CN106802569A - 一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，涉及带有死区非线性的执行机构控制领域。本发明是为了解决现有处理死区问题的方法限制因素过多，且过程复杂的问题。本发明所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，首先建立目标线性系统的数学模型；然后设计带有死区边界自适应前馈的状态反馈控制律；对未知死区参数设计自适应律；最后通过控制系统稳定性分析求解状态反馈控制器的控制增益矩阵和自适应律增益矩阵，进而获得状态反馈控制器，利用该状态反馈控制器完成执行机构死区非线性的补偿。该方法设计过程简单清晰，并能够取得良好的死区补偿效果。

Description

一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法

技术领域

本发明属于带有死区非线性的执行机构控制领域。

背景技术

实际工程控制系统中经常存在各种非线性环节，死区非线性是一种常见于执行机构的现象，例如电动机、柴油机、机械连接机构等。死区非线性对控制系统的精度有一定影响，当死区较严重时，甚至会导致控制系统无法完成指定作业任务。同时，死区参数的不确定性会导致死区无法被控制器直接补偿，给控制算法的设计带来困难。

传统的经典控制方法在处理死区问题时，经常会导致系统输出产生振荡，无法取得良好效果。死区逆函数法能够作为控制前馈补偿死区影响，在死区非线性模型参数精确已知的情况下，该方法能够获得良好的控制性能。但在死区参数未知情况下，其需要引入自适应律对死区厚度进行估计。当选取连续型死区逆函数时，由于其具体形式是根据实际中不连续的死区模型进行连续化后近似得到的，必然存在一定的误差；当选取不连续型死区逆函数时，自适应律的设计方法大多集中于模糊逻辑或神经网络算法，使得所设计的控制器能够自动辨识或者估计当前死区对控制系统的影响，达到对死区进行补偿的目的。但是模糊算法在调节过程中极其依赖专家经验，神经网络算法的收敛速度较慢，计算量过大，使得此类方法在应用过程中有一定的限制因素。

针对死区参数估计问题，基于Lyapunov函数的自适应律设计方法也是一种行之有效的工具，当前的研究大多将系统整体工作范围分为三个阶段，再逐一讨论并设计自适应律，这类方法设计过程复杂，需调节的控制参数较多，不利于工程应用。

发明内容

本发明是为了解决现有补偿执行机构处理死区问题的方法限制因素过多，且过程复杂的问题，现提供一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法。

一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立目标线性系统的数学模型，该目标线性系统为执行机构死区非线性待补偿的的线性系统；

步骤二：设计带有死区边界自适应前馈的状态反馈控制律；

步骤三：对未知死区参数设计自适应律；

步骤四：通过控制系统稳定性分析求解状态反馈控制器的控制增益矩阵和自适应律增益矩阵，进而获得状态反馈控制器，利用该状态反馈控制器完成执行机构死区非线性的补偿。

步骤一中根据目标线性系统的特性，建立其数学模型，该数学模型的状态空间形式如下：

其中，x为系统状态，x∈Rⁿ，

A为系统系数矩阵，A∈R^n×n，

b为控制矩阵，b∈Rⁿ，

u为带有死区非线性的控制量，u∈R，记为以下形式：

其中，δ为死区非线性参数，δ∈R且δ＞0，

τ为无死区时的控制指令项，τ∈R，

R为一维向量。

将无死区时的控制指令项τ设计为如下的状态反馈控制形式：

其中，K为控制增益矩阵，K∈R^1×n；

为死区非线性参数估计值；

将上述状态反馈控制形式作为步骤二所述的状态反馈控制律。

步骤三所述的自适应律为：

其中，正定阵P为待求解的自适应律增益矩阵，P∈R^n×n。

获得自适应律的方法为：

设死区非线性参数估计值的初始值为零，

当δ≤τ时，设Lyapunov函数为：

其中，e₁为δ≤τ时的估计误差，且

对V₁求导，获得：

根据的形式，设自适应律为：

当τ≤-δ时，设Lyapunov函数为：

其中，e₂为τ≤-δ时的估计误差，且

对V₂求导，获得：

根据的形式，设自适应律为：

根据上述两种情况得到的自适应律结果，最终确定自适应律为：

获得状态反馈控制器的方法如下：

根据Lyapunov函数和自适应律的形式，设存在自适应律增益矩阵P和控制增益矩阵K，二者能够使得如下矩阵不等式成立，且目标线性系统稳定：

PA+A^TP+PbK+K^Tb^TP<0

在矩阵不等式左右两侧各乘以P^-1，获得：

AP^-1+P^-1A^T+bKP^-1+P^-1K^Tb^T<0

设矩阵Q＝P^-1，上式转化为：

AQ+QA^T+bKQ+QK^Tb^T<0

设矩阵N＝KQ∈R^1×n，上式转化为如下线性矩阵不等式：

AQ+QA^T+bN+N^Tb^T<0

根据上述线性矩阵不等式求解出矩阵Q和N，

根据NQ^-1＝K，求解获得控制增益矩阵K，

根据Q＝P^-1，求解获得自适应律增益矩阵P，

在死区非线性参数估计值无限接近死区非线性参数δ并保持稳定后，将替换为δ，并将控制增益矩阵K和自适应律增益矩阵P带入状态反馈控制律中，获得带有死区补偿的状态反馈控制器：

τ＝Kx+sgn(Kx)δ。本发明所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，该方法首先建立目标线性系统的数学模型，然后设计状态反馈控制器，再针对未知死区参数设计自适应律，最后通过控制系统稳定性分析求解状态反馈控制器的增益矩阵和自适应律增益矩阵。

本发明所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，与现有技术相比，状态反馈控制律的数值稳定性强，自适应律设计过程简洁，前馈控制能改善自适应律导致的系统动态性能下降问题，死区补偿效果好，有利于工程应用，并且通过实施实例验证了该方法的有效性。

附图说明

图1为死区非线性特性示意图；

图2为无死区补偿情况下直流电机制动控制效果；

图3为自适应律对死区厚度的估计效果；

图4为自适应律对死区补偿情况下直流电机控制效果；

图5为对死区前馈补偿情况下直流电机控制效果；

图6为一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法流程图。

具体实施方式

具体实施方式一：参照图6具体说明本实施方式，本实施方式所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立目标线性系统的数学模型，该目标线性系统为执行机构死区非线性待补偿的线性系统；

步骤二：设计带有死区边界自适应前馈的状态反馈控制律；

步骤三：对未知死区参数设计自适应律；

步骤四：通过控制系统稳定性分析求解状态反馈控制器的增益矩阵和自适应律增益矩阵，进而获得状态反馈控制器，利用该状态反馈控制器完成执行机构死区非线性的补偿。

本发明针对一类线性系统中存在的死区非线性问题，提出了一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，该方法设计过程简单清晰，并能够取得良好的死区补偿效果。

具体实施方式二：本实施方式是对具体实施方式一所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法作进一步说明，本实施方式中，步骤一中根据目标线性系统的特性，建立其数学模型，该数学模型的状态空间形式如下：

其中，x为系统状态，x∈Rⁿ，

A为系统系数矩阵，A∈R^n×n，

b为控制矩阵，b∈Rⁿ，

u为带有死区非线性的控制量，u∈R，写为以下形式：

其中，δ为死区非线性参数，δ∈R且δ＞0，

τ为无死区时的控制指令项，τ∈R，

R为一维向量。

本实施方式中，死区非线性即为存在于控制量中的一种非线性问题，通用的做法是写成表达式(1.2)的形式。

Rⁿ代表n维向量，R则代表一维向量。

死区非线性参数及死区非线性特性如图1所示。

具体实施方式三：本实施方式是对具体实施方式二所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法作进一步说明，本实施方式中，将无死区控制指令项τ设计为如下的状态反馈控制形式：

其中，K为控制增益矩阵，K∈R^1×n；

为死区非线性参数估计值；

将上述状态反馈控制形式作为步骤二所述的状态反馈控制律。

具体实施方式四：本实施方式是对具体实施方式三所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法作进一步说明，本实施方式中，步骤三中对未知死区参数设计自适应律的方法为：

将公式(1.2)和公式(1.3)代入公式(1.1)，获得下式：

其中，e₁和e₂均为估计误差，且

设死区非线性参数估计值的初始值为零，

当δ≤τ时，设Lyapunov函数(李雅普诺夫函数)为：

其中，正定阵P为待求解的自适应律增益矩阵，P∈R^n×n；

对Lyapunov函数求导，获得：

为了简化的形式，方便后续的稳定性分析，设自适应律为：

该形式的自适应律可以消除中的项；

当τ≤-δ时，设Lyapunov函数为：

对Lyapunov函数求导，获得：

则设自适应律为：

根据两种情况得到的结果，自适应律选为式1.8形式。

本实施方式中，-δ<τ<δ的状态属于死区非线性，控制项无法起作用，因此不需考虑。消除死区的方法就是通过δ≤τ和τ≤-δ的控制器设计挤压死区的大小，把挤压死区补偿的越小越好，甚至完全消除。

具体实施方式五：本实施方式是对具体实施方式四所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法作进一步说明，本实施方式中，

在自适应律的作用下，可得到Lyapunov函数在全工作区间内的导数为：

如存在P和K使得如下不等式成立：

PA+A^TP+PbK+K^Tb^TP<0 (1.14)

则Lyapunov函数的导数在全工作区间内系统稳定；

在公式(1.14)左右两侧各乘以P^-1得到：

AP^-1+P^-1A^T+bKP^-1+P^-1K^Tb^T<0 (1.15)

设Q＝P^-1，上式转化为：

AQ+QA^T+bKQ+QK^Tb^T<0 (1.16)

设N＝KQ∈R^1×n，上式转化为如下线性矩阵不等式：

AQ+QA^T+bN+N^Tb^T<0 (1.17)

根据上述线性矩阵不等式求解出矩阵Q和N，即可保证系统稳定，随后通过NQ^-1＝K控制增益矩阵K，

根据Q＝P^-1，可求解得到P，得到了自适应律的增益矩阵；

即完成了控制器的设计。

在死区非线性参数估计值无限接近死区非线性参数并保持稳定后，将死区非线性参数估计值替换为死区非线性参数δ，则公式(1.3)变换为带有常值前馈补偿形式：

对上式进行改写获得公式，则状态反馈控制律为：

τ＝Kx+sgn(Kx)δ。 (1.12)

本实施方式中，Lyapunov函数的导数在全工作区间即代表τ的所有取值状态。

实施实例

本实施例为一种基于直流电机电流方差滚动计算的转向机构大空程补偿方法，能够针对一类典型的电流、转速双闭环控制直流电机进行实例验证，

首先，建立空载直流电机模型如下：

其中，ω为电机转速，单位为转/秒；

J为电机转动惯量，J＝0.5kgm²；

R为堵转电阻，R＝1Ω；

L为电枢电感，L＝0.05H；

K_B为电磁时间常数，K_B＝0.1Vs/rad；

K_T为电机力矩常数，K_T＝0.1Nm/A；

i为电枢电电流；

u为控制电压。

将直流电机模型转化为状态空间形式：

其中，

考虑电机制动情况，设初始转速为ω＝5转/秒，死区非线性如图1所示，未知死区参数δ＝0.05A，自适应状态反馈控制律设计为：

自适应律为：

利用MATLAB软件所带的LMI工具箱求解控制器增益矩阵K和自适应律增益矩阵P分别为：

K＝[-5.02 0.65]，

控制效果图如图4所示，的估计值为0.4997A，明显可见，在自适应律作用下，静态误差明显减小，控制效果改善，此时得到带有死区补偿前馈的控制器为：

τ＝Kx+sgn(Kx)×0.4997 (1.22)

相较于图2所示的无死区补偿情况下直流电机制动控制效果。本实施例在控制器(1.22)作用下，电机制动控制效果如图5所示，可见动态响应过程较稳定，控制效果得到了进一步改善。

Claims (6)

1.一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一：建立目标线性系统的数学模型，该目标线性系统为执行机构死区非线性待补偿的的线性系统；

步骤二：设计带有死区边界自适应前馈的状态反馈控制律；

步骤三：对未知死区参数设计自适应律；

步骤四：通过控制系统稳定性分析求解状态反馈控制器的控制增益矩阵和自适应律增益矩阵，进而获得状态反馈控制器，利用该状态反馈控制器完成执行机构死区非线性的补偿。

2.根据权利要求1所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，其特征在于，步骤一中根据目标线性系统的特性，建立其数学模型，该数学模型的状态空间形式如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+bu$

其中，x为系统状态，x∈Rⁿ，

A为系统系数矩阵，A∈R^n×n，

b为控制矩阵，b∈Rⁿ，

u为带有死区非线性的控制量，u∈R，记为以下形式：

$u=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&tau;}-\mathrm{\&delta;},& \mathrm{\&delta;}\&le;\mathrm{\&tau;}\\ 0,& -\mathrm{\&delta;}<\mathrm{\&tau;}<\mathrm{\&delta;}\\ \mathrm{\&tau;}+\mathrm{\&delta;},& \mathrm{\&tau;}\&le;-\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.$

其中，δ为死区非线性参数，δ∈R且δ＞0，

τ为无死区时的控制指令项，τ∈R，

R为一维向量。

3.根据权利要求2所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，其特征在于，将无死区时的控制指令项τ设计为如下的状态反馈控制形式：

$\mathrm{\&tau;}=Kx+\widehat{\mathrm{\&delta;}}$

其中，K为控制增益矩阵，K∈R^1×n；

为死区非线性参数估计值；

将上述状态反馈控制形式作为步骤二所述的状态反馈控制律。

4.根据权利要求3所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，其特征在于，步骤三所述的自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}=-x^{T}Pb,$

其中，正定阵P为待求解的自适应律增益矩阵，P∈R^n×n。

5.根据权利要求4所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，其特征在于，获得自适应律的方法为：

设死区非线性参数估计值的初始值为零，

当δ≤τ时，设Lyapunov函数为：

$V_1=x^{T}Px+e_1^2$

其中，e₁为δ≤τ时的估计误差，且

对V₁求导，获得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=x^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{x}+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^{T}Px+2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1{e}_1\\ =x^T\&lsqb;(PA+A^{T}P)+(PbK+K^T{b}^{T}P)\&rsqb;x-2\&lsqb;x^T{\mathrm{Pbe}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1{e}_1\&rsqb;\\ =x^T\&lsqb;(PA+A^{T}P)+(PbK+K^T{b}^{T}P)\&rsqb;x-2\&lsqb;x^T{\mathrm{Pbe}}_1+\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}{e}_1\&rsqb;\end{array}$

根据的形式，设自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}=-x^{T}Pb;$

当τ≤-δ时，设Lyapunov函数为：

$V_2=x^{T}Px+e_2^2$

其中，e₂为τ≤-δ时的估计误差，且

对V₂求导，获得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=x^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{x}+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^{T}Px+2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2{e}_2\\ =x^T\&lsqb;(PA+A^{T}P)+(PbK+K^T{b}^{T}P)\&rsqb;x+2\&lsqb;x^T{\mathrm{Pbe}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2{e}_2\&rsqb;\\ =x^T\&lsqb;(PA+A^{T}P)+(PbK+K^T{b}^{T}P)\&rsqb;x+2\&lsqb;x^T{\mathrm{Pbe}}_2+\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}{e}_2\&rsqb;\end{array}$

根据的形式，设自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}=-x^{T}Pb$

根据上述两种情况得到的自适应律结果，最终确定自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&delta;}}}=-x^{T}Pb.$

6.根据权利要求5所述的一种补偿执行机构死区非线性的自适应状态反馈控制方法，其特征在于，获得状态反馈控制器的方法如下：

根据Lyapunov函数和自适应律的形式，设存在自适应律增益矩阵P和控制增益矩阵K，二者能够使得如下矩阵不等式成立，且目标线性系统稳定：

PA+A^TP+PbK+K^Tb^TP<0

在矩阵不等式左右两侧各乘以P^-1，获得：

AP^-1+P^-1A^T+bKP^-1+P^-1K^Tb^T<0

设矩阵Q＝P^-1，上式转化为：

AQ+QA^T+bKQ+QK^Tb^T<0

设矩阵N＝KQ∈R^1×n，上式转化为如下线性矩阵不等式：

AQ+QA^T+bN+N^Tb^T<0

根据上述线性矩阵不等式求解出矩阵Q和N，

根据NQ^-1＝K，求解获得控制增益矩阵K，

根据Q＝P^-1，求解获得自适应律增益矩阵P，

在死区非线性参数估计值无限接近死区非线性参数δ并保持稳定后，将替换为δ，并将控制增益矩阵K和自适应律增益矩阵P带入状态反馈控制律中，获得带有死区补偿的状态反馈控制器：

τ＝Kx+sgn(Kx)δ。