CN105376097A - 网络流量的一种混合预测方法 - Google Patents

Abstract

网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：该方法通过对网络流量序列自相似性分析，提出一种ARIMA补偿ELM的网络流量预测方法，即差分自回归移动平均模型补偿极限学习机的网络流量预测方法；首先利用ELM对网络流量序列进行预测，然后对网络流量预测的误差序列通过ARIMA模型进行修正，最后将ELM预测值与ARIMA模型修正值进行叠加得到最终的预测值。其利用ARIMA模型对预测误差数据进行拟合，将ELM的预测值与ARIMA预测的残差进行叠加得到最终的预测值，通过ARIMA模型进行残差补偿来有效提高预测的精度。

Description

网络流量的一种混合预测方法

技术领域

本发明属于计算机网络技术领域，具体涉及一种网络流量的预测方法。

背景技术

网络流量是目前网络管理的一个重要参数，在网络资源有限的情况下设计网络的拥塞控制策略时，网络流量的准确预测对于减少网络拥塞、合理分配资源、提高网络服务质量以及发现网络异常行为等具有非常重要的作用。近年来的研究发现，网络流量即使在流量突变时也呈现出一定的变化规律，这使得对网络流量序列进行分析、预测成为可能。

目前一些研究成果将网络流量看作线性模型的，分别采用自回归滑动平均(ARMA)模型(参见LanerM,SvobodaP,RuppM.Parsimoniousfittingoflong-rangedependentnetworktrafficusingARMAmodels[J].IEEECommunicationsLetters,2013,17(12):2368-2371)、差分自回归滑动平均(ARIMA)模型(参见YadavRK,BalakrishnanM.ComparativeevaluationofARIMAandANFISformodelingofwirelessnetworktraffictimeseries[J].EurasipJournalonWirelessCommunicationsandNetworking,2014(1):15)，以及差分自回归求和滑动平均(FARIMA)模型(参见董春玲.一种结合DWT和FARIMA的网络拥塞控制机制[J].小型微型计算机系统，2011，32(5):931-934)等线性模型进行预测。但是随着网络复杂度的增加，网络流量特性已经超出传统意义上认为的泊松或者马尔可夫分布了，因此利用线性模型进行预测存在理论上的不足，很难保证预测的精确性。而非线性模型的预测主要包括了支持向量机(参见LiaoWJ,BalzenZ.LSSVMnetworkflowpredictionbasedontheself-adaptivegeneticalgorithmoptimization[J].JournalofNetworks,2013,8(2):507-512)、人工神经网络(参见WangJS,WangJK,ZhangMZ.PredictionofinternettrafficbasedonElmanneuralnetwork[C]//ChineseControlandDecisionConference,2009:1248-1252)以及灰色模型(参见孙韩林,金跃辉,崔毅东等.粗粒度网络流量的灰色模型预测[J].北京邮电大学学报，2010,33(1):7-11)等，虽然非线性模型的预测精度较线性模型有了一定程度的提高，但是神经网络存在易陷于局部最优值、网络结构难以确定的缺点。支持向量机虽然需要样本数小，但是其关键参数很难确定.而灰色模型只适合数据变化不是剧烈的情况下，因此网络流量的非线性模型预测也很难保证预测的精度。

发明内容

本发明提供了网络流量的一种混合预测方法，即基于ELM与ARIMA混合模型的网络流量预测方法，其目的是解决以往所存在的问题。

技术方案：

网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：该方法通过对网络流量序列自相似性分析，提出一种ARIMA补偿ELM的网络流量预测方法，即差分自回归移动平均模型补偿极限学习机的网络流量预测方法；首先利用ELM对网络流量序列进行预测，然后对网络流量预测的误差序列通过ARIMA模型进行修正，最后将ELM预测值与ARIMA模型修正值进行叠加得到最终的预测值。

该方法对网络流量数据进行Hurst参数分析可知原始网络流量具有长相关性，因此利用ELM对网络流量数据进行拟合，而通过对ELM预测值与网络流量实际值之间的误差序列的Hurst参数分析可知误差序列具有短相关，因此利用ARIMA模型对预测误差数据进行拟合，将ELM的预测值与ARIMA预测的残差进行叠加得到最终的预测值，通过ARIMA模型进行残差补偿来有效提高预测的精度。

本发明的预测方法为如下步骤：

步骤1：采集网络流量数据，将网络流量数据分为训练集以及测试集，训练集用于ELM与ARIMA预测模型的建立，测试集用于预测模型预测精度的验证，同时由于网络流量变化范围比较大，因此需要将网络流量序列进行归一化，预测结果则需要反归一化处理，恢复真实预测值；

步骤2：利用训练样本序列进行ELM预测模型的训练，采用实验的方法确定网络流量的嵌入维数m也即ELM输入层数，通过实际值与ELM预测值的误差均方根值确定合适的嵌入维数m；

步骤3：将原始网络流量序列减去ELM模型预测值得到网络流量的误差序列，利用该误差序列进行ARIMA模型的训练，首先对网络流量误差序列进行差分处理，当序列平稳时可确定差分次数参数d，然后计算平稳的序列的自相关函数ACF与偏相关函数PAC，结合AIC准则确定最佳的预测模型参数p、d、q，完成ARIMA预测模型的建立；

步骤4：当ELM与ARIMA预测模型确定后，利用ELM模型预测未来时刻的网络流量值，利用ARIMA模型预测流量的误差值，将二者相加得到最终的预测值；

步骤5：通过滑动窗口机制，利用当前时刻实测流量值更新流量与流量误差序列，将最旧的一组数移除，形成新的预测输入数据，返回步骤4进行下一时刻的网络流量预测。

步骤2中ELM预测过程如下：

设网络流样本集为：

$S_k={\left\{\left(D_i,t_i\right)\right\}}_{i=1}^k\left(D_i={\left[\begin{array}{cccc}{d}_i& d_{i-1}& ...& d_{i-m}\end{array}\right]}^T,t_i=d_{i+j}\right)$

式中：i为采样时刻，S_k为网络流量样本集，D_i为用于预测的网络流量时间序列，也即ELM的输入，t_i为ELM的输出，也即ELM预测的网络流量值。

d_i为i时刻网络流量，m为嵌入维数，j为预测步长，一个包含L个隐层神经元函数f(·)的ELM回归模型可表示为

$\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{i}f\left({\mathrm{\α}}_i{D}_1+b_i\right)=t_1\\ \underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{i}f\left({\mathrm{\α}}_i{D}_2+b_i\right)=t_2\\ .\\ .\\ .\\ \underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{i}f\left({\mathrm{\α}}_i{D}_k+b_i\right)=t_k\end{array}$

t_k为ELM的输出，k为训练样本的数量，α_i为第i个神经元的输入权值，即α_i＝[α_i1α_i2···α_in]，β_i为连接第i个神经元的输出权值，b_i为第i个神经元的偏差，L为隐层神经元的个数，将上式写成矩阵形式

H_kβ_k＝T_k

式中H_k为神经元矩阵，f(·)为非线性映射函数

$H_k=\left[\begin{array}{cccc}f\left({\mathrm{\α}}_1{D}_1+b_1\right)& f\left({\mathrm{\α}}_2{D}_1+b_2\right)& \mathrm{...}& f\left({\mathrm{\α}}_L{D}_1+b_L\right)\\ f\left({\mathrm{\α}}_1{D}_2+b_1\right)& f\left({\mathrm{\α}}_2{D}_2+b_2\right)& \mathrm{...}& f\left({\mathrm{\α}}_L{D}_2+b_L\right)\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ f\left({\mathrm{\α}}_1{D}_k+b_1\right)& f\left({\mathrm{\α}}_2{D}_k+b_2\right)& \mathrm{...}& f\left({\mathrm{\α}}_L{D}_k+b_L\right)\end{array}\right]$

求解上式可得输出权值，下式中：β_k为神经元的输出权值矩阵，H_k为神经元矩阵，T代表矩阵的转置，-1代表矩阵的求逆。

${\mathrm{\β}}_k={\left(H_k^T{H}_k\right)}^{-1}{H}_k^T{T}_k$

由此训练后的ELM网络流量序列预测模型为

$t=\underset{i=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_{i}f({\mathrm{\α}}_i{D}_i+b_i)$

其中D_i为输入，t为ELM预测的下一时刻网络流量。

步骤3中ARIMA预测过程如下：

模型识别与定阶：

平稳化网络流量时间序列后，首先计算原始序列的自相关函数ACF，偏相关函数PAC，对于网络流量时间序列y_t，有自协方差

${\mathrm{\γ}}_k=\frac{1}{N}\underset{t=1}{\overset{N-k}{\Σ}}{y}_k{y}_{t+k}$

上式中，y_t代表t时刻的网络流量，y_t+k代表t+k时刻的网络流量，N为序列的长度。

自相关函数

$\mathrm{\ρ}=\frac{{\mathrm{\γ}}_k}{{\mathrm{\γ}}_0}$

其中γ_k代表上式定义的自协方差。

偏相关函数为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{11}={\mathrm{\ρ}}_1\\ {\mathrm{\α}}_{k+1,k+1}=\left({\mathrm{\ρ}}_{k+1}-{\mathrm{\Σ\ρ}}_{k+1-j}{\mathrm{\α}}_{kj}\right)\×\\ {\left(1-\underset{j=1}{\overset{k}{\Σ}}{\mathrm{\ρ}}_j{\mathrm{\α}}_{kj}\right)}^{-1}\\ {\mathrm{\α}}_{k+1,j}={\mathrm{\α}}_{kj}-{\mathrm{\α}}_{k+1,k+1}\×{\mathrm{\α}}_{k,k-j+1}\end{array}\right\}$

其中ρ_k为自相关函数，α_kj为偏相关函数。可通过ρ_k,α_k的截尾性初步确定模型的阶数。时间序列的参数辨识可通过最小二乘估计得到，即估计参数使下式最小

上式中，θ_q为q阶滑动平均算子，为p阶自回归算子，Z为后移算子，▽^d为后向差分算子，N为序列长度，d为差分阶数，p为自回归系数，q为滑动平均系数。

模型检验：

对不同的p、d、q参数进行组合，通过AIC准则可得到最优的参数模型。AIC准则即赤池信息量准则，其特点为“吝啬原理”的具体化，定义如下：

AIC＝-2lnL+2g

其中ln为自然对数值，L为模型的极大似然参数，g为模型的独立参数，AIC代表AIC准则函数值。

优点效果：

从目前研究成果看，单一预测模型很难实现更准确地要求、预测误差比较大，因此组合预测模型可弥补单独预测模型的缺点，可以更准确地描述网络流量的特性。通过对网络流量序列的自相似性分析，本发明利用运算速度快、具有良好非线性预测能力的ELM进行网络流量的预测，同时利用ARIMA模型对预测误差进行修正以提高预测精度。

Legend和Paxson指出网络流量具有自相似特征(参见LegendWE,TaqquMS.Ontheself-similarnatureofEthernettraffic[J].IEEE/ACMTransonNetworking,1994,2(1):1-15),相似性可用Hurst参数H来衡量，当H＝0.5时说明网络流量序列是随机游动的，事件之间不相关，当H∈[0,0.5)时说明序列是反持久性的，当H∈[0.5,1)时表示序列是持久性的，也即具有自相似性，H越大则序列的自相似性越大。因此Hurst参数越大说明网络的自相似(长相关)程度越高，序列可预测性越强，预测误差越小。本发明对网络流量数据进行Hurst参数分析可知原始网络流量具有长相关性，因此利用ELM对网络流量数据进行拟合，而通过对ELM预测值与网络流量实际值之间的误差序列的Hurst参数分析可知误差序列具有短相关性，因此利用ARIMA模型对预测误差数据进行拟合，将ELM的预测值与ARIMA预测的残差进行叠加得到最终的预测值，通过ARIMA模型进行残差补偿来有效提高预测的精度。

附图说明

图1为本发明的网络流量混合预测方法整体结构图；

图2为本发明的网络流量混合预测方法ELM预测流程图；

图3为本发明的网络流量混合预测方法ARIMA预测流程图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。

步骤1：采集网络流量数据，将网络流量数据分为训练集以及测试集，训练集用于ELM与ARIMA预测模型的建立，测试集用于预测模型预测精度的验证，同时由于网络流量变化范围比较大，因此需要将网络流量序列进行归一化，预测结果则需要反归一化处理，恢复真实预测值；

步骤2：利用网络流量训练样本序列进行ELM预测模型的训练，采用实验的方法确定网络流量的嵌入维数m也即ELM输入层数，通过实际值与ELM预测值的误差均方根值确定合适的嵌入维数m。ELM预测过程如下：

2.1设网络流样本集为

$S_k={\left\{\left(D_i,t_i\right)\right\}}_{i=1}^k\left(D_i={\left[\begin{array}{cccc}{d}_i& d_{i-1}& ...& d_{i-m}\end{array}\right]}^T,t_i=d_{i+j}\right)$

d_i为i时刻网络流量，m为嵌入维数，j为预测步长，一个包含L个隐层神经元函数f(·)的ELM回归模型可表示为

$\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{i}f\left({\mathrm{\α}}_i{D}_1+b_i\right)=t_1\\ \underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{i}f\left({\mathrm{\α}}_i{D}_2+b_i\right)=t_2\\ .\\ .\\ .\\ \underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{i}f\left({\mathrm{\α}}_i{D}_k+b_i\right)=t_k\end{array}$

k为训练样本的数量，α_i为第i个神经元的输入权值，α_i＝[α_i1α_i2···α_in]，β_i为连接第i个神经元的输出权值，b_i为第i个神经元的偏差，将上式写成矩阵形式

H_kβ_k＝T_k

式中H_k为神经元矩阵

$H_k=\left[\begin{array}{cccc}f\left({\mathrm{\α}}_1{D}_1+b_1\right)& f\left({\mathrm{\α}}_2{D}_1+b_2\right)& \mathrm{...}& f\left({\mathrm{\α}}_L{D}_1+b_L\right)\\ f\left({\mathrm{\α}}_1{D}_2+b_1\right)& f\left({\mathrm{\α}}_2{D}_2+b_2\right)& \mathrm{...}& f\left({\mathrm{\α}}_L{D}_2+b_L\right)\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ f\left({\mathrm{\α}}_1{D}_k+b_1\right)& f\left({\mathrm{\α}}_2{D}_k+b_2\right)& \mathrm{...}& f\left({\mathrm{\α}}_L{D}_k+b_L\right)\end{array}\right]$

求解上式可得输出权值

${\mathrm{\β}}_k={\left(H_k^T{H}_k\right)}^{-1}{H}_k^T{T}_k$

由此训练后的ELM网络流量序列预测模型为

$t=\underset{i=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_{i}f({\mathrm{\α}}_i{D}_i+b_i)$

其中D_i为输入，t为预测的下一时刻网络流量。

步骤3：将原始样本序列减去ELM模型预测值得到网络流量的误差序列，利用该误差序列进行ARIMA模型的训练，首先对网络流量误差序列进行差分处理，当序列平稳时可确定差分次数参数d，然后计算平稳的序列的自相关函数ACF与偏相关函数PAC，结合AIC准则确定最佳的预测模型参数p、d、q，完成ARIMA预测模型的建立。ARIMA预测过程如下：

3.1模型识别与定阶

平稳化时间序列后，首先计算原始序列的自相关函数ACF，偏相关函数PAC，对于时间序列y_t，有自协方差

${\mathrm{\γ}}_k=\frac{1}{N}\underset{t=1}{\overset{N-k}{\Σ}}{y}_k{y}_{t+k}$

自相关函数

$\mathrm{\ρ}=\frac{{\mathrm{\γ}}_k}{{\mathrm{\γ}}_0}$

偏相关函数为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{11}={\mathrm{\ρ}}_1\\ {\mathrm{\α}}_{k+1,k+1}=\left({\mathrm{\ρ}}_{k+1}-{\mathrm{\Σ\ρ}}_{k+1-j}{\mathrm{\α}}_{kj}\right)\×\\ {\left(1-\underset{j=1}{\overset{k}{\Σ}}{\mathrm{\ρ}}_j{\mathrm{\α}}_{kj}\right)}^{-1}\\ {\mathrm{\α}}_{k+1,j}={\mathrm{\α}}_{kj}-{\mathrm{\α}}_{k+1,k+1}\×{\mathrm{\α}}_{k,k-j+1}\end{array}\right\}$

可通过ρ_k,α_k的截尾性初步确定模型的阶数。时间序列的参数辨识可通过最小二乘估计得到，即估计参数使下式最小

3.2模型检验

对不同的p、d、q参数进行组合，通过AIC准则可得到最优的参数模型。AIC准则即赤池信息量准则，其特点为“吝啬原理”的具体化，定义如下：

AIC＝-2lnZ+2g

其中L为模型的极大似然参数，g为模型的独立参数格式。

步骤4：当ELM与ARIMA预测模型确定后，利用ELM模型预测未来时刻的网络流量值，利用ARIMA模型预测流量的误差值，将二者相加得到最终的预测值；

步骤5：通过滑动窗口机制，利用当前时刻实测流量值更新流量与流量误差序列，将最旧的一组数移除，形成新的预测输入数据，返回步骤4进行下一时刻的网络流量预测。

Claims (5)

1.网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：该方法通过对网络流量序列自相似性分析，提出一种ARIMA补偿ELM的网络流量预测方法，即差分自回归移动平均模型补偿极限学习机的网络流量预测方法；首先利用ELM对网络流量序列进行预测，然后对网络流量预测的误差序列通过ARIMA模型进行修正，最后将ELM预测值与ARIMA模型修正值进行叠加得到最终的预测值。

2.根据权利要求1所述的网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：该方法对网络流量数据进行Hurst参数分析可知原始网络流量具有长相关性，因此利用ELM对网络流量数据进行拟合，而通过对ELM预测值与网络流量实际值之间的误差序列的Hurst参数分析可知误差序列具有短相关，因此利用ARIMA模型对预测误差数据进行拟合，将ELM的预测值与ARIMA预测的残差进行叠加得到最终的预测值，通过ARIMA模型进行残差补偿来有效提高预测的精度。

3.根据权利1或2所述的网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：本发明的预测方法为如下步骤：

步骤1：采集网络流量数据，将网络流量数据分为训练集以及测试集，训练集用于ELM与ARIMA预测模型的建立，测试集用于预测模型预测精度的验证，同时由于网络流量变化范围比较大，因此需要将网络流量序列进行归一化，预测结果则需要反归一化处理，恢复真实预测值；

步骤2：利用训练样本序列进行ELM预测模型的训练，采用实验的方法确定网络流量的嵌入维数m也即ELM输入层数，通过实际值与ELM预测值的误差均方根值确定合适的嵌入维数m；

步骤3：将原始网络流量序列减去ELM模型预测值得到网络流量的误差序列，利用该误差序列进行ARIMA模型的训练，首先对网络流量误差序列进行差分处理，当序列平稳时可确定差分次数参数d，然后计算平稳的序列的自相关函数ACF与偏相关函数PAC，结合AIC准则确定最佳的预测模型参数p、d、q，完成ARIMA预测模型的建立；

步骤4：当ELM与ARIMA预测模型确定后，利用ELM模型预测未来时刻的网络流量值，利用ARIMA模型预测流量的误差值，将二者相加得到最终的预测值；

步骤5：通过滑动窗口机制，利用当前时刻实测流量值更新流量与流量误差序列，将最旧的一组数移除，形成新的预测输入数据，返回步骤4进行下一时刻的网络流量预测。

4.根据权利要求3所述的网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：步骤2中ELM预测过程如下：

设网络流样本集为：

$S_k={\left\{(D_i,t_i)\right\}}_{i=1}^k(D_i={\[d_i{d}_{i-1}...d_{i-m}\]}^T,t_i=d_{i+j})$

式中：i为采样时刻，S_k为网络流量样本集，D_i为用于预测的网络流量时间序列，也即ELM的输入，t_i为ELM的输出，也即ELM预测的网络流量值；

d_i为i时刻网络流量，m为嵌入维数，j为预测步长，一个包含L个隐层神经元，f(·)为神经元对应的非线性映射函数，则ELM回归模型可表示为

$\underset{i=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_{i}f({\mathrm{\α}}_i{D}_1+b_i)=t_1$

$\underset{i=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_{i}f({\mathrm{\α}}_i{D}_2+b_i)=t_2$

·

·

·

$\underset{i=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_{i}f({\mathrm{\α}}_i{D}_k+b_i)=t_k$

t_k为ELM的输出，k为训练样本的数量，α_i为第i个神经元的输入权值，即α_i＝[α_i1α_i2…α_in]，β_i为连接第i个神经元的输出权值，b_i为第i个神经元的偏差，L为隐层神经元的个数，将上式写成矩阵形式

H_kβ_k＝T_k

式中H_k为神经元矩阵，f(·)为非线性映射函数

$H_k=\left\{\begin{array}{cccc}f({\mathrm{\α}}_1{D}_1+b_1)& f({\mathrm{\α}}_2{D}_1+b_2)& \mathrm{...}& f({\mathrm{\α}}_L{D}_1+b_L)\\ f({\mathrm{\α}}_1{D}_2+b_1)& f({\mathrm{\α}}_2{D}_2+b_2)& \mathrm{...}& f({\mathrm{\α}}_L{D}_2+b_L)\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ .& .& & .\\ f({\mathrm{\α}}_1{D}_k+b_1)& f({\mathrm{\α}}_2{D}_k+b_2)& \mathrm{...}& f({\mathrm{\α}}_L{D}_k+b_L)\end{array}\right\}$

求解上式可得输出权值，下式中：β_k为神经元的输出权值矩阵，H_k为神经元矩阵，T代表矩阵的转置，-1代表矩阵的求逆；

${\mathrm{\β}}_k={\left(H_k^T{H}_k\right)}^{-1}{H}_k^T{T}_k$

由此训练后的ELM网络流量序列预测模型为

$t=\underset{i=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\β}}_{i}f({\mathrm{\α}}_i{D}_i+b_i)$

其中i为采样时刻，D_i为输入，t为ELM预测的下一时刻网络流量。

5.根据权利要求3所述的网络流量的一种混合预测方法，其特征在于：步骤3中ARIMA预测过程如下：

模型识别与定阶：

平稳化网络流量时间序列后，首先计算原始序列的自相关函数ACF，偏相关函数PAC，对于网络流量时间序列y_t，有自协方差

${\mathrm{\γ}}_k=\frac{1}{N}\underset{t=1}{\overset{N-k}{\Σ}}{y}_k{y}_{t+k}$

上式中，y_t代表t时刻的网络流量，y_t+k代表t+k时刻的网络流量，N为序列的长度；

有自相关函数

$\mathrm{\ρ}=\frac{{\mathrm{\γ}}_k}{{\mathrm{\γ}}_0}$

其中γ_k代表上式定义的自协方差；

有偏相关函数为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{11}={\mathrm{\ρ}}_1\\ {\mathrm{\α}}_{k+1,k+1}=({\mathrm{\ρ}}_{k+1}-{\mathrm{\Σ\ρ}}_{k+1-j}{\mathrm{\α}}_{kj})\×\\ {(1-\underset{j=1}{\overset{k}{\Σ}}{\mathrm{\ρ}}_j{\mathrm{\α}}_{kj})}^{-1}\\ {\mathrm{\α}}_{k+1,j}={\mathrm{\α}}_{kj}-{\mathrm{\α}}_{k+1,k+1}\×{\mathrm{\α}}_{k,k-j+1}\end{array}\right\}$

其中ρ_k为自相关函数，α_kj为偏相关函数；可通过ρ_k,α_k的截尾性初步确定模型的阶数；时间序列的参数辨识可通过最小二乘估计得到，即估计参数θ₁,θ₂,…,θ_q使下式最小

上式中，θ_q为q阶滑动平均算子，为p阶自回归算子，Z为后移算子，为后向差分算子，N为序列长度，d为差分阶数，p为自回归系数，q为滑动平均系数；

模型检验：

对不同的p、d、q参数进行组合，通过AIC准则可得到最优的参数模型；AIC准则即赤池信息量准则，其特点为“吝啬原理”的具体化，定义如下：

AIC＝-2lnL+2g

其中ln为自然对数值，L为模型的极大似然参数，g为模型的独立参数，AIC代表AIC准则函数值。