CN105424500A - 一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，包括底座，所述底座的上端一侧安装有白屏，所述底座远离白屏的一端安装有激光器，所述激光器与白屏之间通过支架安装有金属棒，且支架分别安装在金属棒的两端，所述金属棒的中部安装有挂钩，所述挂钩远离金属棒的一端安装有砝码，所述砝码的下端通过连接件安装有单缝活动片，所述单缝活动片的下端安装有单缝固定片，且单缝固定片安装在底座的上端。本发明对测量金属棒杨氏模量的传统实验装置进行了改进，用单缝衍射法测量微小变化长度，从而提高了实验的测量精度，降低了实验误差。

Description

一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置

技术领域

本发明涉及实验设备技术领域，尤其涉及一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置。

背景技术

杨氏模量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一，是工程技术设计中常用的参数。杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术(微波或超声波)等实验技术和方法测量杨氏模量。材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系，其比例系数称为弹性模量。弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标，其值越大，使材料发生一定弹性变形的应力也越大，即材料刚度越大，亦即在一定应力作用下，发生弹性变形越小。弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。是物体弹性变形难易程度的表征。用E表示。定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。E以单位面积上承受的力表示，单位为N/m2。模量的性质依赖于形变的性质。剪切形变时的模量称为剪切模量，用G表示；压缩形变时的模量称为压缩模量，用K表示。模量的倒数称为柔量，用J表示。拉伸试验中得到的屈服极限бS和强度极限бb，反映了材料对力的作用的承受能力，而延伸率δ或截面收缩率ψ，反映了材料塑型变形的能力，为了表示材料在弹性范围内抵抗变形的难易程度，在实际工程结构中，材料弹性模量E的意义通常是以零件的刚度体现出来的，这是因为一旦零件按应力设计定型，在弹性变形范围内的服役过程中，是以其所受负荷而产生的变形量来判断其刚度的。一般按引起单位应变的负荷为该零件的刚度，可见，要想提高零件的刚度EA0，亦即要减少零件的弹性变形，可选用高弹性模量的材料和适当加大承载的横截面积，刚度的重要性在于它决定了零件服役时稳定性，对细长杆件和薄壁构件尤为重要。因此，构件的理论分析和设计计算来说，弹性模量E是经常要用到的一个重要力学性能指标。弹性模量：材料的抗弹性变形的一个量，材料刚度的一个指标。它只与材料的化学成分有关，与其组织变化无关，与热处理状态无关。各种钢的弹性模量差别很小，金属合金化对其弹性模量影响也很小。

然而现有的实验都无法做到很好的对金属棒的杨氏模量进行测量。不能够做到很准确的给出测量值，也无法做到很好的给使用者带来便利。

发明内容

基于背景技术存在的技术问题，本发明提出了一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置。

本发明提出的一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，

一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，包括底座，所述底座的上端一侧安装有白屏，所述底座远离白屏的一端安装有激光器，所述激光器与白屏之间通过支架安装有金属棒，且支架分别安装在金属棒的两端，所述金属棒的中部安装有挂钩，所述挂钩远离金属棒的一端安装有砝码，所述砝码的下端通过连接件安装有单缝活动片，所述单缝活动片的下端安装有单缝固定片，且单缝固定片安装在底座的上端。

优选地，所述底座的一侧均匀设有测量装置，且位于白屏处的刻度为0。

优选地，所述白屏的内侧安装有角度测量装置，且角度测量装置为可调节结构。

优选地，所述激光器为He-Ne激光器。

优选地，所述底座的下端设有防滑装置，且底座的一侧设有把手。

本发明中，对测量金属棒杨氏模量的传统实验装置进行了改进，用单缝衍射法测量微小变化长度，从而提高了实验的测量精度，降低了实验误差。

附图说明

图1为本发明提出的一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置的结构示意图。

图中：1挂钩、2金属棒、3支架、4白屏、5砝码、6连接件、7单缝活动片、8激光器、9底座、10单缝固定片。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步解说。

一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，包括底座9，底座9的上端一侧安装有白屏4，底座9远离白屏4的一端安装有激光器8，激光器8与白屏4之间通过支架3安装有金属棒2，且支架3分别安装在金属棒2的两端，金属棒2的中部安装有挂钩1，挂钩1远离金属棒2的一端安装有砝码5，砝码5的下端通过连接件6安装有单缝活动片7，单缝活动片7的下端安装有单缝固定片10，且单缝固定片10安装在底座9的上端，底座9的一侧均匀设有测量装置，且位于白屏4处的刻度为0，白屏4的内侧安装有角度测量装置，且角度测量装置为可调节结构，激光器8为He-Ne激光器，底座9的下端设有防滑装置，且底座9的一侧设有把手。本发明对测量金属棒杨氏模量的传统实验装置进行了改进，用单缝衍射法测量微小变化长度，从而提高了实验的测量精度，降低了实验误差.

测量方法为：将厚为a，宽为b的金属棒2放在相距为l的两刀刃上，在棒上二刀刃的中点处挂上质量为m的砝码5，棒被压弯，设挂砝码5处下降s,称此s为弛垂度，这时棒的杨氏模量为

$E=\frac{{\mathrm{mgl}}^3}{4a^3\·bs}$

由单缝衍射可知，缝宽的变化为

$\mathrm{\Δ}b=\left(\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_1}\right)L\mathrm{\λ}$

式中x₁是加上砝码5后±1级暗条纹到屏中心的距离，x₀是未加砝码时±1级暗条纹到屏中心的距离，L为狭缝到屏幕的距离。

当弛垂度s与Δb相等时，即时有

$E=\frac{{\mathrm{mgl}}^3}{4a^{3}b\·\mathrm{\λ}L\left(\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_1}\right)}$

由上式可得

$\frac{1}{x_1}=-\frac{{\mathrm{gl}}^3}{4a^{3}b\mathrm{\λ}LE}m+\frac{1}{x_0}$

令 $y=\frac{1}{x_1},C_1=-\frac{{\mathrm{gl}}^3}{4a^{3}b\mathrm{\λ}LE},C_0\frac{1}{x_0},$ x＝m,则式变为

y＝C₁x+c₀

通过n组数据采用作图法画出图形，根据最小二乘法得出C₁，

$C_1=-\frac{{\mathrm{gl}}^3}{4a^{3}b\mathrm{\λ}LE}$ 得：

从而测出杨氏模量。

实验测量结果：用改进后的实验装置测得实验数据，并计算l、a、b、的最佳估值和不确定度(n＝8)

$\stackrel{\‾}{l}=\frac{1}{n}{\Σ}_{i=1}^n{l}_i=229.2mm,s=\sqrt{\frac{\Σ{\left(l_i-\stackrel{\‾}{l}\right)}^2}{n-1}}=0.21mm,U_A=\frac{s}{\sqrt{3}}=0.10mm,$ $U_B\left(l\right)=\frac{\mathrm{\Δ}l}{\sqrt{3}}=0.57mm,U_c\left(l\right)=\sqrt{{U_A}^2\left(l\right)+{U_B}^2\left(l\right)}=0.58mm,$

同理可得U_C(a)＝0.0027mm，U_C(b)＝0.017mm现在拟合回归方程，即要使为最小，这就是最小二乘法原理^[1]。

可写成

${\Σ}_{i=1}^n{{\mathrm{\ϵ}}_i}^2={\Σ}_{i=1}^n{\left(y_i-C_0-C_1{x}_i\right)}^2---\left(7\right)$

为了求的值最小，把对C₀，C₁求偏微商，对C₀，C₁求偏微商的意义是，这时x_i，y_i是已知量，而变量C₀和C₁，令其一级偏微商为零，即

$\frac{\∂}{\∂C_0}\left({\Σ}_{i=1}^n{{\mathrm{\ϵ}}_i}^2\right)=-2{\Σ}_{i=1}^n\left(y_i-C_0-C_1{x}_i\right)=0$

$\frac{\∂}{\∂C_1}\left({\Σ}_{i=1}^n{{\mathrm{\ϵ}}_i}^2\right)=-2{\Σ}_{i=1}^n\left(y_i-C_0-C_1{x}_i\right)x_i=0$

整理后写成

$\stackrel{\‾}{x}{C}_1+C_0=\stackrel{\‾}{y}$

$\stackrel{\‾}{x^2}{C}_1+\stackrel{\‾}{x}{C}_0=\stackrel{\‾}{xy}$

式中 $\stackrel{\‾}{x}=\frac{1}{n}{\Σ}_{i=1}^n{x}_i,\stackrel{\‾}{y}=\frac{1}{n}{\Σ}_{i=1}^n{y}_i,\stackrel{\‾}{x^2}\frac{1}{n}{\Σ}_{i=1}^n{x_i}^2,\stackrel{\‾}{xy}=\frac{1}{n}{\Σ}_{i=1}^n{x}_i{y}_i.$

上式的解为

$C_1=\frac{\stackrel{\‾}{xy}-\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y}}{{\stackrel{\‾}{x}}^2-\stackrel{\‾}{x^2}}=\frac{l_{xy}}{l_{xx}}$

$C_0=\stackrel{\‾}{y}-C_1\stackrel{\‾}{x}$

对C₁、C₀再求一次微商，得的二级微商，大于零。这样给出的C₁和C₀对应于的极小值，即用最小二乘法得出回归直线的两个参量斜率和截距的估计值，于是，就得到了直线的回归方程。式中

$l_{xy}={\Σ}_{i=1}^n\left(x_i-\stackrel{\‾}{x}\right)\left(y_i-\stackrel{\‾}{y}\right)$

$l_{xx}={\Σ}_{i=1}^n{(x_i-\stackrel{\‾}{x})}^2$

容易证明

$l_{xy}=n\left(\stackrel{\‾}{xy}-\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y}\right)={\Σ}_{i=1}^n{x}_i{y}_i-\frac{1}{n}\left({\Σ}_{i=1}^n{x}_i\right)\left({\Σ}_{i=1}^n{y}_i\right)$

$l_{xx}=n\left(\stackrel{\‾}{x^2}-{\stackrel{\‾}{x}}^2\right)={\Σ}_{i=1}^n{x_i}^2-\frac{1}{n}{\left({\Σ}_{i=1}^n{x}_i\right)}^2$

同样

$l_{yy}={\Σ}_{i=1}^n{\left(y_i-\stackrel{\‾}{y}\right)}^2-n\left(\stackrel{\‾}{y^2}-{\stackrel{\‾}{y}}^2\right)={\Σ}_{i=1}^n{y_i}^2-\frac{1}{n}{\left({\Σ}_{i=1}^n{y}_i\right)}^2$ 为了估计测量值(x_i，y_i)的偏离式的大小，定义剩余标准误差、相关系数为

$\begin{array}{cc}S=\sqrt{\frac{\left(1-r^2\right)l_{yy}}{n-2}}& r=\frac{l_{xy}}{\sqrt{l_{xx}\·l_{xy}}}\end{array}$

∴ $\begin{array}{cc}{S}_{C_1}=\frac{s}{\sqrt{l_{xx}}},& S_{C_0}=\frac{\sqrt{\stackrel{\‾}{x^2}}}{\sqrt{l_{xx}}}S\end{array}$

根据实验数据和相关公式可得：

l_xy＝-49.81，l_xx＝4200，l_yy＝0.60， $C_1=\frac{l_{xy}}{l_{xx}}=-0.0119,C_0=\stackrel{\‾}{y}-C_1\stackrel{\‾}{x}=0.9695,$ $r=\frac{l_{xy}}{\sqrt{l_{xy}{l}_{yy}}}=-0.9876,S=\sqrt{\frac{\left(1-r^2\right)l_{yy}}{n-2}}=0.0203,S_{C_1}=\frac{S}{\sqrt{l_{xx}}}=0.0003$

由(6)式得E＝10.08×10¹⁰N/m²，

$\begin{array}{c}{U}_C\left(E\right)=E\sqrt{{\left(\frac{\∂E}{\∂l}{\mathrm{\δ}}_l\right)}^2+{\left(\frac{\∂E}{\∂a}{\mathrm{\δ}}_a\right)}^2+{\left(\frac{\∂E}{\∂b}{\mathrm{\δ}}_b\right)}^2+{\left(\frac{\∂E}{\∂C_1}{\mathrm{\δC}}_1\right)}^2}\\ =E\sqrt{{\left(3\frac{U\left(l\right)}{l}\right)}^2+{\left(3\frac{U\left(a\right)}{a}\right)}^2{\left(\frac{U\left(b\right)}{b}\right)}^2+{\left(\frac{U\left(C_1\right)}{C_1}\mathrm{\δ}\right)}^2}=0.53\×{10}^{10}N/m^2\end{array}$

求测量值与厂家值的相对误差e为：

从测量结果来看，误差较小，实验结果理想。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，包括底座(9)，其特征在于，所述底座(9)的上端一侧安装有白屏(4)，所述底座(9)远离白屏(4)的一端安装有激光器(8)，所述激光器(8)与白屏(4)之间通过支架(3)安装有金属棒(2)，且支架(3)分别安装在金属棒(2)的两端，所述金属棒(2)的中部安装有挂钩(1)，所述挂钩(1)远离金属棒(2)的一端安装有砝码(5)，所述砝码(5)的下端通过连接件(6)安装有单缝活动片(7)，所述单缝活动片(7)的下端安装有单缝固定片(10)，且单缝固定片(10)安装在底座(9)的上端。

2.根据权利要求1所述用于一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，其特征在于，所述底座(9)的一侧均匀设有测量装置，且位于白屏(4)处的刻度为0。

3.根据权利要求1所述用于一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，其特征在于，所述白屏(4)的内侧安装有角度测量装置，且角度测量装置为可调节结构。

4.根据权利要求1所述用于一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，其特征在于，所述激光器(8)为He-Ne激光器。

5.根据权利要求1所述用于一种衍射方法测量金属棒的杨氏模量装置，其特征在于，所述底座(9)的下端设有防滑装置，且底座(9)的一侧设有把手。