CN105291747A - 一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法 - Google Patents

Abstract

一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，本发明涉及主动汽车悬架控制方法。本发明是要解决现有技术在路面不平的路况下，无法达到保持舒适性的要求以及没有考虑在控制器的设计过程之中，导致系统的实际性能有所降低的问题，而提出的一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法。该方法是通过步骤一、建立主动悬架系统中执行器死区的数学模型；步骤二、建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型；步骤三、利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器；步骤四、采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证等步骤实现的。本发明应用于主动汽车悬架控制领域。

Description

一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法

技术领域

本发明涉及主动汽车悬架控制方法，特别涉及一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法。

背景技术

汽车早已成为现代人不可缺少的交通工具。伴随着汽车的不断普及，各种最新的科学技术不断应用到汽车中。汽车工业的每一次飞跃，都在提升汽车的整体性能，完善整个汽车行业体系的发展。

汽车悬架系统主要是指车体和轮胎之间的装置。悬架系统的主要功能在于牢固的连接和有效的减震，从而提高车辆行驶的安全性和乘坐人员的舒适性。汽车悬架系统一般分为被动悬架系统，半主动悬架系统和主动悬架系统。主动悬架系统与前两种悬架系统相比，含有可以输出力矩的执行器。跟只有弹簧和阻尼器的前两种悬架系统相比，主动悬架系统可以调节的范围更宽，车辆整体的安全性和舒适性得到了提升。

主动悬架系统功能的核心在于其执行器，但由于实际应用的执行器，含有死区非线性问题。死区是执行机构中常见的现象。但是执行器的死区非线性给悬架系统的控制带来了很大的困难，也限制了车辆整体的性能。

执行器的死区是主动悬架系统中主要的非线性问题，死区的存在会降低整个闭环系统的性能，增加系统的误差。在一定输入条件下，含有死区的系统还会出现在系统中产生自持震荡，造成系统不稳定。悬架系统必须保证车辆的安全与舒适。在执行器条件有限的前提下，就需要一个合理的死区补偿控制器来提升悬架系统的性能。

针对悬架的控制问题，一直是悬架研究的热点课题。现有的悬架系统的有多种设计方法，但是主要存在的问题有以下两种：

一、一般在被动悬架系统中，根据悬架系统的特点是单靠弹簧和阻尼器件来实验对振动的抑制。这种方法在平整的路面上可以提升系统性能，保持汽车的安全与平稳。但在路面不平的路况下，无法达到保持舒适性的要求。

二、针对实际的执行器，执行器的死区特性并没有考虑在控制器的设计过程之中，导致系统的实际性能有所降低。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术在路面不平的路况下，无法达到保持舒适性的要求以及现有技术没有考虑在控制器的设计过程之中，导致系统的实际性能有所降低的问题，而提出的一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、建立主动悬架系统中执行器死区的数学模型；

(1)执行器的死区的数学模型如下：

$u=DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r,\\ 0,& if& b_l<v<b_r,\\ g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l,\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，b_r>0，b_l<0是两个未知参数，ν是执行器的控制输入，g_l(ν)为刻画死区特性的左斜坡特性，即ν≤b_l时的特性，g_r(ν)刻画死区特性的右斜坡特性，即ν≥b_r时的特性，g_l(ν)和g_r(ν)是未知光滑的非线性函数；

(2)在执行器的死区的数学模型中，在ν≥b_r,ν≤b_l的范围里，执行器的输出是非线性的，

假设死区左斜坡函数g_l(ν)和右斜坡函数g_r(ν)都是光滑的，则存在未知的参数和满足如下关系：

$0<k_{l_0}\&le;g_l^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{l_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(2\right)$

$0<k_{r_0}\&le;g_r^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{r_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(3\right)$

其中，g_l′(ν)是函数g_l(ν)的导数，g′_r(ν)是函数g_r(ν)的导数；将函数g_l(ν)和g_r(ν)在区间(b_l,b_r]和[b_l,b_r)做延伸定义：

g_l(ν)＝g_l′(b_l)(ν-b_l),ν∈(b_l,b_r],(4)

g_r(ν)＝g′_r(b_r)(ν-b_r),ν∈[b_l,b_r).(5)

其中g_l′(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的导数值，g′_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的导数值；

(3)根据微分中值定理可知，一定存在一个常数ξ_l(ν)∈(-∞,b_l)使得式(6)成立；

$g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_l\left(b_l\right)=g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_1\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_l),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(6\right)$

其中，g_l(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的值，g_l′⁽ξ_l(ν))是函数g_l(ν)在点ξ_l(ν)处的导数值；

同理，根据微分中值定理得一定存在常数ξ_r(ν)∈(b_r,+∞)使得下式(7)成立；

$g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_r\left(b_r\right)=g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_r),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(7\right)$

其中，g_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的值，g′_r(ξ_r(ν))是函数g_r(ν)在点ξ_r(ν)处的导数值；

(4)主动悬架系统中含有死区特性的执行器的数学模型：

u＝DZ(ν(t))＝ρν+d_d(ν),(8)

其中执行器中的线性部分表示为：

ρ＝K^T(t)Φ(t),

Φ(t)＝[φ_r(v),φ_l(v)]^T,

K(t)＝[K_r(ν),K_l(ν)]^T,(9)

${\mathrm{\&phi;}}_r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}>b_l\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.$

${\mathrm{\&phi;}}_l\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}\right.$

$K_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\\ g_r^{\&prime;}\left(b_r\right),& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& b_r\&le;\mathrm{\&nu;}<+\mathrm{\&infin;}\end{array}\right.$

$K_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\{\begin{array}{ccc}{g}_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& -\mathrm{\&infin;}<\mathrm{\&nu;}<b_l\\ g_l^{\&prime;}\left(b_l\right)& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}---\left(11\right)$

其中，执行器中的死区非线性误差部分d_d(ν)表示为：

$d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_r,& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\\ -\&lsqb;g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\&rsqb;\mathrm{\&nu;},& if& b_l<v<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_l,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，死区的非线性误差部分是一个有界量，即DZ(ν(t))表示含有死区特性执行器的输入，ρ代表执行器的控制增益，d_d(ν)代表死区转换模型(8)的误差部分；是一个有界常数；

步骤二、建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型；

步骤三、利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器；

步骤四、采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证；即完成了一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法。

发明效果

本发明主要针对于悬架执行器存在的死区非线性问题即主动悬架系统中存在的执行器死区问题，研究了一种控制方法，设计出了死区补偿控制器。控制器很好地解决了悬架系统执行器存在死区的问题，进而从根本上提升了主动悬架系统的调节范围，增强了汽车的整体性能。对于解决闭环系统中存在的死区问题有一定的借鉴意义。

本发明主要针对于汽车的主动悬架系统而设计，解决了主动汽车悬架中经常存在的执行器含有非线性死区的问题。死区补偿控制器，采用现代控制论的方法，通过对1/4汽车悬架系统的整体建模，最终得到了合理的死区补偿控制器模型。

死区补偿控制器有效地提高了汽车悬架系统调节车身平稳性的范围，从而提高了整个汽车的安全性和舒适性(如图3和图4所示)。死区补偿控制主要的作用对象是悬架系统中的执行器，执行器产生非线性的原因有多种，主要是由于汽车承载的质量未知，外部干扰和执行器自身的限制。本发明所提出的死区补偿控制方法，考虑了各种影响执行器产生非线性的因素，综合悬架自身的特点，设计出了一套合理的解决方案，对于其他系统中含有的非线性死区问题都有借鉴意义。

死区补偿控制器的应用，从根本上提升了主动悬架系统抗干扰的能力。悬架系统性能的提升对于汽车整体性能的提升具有极大的效果，通过图5观察死区补偿控制器的输出结果可以发现，控制器的控制信号十分灵敏，调节悬架执行器的能力明显增强。一个汽车的悬架系统性能决定了整个汽车的价值含量，是现代汽车工业中重要的研究领域。本发明所设计的死区补偿控制器，提升了汽车的安全性，平稳性和舒适性，对于主动汽车悬架的发展有一定的意义。

附图说明

图1为具体实施方式一提出的死区补偿控制器的设计步骤流程图；

图2为具体实施方式二提出的1/4汽车悬架系统的实验平台

图3为实施例提出的汽车受垂直干扰的位移响应，——表示死区补偿控制器响应曲线，………表示汽车被动悬架响应曲线

图4为实施例提出的汽车受垂直干扰的加速度响应，——表示死区补偿控制器响应曲线，………表示汽车被动悬架响应曲线

图5为实施例提出的死区补偿控制器的输出曲线，——表示死区补偿控制器输出曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，具体是按照以下步骤制备的：

死区补偿控制器的设计应用现代控制理论中自适应性控制的方法，最后应用Lyapunov稳定原理进行验证；

步骤一、建立主动悬架系统中执行器死区的数学模型；

(1)执行器的死区的数学模型如下：

$u=DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r,\\ 0,& if& b_l<v<b_r,\\ g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l,\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，b_r>0，b_l<0是两个未知参数，ν是执行器的控制输入，g_l(ν)为刻画死区特性的左斜坡特性，即ν≤b_l时的特性，g_r(ν)刻画死区特性的右斜坡特性，即ν≥b_r时的特性，g_l(ν)和g_r(ν)是未知光滑的非线性函数；

(2)在执行器的死区的数学模型中，可以发现在零点周围的一个区间内，即b_l<v<b_r内，执行器没有输出，无法对悬架系统进行调节，同时在ν≥b_r,ν≤b_l的范围里，执行器的输出是非线性的，这就对悬架系统的控制器提出了新要求；

为了便于设计死区补偿控制器，假设死区左斜坡函数g_l(ν)和右斜坡函数g_r(ν)都是光滑的，则存在未知的参数和满足如下关系：

$0<k_{l_0}\&le;g_l^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{l_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(2\right)$

$0<k_{r_0}\&le;g_r^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{r_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(3\right)$

其中，g_l′(ν)是函数g_l(ν)的导数，g′_r(ν)是函数g_r(ν)的导数；为了方便符号的表示，将函数g_l(ν)和g_r(ν)在区间(b_l,b_r]和[b_l,b_r)做延伸定义：

g_l(ν)＝g_l′(b_l)(ν-b_l),ν∈(b_l,b_r],(4)

g_r(ν)＝g′_r(b_r)(ν-b_r),ν∈[b_l,b_r).(5)

其中g_l′(bl)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的导数值，g′_r(br)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的导数值；

(3)根据微分中值定理可知，一定存在一个常数ξ_l(ν)∈(-∞,b_l)使得式(6)成立；

$g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_l\left(b_l\right)=g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_1\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_l),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(6\right)$

其中，g_l(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的值，g_l′(ξ_l(ν))是函数g_l(ν)在点ξ_l(ν)处的导数值；

同理，根据微分中值定理得一定存在常数ξ_r(ν)∈(b_r,+∞)使得下式(7)成立；

$g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_r\left(b_r\right)=g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_r),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(7\right)$

其中，g_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的值，g′_r(ξ_r(ν))是函数g_r(ν)在点ξ_r(ν)处的导数值；

(4)主动悬架系统中含有死区特性的执行器的数学模型：

u＝DZ(ν(t))＝ρν+d_d(ν),(8)

其中执行器中的线性部分表示为：

ρ＝K^T(t)Φ(t),

Φ(t)＝[φ_r(v),φ_l(v)]^T,

K(t)＝[K_r(ν),K_l(ν)]^T,(9)

${\mathrm{\&phi;}}_r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}>b_l\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.$

${\mathrm{\&phi;}}_l\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}\right.$

$K_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\\ g_r^{\&prime;}\left(b_r\right),& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& b_r\&le;\mathrm{\&nu;}<+\mathrm{\&infin;}\end{array}\right.$

$K_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\{\begin{array}{ccc}{g}_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& -\mathrm{\&infin;}<\mathrm{\&nu;}<b_l\\ g_l^{\&prime;}\left(b_l\right)& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}---\left(11\right)$

其中，执行器中的死区非线性误差部分d_d(ν)表示为：

$d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_r,& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\\ -\&lsqb;g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\&rsqb;\mathrm{\&nu;},& if& b_l<v<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_l,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，死区的非线性误差部分是一个有界量，即DZ(ν(t))表示含有死区特性执行器的输入，ρ代表执行器的控制增益，d_d(ν)代表死区转换模型(8)的误差部分；是一个有界常数；

步骤二、建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型；

步骤三、利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器；

步骤四、采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证如图1；即完成了一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法。

本实施方式效果：

本实施方式主要针对于悬架执行器存在的死区非线性问题即主动悬架系统中存在的执行器死区问题，研究了一种控制方法，设计出了死区补偿控制器。控制器很好地解决了悬架系统执行器存在死区的问题，进而从根本上提升了主动悬架系统的调节范围，增强了汽车的整体性能。对于解决闭环系统中存在的死区问题有一定的借鉴意义。

本实施方式主要针对于汽车的主动悬架系统而设计，解决了主动汽车悬架中经常存在的执行器含有非线性死区的问题。死区补偿控制器，采用现代控制论的方法，通过对1/4汽车悬架系统的整体建模，最终得到了合理的死区补偿控制器模型。

死区补偿控制器有效地提高了汽车悬架系统调节车身平稳性的范围，从而提高了整个汽车的安全性和舒适性(如图3和图4所示)。死区补偿控制主要的作用对象是悬架系统中的执行器，执行器产生非线性的原因有多种，主要是由于汽车承载的质量未知，外部干扰和执行器自身的限制。本实施方式所提出的死区补偿控制方法，考虑了各种影响执行器产生非线性的因素，综合悬架自身的特点，设计出了一套合理的解决方案，对于其他系统中含有的非线性死区问题都有借鉴意义。

死区补偿控制器的应用，从根本上提升了主动悬架系统抗干扰的能力。悬架系统性能的提升对于汽车整体性能的提升具有极大的效果，通过图5观察死区补偿控制器的输出结果可以发现，控制器的控制信号十分灵敏，调节悬架执行器的能力明显增强。一个汽车的悬架系统性能决定了整个汽车的价值含量，是现代汽车工业中重要的研究领域。本实施方式所设计的死区补偿控制器，提升了汽车的安全性，平稳性和舒适性，对于主动汽车悬架的发展有一定的意义。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：结合图2步骤二中建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型具体为：

根据1/4汽车主动悬架系统的特性，建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型如下：

$\begin{array}{c}{m}_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_s=-F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)-F_s\left(z_s,z_u,t\right)+DZ\left(\mathrm{\&nu;}\left(t\right)\right)+f\left(t\right)\\ m_u{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_u=F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)+F_s\left(z_s,z_u,t\right)-F_t\left(z_u,z_r,t\right)-F_b\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r,t\right)-DZ\left(\mathrm{\&nu;}\left(t\right)\right)\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中各个量的表达式如下：

$\begin{array}{c}{F}_s\left(z_s,z_u,t\right)=k_s\left(z_s-z_u\right)+k_{s_n}{\left(z_s-z_u\right)}^3\\ F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)=b_{ec}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u\right)\\ F_t{\left(z_u,z_u,t\right)}_t=k_f\left(z_u-z_r\right)\\ F_b\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r,t\right)=b_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r\right)\end{array}---\left(14\right)$

在主动悬架系统的模型中，z_s表示悬架簧上质量的垂直位移，z_u悬架轮胎的位移，表示悬架簧上质量的垂直速度，表示轮胎的垂直速度，z_r表示路面的扰动，表示路面的扰动速度，m_s表示悬架系统中的簧上质量，m_u表示悬架系统中的簧下质量，k_s表示弹簧的线性弹性系数，表示弹簧的非线性弹性系数，b_ec是b_e和b_c的统称，b_e表示阻尼器拉伸过程的阻尼系数，b_c表示阻尼器压缩过程的阻尼系数，k_f表示簧下轮胎的弹性系数，b_f表示簧下轮胎的阻尼系数；F_d表示弹簧输出的力，F_s表示阻尼器输出的力，F_t表示簧下轮胎的弹性力，F_b表示簧下轮胎的阻尼力，t代表时间，f(t)代表未建模动态和未知扰动，是簧上质量的加速度，是簧下质量的加速度。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤三中利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器具体过程为：

(1)定义系统的状态变量x₁＝^z _s,x₃＝z_u和列写状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+f\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{1}{m_u}\left(F_d+F_s-F_t-F_b-DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\end{array}---\left(15\right)$

其中，参数

${\mathrm{\&theta;}}_2={\&lsqb;-\frac{k_s}{m_s}-\frac{k_{s_n}}{m_s}-\frac{b_{ec}}{m_s}\&rsqb;}^T,F\left(x,t\right)={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1-x_3& {\left(x_1-x_3\right)}^3& x_2-x_4\end{array}\right]}^T;$

(2)根据(8)将式(15)变为下式(16)：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_1\left(\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&nu;}+d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+f\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\mathrm{\&nu;}+d\left(t\right)\end{array}---\left(16\right)$

其中，d(t)＝θ₁d_d(ν)+f(t)，影响d(t)的因素来自于汽车的外部干扰和死区执行器的建模误差，由于车辆的外部干扰一般都是一个有界的量，所以可以用一个常量D来界定外部干扰因素；

(3)为了采用自适应的控制方法来设计控制器，将定义系统的状态变量进行坐标变换：

z₁＝x₁-y_r(17)

$z_2=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_r-q---\left(18\right)$

y_r是系统中的一个有界的参考输入信号，y_r 都是有界量；是y_r的一阶导数，是y_r的二阶导数；q是一个虚拟控制变量；控制变量q与系统的跟踪误差z₁有关，q与z₁设定的关系为：

q＝-c₁z₁(19)

其中，参数c₁是一个正的设计参数，根据公式(16)和(18)得到系统的跟踪误差z₁满足一下关系：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2+q---\left(20\right)$

(4)根据公式(19)和(20)联立可得公式(21)

$z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=-c_1{z_1}^2+z_1{z}_2---\left(21\right)$

(5)联立公式(16)和公式(18)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F(x,t)+{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\mathrm{\&nu;}+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r-\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(22\right)$

其中，为q的一阶导数；

(6)为了设计控制器的方便，引入一个变量M＝1/ρθ₁，应用现代控制理论变量的估计值设定为其估计误差为外部干扰为D，外部干扰为D估计值为估计误差为死区控制器的参数为死区控制器的估计值和死区控制器的估计误差表示为死区补偿控制器的控制规律设定为：

$\mathrm{\&nu;}=\hat{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}---\left(23\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}=-c_2{z}_2-z_1-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^{T}F(x,t)-\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\hat{D}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r+\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(24\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}{z}_2---\left(25\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2^T=\mathrm{\&Gamma;}F\left(x,t\right)z_2---\left(26\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}={\mathrm{\&gamma;}}_2\left|z_2\right|---\left(27\right)$

在死区补偿控制器的控制规律中，c₂、γ₁、γ₂和Γ为控制器的设置参数^；

其中，是控制器中的一个中间控制变量、sgn代表标准的符号函数，sgn(z₂)代表z₂的符号；

(7)综合(23)～(27)的控制规律得到死区补偿控制器的状态方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}-{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r-\stackrel{\&CenterDot;}{q}$

$=-c_2{z}_2-z_1+{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^{T}F\left(x,t\right)-\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\hat{D}+d\left(t\right)-{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}---\left(28\right).$ 其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤四中采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证的具体过程：

在一个闭环系统中，加入控制器以后系统的稳定性十分关键，利用Lyapunov稳定性判据对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证，判断1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统是否符合稳定性的要求；

列出引入死区补偿控制器后的闭环系统的Lyapunov稳定性方程：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1{\tilde{M}}^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_2+\frac{1}{2{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\tilde{D}}^2---\left(29\right)$

验证Lyapunov能量方程中的是否为负定阵：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+z_2{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\tilde{D}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}\\ \&le;-c_1{z_1}^2-c_2{z_2}^2-\frac{{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1}{{\mathrm{\&gamma;}}_1}\tilde{M}\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}{z}_2+\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}\right)-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2-\mathrm{\&Gamma;}F\left(x,t\right)z_2\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\tilde{D}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}-{\mathrm{\&gamma;}}_2\left|z_2\right|\right)\end{array}$

$\&le;-c_1{z_1}^2-c_2{z_2}^2\&le;0---\left(30\right)$

经验证引入死区补偿控制器后的汽车主动悬架系统处于稳定状态。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，具体是按照以下步骤制备的：

步骤一、建立主动悬架系统中执行器死区的数学模型；

(1)执行器的死区的数学模型如下：

$u=DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r,\\ 0,& if& b_l<v<b_r,\\ g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l,\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，b_r>0，b_l<0是两个未知参数，ν是执行器的控制输入，g_l(ν)为刻画死区特性的左斜坡特性，即ν≤b_l时的特性，g_r(ν)刻画死区特性的右斜坡特性，即ν≥b_r时的特性，g_l(ν)和g_r(ν)是未知光滑的非线性函数；

(2)在执行器的死区的数学模型中，在ν≥b_r,ν≤b_l的范围里，执行器的输出是非线性的，

假设死区左斜坡函数g_l(ν)和右斜坡函数g_r(ν)都是光滑的，则存在未知的参数和满足如下关系：

$0<k_{l_0}\&le;g_l^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{l_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(2\right)$

$0<k_{r_0}\&le;g_r^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{r_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(3\right)$

其中，g_l′(ν)是函数g_l(ν)的导数，g′_r(ν)是函数g_r(ν)的导数；将函数g_l(ν)和g_r(ν)在区间(b_l,b_r]和[b_l,b_r)做延伸定义：

g_l(ν)＝g_l′(b_l)(ν-b_l),ν∈(b_l,b_r],(4)

g_r(ν)＝g′_r(b_r)(ν-b_r),ν∈[b_l,b_r).(5)

其中g_l′(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的导数值，g′_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的导数值；

(3)根据微分中值定理可知，一定存在一个常数ξ_l(ν)∈(-∞,b_l)使得式(6)成立；

$g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_l\left(b_l\right)=g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_1\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_l),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(6\right)$

其中，g_l(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的值，g_l′(ξ_l(ν))是函数g_l(ν)在点ξ_l(ν)处的导数值；

同理，根据微分中值定理得一定存在常数ξ_r(ν)∈(b_r,+∞)使得下式(7)成立；

$g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_r\left(b_r\right)=g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_r),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(7\right)$

其中，g_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的值，g′_r(ξ_r(ν))是函数g_r(ν)在点ξ_r(ν)处的导数值；

(4)主动悬架系统中含有死区特性的执行器的数学模型：

u＝DZ(ν(t))＝ρν+d_d(ν),(8)

其中执行器中的线性部分表示为：

ρ＝K^T(t)Φ(t),

Φ(t)＝[φ_r(v),φ_l(v)]^T,

K(t)＝[K_r(ν),K_l(ν)]^T,(9)

${\mathrm{\&phi;}}_r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}>b_l\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.$

${\mathrm{\&phi;}}_l\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}\right.$

$K_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\\ g_r^{\&prime;}\left(b_r\right),& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& b_r\&le;\mathrm{\&nu;}<+\mathrm{\&infin;}\end{array}\right.$ $K_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\{\begin{array}{ccc}{g}_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& -\mathrm{\&infin;}<\mathrm{\&nu;}<b_l\\ g_l^{\&prime;}\left(b_l\right)& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}---\left(11\right)$

其中，执行器中的死区非线性误差部分d_d(ν)表示为：

$d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_r,& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\\ -\&lsqb;g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\&rsqb;\mathrm{\&nu;},& if& b_l<v<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_l,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，死区的非线性误差部分是一个有界量，即DZ(ν(t))表示含有死区特性执行器的输入，ρ代表执行器的控制增益，d_d(ν)代表死区转换模型(8)的误差部分；是一个有界常数；

步骤二、建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型；

建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型具体为：

根据1/4汽车主动悬架系统的特性，建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型如下：

$\begin{array}{c}{m}_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_s=-F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)-F_s\left(z_s,z_u,t\right)+DZ\left(\mathrm{\&nu;}\left(t\right)\right)+f\left(t\right)\\ m_u{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_u=F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)+F_s\left(z_s,z_u,t\right)-F_t\left(z_u,z_r,t\right)-F_b\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r,t\right)-DZ\left(\mathrm{\&nu;}\left(t\right)\right)\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中各个量的表达式如下：

$\begin{array}{c}{F}_s\left(z_s,z_u,t\right)=k_s\left(z_s-z_u\right)+k_{s_n}{\left(z_s-z_u\right)}^3\\ F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)=b_{ec}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u\right)\\ F_t{\left(z_u,z_u,t\right)}_t=k_f\left(z_u-z_r\right)\\ F_b\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r,t\right)=b_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r\right)\end{array}---\left(14\right)$

在主动悬架系统的模型中，z_s表示悬架簧上质量的垂直位移，z_u悬架轮胎的位移，表示悬架簧上质量的垂直速度，表示轮胎的垂直速度，z_r表示路面的扰动，表示路面的扰动速度，m_s表示悬架系统中的簧上质量，m_u表示悬架系统中的簧下质量，k_s表示弹簧的线性弹性系数，表示弹簧的非线性弹性系数，b_ec是b_e和b_c的统称，b_e表示阻尼器拉伸过程的阻尼系数，b_c表示阻尼器压缩过程的阻尼系数，k_f表示簧下轮胎的弹性系数，b_f表示簧下轮胎的阻尼系数；F_d表示弹簧输出的力，F_s表示阻尼器输出的力，F_t表示簧下轮胎的弹性力，F_b表示簧下轮胎的阻尼力，t代表时间，f(t)代表未建模动态和未知扰动，是簧上质量的加速度，是簧下质量的加速度。

步骤三、利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器；

利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器具体过程为：

(1)定义系统的状态变量x₁＝z_s,x₃＝z_u和列写状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+f\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{1}{m_u}\left(F_d+F_s-F_t-F_b-DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\end{array}---\left(15\right)$

其中，参数

${\mathrm{\&theta;}}_2={\&lsqb;-\frac{k_s}{m_s}-\frac{k_{s_n}}{m_s}-\frac{b_{ec}}{m_s}\&rsqb;}^T,F\left(x,t\right)={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1-x_3& {\left(x_1-x_3\right)}^3& x_2-x_4\end{array}\right]}^T;$

(2)根据(8)将式(15)变为下式(16)：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_1\left(\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&nu;}+d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+f\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\mathrm{\&nu;}+d\left(t\right)\end{array}---\left(16\right)$

其中，d(t)＝θ₁d_d(ν)+f(t)；

(3)为了采用自适应的控制方法来设计控制器，将定义系统的状态变量进行坐标变换：

z₁＝x₁-y_r(17)

$z_2=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_r-q---\left(18\right)$

y_r是系统中的一个有界的参考输入信号，y_r 都是有界量；是y_r的一阶导数，是y_r的二阶导数；q是一个虚拟控制变量；q与z₁设定的关系为：

q＝-c₁z₁(19)

其中，参数c₁是一个正的设计参数，根据公式(16)和(18)得到系统的跟踪误差z₁满足一下关系：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2+q---\left(20\right)$

(4)根据公式(19)和(20)联立可得公式(21)

$z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=-c_1{z_1}^2+z_1{z}_2---\left(21\right)$

(5)联立公式(16)和公式(18)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F(x,t)+{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\mathrm{\&nu;}+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r-\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(22\right)$

其中，为q的一阶导数；

(6)引入一个变量M＝1/ρθ₁，应用现代控制理论变量的估计值设定为其估计误差为外部干扰为D，外部干扰为D估计值为估计误差为死区控制器的参数为死区控制器的估计值和死区控制器的估计误差表示为死区补偿控制器的控制规律设定为：

$\mathrm{\&nu;}=\hat{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}---\left(23\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}=-c_2{z}_2-z_1-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^{T}F(x,t)-\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\hat{D}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r+\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(24\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}{z}_2---\left(25\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2^T=\mathrm{\&Gamma;}F\left(x,t\right)z_2---\left(26\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}={\mathrm{\&gamma;}}_2\left|z_2\right|---\left(27\right)$

在死区补偿控制器的控制规律中，c₂、γ₁、γ₂和Γ为控制器的设置参数^；

其中，是控制器中的一个中间控制变量、sgn代表标准的符号函数，sgn(z₂)代表z₂的符号；

(7)综合(23)～(27)的控制规律得到死区补偿控制器的状态方程：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}-{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r-\stackrel{\&CenterDot;}{q}\\ =-c_2{z}_2-z_1+{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^{T}F\left(x,t\right)-\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\hat{D}+d\left(t\right)-{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}---\left(28\right).\end{array}$

步骤四、采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证；

采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证的具体过程：

列出引入死区补偿控制器后的闭环系统的Lyapunov稳定性方程：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1{\tilde{M}}^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_2+\frac{1}{2{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\tilde{D}}^2---\left(29\right)$

验证Lyapunov能量方程中的是否为负定阵：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+z_2{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\tilde{D}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}$

$\begin{array}{c}\&le;-c_1{z_1}^2-c_2{z_2}^2-\frac{{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1}{{\mathrm{\&gamma;}}_1}\tilde{M}\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}{z}_2+\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}\right)-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2-\mathrm{\&Gamma;}F\left(x,t\right)z_2\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\tilde{D}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}-{\mathrm{\&gamma;}}_2\left|z_2\right|\right)\\ \&le;-c_1{z_1}^2-c_2{z_2}^2\&le;0---\left(30\right).\end{array}$

步骤五、抗死区控制器引入1/4汽车主动悬架系统之间，可以根据理论计算出控制器参数的估计值以及其合理的范围区间；在实际的条件下，需要现场反复调节控制器的参数，直到达到预期的目标；调好的死区补偿控制器能够明显提高汽车主动悬架中执行器的工作范围，提升汽车整体的安全性与舒适性。

簧上质量：m_s＝2.45kg，簧上质量主要指汽车底盘和车体承载的质量，这个变量与车体的负载直接相关，带有明显的不确定性。簧下质量：m_u＝1kg，簧下质量主要指汽车车轮和轮胎的质量。主动悬架系统中阻尼器拉伸过程中的阻尼系数b_e＝8Ns/m，主动悬架系统中阻尼器压缩过程中的阻尼系数b_c＝7Ns/m。簧下轮胎的弹性系数k_f＝2500N/m，簧下轮胎的阻尼系数b_f＝1000Ns/m。主动悬架系统中弹簧的线性弹性系数：k_s＝900N/m。主动悬架系统中弹簧的非线性弹性系数：

系统参数初始值设定为： $m_s=2kg,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2\left(0\right)={\&lsqb;-\frac{850}{m_s},-\frac{9}{m_s},-\frac{7.5}{m_s}\&rsqb;}^T,$ 死区执行器参数为g_l(ν)＝1.8-0.1cos(v),g_r(ν)＝1.5-0.2sin(v),b_l＝-0.3，b_r＝0.2。

控制器的初始参数设定为：c₁＝c₂＝0.1,γ₁＝γ₂＝Γ＝1。主动悬架系统外部扰动的初始值应用现代控制理论估计为

死区补偿控制器的作用效果

应用了死区补偿控制器，明显提升了主动悬架执行器抑止车体扰动的能力，增强了整个汽车的安全性与舒适性。

将应用了死区补偿控制器的主动悬架系统与被动悬架系统进行对比，可以发现死区补偿控制器的优越性。图3图4比较了汽车在同样的垂直外部扰动下，车体垂直运动的位移和加速度，发现位移和加速度曲线的振幅被明显抑制，这极大的提高了车辆的舒适性。

通过图5观察死区补偿控制器的输出结果可以发现，控制器的控制信号十分灵敏，调节悬架执行器的能力明显增强。总之，死区补偿控制器在主动悬架系统中的应用，使得主动悬架系统明显优于其他悬架系统，提升了汽车整体性能和使用价值。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (4)

1.一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，其特征在于一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立主动悬架系统中执行器死区的数学模型；

(1)执行器的死区的数学模型如下：

$u=DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r,\\ 0,& if& b_l<v<b_r,\\ g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right),& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l,\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，b_r>0，b_l<0是两个未知参数，ν是执行器的控制输入，g_l(ν)为刻画死区特性的左斜坡特性，即ν≤b_l时的特性，g_r(ν)刻画死区特性的右斜坡特性，即ν≥b_r时的特性，g_l(ν)和g_r(ν)是未知光滑的非线性函数；

(2)在执行器的死区的数学模型中，在ν≥b_r,ν≤b_l的范围里，执行器的输出是非线性的，

假设死区左斜坡函数g_l(ν)和右斜坡函数g_r(ν)都是光滑的，则存在未知的参数和满足如下关系：

$0<k_{l_0}\&le;g_l^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{l_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(2\right)$

$0<k_{r_0}\&le;g_r^{\&prime;}\left(\mathrm{\&nu;}\right)\&le;k_{r_1},\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(3\right)$

其中，g′_l(ν)是函数g_l(ν)的导数，g′_r(ν)是函数g_r(ν)的导数；将函数g_l(ν)和g_r(ν)在区间(b_l,b_r]和[b_l,b_r)做延伸定义：

g_l(ν)＝g′_l(b_l)(ν-b_l),ν∈(b_l,b_r],(4)

g_r(ν)＝g′_r(b_r)(ν-b_r),ν∈[b_l,b_r).(5)

其中g′_l(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的导数值，g′_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的导数值；

(3)根据微分中值定理可知，一定存在一个常数ξ_l(ν)∈(-∞,b_l)使得式(6)成立；

$g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_l\left(b_l\right)=g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_l),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;(-\mathrm{\&infin;},b_l\&rsqb;---\left(6\right)$

其中，g_l(b_l)是函数g_l(ν)在左端点b_l处的值，g′_l(ξ_l(ν))是函数g_l(ν)在点ξ_l(ν)处的导数值；

同理，根据微分中值定理得一定存在常数ξ_r(ν)∈(b_r,+∞)使得下式(7)成立；

$g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=g_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)-g_r\left(b_r\right)=g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)(\mathrm{\&nu;}-b_r),\&ForAll;\mathrm{\&nu;}\&Element;\&lsqb;b_r,+\mathrm{\&infin;})---\left(7\right)$

其中，g_r(b_r)是函数g_r(ν)在右端点b_r处的值，g′_r(ξ_r(ν))是函数g_r(ν)在点ξ_r(ν)处的导数值；

(4)主动悬架系统中含有死区特性的执行器的数学模型：

u＝DZ(ν(t))＝ρν+d_d(ν),(8)

其中执行器中的线性部分表示为：

ρ＝K^T(t)Φ(t),

Φ(t)＝[φ_r(v),φ_l(v)]^T,

K(t)＝[K_r(ν),K_l(ν)]^T,(9)

${\mathrm{\&phi;}}_r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}>b_l\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.$

${\mathrm{\&phi;}}_l\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0,\mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}\right.$

$K_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\\ g_r^{\&prime;}\left(b_r\right),& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& b_r\&le;\mathrm{\&nu;}<+\mathrm{\&infin;}\end{array}\right.$

$K_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\{\begin{array}{ccc}{g}_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right),& if& -\mathrm{\&infin;}<\mathrm{\&nu;}<b_l\\ g_l^{\&prime;}\left(b_l\right)& if& b_l<\mathrm{\&nu;}<b_r\\ 0& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\end{array}---\left(11\right)$

其中，执行器中的死区非线性误差部分d_d(ν)表示为：

$d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_r,& if& \mathrm{\&nu;}\&GreaterEqual;b_r\\ -\&lsqb;g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\&rsqb;\mathrm{\&nu;},& if& b_l<v<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right(\mathrm{\&nu;}\left)\right)b_l,& if& \mathrm{\&nu;}\&le;b_l\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，死区的非线性误差部分是一个有界量，即DZ(ν(t))表示含有死区特性执行器的输入，ρ代表执行器的控制增益，d_d(ν)代表死区转换模型(8)的误差部分；是一个有界常数；

步骤二、建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型；

步骤三、利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器；

步骤四、采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证；即完成了一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法。

2.根据权利要求1所述一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，其特征在于：步骤二中建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型具体为：

根据1/4汽车主动悬架系统的特性，建立具有死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型如下：

$\begin{array}{c}{m}_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_s=-F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)-F_s\left(z_s,z_u,t\right)+DZ\left(\mathrm{\&nu;}\left(t\right)\right)+f\left(t\right)\\ m_u{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{z}}_u=F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)+F_s\left(z_s,z_u,t\right)-F_t\left(z_u,z_r,t\right)-F_b\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r,t\right)-DZ\left(\mathrm{\&nu;}\left(t\right)\right)\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中各个量的表达式如下：

$\begin{array}{c}{F}_s\left(z_s,z_u,t\right)=k_s\left(z_s-z_u\right)+k_{s_n}{\left(z_s-z_u\right)}^3\\ F_d\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,t\right)=b_{ec}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u\right)\\ F_t{\left(z_u,z_u,t\right)}_t=k_f\left(z_u-z_r\right)\\ F_b\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u,{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r,t\right)=b_f\left({\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_u-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_r\right)\end{array}---\left(14\right)$

在主动悬架系统的模型中，z_s表示悬架簧上质量的垂直位移，z_u悬架轮胎的位移，表示悬架簧上质量的垂直速度，表示轮胎的垂直速度，z_r表示路面的扰动，表示路面的扰动速度，m_s表示悬架系统中的簧上质量，m_u表示悬架系统中的簧下质量，k_s表示弹簧的线性弹性系数，表示弹簧的非线性弹性系数，b_ec是b_e和b_c的统称，b_e表示阻尼器拉伸过程的阻尼系数，b_c表示阻尼器压缩过程的阻尼系数，k_f表示簧下轮胎的弹性系数，b_f表示簧下轮胎的阻尼系数；F_d表示弹簧输出的力，F_s表示阻尼器输出的力，F_t表示簧下轮胎的弹性力，F_b表示簧下轮胎的阻尼力，t代表时间，f(t)代表未建模动态和未知扰动，是簧上质量的加速度，是簧下质量的加速度。

3.根据权利要求2所述一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，其特征在于：步骤三中利用死区特性执行器的1/4的汽车主动悬架模型设计死区补偿控制器具体过程为：

(1)定义系统的状态变量x₁＝z_s,和列写状态方程为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+f\left(t\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{1}{m_u}\left(F_d+F_s-F_t-F_b-DZ\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)\end{array}---\left(15\right)$

其中，参数 ${\mathrm{\&theta;}}_1=\frac{1}{m_s},$

${\mathrm{\&theta;}}_2={\&lsqb;-\frac{k_s}{m_s}-\frac{k_{s_n}}{m_s}-\frac{b_{ec}}{m_s}\&rsqb;}^T,$ F(x,t)＝[x₁-x₃(x₁-x₃)³x₂-x₄]^T；

(2)根据(8)将式(15)变为下式(16)：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2,\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+{\mathrm{\&theta;}}_1\left(\mathrm{\&rho;}\mathrm{\&nu;}+d_d\left(\mathrm{\&nu;}\right)\right)+f\left(t\right)\\ ={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\mathrm{\&nu;}+d\left(t\right)\end{array}---\left(16\right)$

其中，d(t)＝θ₁d_d(ν)+f(t)；

(3)为了采用自适应的控制方法来设计控制器，将定义系统的状态变量进行坐标变换：

z₁＝x₁-y_r(17)

$z_2=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_r-q---\left(18\right)$

y_r是系统中的一个有界的参考输入信号，都是有界量；是y_r的一阶导数，是y_r的二阶导数；q是一个虚拟控制变量；q与z₁设定的关系为：

q＝-c₁z₁(19)

其中，参数c₁是一个正的设计参数，根据公式(16)和(18)得到系统的跟踪误差z₁满足一下关系：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2+q---\left(20\right)$

(4)根据公式(19)和(20)联立可得公式(21)

$z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=-c_1{z_1}^2+z_1{z}_2---\left(21\right)$

(5)联立公式(16)和公式(18)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F(x,t)+{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\mathrm{\&nu;}+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r-\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(22\right)$

其中，为q的一阶导数；

(6)引入一个变量M＝1/ρθ₁，应用现代控制理论变量的估计值设定为其估计误差为外部干扰为D，外部干扰为D估计值为估计误差为死区控制器的参数为死区控制器的估计值和死区控制器的估计误差表示为死区补偿控制器的控制规律设定为：

$\mathrm{\&nu;}=\hat{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}---\left(23\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}=-c_2{z}_2-z_1-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2^{T}F(x,t)-\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\hat{D}+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r+\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(24\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}=-{\mathrm{\&gamma;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}{z}_2---\left(25\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2^T=\mathrm{\&Gamma;}F\left(x,t\right)z_2---\left(26\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}={\mathrm{\&gamma;}}_2\left|z_2\right|---\left(27\right)$

在死区补偿控制器的控制规律中，c₂、γ₁、γ₂和Γ为控制器的设置参数；

其中，是控制器中的一个中间控制变量、sgn代表标准的符号函数，sgn(z₂)代表z₂的符号；

(7)综合(23)～(27)的控制规律得到死区补偿控制器的状态方程：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_2^{T}F\left(x,t\right)+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}-{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_r-\stackrel{\&CenterDot;}{q}\\ =-c_2{z}_2-z_1+{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^{T}F\left(x,t\right)-\mathrm{sgn}\left(z_2\right)\hat{D}+d\left(t\right)-{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}---\left(28\right).\end{array}$

4.根据权利要求3所述一种具有死区执行器的主动汽车悬架控制方法，其特征在于：步骤四中采用Lyapunov函数对1/4汽车悬架系统中引入死区补偿控制器后的闭环系统进行验证的具体过程：

列出引入死区补偿控制器后的闭环系统的Lyapunov稳定性方程：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1{\tilde{M}}^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{\&theta;}}_2+\frac{1}{2{\mathrm{\&gamma;}}_2}{\tilde{D}}^2---\left(29\right)$

验证Lyapunov能量方程中的是否为负定阵：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=z_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+z_2{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1\tilde{M}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\tilde{D}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}$

$\begin{array}{c}\&le;-c_1{z_1}^2-c_2{z_2}^2-\frac{{\mathrm{\&rho;\&theta;}}_1}{{\mathrm{\&gamma;}}_1}\tilde{M}\left({\mathrm{\&gamma;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&nu;}}{z}_2+\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{M}}\right)-{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_2^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_2-\mathrm{\&Gamma;}F\left(x,t\right)z_2\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\tilde{D}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}-{\mathrm{\&gamma;}}_2\left|z_2\right|\right)\\ \&le;-c_1{z_1}^2-c_2{z_2}^2\&le;0---\left(30\right).\end{array}$