CN105302773A - 一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，通过分数阶小波变换得出在最优分数阶上的小波系数，再同步挤压技术对时变信号处理，得到时变谱中的各分量，克服了现有小波变换对时变信号处理的不足，最大限度提升对有效信号的识别和干扰信号的压制。

Description

一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法

技术领域

本发明涉及一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，属于信息技术领域。

背景技术

自然界中信号是由多种成份混杂而成，这些干扰成份通常会影响对真实目标的识别，Fourier变换是最常见的分析方法，但对于时变的非线性信号Fourier却无能无力。小波变换被认为是最为理想的时频分析工具，与短时傅立叶变换、Gabor变换相比，能实现调整时窗与频窗大学，实现多分辨率分析。

随着小波变换方法的不断拓展，发现对某些问题频率聚集不是最佳信号，表现效果一般，人们在分数傅立叶基础上，提出了分数阶的小波变换，由于分数阶小波变换具有多分辨率分析和分数域特征，具有更广的适用性。而另一方面，小波变换在分析响应信号中，分离的低频信号常常模糊，对长周期信号常常缺少足够精度，分析效果不理想。Daubechies针对获取如何信号的时频问题，提出来同步挤压小波变换，该方法对小波变换后时频图进行重组，再获取时频曲线。总的来说现有小波变换对时变信号处理不足。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案是：

一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，包括以下步骤，

步骤一，将输入信号f(t)进行分数阶变换，得到不同分数阶α和小波函数的小波系数(a,b)；

其中，a为尺度因子，b为平移因子；

步骤二，根据不同分数阶α和小波函数时频分布，选择最优的分数阶和小波函数的小波系数(a,b)；

其中，α_opt最优分数阶；

步骤三，由小波系数(a,b)得出不同时刻与尺度处的瞬时频率ω_f(a,b)；

步骤四，将信号划分为n_a个不同频率区间；

其中，n_a＝Ln_v，L为小波系数最大尺度，n_v为不同尺度的个数；

步骤五，对小波系数(a,b)进行同步挤压变换，得出中心频率ω_l处的小波系数T_f(ω_l,b)；

步骤六，利用同步挤压反变换，重构出原信号f(t)。

涉及的分数小波变换过程为，

A1)根据问题选择合适的小波基函数和分数阶α取值范围；

A2)将输入信号f(t)乘以调谐函数得出F(t)；

$F\left(t\right)=e^{j\frac{t^2}{2}{\mathrm{cot\θ}}_{\mathrm{\α}}}f\left(t\right)$

其中， ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\α};$

A3)对F(t)进行小波变换，得到F(t)的小波系数(a,b)；

${\hat{W}}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}F\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

其中，为小波基函数的共轭函数；

A4)F(t)的小波系数(a,b)乘以调谐函数得出原信号分数阶小波系数(a,b)；

$W_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)=e^{-\frac{j}{2}{b}^2{\mathrm{cot\θ}}_{\mathrm{\α}}}{\hat{W}}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b).$

小波基函数包括Daubechies小波、Symlets小波、Morlet小波和Gauss小波；0≤α≤1。

小波系数的同步挤压变换是将(a,b)映射到(ω_f(a,b),b)，小波系数的同步挤压变换过程为，

B1)计算瞬时频率ω_f(a,b)；

公式为，

${\mathrm{\ω}}_f(a,b)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-i{\∂}_b{W}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)}{W_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)}& \left|W_f(a,b)\right|>0\\ \mathrm{\∞}& \left|W_f(a,b)\right|=0\end{array}\right.$

其中，i为复数，W为对小波系数对平移因子的求导；

B2)将时频面上的小波系数W_f(ω_f(a,b),b)挤压为中心频率ω_l处的小波系数T_f(ω_l,b)；

$T_f({\mathrm{\ω}}_l,b)={\mathrm{\Σ}}_{a_i:|{\mathrm{\ω}}_f(a,b)-{\mathrm{\ω}}_l|\≤\frac{\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}}{2}}{W}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)a^{-\frac{3}{2}}{\left(\mathrm{\Δ}a\right)}_i$

其中，ω_l为区间的中心频率，a_i为离散点处的尺度因子，Δa＝a_i-a_i-1。

B3)由T_f(ω_l,b)，利用同步挤压反变换，重构出原信号f(t)；

$f\left(t\right)=\mathrm{Re}\[C_{\mathrm{\ψ}}^{-1}\underset{l}{\Σ}{T}_f({\mathrm{\ω}}_l,b)\left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}\right)\]$

其中，为小波正则化常数。

本发明所达到的有益效果：本发明通过分数阶小波变换得出在最优分数阶上的小波系数，再同步挤压技术对时变信号处理，得到时变谱中的各分量，克服了现有小波变换对时变信号处理的不足，最大限度提升对有效信号的识别和干扰信号的压制。

附图说明

图1为本发明的流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

如图1所示，一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，包括以下步骤：

步骤一，将输入信号f(t)进行分数阶变换，得到不同分数阶α和小波函数的小波系数(a,b)；其中，a为尺度因子，b为平移因子。

步骤二，根据不同分数阶α和小波函数时频分布，选择最优的分数阶和小波函数的小波系数(a,b)；其中，α_opt最优分数阶。

步骤三，由小波系数(a,b)得出不同时刻与尺度处的瞬时频率ω_f(a,b)。

步骤四，将信号划分为n_a个不同频率区间；其中，n_a＝Ln_v，L为小波系数最大尺度，n_v为不同尺度的个数。

步骤五，对小波系数(a,b)进行同步挤压变换，得出中心频率ω_l处的小波系数T_f(ω_l,b)。

步骤六，利用同步挤压反变换，重构出原信号f(t)。

上述方法中涉及分数小波变换和同步挤压变换。

分数小波变换过程为：

A1)根据问题选择合适的小波基函数和分数阶α取值范围。

A2)将输入信号f(t)乘以调谐函数得出F(t)；

$F\left(t\right)=e^{j\frac{t^2}{2}{\mathrm{cot\θ}}_{\mathrm{\α}}}f\left(t\right)$

其中， ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\α}.$

A3)对F(t)进行小波变换，得到F(t)的小波系数(a,b)。

${\hat{W}}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)={\∫}_{\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}F\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

其中，为小波基函数的共轭函数。

A4)F(t)的小波系数(a,b)乘以调谐函数得出原信号分数阶小波系数(a,b)；

$W_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)=e^{-\frac{j}{2}{b}^2{\mathrm{cot\θ}}_{\mathrm{\α}}}{\hat{W}}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b).$

小波基函数包括Daubechies小波、Symlets小波、Morlet小波和Gauss小波；0≤α≤1。

小波系数的同步挤压变换是将(a,b)映射到(ω_f(a,b),b)，具体过程为：

B1)计算瞬时频率ω_f(a,b)；

公式为，

${\mathrm{\ω}}_f(a,b)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-i{\∂}_b{W}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)}{W_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)}& \left|W_f(a,b)\right|>0\\ \mathrm{\∞}& \left|W_f(a,b)\right|=0\end{array}\right.$

其中，i为复数，W为对小波系数对平移因子的求导。

B2)将时频面上的小波系数W_f(ω_f(a,b),b)挤压为中心频率ω_l处的小波系数T_f(ω_l,b)；

$T_f({\mathrm{\ω}}_l,b)={\mathrm{\Σ}}_{a_i:|{\mathrm{\ω}}_f(a,b)-{\mathrm{\ω}}_l|\≤\frac{\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}}{2}}{W}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)a^{-\frac{3}{2}}{\left(\mathrm{\Δ}a\right)}_i$

其中，ω_l为区间的中心频率，a_i为离散点处的尺度因子，Δa＝a_i-a_i-1。

B3)由T_f(ω_l,b)，利用同步挤压反变换，重构出原信号f(t)；

$f\left(t\right)=\mathrm{Re}\[C_{\mathrm{\ψ}}^{-1}\underset{l}{\Σ}{T}_f({\mathrm{\ω}}_l,b)\left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}\right)\]$

其中，为小波正则化常数。

上述方法通过分数阶小波变换得出在最优分数阶上的小波系数，再同步挤压技术对时变信号处理，得到时变谱中的各分量，克服了现有小波变换对时变信号处理的不足，最大限度提升对有效信号的识别和干扰信号的压制。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，其特征在于：包括以下步骤，

步骤一，将输入信号f(t)进行分数阶变换，得到不同分数阶α和小波函数的小波系数

其中，a为尺度因子，b为平移因子；

步骤二，根据不同分数阶α和小波函数时频分布，选择最优的分数阶和小波函数的小波系数

其中，α_opt最优分数阶；

步骤三，由小波系数得出不同时刻与尺度处的瞬时频率ω_f(a,b)；

步骤四，将信号划分为n_a个不同频率区间；

其中，n_a＝Ln_v，L为小波系数最大尺度，n_v为不同尺度的个数；

步骤五，对小波系数进行同步挤压变换，得出中心频率ω_l处的小波系数T_f(ω_l,b)；

步骤六，利用同步挤压反变换，重构出原信号f(t)。

2.根据权利要求1所述的一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，其特征在于：涉及的分数小波变换过程为，

A1)根据问题选择合适的小波基函数和分数阶α取值范围；

A2)将输入信号f(t)乘以调谐函数得出F(t)；

$F\left(t\right)=e^{j\frac{t^2}{2}{\mathrm{cot\θ}}_{\mathrm{\α}}}f\left(t\right)$

其中， ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{\mathrm{\π}}{2}\mathrm{\α};$

A3)对F(t)进行小波变换，得到F(t)的小波系数

${\hat{W}}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)={\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}F\left(t\right)\frac{1}{\sqrt{a}}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ψ}}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

其中，为小波基函数的共轭函数；

A4)F(t)的小波系数乘以调谐函数得出原信号分数阶小波系数

$W_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)=e^{-\frac{j}{2}{b}^2{\mathrm{cot\θ}}_{\mathrm{\α}}}{\hat{W}}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b).$

3.根据权利要求2所述的一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，其特征在于：小波基函数包括Daubechies小波、Symlets小波、Morlet小波和Gauss小波。

4.根据权利要求2所述的一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，其特征在于：0≤α≤1。

5.根据权利要求2所述的一种基于同步压缩分数阶的小波变换方法，其特征在于：小波系数的同步挤压变换是将(a,b)映射到(ω_f(a,b),b)，小波系数的同步挤压变换过程为，

B1)计算瞬时频率ω_f(a,b)；

公式为，

${\mathrm{\ω}}_f(a,b)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-i{\∂}_b{W}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)}{W_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)}& \left|W_f(a,b)\right|>0\\ \mathrm{\∞}& \left|W_f(a,b)\right|=0\end{array}\right.$

其中，i为复数，为对小波系数对平移因子的求导；

B2)将时频面上的小波系数W_f(ω_f(a,b),b)挤压为中心频率ω_l处的小波系数T_f(ω_l,b)；

$T_f({\mathrm{\ω}}_l,b)={\mathrm{\Σ}}_{a_i:|{\mathrm{\ω}}_f(a,b)-{\mathrm{\ω}}_l|\≤\frac{\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}}{2}}{W}_f^{{\mathrm{\α}}_{opt}}(a,b)a^{-\frac{3}{2}}{\left(\mathrm{\Δ}a\right)}_i$

其中，ω_l为区间的中心频率，a_i为离散点处的尺度因子，Δa＝a_i-a_i-1。

B3)由T_f(ω_l,b)，利用同步挤压反变换，重构出原信号f(t)；

$f\left(t\right)=\mathrm{Re}\[C_{\mathrm{\ψ}}^{-1}\underset{l}{\Σ}{T}_f({\mathrm{\ω}}_l,b)\left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}\right)\]$

其中，为小波正则化常数。