CN105334751A - 一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法。本发明首先通过采集输入输出数据建立输入输出模型，然后选取合适的状态变量建立状态空间模型，进一步将状态空间模型转换为包含跟踪误差的扩展状态空间模型，最后通过选取包含终端状态的性能指标设计控制器。不同于传统的状态空间模型，所提方法的新模型同时考虑了状态变量和跟踪误差。在新设计模型的基础上，通过增加可调节的加权系数，使得控制器的调节更为灵活，并保证系统获得了更好的控制性能。

Description

一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法。

背景技术

在实际工业控制中，由于实际工况漂移、过程非线性及系统外部干扰等因素,模型预测控制系统在运行一段时间后其控制性能可能下降甚至失效。如果不及时修复控制器以改善控制品质,将降低预测控制系统所能获得的经济效益。同时实际生产过程中面临着干扰、摩擦、饱和等不确定因素，也会导致受控对象模型的失配。模型失配是预测控制中普遍存在的问题，是导致预测控制器性能下降的重要原因。作为基于模型的优化控制算法,如果模型预测控制算法的预测模型与实际对象的失配程度很严重,则仅靠整定控制器参数将难以改善控制器性能。因此为解决批次注塑过程中模型失配和未知扰动的问题，同时增加参数调节的自由度，并保证系统的控制性能，提出一种更加有效的滚动时域控制方法是很有必要的。

发明内容

本发明目的是为改善批次注塑过程中控制系统的跟踪性能和抗干扰性，提出了一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法。该方法首先通过采集输入输出数据建立输入输出模型，然后选取合适的状态变量建立状态空间模型，进一步将状态空间模型转换为包含跟踪误差的扩展状态空间模型，最后通过选取包含终端状态的性能指标设计控制器。不同于传统的状态空间模型，所提方法的新模型同时考虑了状态变量和跟踪误差。在新设计模型的基础上，通过增加可调节的加权系数，使得控制器的调节更为灵活，并保证系统获得了更好的控制性能。

本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、优化等手段，确立了一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法，利用该方法可有效改善批次过程中控制方法的跟踪性能和抗干扰性，并保证了系统在受控对象模型失配和扰动条件下仍具有良好的控制效果。

本发明方法的步骤包括：

步骤1.建立批次过程中被控对象的状态空间模型，具体方法是：

1.1首先采集批次过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程的实际过程模型，形式如下

Δy(k+1)+L₁Δy(k)+L₂Δy(k-1)+…+L_nΔy(k-n+1)＝S₁Δu(k)+S₂Δu(k-1)+…+S_mΔu(k-m+1)

其中Δ是差分算子，y(k)∈R,u(k)∈R分别为k时刻批次过程的输出和输入变量，S_i(i＝1,…,m),L_j(j＝1,…,n)分别是输入输出的模型参数，m,n分别是输入输出的模型阶次。

1.2定义过程状态变量Δx_o(k)^T,形式如下

Δx_o(k)^T＝[Δy(k)^T,Δy(k-1)^T,…,Δy(k-n+1)^T,Δu(k-1)^T,Δu(k-2)^T,…,Δu(k-m+1)^T]

其中Δx_o(k)的维数为(m-1)×p+n×q，p为输入变量的维数，q为输出变量的维数，T为矩阵转置符号。

1.3定义输出跟踪误差e(k)，形式如下

e(k)＝y(k)-r(k)

其中r(k)为k时刻的期望输出。

1.4选取新的状态变量z(k)，进一步扩展模型得到新的非最小实现扩展状态空间模型，使其包含状态变量和输出跟踪误差，其形式如下

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)

其中 $z\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_o\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right];A=\left[\begin{array}{cc}{A}_o& 0\\ C_o{A}_o& I_q\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{c}{B}_o\\ C_o{B}_o\end{array}\right]$

$A_o=\left[\begin{array}{ccccccccc}-L_1& -L_2& ...& -L_{n-1}& -L_n& S_2& ...& S_{m-1}& S_m\\ I_q& 0& ...& 0& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& I_q& ...& 0& 0& 0& ...& 0& 0\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ .& .& ...& .& .& .& ...& .& .\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ 0& 0& ...& I_q& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0& I_p& ...& 0& 0\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ .& .& ...& .& .& .& ...& .& .\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ 0& 0& ...& 0& 0& 0& ...& I_p& 0\end{array}\right]$

B_o＝[S₁ ^T00…0I_p00]

C_o＝[I_q00…0000]

矩阵中的0表示零矩阵，I_q是一个q维的单位矩阵。

步骤2.设计被控对象的批次过程控制器，具体方法是:

2.1考虑含自由终端状态的非最小实现扩展状态空间模型，选取相应的性能指标形式如下

$J=\underset{k=k_0}{\overset{k_f-1}{\Σ}}\[z{\left(k\right)}^{T}Qz\left(k\right)+\mathrm{\Δ}u{\left(k\right)}^{T}R\mathrm{\Δ}u\left(k\right)\]+z{\left(k_f\right)}^T{Q}_{f}z\left(k_f\right)$

其中Q,R,Q_f分别表示状态向量、被控输入和终端状态的权矩阵，k∈[k₀,k_f]为滚动优化时域，k₀,k_f分别为始端和终端时刻。

2.2考虑过程不确定性的实际过程模型，形式如下

$\stackrel{\‾}{A}\left(z^{-1}\right)y\left(z\right)=\stackrel{\‾}{B}\left(z^{-1}\right)u\left(z\right)$

$\stackrel{\‾}{A}\left(z^{-1}\right)=1+(L_1+{\mathrm{\δL}}_1)z^{-1}+(L_2+{\mathrm{\δL}}_2)z^{-2}+...+(L_n+{\mathrm{\δL}}_n)z^{-n}$

$\stackrel{\‾}{B}\left(z^{-1}\right)=(S_1+{\mathrm{\δS}}_1)z^{-1}+(S_2+{\mathrm{\δS}}_2)z^{-2}+...+(S_m+{\mathrm{\δS}}_m)z^{-m}$

其中y(z),u(z)分别是y(k),u(k)的z变换，为不确定性系统矩阵，δL₁,δL₂,…,δL_n,δS₁,δS₂,…,δS_m是不确定性参数。

2.3考虑滚动时域控制，形式如下

Δu(k)＝-Kz(k)

其中K为状态反馈系数矩阵。

2.4结合步骤1.4和步骤2.2，可以得到如下的不确定闭环控制系统

z(k+1)＝(A+ΔA)z(k)+BΔu(k)

其中

再结合步骤2.3，进一步整理可得

z(k+1)＝(A-BK)z(k)+ΔAz(k)

2.5定义稳定性函数V，并获取其增量δV，形式如下

δV(z(k))＝V(z(k+1))-V(z(k))＝z(k+1)^TPz(k+1)-z(k)^TPz(k)

结合步骤2.4，进一步转化为

δV(z(k))＝z(k)^T(A-BK)^TP(A-BK)z(x(k))+z(x)^T(A-BK)^TPΔAz(k)

+z(k)^TΔA^TP(A-BK)z(k)+z(k)^TΔA^TPΔAz(k)-z(k)^TPz(k)

其中δV(z(k))<0,P为对称正定矩阵。

2.6根据步骤2.4中的不确定闭环控制系统，并结合步骤2.5中的稳定性函数，求取控制器的参数即状态反馈系数矩阵K。

2.6.1选取合适的矩阵，使其满足如下形式

(A-BK)^TP(A-BK)-P＝-W

并满足如下约束条件

${\mathrm{\&sigma;}}_{max}\left(\mathrm{\&Delta;}A\right)<-{\mathrm{\&sigma;}}_{max}(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P\right)}}$

z(k)^T[(A-BK)^TP(A-BK)-P]z(k)≤-λ_min(W)||z(k)||²

其中矩阵W是对称正定矩阵，和分别是矩阵的最大奇异值、最小特征值和最大特征值。

2.6.2再选取合适的矩阵，使其满足如下等式和约束条件：

$K=R^{-1}{B}^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}A$

z(k)^T(A-BK)^TPΔAz(k)+z(k)^TΔA^TP(A-BK)z(k)≤2σ_max(A-BK)λ_max(P)||ΔA||²||z(k)||²

z(k)^TΔA^TPΔAz(k)≤λ_max(P)||ΔA||²||z(k)||²

2.6.3进一步将步骤2.6.1和步骤2.6.2中约束条件整理可得

$-{\mathrm{\&sigma;}}_{\max }\left(A-BK\right)-\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }\left(A-BK\right)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}}<\left|\right|\mathrm{\&Delta;}A\left|\right|<-{\mathrm{\&sigma;}}_{\max }\left(A-BK\right)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }\left(A-BK\right)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}}$

-λ_min(W)+2σ_max(A-BK)λ_max(P)||ΔA||+λ_max(P)||ΔA||²＝0

${\mathrm{\&sigma;}}_{max}\left(\mathrm{\&Delta;}A\right)<-{\mathrm{\&sigma;}}_{max}(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P\right)}}$

2.7结合步骤2.3和步骤2.6求得控制器的参数，形式如下：

$\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)=-R^{-1}{B}^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}Az\left(k\right)$

$K_{k,k_f}=A^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}A+Q=A^T{K}_{k+1,k_f}A-A^T{K}_{k+1,k_f}B{(R+B^T{K}_{k+1,k_f}B)}^{-1}{B}^T{K}_{k+1,k_f}A+Q$

$K_{k_f,k_f}=Q_f$

2.8将步骤2.7中得到如下的控制量u(k)作用于被控对象。

u(k)＝Δu(k)+u(k-1)

2.9在下一时刻，重复步骤2.6到2.7继续求解新的控制量u(k+1)，并依次循环。

本发明提出了一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法。该方法建立了非最小实现的扩展状态空间模型，并设计了被控对象的批次过程控制器，有效地改善了批次过程中控制方法的跟踪性能和抗干扰性，并保证了系统在受控对象模型失配和扰动条件下仍具有良好的控制效果。

具体实施方式

以批次注塑过程中的注射速度控制为例：

注塑过程中的注射速度控制是一个典型的批次过程，调节手段是控制比例阀的阀门开度。

步骤1.建立注射速度的状态空间模型，具体方法是：

1.1首先采集批次注塑过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次注塑过程的实际过程模型，形式如下

Δy(k+1)+L₁Δy(k)+L₂Δy(k-1)+…+L_nΔy(k-n+1)＝S₁Δu(k)+S₂Δu(k-1)+…+S_mΔu(k-m+1)

其中Δ是差分算子，y(k)∈R,u(k)∈R分别为k时刻批次注塑过程的注射速度和阀门开度，S_i(i＝1,…,m),L_j(j＝1,…,n)分别是输入输出的模型参数，m,n分别是输入输出的模型阶次。

1.2定义注塑过程的状态变量Δx_o(k)^T,形式如下

Δx_o(k)^T＝[Δy(k)^T,Δy(k-1)^T,…,Δy(k-n+1)^T,Δu(k-1)^T,Δu(k-2)^T,…,Δu(k-m+1)^T]

其中Δx_o(k)的维数为(m-1)×p+n×q，p为输入变量的维数，q为输出变量的维数，T为矩阵转置符号。

1.3定义输出跟踪误差e(k)，形式如下

e(k)＝y(k)-r(k)

其中r(k)为k时刻的期望输出。

1.4选取新的状态变量z(k)，进一步扩展模型得到新的非最小实现扩展状态空间模型，使其包含状态变量和输出跟踪误差，其形式如下

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)

其中 $z\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;x}}_o\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right];A=\left[\begin{array}{cc}{A}_o& 0\\ C_o{A}_o& I_q\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{c}{B}_o\\ C_o{B}_o\end{array}\right]$

$A_o=\left[\begin{array}{ccccccccc}-L_1& -L_2& ...& -L_{n-1}& -L_n& S_2& ...& S_{m-1}& S_m\\ I_q& 0& ...& 0& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& I_q& ...& 0& 0& 0& ...& 0& 0\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ .& .& ...& .& .& .& ...& .& .\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ 0& 0& ...& I_q& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0& I_p& ...& 0& 0\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ .& .& ...& .& .& .& ...& .& .\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ 0& 0& ...& 0& 0& 0& ...& I_p& 0\end{array}\right]$

B_o＝[S₁ ^T00…0I_p00]

C_o＝[I_q00…0000]

矩阵中的0表示零矩阵，I_q是一个q维的单位矩阵。

步骤2.设计注射速度的批次注塑过程控制器，具体方法是:

2.1考虑含自由终端状态的非最小实现扩展状态空间模型，选取相应的性能指标形式如下

$J=\underset{k=k_0}{\overset{k_f-1}{\&Sigma;}}\&lsqb;z{\left(k\right)}^{T}Qz\left(k\right)+\mathrm{\&Delta;}u{\left(k\right)}^{T}R\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)\&rsqb;+z{\left(k_f\right)}^T{Q}_{f}z\left(k_f\right)$

其中Q,R,Q_f分别表示状态向量、被控输入和终端状态的权矩阵，k∈[k₀,k_f]为滚动优化时域，k₀,k_f分别为始端和终端时刻。

2.2考虑过程不确定性的实际过程模型，形式如下

$\stackrel{\&OverBar;}{A}\left(z^{-1}\right)y\left(z\right)=\stackrel{\&OverBar;}{B}\left(z^{-1}\right)u\left(z\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{A}\left(z^{-1}\right)=1+(L_1+{\mathrm{\&delta;L}}_1)z^{-1}+(L_2+{\mathrm{\&delta;L}}_2)z^{-2}+...+(L_n+{\mathrm{\&delta;L}}_n)z^{-n}$

$\stackrel{\&OverBar;}{B}\left(z^{-1}\right)=(S_1+{\mathrm{\&delta;S}}_1)z^{-1}+(S_2+{\mathrm{\&delta;S}}_2)z^{-2}+...+(S_m+{\mathrm{\&delta;S}}_m)z^{-m}$

其中y(z),u(z)分别是y(k),u(k)的z变换，为不确定性系统矩阵，δL₁,δL₂,…,δL_n,δS₁,δS₂,…,δS_m是不确定性参数。

2.3考虑滚动时域控制，形式如下

Δu(k)＝-Kz(k)

其中K为状态反馈系数矩阵。

2.4结合步骤1.4和步骤2.2，可以得到如下的不确定闭环控制系统

z(k+1)＝(A+ΔA)z(k)+BΔu(k)

其中

再结合步骤2.3，进一步整理可得

z(k+1)＝(A-BK)z(k)+ΔAz(k)

2.5定义稳定性函数V，并获取其增量δV，形式如下

δV(z(k))＝V(z(k+1))-V(z(k))＝z(k+1)^TPz(k+1)-z(k)^TPz(k)

结合步骤2.4，进一步转化为

δV(z(k))＝z(k)^T(A-BK)^TP(A-BK)z(x(k))+z(x)^T(A-BK)^TPΔAz(k)

+z(k)^TΔA^TP(A-BK)z(k)+z(k)^TΔA^TPΔAz(k)-z(k)^TPz(k)

其中δV(z(k))<0,P为对称正定矩阵。

2.6根据步骤2.4中的不确定性过程控制系统，并结合步骤2.5中的稳定性函数，求取控制器的参数即状态反馈系数矩阵K。

2.6.1选取合适的矩阵，使其满足如下形式

(A-BK)^TP(A-BK)-P＝-W

并满足如下约束条件

${\mathrm{\&sigma;}}_{max}\left(\mathrm{\&Delta;}A\right)<-{\mathrm{\&sigma;}}_{max}(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P\right)}}$

z(k)^T[(A-BK)^TP(A-BK)-P]z(k)≤-λ_min(W)||z(k)||²

其中矩阵W是对称正定矩阵，和分别是矩阵的最大奇异值、最小特征值和最大特征值。

2.6.2再选取合适的矩阵，使其满足如下等式和约束条件：

z(k)^T(A-BK)^TPΔAz(k)+z(k)^TΔA^TP(A-BK)z(k)≤2σ_max(A-BK)λ_max(P)||ΔA||²||z(k)||²

z(k)^TΔA^TPΔAz(k)≤λ_max(P)||ΔA||²||z(k)||²

2.6.3进一步将步骤2.6.1和步骤2.6.2中约束条件整理可得

$-{\mathrm{\&sigma;}}_{\max }\left(A-BK\right)-\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }\left(A-BK\right)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}}<\left|\right|\mathrm{\&Delta;}A\left|\right|<-{\mathrm{\&sigma;}}_{\max }\left(A-BK\right)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }\left(A-BK\right)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}}$

-λ_min(W)+2σ_max(A-BK)λ_max(P)||ΔA||+λ_max(P)||ΔA||²＝0

${\mathrm{\&sigma;}}_{max}\left(\mathrm{\&Delta;}A\right)<-{\mathrm{\&sigma;}}_{max}(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P\right)}}$

2.7结合步骤2.3和步骤2.6求得控制器的参数，形式如下：

$\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)=-R^{-1}{B}^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}Az\left(k\right)$

$K_{k,k_f}=A^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}A+Q=A^T{K}_{k+1,k_f}A-A^T{K}_{k+1,k_f}B{(R+B^T{K}_{k+1,k_f}B)}^{-1}{B}^T{K}_{k+1,k_f}A+Q$

$K_{k_f,k_f}=Q_f$

2.8将步骤2.7中得到如下的控制量u(k)作用于注塑机。

u(k)＝Δu(k)+u(k-1)

2.9在下一时刻，重复步骤2.6到2.7继续求解新的控制量u(k+1)，并依次循环。

Claims (1)

1.一种批次注塑过程的稳定控制器设计方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤1.建立批次过程中被控对象的状态空间模型，具体是：

1.1首先采集批次过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程的实际过程模型，形式如下

Δy(k+1)+L₁Δy(k)+L₂Δy(k-1)+…+L_nΔy(k-n+1)＝S₁Δu(k)+S₂Δu(k-1)+…+S_mΔu(k-m+1)

其中Δ是差分算子，y(k)∈R,u(k)∈R分别为k时刻批次过程的输出和输入变量，S_i(i＝1,…,m),L_j(j＝1,…,n)分别是输入输出的模型参数，m,n分别是输入输出的模型阶次；

1.2定义过程状态变量Δx_o(k)^T,形式如下

Δx_o(k)^T＝[Δy(k)^T,Δy(k-1)^T,…,Δy(k-n+1)^T,Δu(k-1)^T,Δu(k-2)^T,…,Δu(k-m+1)^T]

其中Δx_o(k)的维数为(m-1)×p+n×q，p为输入变量的维数，q为输出变量的维数，T为矩阵转置符号；

1.3定义输出跟踪误差e(k)，形式如下

e(k)＝y(k)-r(k)

其中r(k)为k时刻的期望输出；

1.4选取新的状态变量z(k)，进一步扩展模型得到新的非最小实现扩展状态空间模型，使其包含状态变量和输出跟踪误差，其形式如下

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)

其中 $z\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{x}_o\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right];A=\left[\begin{array}{cc}{A}_o& 0\\ C_o{A}_o& I_q\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{c}{B}_o\\ C_o{B}_o\end{array}\right]$

$A_o=\left[\begin{array}{ccccccccc}-L_1& -L_2& \mathrm{...}& -L_{n-1}& -L_n& S_2& \mathrm{...}& S_{m-1}& S_m\\ I_q& 0& \mathrm{...}& 0& 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0\\ 0& I_q& \mathrm{...}& 0& 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ .& .& \mathrm{...}& .& .& .& \mathrm{...}& .& .\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ 0& 0& \mathrm{...}& I_q& 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0& I_p& \mathrm{...}& 0& 0\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ .& .& \mathrm{...}& .& .& .& \mathrm{...}& .& .\\ .& .& & .& .& .& & .& .\\ 0& 0& \mathrm{...}& 0& 0& 0& \mathrm{...}& I_p& 0\end{array}\right]$

B_o＝[S₁ ^T00…0I_p00]

C_o＝[I_q00…0000]

矩阵中的0表示零矩阵，I_q是一个q维的单位矩阵；

步骤2.设计被控对象的批次过程控制器，具体是：

2.1考虑含自由终端状态的非最小实现扩展状态空间模型，选取相应的性能指标形式如下

$J=\underset{k=k_0}{\overset{k_f-1}{\&Sigma;}}\&lsqb;z{\left(k\right)}^{T}Qz\left(k\right)+\mathrm{\&Delta;}u{\left(k\right)}^{T}R\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)\&rsqb;+z{\left(k_f\right)}^T{Q}_{f}z\left(k_f\right)$

其中Q,R,Q_f分别表示状态向量、被控输入和终端状态的权矩阵，k∈[k₀,k_f]为滚动优化时域，k₀,k_f分别为始端和终端时刻；

2.2考虑过程不确定性的实际过程模型，形式如下

$\stackrel{\&OverBar;}{A}\left(z^{-1}\right)y\left(z\right)=\stackrel{\&OverBar;}{B}\left(z^{-1}\right)u\left(z\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{A}\left(z^{-1}\right)=1+(L_1+{\mathrm{\&delta;L}}_1)z^{-1}+(L_2+{\mathrm{\&delta;L}}_2)z^{-2}+...+(L_n+{\mathrm{\&delta;L}}_n)z^{-n}$

$\stackrel{\&OverBar;}{B}\left(z^{-1}\right)=(S_1+{\mathrm{\&delta;S}}_1)z^{-1}+(S_2+{\mathrm{\&delta;S}}_2)z^{-2}+...+(S_m+{\mathrm{\&delta;S}}_m)z^{-m}$

其中y(z),u(z)分别是y(k),u(k)的z变换，为不确定性系统矩阵，δL₁,δL₂,…,δL_n,δS₁,δS₂,…,δS_m是不确定性参数；

2.3考虑滚动时域控制，形式如下

Δu(k)＝-Kz(k)

其中K为状态反馈系数矩阵；

2.4结合步骤1.4和步骤2.2，可以得到如下的不确定闭环控制系统

z(k+1)＝(A+ΔA)z(k)+BΔu(k)

其中

再结合步骤2.3，进一步整理可得

z(k+1)＝(A-BK)z(k)+ΔAz(k)

2.5定义稳定性函数V，并获取其增量δV，形式如下

δV(z(k))＝V(z(k+1))-V(z(k))＝z(k+1)^TPz(k+1)-z(k)^TPz(k)

结合步骤2.4，进一步转化为

δV(z(k))＝z(k)^T(A-BK)^TP(A-BK)z(x(k))+z(x)^T(A-BK)^TPΔAz(k)

+z(k)^TΔA^TP(A-BK)z(k)+z(k)^TΔA^TPΔAz(k)-z(k)^TPz(k)

其中δV(z(k))<0,P为对称正定矩阵；

2.6根据步骤2.4中的不确定闭环控制系统，并结合步骤2.5中的稳定性函数，求取控制器的参数即状态反馈系数矩阵K；

2.6.1选取合适的矩阵，使其满足如下形式

(A-BK)^TP(A-BK)-P＝-W

并满足如下约束条件

${\mathrm{\&sigma;}}_{max}\left(\mathrm{\&Delta;}A\right)<-{\mathrm{\&sigma;}}_{max}(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P\right)}}$

z(k)^T[(A-BK)^TP(A-BK)-P]z(k)≤-λ_min(W)||z(k)||²

其中矩阵W是对称正定矩阵，和分别是矩阵的最大奇异值、最小特征值和最大特征值；

2.6.2再选取合适的矩阵，使其满足如下等式和约束条件：

$K=R^{-1}{B}^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}A$

z(k)^T(A-BK)^TPΔAz(k)+z(k)^TΔA^TP(A-BK)z(k)≤2σ_max(A-BK)λ_max(P)||ΔA||²||z(k)||²

z(k)^TΔA^TPΔAz(k)≤λ_max(P)||ΔA||²||z(k)||²

2.6.3进一步将步骤2.6.1和步骤2.6.2中约束条件整理可得

$-{\mathrm{\&sigma;}}_{\max }(A-BK)-\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}}<\left|\right|\mathrm{\&Delta;}A\left|\right|<-{\mathrm{\&sigma;}}_{\max }(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(P\right)}}$

-λ_min(W)+2σ_max(A-BK)λ_max(P)||ΔA||+λ_max(P)||ΔA||²＝0

${\mathrm{\&sigma;}}_{max}\left(\mathrm{\&Delta;}A\right)<-{\mathrm{\&sigma;}}_{max}(A-BK)+\sqrt{{{\mathrm{\&sigma;}}^2}_{\max }(A-BK)+\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_{min}\left(W\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_{max}\left(P\right)}}$

2.7结合步骤2.3和步骤2.6求得控制器的参数，形式如下：

$\mathrm{\&Delta;}u\left(k\right)=-R^{-1}{B}^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}Az\left(k\right)$

$K_{k,k_f}=A^T{\&lsqb;I+K_{k+1,k_f}{\mathrm{BR}}^{-1}{B}^T\&rsqb;}^{-1}{K}_{k+1,k_f}A+Q=A^T{K}_{k+1,k_f}A-A^T{K}_{k+1,k_f}B{(R+B^T{K}_{k+1,k_f}B)}^{-1}{B}^T{K}_{k+1,k_f}A+Q$

$K_{k_f,k_f}=Q_f$

2.8将步骤2.7中得到如下的控制量u(k)作用于被控对象；

u(k)＝Δu(k)+u(k-1)

2.9在下一时刻，重复步骤2.6到2.7继续求解新的控制量u(k+1)，并依次循环。