CN105301967A - 一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种Stewart平台开启和停机过程的轨线平滑控制方法：对于开启阶段的平滑过程，首先，选择双曲线作为开机启动平滑轨线；其次，根据平台的运动任务轨线和启动平滑轨线在相切点数值和斜率相等条件，计算出相切点角度ξ；最后，根据选定的设计参数α计算出启动平滑轨线的特征参数，从而获得描述启动平滑轨线的数学方程；对于停机阶段的平滑过程，首先，选择两条双曲型曲线的叠加作为停机平滑轨线；其次，给定停机时间T以及轨线设计参数ρ₁和ρ₂；最后，根据所选参数计算出停机平滑轨线的特征参数，获得停机平滑轨线的数学方程。本发明可以在Stewart平台开启和停机时进行运动轨线平滑控制，显著减小平台自身以及所承载的精密仪器设备受到的冲击。

Description

一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法

【技术领域】

本发明属于自动化领域，涉及一种Stewart六自由度并联运动平台启动与停机过程的运动轨线平滑控制方法。

【背景技术】

Stewart平台为一封闭式并联机构，通常由一个固定平台，一个运动平台，以及以并行方式连接在两个平台之间的6根伸缩杆组成。Stewart平台具有运动精度高，刚度重量比大，响应速度快，环境适应性强等特点，因此适用于机械加工与制造领域的并联机床、航空航天测控以及运动模拟领域中精密测量设备的支撑平台。

Stewart平台在启动和停机过程中如果加速和减速相对较快，将会导致平台自身以及所承载的仪器设备产生震动。在一些要求高精度和高平稳性的工作场合，用户期望实现Stewart平台启停平稳，位姿变化平滑而柔和，避免发生剧烈的加速或者减速运动；同时期望驱动电机工作状态稳定，电机的输出功率无急剧变化，因此需要对Stewart平台的启动和停机过程的运动轨迹进行平滑。如果平滑效果不好，则Stewart平台的运动平台极有可能在极短时间内出现速度或者是运动方向的急剧变化，使得其所承载的精密测量设备无法正常工作。由于Stewart平台的运动平台是由6个电机分别带动6根伸缩杆进行驱动的，在这种情况下电机的工作状态也将不稳定，电机及减速器等机械部件容易遭受严重的磨损和冲击，从而影响电机的使用寿命。此外，这种运动方式也将会给Stewart平台的各个铰链关节造成剧烈的冲击，从而影响到Stewart平台机械部件的寿命和运动精度。综合以上因素，对Stewart平台的开启和停机运动轨迹进行平滑控制具有十分重要的意义。

Stewart平台需要进行轨迹平滑的情况通常出现在以下两种情况：1)平台启动时，速度从无到有，加速度从零变化到一个较大的值，会使电机运动出现剧烈变化；2)平台停机时，速度会很快降到零，也会产生较大的加速度。因此，对用户设定的任务轨迹在其启始和停止阶段进行平滑处理，使其在上述两种情况下均能获得良好的运动性能，就成为Stewart平台运动轨线控制中需要重点考虑的问题，具有迫切的实际应用需求。目前，国内外对于Stewart平台开启和停机过程中运动轨迹平滑控制方面的研究尚不充分，尚无专门的控制措施来避免启停状态转换对于Stewart平台及其所承载设备造成的冲击效应。

【发明内容】

本发明的目的在于提供一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法，以解决上述技术问题。

本发明分析了Stewart平台需要进行运动轨迹平滑的两种情况：即平台启动过程和平台停机过程。平台启动时，速度从无到有，而平台停机时，速度快速降至零，在这两种情况下，电机的运动都会发生剧烈变化。本发明提出了利用双曲线进行启停轨迹平滑的方法，针对Stewart平台的启动和停机过程进行运动轨迹平滑过渡，使得平台的运动更加平稳安全。该方法针对开启和停机分别采用了不同的平滑轨线，可以保证平台的运动不会出现剧烈改变，具有计算简单、效率高的优点，经过理论验算和实践证明，获得了良好的效果。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法，包括Stewart六自由度并联运动平台启动过程的平滑控制，其包括以下步骤：

在Stewart平台启动时对其运动轨线寻找一个双曲线，使在其某一段上曲线段的起点与时间轴相切，曲线段的终点又与运动轨线在到达第一个峰值点之前的某一点相切；具体实现步骤如下：

首先，选择双曲线作为开机启动平滑轨线，其中y为双曲轨线关于时间t的函数值，k和ρ为待求的双曲轨线参数，ξ为相切点角度，为正弦运动轨迹初相角，ω为正弦运动轨迹角速度，b为给定的提前时间；其次，根据平台轨线和启动轨线在相切点数值和斜率相同条件，计算出相切点角度ξ；最后，根据给定的设计参数α和计算出的相切点角度ξ，计算出平滑启动轨线的参数k和ρ，从而得到启动平滑双曲轨线的方程；其中，k,ρ＞0；1＜α＜2。

进一步的，Stewart平台启动过程将要执行的运动轨迹为正弦曲线：

其中x为正弦曲线相对于时间t的函数值，为正弦运动轨迹初相角，ω为正弦运动轨迹角速度，A为正弦曲线的幅值；其中，

选用的平滑双曲线作为启动平滑轨线控制Stewart平台启动，使得Stewart平台的启动过程更加平稳安全。

进一步的，计算得到相切点角度ξ的步骤如下：

根据相切点函数值相同可知，在切点处，有：

根据相切点斜率值相同可知，在切点处，有：

令化简以上方程，可得：

在α选定的情况下，利用迭代法完成ξ的求解。

进一步的，根据选定的设计参数α和相切点角度ξ，计算得到曲线参数ρ和k的步骤如下：

迭代法解出ξ后，综合已选定的α求出平滑曲线的参数值ρ和k，二者表达式为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\frac{1}{{(T_0-b)}^2}\·\frac{\mathrm{\α}(2-\mathrm{\α})}{{(\mathrm{\α}-1)}^2}\\ k=\frac{A\sin \mathrm{\ξ}}{\sqrt{1+\mathrm{\ρ}{(T_0-b)}^2}-1}\end{array}---\left(4\right)$

在计算出平滑曲线的参数值ρ和k之后，带入双曲线

便得到启动平滑轨线的方程。

进一步的，还包括Stewart六自由度并联机器人运动平台停机过程的平滑，具体包括以下步骤：

首先，选取两条双曲型曲线的叠加

$y=\left\{\begin{array}{cc}{k}_1(\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_1{(T-t)}^2}-1)+k_2(\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_2{(T-t)}^2}-1)& 0\≤t\≤T\\ 0& else\end{array}\right.$

作为停机平滑曲线，其中k₁和k₂为待求停机平滑曲线参数；其次，用户根据任务需求自行设定停机时间T，并选择合适的轨线设计参数ρ₁和ρ₂，它们表征了双曲线上升或者下降的快慢，即曲线斜率；考虑到通常期望停机过程尽量平稳缓和，ρ₁和ρ₂的取值不宜过大，实际中可以按照0＜ρ_i＜0.1，i＝1,2的规则来选取；最后，根据所选参数求出轨线参数k₁和k₂，得到停机平滑轨线。

进一步的，根据停机时间T和自行设定的轨线设计参数ρ₁和ρ₂计算未知两个轨线参数k₁和k₂的步骤如下：

在轨线点t＝0处满足：

令 ${\mathrm{\α}}_i=\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_i{T}^2}-1,{\mathrm{\β}}_i=\frac{{\mathrm{\ρ}}_{i}T}{\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_i{T}^2}},(i=1,2),$ 则原方程化简为：

k₁α₁＋k₂α₂＝p(7)

-k₁β₁-k₂β₂＝v

解得： $k_1=\frac{-{\mathrm{\β}}_{2}p-{\mathrm{\α}}_{2}v}{{\mathrm{\α}}_2{\mathrm{\β}}_1-{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\β}}_2},k_2=\frac{{\mathrm{\β}}_{1}p+{\mathrm{\α}}_{1}v}{{\mathrm{\α}}_2{\mathrm{\β}}_1-{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\β}}_2};$

根据p和v便可以计算出k₁和k₂，得到停机平滑轨线。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

采用本发明提出的双曲线轨迹平滑控制方法，可以针对Stewart平台在开启和停机等运动加速度较大情况下进行运动平滑，从而极大的提高了Stewart平台的运动性能，使得Stewart六自由度平台运动平稳，位姿变化平滑而柔和，不会出现剧烈的改变。本发明针对平台启动和停机两种情况，分别进行分析并寻找出其各自的平滑曲线，然后进行了理论分析和计算，从而为Stewart平台在启停机过程中平稳运动提供了坚实的依据。本发明可以较好的对这两种情况进行平滑控制，具有计算简单、实用价值高的显著优点，利于提高Stewart平台的运动性能。

【附图说明】

为了更加清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍。

图1是本发明提出的Stewart平台启动平滑方法的示意图，图中实线代表平滑轨线，虚线代表任务运动轨线，二者在相切点角度ξ处进行轨迹切换。

图2是在Stewart平台启动平滑控制的具体实施例中，相切点角度ξ和自选参数α的关系图；

图3是自选参数α＝1.5时Stewart平台启动平滑的示意图。

图4a是停机动作位于第一，三象限时，Stewart平台的停机平滑过程示意图；图4b是停机动作位于第二，四象限时，Stewart平台的停机平滑过程示意图；

图5a是在具体实施例中，停机动作位于第一，三象限时，Stewart平台的停机平滑过程示意图；图5b是在具体实施例中，停机动作位于第二，四象限时，Stewart平台的停机平滑过程示意图。

【具体实施方式】

本发明所涉及的Stewart平台，包括上运动平台和下固定平台，这两个平台通过6根并行的伸缩杆(两端安装有球铰或虎克铰关节铰链)连接。

本发明一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法，包括对于Stewart运动平台启动过程的轨迹平滑控制和对于Stewart运动平台停机过程的轨迹平滑控制；

1、对于Stewart运动平台启动过程的轨迹平滑控制如下：

Stewart平台启动平滑的基本思想是：在平台启动时对其任务运动轨线寻找一个双曲线，使得在其某一段上，双曲线段的起点与时间轴相切，而终点与任务运动轨线在到达第一个峰值点之前的某一点相切。为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

Step1.1、选择合适的开机启动平滑轨线线型；

假设当前的任务运动轨迹为：

式中：x为正弦曲线相对于时间t的函数值，为正弦运动轨迹的初相角，ω为正弦运动轨迹的角速度，A为正弦运动轨迹振幅。

选取的启动轨线为双曲线线型，其数学方程为：

式中：y为双曲轨线关于时间t的函数值，k和ρ为双曲线的轨线参数，b为给定的提前时间，ξ为相切点角度。利用本发明提出的双曲轨线进行Stewart平台启动过程的运动轨迹平滑如图1所示意。图中实线为双曲线启动轨线，虚线部分是Stewart平台的任务运动轨线，二者相切于第一象限的ξ处。

Step1.2、计算得到相切点角度ξ；

根据相切点的函数值相同条件可知，在切点处(ξ未知)，有：

根据相切点处斜率值相同条件可知，在切点处(ξ未知)，有：

令化简以上方程，可得：

其中，α是设计参数，且1＜α＜2。

因为运动轨迹角速度ω，运动轨迹初相角和给定的提前时间b均为已知量，而设计参数α可以根据用户要求选择，所以式(5)为超越方程；在α选定的情况下，利用迭代法可以完成ξ的求解。给定初始值ξ₀，步长η，允许误差ε和迭代次数n，迭代法的伪代码如下所示：

Step1.3、根据α和ξ，计算双曲线参数ρ和k；

因为平滑曲线的两个参数ρ和k是α和ξ的函数，所以通过迭代法解出ξ后，综合已选定的α便可以求出平滑曲线的参数值ρ和k，二者的计算公式如下：

$\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\frac{1}{{(T_0-b)}^2}\·\frac{\mathrm{\α}(2-\mathrm{\α})}{{(\mathrm{\α}-1)}^2}\\ k=\frac{A\sin \mathrm{\ξ}}{\sqrt{1+\mathrm{\ρ}{(T_0-b)}^2}-1}\end{array}---\left(6\right)$

在计算出双曲线的参数值ρ和k之后，便可以得到启动平滑轨线的数学方程。

2、对于Stewart运动平台停机过程的轨线平滑控制如下：

选择合适的平滑曲线有助于实现Stewart平台及设备的安全平稳停机。实际系统要求在有限的时间之内完成停机，因此本发明采用如下技术方案：

Step2.1、选择停机平滑轨线的线型；

本发明将停机平滑轨线选取为两条双曲型曲线的叠加，假设停止时间为T(T是用户自行设定的参数)，则停机平滑轨线的一般表达式为：

$y=\left\{\begin{array}{cc}{k}_1(\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_1{(T-t)}^2}-1)+k_2(\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_2{(T-t)}^2}-1)& 0\≤t\≤T\\ 0& else\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，y为双曲轨线关于时间t的函数值，k₁、k₂、ρ₁、ρ₂为双曲线的轨线参数。

与启动曲线不同，停止曲线是两条不同的双曲线的叠加，这是因为对于停机状态而言，可以分为两种状态：1)如果停机动作开始于第一，三象限，那么需要利用两个平滑轨线的共同作用，即需要一个包括曲线斜率方向改变的平滑轨线过渡到停机状态，该过程如图4a所示；2)如果开始停机时刻位于第二、四象限，便可以很自然的利用双曲线完成平滑过程，该过程如图4b所示。

Step2.2、设定停机时间T，选择合适的轨线设计参数ρ₁和ρ₂；

停机时间T的选取根据所期望的停机过程进行选择，而两个双曲线参数ρ₁和ρ₂影响双曲线的斜率，主导了双曲线上升或者下降的快慢。由于所期望的停机过程尽量平稳缓和，速度变化缓慢自然，所以ρ₁和ρ₂的选取不宜过大，否则难以达到预期的效果，实际中通常可以按照0＜ρ_i＜0.1i＝1,2的规则来选取。

Step2.3、计算两个轨线参数k₁和k₂，求出停机轨线的数学方程；

在轨线点t＝0处满足：

令 ${\mathrm{\α}}_i=\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_i{T}^2}-1,{\mathrm{\β}}_i=\frac{{\mathrm{\ρ}}_{i}T}{\sqrt{1+{\mathrm{\ρ}}_i{T}^2}},(i=1,2),$ 则原方程化简为：

k₁α₁+k₂α₂＝p(10)

-k₁β₁-k₂β₂＝v

解得： $k_1=\frac{-{\mathrm{\β}}_{2}p-{\mathrm{\α}}_{2}v}{{\mathrm{\α}}_2{\mathrm{\β}}_1-{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\β}}_2},k_2=\frac{{\mathrm{\β}}_{1}p+{\mathrm{\α}}_{1}v}{{\mathrm{\α}}_2{\mathrm{\β}}_1-{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\β}}_2}$

由于停机时间T，参数ρ₁和ρ₂是自行设定的，所以只要根据p和v便可以计算出k₁和k₂。

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。

对于Stewart运动平台启动过程进行轨线平滑控制的具体实施过程：

以Stewart运动平台在实际运动时最为常见的并由用户设定的正弦运动任务轨线为例进行说明。假设运动任务曲线是一条正弦曲线，给定其数学方程如下：

$x=\left\{\begin{array}{cc}0& t\≥1.25\\ sin(\frac{\mathrm{\π}}{5}-\frac{\mathrm{\π}}{4})& t\≥1.25\end{array}\right.$

给定提前时间b＝-3。由上文推导过程可知：利用

MATLAB程序可以绘制出切入角和自选参数之间的关系，如图2所示。此处选取α＝1.5，则有：

求得：

ξ＝1.20

其中

ρ＝0.079

$k=\frac{Asin\mathrm{\ξ}}{\sqrt{1+\mathrm{\ρ}{(T_0-b)}^2}-1}=\frac{sin1.20}{\sqrt{1+0.079{(3.16+3)}^2}-1}=0.93$

所以启动过程平滑轨线的数学方程为：

$y=\left\{\begin{array}{cc}0.93(\sqrt{1+0.079{(t+3)}^2}-1)& -3\&le;t<3.16\\ 0& else\end{array}\right.$

利用MATLAB程序可以绘制出该具体实施例中运动轨迹和平滑曲线的相切图，如图3所示。图中实线表示加入平滑轨线之后的实际运动轨线，虚线表示原有运动轨迹中的启动部分，可见加入平滑曲线之后，平台可以平滑启动。

对Stewart运动平台停机过程进行轨线平滑控制的具体实施过程：

当停机动作在第一，三象限开始时，假设给定的任务运动曲线为给定参数为T＝4，ρ₁＝0.08，ρ₂＝0.02，求解适合该任务运动曲线的停机平滑曲线的具体过程如下：

由 ${\mathrm{\&alpha;}}_i=\sqrt{1+{\mathrm{\&rho;}}_i{T}^2}-1,{\mathrm{\&beta;}}_i=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{i}T}{\sqrt{1+{\mathrm{\&rho;}}_i{T}^2}},(i=1,2)$ 可得：

${\mathrm{\&alpha;}}_1=\sqrt{1+0.08\&times;4^2}-1=0.5100$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\sqrt{1+0.02\&times;4^2}-1=0.1489$

${\mathrm{\&beta;}}_1=\frac{0.08\&times;4}{\sqrt{1+0.08\&times;4^2}}=0.2119$

${\mathrm{\&beta;}}_2=\frac{0.02\&times;4}{\sqrt{1+0.02\&times;4^2}}=0.0696$

由可得：

由 $k_1=\frac{-{\mathrm{\&beta;}}_{2}p-{\mathrm{\&alpha;}}_{2}v}{{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2},k_2=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_{1}p+{\mathrm{\&alpha;}}_{1}v}{{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2}$ 可得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_1=\frac{-0.0696\&times;0-0.1489\&times;0.5236}{0.1489\&times;0.2119-0.5100\&times;0.0696}=19.73\\ k_2=\frac{0.2119\&times;0+0.5100\&times;0.5236}{0.1489\&times;0.2119-0.5100\&times;0.0696}=-67.58\end{array}\right.$

所以可以得到该状态下的停机平滑曲线：

$y=19.73(\sqrt{1+0.08{(4-t)}^2}-1)-67.58(\sqrt{1+0.02{(4-t)}^2}-1),0\&le;t\&le;4$

当停机动作在第二，四象限开始时，给定任务运动轨线为

T＝4；ρ₁＝0.08；ρ₂＝0.02，利用上述方法可以得出：

$\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1=0.5100\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2=0.1489\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1=0.2119\\ {\mathrm{\&beta;}}_2=0.0696\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{c}p=0.7071\\ v=-0.3702\end{array}\right.\end{array}$

求得： $\left\{\begin{array}{c}{k}_1=-1.49\\ k_2=9.86\end{array}\right.$

所以可以得到该状态下的停机平滑曲线：

$y=-1.49(\sqrt{1+0.08{(4-t)}^2}-1)+9.86(\sqrt{1+0.02{(4-t)}^2}-1),0\&le;t\&le;4$

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (6)

1.一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法，其特征在于，包括Stewart六自由度并联运动平台启动过程的平滑控制，其包括以下步骤：

在Stewart平台启动时对其运动轨线寻找一个双曲线，使在其某一段上曲线段的起点与时间轴相切，曲线段的终点又与运动轨线在到达第一个峰值点之前的某一点相切；具体实现步骤如下：

首先，选择双曲线作为开机启动平滑轨线，其中y为双曲轨线关于时间t的函数值，k和ρ为待求的双曲轨线参数，ξ为相切点角度，为正弦运动轨迹初相角，ω为正弦运动轨迹角速度，b为给定的提前时间；其次，根据平台轨线和启动轨线在相切点数值和斜率相同条件，计算出相切点角度ξ；最后，根据给定的设计参数α和计算出的相切点角度ξ，计算出平滑启动轨线的参数k和ρ，从而得到启动平滑双曲轨线的方程；其中，k,ρ＞0；1＜α＜2。

2.根据权利要求1所述的一种Stewart平台启动与停机过程的平滑控制方法，其特征在于，Stewart平台启动过程将要执行的运动轨迹为正弦曲线：

其中x为正弦曲线相对于时间t的函数值，为正弦运动轨迹初相角，ω为正弦运动轨迹角速度，A为正弦曲线的幅值；其中，

选用的平滑双曲线作为启动平滑轨线控制Stewart平台启动，使得Stewart平台的启动过程更加平稳安全。

3.根据权利要求1所述的一种Stewart运动平台启动与停机过程的平滑方法，其特征在于，计算得到相切点角度ξ的步骤如下：

根据相切点函数值相同可知，在切点处，有：

根据相切点斜率值相同可知，在切点处，有：

令化简以上方程，可得：

在α选定的情况下，利用迭代法完成ξ的求解。

4.根据权利要求3所述的一种Stewart运动平台启动与停机过程的平滑方法，其特征在于，根据选定的设计参数α和相切点角度ξ，计算得到曲线参数ρ和k的步骤如下：

迭代法解出ξ后，综合已选定的α求出平滑曲线的参数值ρ和k，二者表达式为：

$\mathrm{\&rho;}=\frac{1}{{(T_0-b)}^2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&alpha;}(2-\mathrm{\&alpha;})}{{(\mathrm{\&alpha;}-1)}^2}---\left(4\right)$

$k=\frac{Asin\mathrm{\&xi;}}{\sqrt{1+\mathrm{\&rho;}{(T_0-b)}^2}-1}$

在计算出平滑曲线的参数值ρ和k之后，带入双曲线

便得到启动平滑轨线的方程。

5.根据权利要求1所述的一种Stewart运动平台启动与停机过程的平滑方法，其特征在于，还包括Stewart六自由度并联机器人运动平台停机过程的平滑，具体包括以下步骤：

首先，选取两条双曲型曲线的叠加

$y=\left\{\begin{array}{cc}{k}_1(\sqrt{1+{\mathrm{\&rho;}}_1{(T-t)}^2}-1)+k_2(\sqrt{1+{\mathrm{\&rho;}}_2{(T-t)}^2}-1)& 0\&le;t\&le;T\\ 0& else\end{array}\right.$

作为停机平滑曲线，其中k₁和k₂为待求停机平滑曲线参数；其次，用户根据任务需求自行设定停机时间T，并选择轨线设计参数ρ₁和ρ₂，0＜ρ_i＜0.1，i＝1,2；最后，根据所选参数求出轨线参数k₁和k₂，得到停机平滑轨线。

6.根据权利要求5所述的一种Stewart运动平台启动与停机过程的平滑方法，其特征在于，根据停机时间T和自行设定的轨线设计参数ρ₁和ρ₂计算未知两个轨线参数k₁和k₂的步骤如下：

在轨线点t＝0处满足：

令 ${\mathrm{\&alpha;}}_i=\sqrt{1+{\mathrm{\&rho;}}_i{T}^2}-1,{\mathrm{\&beta;}}_i=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{i}T}{\sqrt{1+{\mathrm{\&rho;}}_i{T}^2}},(i=1,2),$ 则原方程化简为：

k₁α₁+k₂α₂＝p(7)

-k₁β₁-k₂β₂＝v

解得： $k_1=\frac{-{\mathrm{\&beta;}}_{2}p-{\mathrm{\&alpha;}}_{2}v}{{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2},k_2=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_{1}p+{\mathrm{\&alpha;}}_{1}v}{{\mathrm{\&alpha;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&beta;}}_2};$

根据p和v便可以计算出k₁和k₂，得到停机平滑轨线。