于粒子群算法的角接触球轴承优化设计方法，其特征在于：本方法首先确定轴承的基本参数及轴承的工况条件，然后以角接触球轴承的寿命为优化目标，以轴承内、外滚道沟曲率半径系数f_i和f_o、滚珠数目Z、滚珠直径d_w以及轴承的节圆直径D_m为设计变量，以轴承的刚度要求、滚珠的接触强度要求及轴承尺寸要求为约束条件，建立了优化设计数学模型，最后应用基本粒子群算法对角接触球轴承进行优化，得到轴承5个设计变量的最优解，即角接触球轴承的最优设计参数；

该方法包括以下步骤；

S1.确定角接触球轴承的型号、工况条件以及粒子群算法关键参数；

确定角接触球轴承的型号，得到轴承内、外圈沟道曲率半径系数f_i和f_o，滚珠数目Z，滚珠直径d_w，节圆直径D_m，接触角α，滚珠材料布氏强度参数；

确定角接触球轴承的工况条件，得到轴承所受轴向力F_a、径向力F_r、轴承允许的最小轴向刚度[K_a]_min以及轴承允许的最小径向刚度[K_r]_min参数；

根据实际问题选取粒子群算法的关键参数，所述关键参数为惯性权因子w、学习因子c₁与c₂、粒子数目N、最大迭代次数M；惯性权因子w取1；学习因子c₁与c₂取2.05；粒子规模N根据经验选取，一般为30-50，对于设计变量大于8个的复杂的问题，粒子规模增加到100以上；最大迭代次数M根据经验选取，若达到最大迭代次数M后目标函数仍未收敛，适当增大M；

这些数据为后续建立优化数学建模以及应用粒子群算法优化提供数据；

S2.建立角接触球轴承优化数学模型；

S2.1目标函数；

本方法以提高角接触球轴承寿命为优化目标；按照Lundberg和Palmgren的理论，轴承的额定寿命表示为对应的额定动载荷与当量载荷之比的某一指定函数；

$L={\left(\frac{C}{F}\right)}^3---\left(1\right)$

式中，L为轴承的基本额定寿命，C为轴承的基本额定动载荷，F为轴承的当量动载荷；从式(1)中可知，在轴承工况条件一定的前提下即轴承的当量动载荷F一定，轴承的基本额定寿命L与轴承的基本额定动载荷C成正比；

根据Harris等人的理论得到改进的轴承基本额定动载荷C的表达式：

$C=b_m{f}_c{\left(cos\mathrm{\α}\right)}^{0.7}{Z}^{2/3}{d}_w^{1.8}---\left(2\right)$

式中：b_m——额定载荷系数，对于角接触球轴承，b_m＝1.3；

α——轴承初始接触角，文中α＝15°；

f_c——与轴承结构相关的系数，具体表达式如下：

$f_c=39.9{\{1+{\[1.04{\left(\frac{1-\mathrm{\γ}}{1+\mathrm{\γ}}\right)}^{1.72}{(\frac{f_i}{f_o}*\frac{2f_o-1}{2f_i-1})}^{0.41}\]}^{\frac{10}{3}}\}}^{-0.3}*\frac{{\mathrm{\γ}}^{0.3}{(1-\mathrm{\γ})}^{1.39}}{{(1+\mathrm{\γ})}^{1/3}}{\left(\frac{2f_i}{2f_i-1}\right)}^{0.41}---\left(3\right)$

式中：γ＝d_wcosα/D_m；

式(3)适用于轴承节圆直径D_m小于25.4mm的轴承；角接触球轴承的节圆直径通常小于25.4mm，故该公式适用于本方法；

将式(3)代入式(2)，得到轴承基本额定动载荷C的表达式,即本方法的目标函数：

F(x)＝C(4)

S2.2设计变量；

由式(4)可知，有5个变量对目标函数有着直接影响，分别是：轴承内、外滚道沟曲率半径系数f_i和f_o、滚珠数目Z、滚珠直径d_w以及轴承的节圆直径D_m；确定这5个关键参数就可以确定轴承的型号，因此，选取这5个参数为本方法的设计变量，表达形式如下：

X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T＝[f_i,f_o,Z,d_w,D_m]^T(5)

轴承的结构中，d、D、r_i、r_o、B分别为轴承内径、外径、内圈沟道半径、外圈沟道半径、宽度；这几个参数均由本方法选取的5个设计变量确定，故在此不作为设计变量；

S2.3约束条件；

S2.3.1轴承刚度约束；

在轴承设计过程中，轴承刚度是重要的设计要求之一；由于刚度矩阵是非线性函数，不便于对其进行计算，因此工程计算中常采用简化计算公式；在简化计算公式中，忽略力矩对刚度的影响，并假设接触角保持不变，可得到角接触球轴承径向刚度K_r与轴向刚度K_a的简化计算公式：

$K_r=1.26096*{10}^3{F}_r^{1/3}{Z}^{2/3}{d}_w^{1/3}{\left(cos\mathrm{\α}\right)}^{5/3}---\left(6\right)$

$K_a=3.37079*{10}^3{F}_a^{1/3}{Z}^{2/3}{d}_w^{1/3}{\left(sin\mathrm{\α}\right)}^{5/3}---\left(7\right)$

则轴承的刚度约束条件为：

$g_1\left(x\right)=1.26096*{10}^3{F}_r^{\frac{1}{3}}{x}_3^{\frac{2}{3}}{x}_4^{\frac{1}{3}}{\left(cos\mathrm{\α}\right)}^{\frac{5}{3}}-{\[K_r\]}_{min}\≥0---\left(8\right)$

$g_2\left(x\right)=3.37079*{10}^3{F}_a^{\frac{1}{3}}{x}_3^{\frac{2}{3}}{x}_4^{\frac{1}{3}}{\left(sin\mathrm{\α}\right)}^{\frac{5}{3}}-{\[K_a\]}_{min}\≥0---\left(9\right)$

S2.3.2滚珠接触强度约束；

滚珠是轴承的关键部件之一，若钢球出现损伤，会对轴承的寿命及旋转精度等参数有着直接的影响，因此需确保滚珠的接触刚度达到下式要求：

$d_w\≥\frac{207.2}{\left(HB\right)}\sqrt{\frac{1.5F_a+1.5F_{r}tan\mathrm{\α}}{Z\sin \mathrm{\α}}}---\left(10\right)$

则滚珠接触强度约束为：

$g_3\left(x\right)=d_w-\frac{207.2}{\left(HB\right)}\sqrt{\frac{1.5F_a+1.5F_{r}tan\mathrm{\α}}{x_{3}sin\mathrm{\α}}}\≥0---\left(11\right)$

S2.3.3滚珠数目约束；

滚珠数目的经验取值范围为：

$\frac{{\mathrm{\πD}}_m}{K_{z\max }{d}_w}\≤Z\≤\frac{{\mathrm{\πD}}_m}{K_{zmin}{d}_w}---\left(12\right)$

式中：K_zmax与K_zmin分别为球数系数最大值与最小值，对于角接触球轴承K_zmax＝1.90，K_zmin＝1.55；

因此，滚珠数目约束为：

$g_4\left(x\right)=x_3-\frac{{\mathrm{\πx}}_5}{K_{z\max }{x}_4}\≥0---\left(13\right)$

$g_5\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\πx}}_5}{K_{zmin}{x}_4}-x_3\≥0---\left(14\right)$

S2.3.4内外滚道沟曲率半径系数约束；

根据经验公式，轴承内外滚道沟曲率半径不应小于0.515d_w，当轴承内外滚道沟曲率半径大于0.52d_w时，额定动载荷将下降，因此该模型需满足以下约束方程：

0.515d_w≤f_id_w≤0.52d_w(15)

0.515d_w≤f_od_w≤0.52d_w(16)

将式(15)、(16)式中的d_w消掉，则内外滚道沟曲率半径系数约束为：

g₆(x)＝x₁-0.515≥0(17)

g₇(x)＝x₂-0.515≥0(18)

g₈(x)＝0.52-x₁≥0(19)

g₉(x)＝0.52-x₂≥0(20)

综上所述，角接触球轴承优化设计数学模型为：

S3.应用粒子群算法对角接触球轴承进行优化；

S3.1算法原理；

首先初始化一群随机粒子，然后粒子们即追随当前的最优粒子在解空间中搜索，即通过迭代找到最优解；定义d维搜索空间的第i个粒子的位置和速度分别为xⁱ＝(x_i,1x_i,2x_i,d)和vⁱ＝(v_i,1v_i,2v_i,d)，在每次迭代中，粒子通过跟踪最优解来更新自己，第一个就是粒子本身所找到的最优解，即个体极值p_best，p_i＝(p_i,1p_i,2p_i,d)；另一个是整个种群目前找到的最优解，即全局最优解g_best；在找到这两个最优值时，粒子根据如下公式来更新自己的速度和新的位置；

v_i,j(t+1)＝wv_i,j(t)+c₁r₁[p_i,j-x_i,j(t)]+c₂r₂[p_i,j-x_i,j(t)](22)

x_i,j(t+1)＝x_i,j(t)+v_i,j(t+1),j＝1,2,...d(23)

式中，r₁与r₂——0-1之间均匀分布的随机数；

S3.2算法步骤；

(1)随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

(2)评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应度存储在各微粒的p_best中，将所有的p_best中适应值最优个体的位置和适应值储存于g_best中；

(3)应用式(22)、(23)对粒子的速度和位移进行更新；

(4)对每个微粒，将其适应值与经历的最好位置做比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置；

(5)比较当前所有p_best和g_best的值，更新g_best；

(6)若满足停止条件(通常为预设的运算精度或迭代次数)，搜索停止，输出结果，否则返回步骤(3)继续搜索。