CN110901326B - 一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法 - Google Patents

一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法 Download PDF

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CN110901326B CN201911220364.XA CN201911220364A CN110901326B CN 110901326 B CN110901326 B CN 110901326B CN 201911220364 A CN201911220364 A CN 201911220364A CN 110901326 B CN110901326 B CN 110901326B
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    • B60G17/015—Resilient suspensions having means for adjusting the spring or vibration-damper characteristics, for regulating the distance between a supporting surface and a sprung part of vehicle or for locking suspension during use to meet varying vehicular or surface conditions, e.g. due to speed or load the regulating means comprising electric or electronic elements

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Abstract

本发明提供一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法，涉及汽车悬架控制技术领域。本发明解决现有车辆在路面不平的时候，无法达到保持舒适的要求，以及在控制器设计过程之中没有考虑死区输入引起的非线性问题，导致车辆悬架系统的实际性能有所降低的问题。本发明是通过建立主动悬架系统中的带有非线性输入的执行器模型，建立具有状态约束和死区输入的1/4车的主动悬架系统模型，利用状态约束和死区输入的1/4车的主动悬架系统模型并设计相应的控制器，采用李雅普诺夫函数对1/4车中采取了状态约束和死区输入主动悬架系统进行验证，完成了一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法。

Description

一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法
技术领域
本发明涉及汽车悬架控制技术领域，尤其涉及一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法。
背景技术
汽车悬架系统主要是指车身和轮胎之间的装置。悬架系统的主要功能在于牢固的连接和有效的减震，从而能够提升乘坐人员的舒适性和驾驶车辆的安全性。悬架系统通常分为被动悬架系统、半主动悬架系统、主动悬架系统。同被动悬架系统和半主动悬架系统相比，主动悬架系统含有可以输出力矩的执行器。执行器这个装置的控制目标是要实现一个优质的隔振系统，而又无需对系统做出较大的变化。因此，只需使执行器产生一个正比于绝对速度负值的主动力，即可实现该控制目标。因此使用主动悬架系统的汽车在驾驶的安全性和乘坐的舒适性上有了很大的提高。
执行器的死区问题是主动悬架系统中的主要非线性问题，死区的存在降低了整个闭环系统的性能，增加了系统的误差。在一定的输入条件下，含有死区的主动悬架系统还会在车辆运行中产生一定的震荡，容易造成不稳定的现象。我们知道悬架系统必须保证车辆在行驶过程中驾驶的安全性与乘坐的舒适性。在执行器条件有限的前提下，就需要在有死区输入影响汽车稳定性时设计一个合理的补偿控制器来提高主动悬架系统的性能。
针对悬架的控制问题，一直是许多学者重点研究的问题。现有的悬架系统有多种设计方法，但是主要存在的问题有以下两种：
1.一般在被动悬架系统中，根据悬架系统的特点只靠弹簧和阻尼器件来实现对振动的抑制。这种方法在相对平坦的路面上可以相应的提高系统的性能，保持车辆的安全与舒适，但在一些不平坦的路况下，无法达到保持舒适性的要求。
2.针对实际的执行器，在考虑死区输入时没有考虑位移与速度的约束，因此导致控制器的设计并不完美，导致系统的实际性能有所降低。
发明内容
针对现有技术存在的问题，本发明提供一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法。
一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法，包括以下步骤：
步骤1：建立主动悬架系统中的带有非线性输入的执行器模型；其中带有死区的非线性输入的执行器模型如下：
Figure GDA0002354000020000021
式中，u(t)代表死区输入，mr和ml分别代表死区特征的右斜率和左斜率，br和bl分别代表右截点和左截点；
通过数学变换处理，上述带有死区的非线性输入的执行器模型可转化为如下形式：
Du(t)＝m(t)u(t)+b (2)
式中，
Figure GDA0002354000020000022
Figure GDA0002354000020000023
其中设m(t)＞0且已知b未知但是有界，其上界为
Figure GDA0002354000020000024
即
Figure GDA0002354000020000025
步骤2：建立具有时变位移和速度约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型；
步骤2中所述具有时变位移和速度约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型具体为：
Figure GDA0002354000020000026
其中：
Figure GDA0002354000020000027
式中，Du(t)代表1/4车的主动悬架系统模型的死区输入，Mb，Mus分别代表车身质量和非簧载质量，Zs，Zw分别代表车身位移及非簧载位移，Zr代表地面扰动，ka，kt代表弹簧的弹性系数，la，lt代表阻尼系数，
Figure GDA0002354000020000028
分别代表车身垂直的速度和轮胎垂直速度，Fa代表弹簧输出力，Fs代表阻尼输出力，Fw代表簧下轮胎的弹力，Fr代表簧下轮胎的阻尼力，
Figure GDA0002354000020000029
Figure GDA0002354000020000031
分别代表簧上质量加速度和簧下质量加速度。
步骤3：利用状态约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型设计相应的控制器；
步骤3.1、定义车辆主动的悬架系统状态变量x1＝Zs，
Figure GDA0002354000020000032
x3＝Zw，
Figure GDA0002354000020000033
其中x1表示车身的位移，x2表示簧载速度，x3表示非簧载位移，x4表示非簧载速度，则其状态空间表达式为：
Figure GDA0002354000020000034
对于
Figure GDA0002354000020000035
存在常数
Figure GDA0002354000020000036
和
Figure GDA0002354000020000037
其中i＝1,2，满足
Figure GDA0002354000020000038
及其导数满足
Figure GDA0002354000020000039
由于存在位移和速度约束，则簧载位移和速度的时变约束如下：
Figure GDA00023540000200000310
式中，k1(t),k2(t)是已知的时变约束界；
步骤3.2、为了采用自适应的控制方法来设计控制器，定义跟踪误差
Figure GDA00023540000200000311
式中e1表示的是x1的误差即车辆位移的误差，e2表示的是x2的误差即车辆速度的误差，
Figure GDA00023540000200000312
为虚拟控制器，yd(t)为期望轨迹，是连续和可导的，即
Figure GDA00023540000200000313
其中A1为正的参数。
步骤4：采用李雅普诺夫函数对1/4车中采取了状态约束和死区输入主动悬架系统进行验证，即完成了一种具有时变位移和速度约束与死区输入的主动悬架系统的自适应控制方法。
步骤4.1、根据车辆悬架系统经过数学建模后得到的模型形成的状态方程选取李雅普诺夫函数，其中状态方程为：
Figure GDA00023540000200000314
其中，Fz＝Fa+Fs，根据式(9)求得误差e1的导数为
Figure GDA00023540000200000315
选取李雅普诺夫函数如下：
Figure GDA00023540000200000316
其中ka表示状态约束的约束界；
对(11)求导得到
Figure GDA0002354000020000041
步骤4.2、设计虚拟控制器如下式所示：
Figure GDA0002354000020000042
其中，c1为正的设计参数，另外λ1(t)为时变增益，其定义为
Figure GDA0002354000020000043
β1＞0确保
Figure GDA0002354000020000044
是有界的参数，因此有：
Figure GDA0002354000020000045
把(13)(14)带入(12)经过放缩得到：
Figure GDA0002354000020000046
根据e2的定义和相应的状态方程(10)，我们可以得到
Figure GDA0002354000020000047
步骤4.3、根据文中状态空间状态方程(10)，选取李雅普诺夫函数如下：
Figure GDA0002354000020000048
其中，ka,kb均表示时变约束界，w为理想神经网络权重向量，Λ1为正定对称矩阵，因此V2的导数可以写成如下形式：
Figure GDA0002354000020000049
步骤4.4、令
Figure GDA00023540000200000410
因为Mb未知，b未知但有界，因此H1(X1)未知，采用神经网络来逼近该函数：
H1(X1)＝w1 Tφ1 T(X1)+ε1 (19)
其中，w1＝[w11,w12…w1L]T∈RL为理想神经网络权重向量，L1为神经网络的节点数，
Figure GDA0002354000020000051
是神经网络的输入向量，
Figure GDA0002354000020000052
为Gaussian基函数，ε1为逼近误差并且有界
Figure GDA0002354000020000053
其中
Figure GDA0002354000020000054
表示逼近误差ε的最大值，令
Figure GDA0002354000020000055
为神经网络的权重估计误差；
步骤4.5、基于杨氏不等式和步骤4.3，4.4，可知
Figure GDA0002354000020000056
我们可以进一步得到
Figure GDA0002354000020000057
步骤4.6、选取如下的参数自适应律和死区控制器
Figure GDA0002354000020000058
Figure GDA0002354000020000059
其中，c2＞0,n2＞0是设计参数，另外，λ2(t)为时变增益，具体形式为
Figure GDA00023540000200000510
其中，β2＞0是一个参数，该增益可用来确保控制器的有界性，m(t)＞0有界并且已知，把(22)，(23)带入(18)中得到：
Figure GDA00023540000200000511
在考虑具有状态约束的情况下，给出如下定义
Figure GDA0002354000020000061
其中，|e1|≤ka(t),|e2|≤kb(t)，这里ka(t),kb(t)是时变约束界，我们可以得到
Figure GDA0002354000020000062
进一步求得V2的导数为
Figure GDA0002354000020000063
其中n>0；
步骤4.7、式(27)写成为
Figure GDA0002354000020000064
其中ρ＝min{2c1,2c2/Mbmaxx,n1λmin(Λ1)}，
Figure GDA0002354000020000065
对
Figure GDA0002354000020000066
求积分有
Figure GDA0002354000020000067
根据式(26)，得到如下不等式
Figure GDA0002354000020000068
Figure GDA0002354000020000069
得到-h≤ei≤h,i＝1,2其中，
Figure GDA00023540000200000610
因此，误差信号e1，e2可以被限制在如下的紧集内；
Figure GDA00023540000200000611
步骤4.8、通过调节参数c1，c2，n1，Λ1，误差ei被限制在零的小邻域内，同时，由于x1＝e1+yd(t)，
Figure GDA00023540000200000612
和
Figure GDA00023540000200000613
可知
Figure GDA00023540000200000614
其中，
Figure GDA00023540000200000615
为
Figure GDA00023540000200000616
最大值，即
Figure GDA00023540000200000617
采用上述技术方案所产生的有益效果在于：
本发明针对汽车的主动悬架系统，解决了在状态约束情况下汽车主动悬架中经常存在的执行器中含有非线性死区输入的问题，运用了现代控制理论的方法设计控制器，通过对1/4汽车悬架系统的数学建模，最终得到了合理有效的控制器模型，所设计的控制器有效的提高了汽车悬架系统调节自身平稳性的范围，从而提高了整个汽车的安全性和舒适性。死区输入主要的作用对象是悬架系统中的执行器，执行器产生非线性的原因有很多种，主要是由于汽车承载质量未知，外部干扰以及执行器自身的限制。本发明所提出的在状态约束的情况同时考虑死区输入的控制方法，考虑了多种影响执行器产生非线性的因素，结合主动悬架自身的特点，设计了一套合理的解决方案，对于其他系统中相似的问题都有借鉴意义。
考虑状态约束和死区输入情况下所设计的控制器，从根本上提升了主动悬架系统的抗干扰的能力。悬架系统性能的提升对于汽车整体性能的提升具有很大的效果，通过观察图五控制器的输出结果可以发现，控制器的控制信号十分敏感，调节悬架执行器的能力明显增强。一个汽车悬架系统性能决定了整个汽车的价值含量，是现代汽车工业中重要的研究领域。本发明所设计的控制器，提升了汽车的安全性，平稳性和舒适性，对汽车主动悬架的发展具有一定意义。
附图说明
图1为本发明具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法流程图；
图2为本发明实施例中提出的汽车受干扰后的垂直位移响应；
图3为本发明实施例中提出的汽车受干扰后的垂直速度响应；
图4为本发明实施例中提出的汽车受干扰后的非簧载速度响应；
图5为本发明实施例中提出的具有状态约束和死区输入控制器的输出曲线。
具体实施方式
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。
一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法，如图1所示，包括以下步骤：
步骤1：建立主动悬架系统中的带有非线性输入的执行器模型；其中带有死区的非线性输入的执行器模型如下：
Figure GDA0002354000020000071
式中，u(t)代表死区输入，mr和ml分别代表死区特征的右斜率和左斜率，br和bl分别代表右截点和左截点；
通过数学变换处理，上述带有死区的非线性输入的执行器模型可转化为如下形式：
Du(t)＝m(t)u(t)+b (33)
式中，
Figure GDA0002354000020000081
Figure GDA0002354000020000082
其中设m(t)＞0且已知b未知但是有界，其上界为
Figure GDA0002354000020000083
即
Figure GDA0002354000020000084
步骤2：建立具有时变位移和速度约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型；
步骤2中所述具有时变位移和速度约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型具体为：
Figure GDA0002354000020000085
其中：
Figure GDA0002354000020000086
式中，Du(t)代表1/4车的主动悬架系统模型的死区输入，Mb，Mus分别代表车身质量和非簧载质量，Zs，Zw分别代表车身位移及非簧载位移，Zr代表地面扰动，ka，kt代表弹簧的弹性系数，la，lt代表阻尼系数，
Figure GDA0002354000020000087
分别代表车身垂直的速度和轮胎垂直速度，Fa代表弹簧输出力，Fs代表阻尼输出力，Fw代表簧下轮胎的弹力，Fr代表簧下轮胎的阻尼力，
Figure GDA0002354000020000088
Figure GDA0002354000020000089
分别代表簧上质量加速度和簧下质量加速度。
步骤3：利用状态约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型设计相应的控制器；
步骤3.1、定义车辆主动的悬架系统状态变量x1＝Zs，
Figure GDA00023540000200000810
x3＝Zw，
Figure GDA00023540000200000811
其中x1表示车身的位移，x2表示簧载速度，x3表示非簧载位移，x4表示非簧载速度，则其状态空间表达式为：
Figure GDA0002354000020000091
对于
Figure GDA0002354000020000092
存在常数
Figure GDA0002354000020000093
和
Figure GDA0002354000020000094
其中i＝1,2，满足
Figure GDA0002354000020000095
及其导数满足
Figure GDA0002354000020000096
由于存在位移和速度约束，则簧载位移和速度的时变约束如下：
Figure GDA0002354000020000097
式中，k1(t),k2(t)是已知的时变约束界；
步骤3.2、为了采用自适应的控制方法来设计控制器，定义跟踪误差
Figure GDA0002354000020000098
式中e1表示的是x1的误差即车辆位移的误差，e2表示的是x2的误差即车辆速度的误差，
Figure GDA0002354000020000099
为虚拟控制器，yd(t)为期望轨迹，是连续和可导的，即
Figure GDA00023540000200000910
其中A1为正的参数。
本实施例中簧上质量：Mb＝600kg，簧上质量只要指汽车底盘和车体承载质量，这个变量与车体的负载直接相关，带有很大的不确定性。簧下质量Mus＝60kg簧下质量要指汽车车轮和轮胎的重量。主动悬架中阻尼器拉伸过程中的阻尼系数la＝2400Ns/m，主动悬架系统中阻尼器压缩过程中的阻尼系数lt＝1000Ns/m。簧下轮胎的弹性系数kt＝150000N/m，主动悬架中弹簧的弹性系数ka＝18000N/m。
给定振幅0.02cm,频率为5Hz周期干扰信号Dr(t)＝0.02sin(10πt)，选取状态初始值x1(0)＝0.03，x2(0)＝x3(0)＝x4(0)＝0，时变约束界为k1(t)＝(0.05-0.0007)e-5t+0.0007，k2(t)＝0.01+(4-0.01)e-3.1t。
步骤4：采用李雅普诺夫函数对1/4车中采取了状态约束和死区输入主动悬架系统进行验证，即完成了一种具有时变位移和速度约束与死区输入的主动悬架系统的自适应控制方法。
步骤4.1、根据车辆悬架系统经过数学建模后得到的模型形成的状态方程选取李雅普诺夫函数，其中状态方程为：
Figure GDA0002354000020000101
其中，Fz＝Fa+Fs，根据式(9)求得误差e1的导数为
Figure GDA0002354000020000102
选取李雅普诺夫函数如下：
Figure GDA0002354000020000103
其中ka表示状态约束的约束界；
对(11)求导得到
Figure GDA0002354000020000104
步骤4.2、设计虚拟控制器如下式所示：
Figure GDA0002354000020000105
其中，c1为正的设计参数，另外λ1(t)为时变增益，其定义为
Figure GDA0002354000020000106
β1＞0确保
Figure GDA0002354000020000107
是有界的参数，因此有：
Figure GDA0002354000020000108
把(13)(14)带入(12)经过放缩得到：
Figure GDA0002354000020000109
根据e2的定义和相应的状态方程(10)，我们可以得到
Figure GDA00023540000200001010
步骤4.3、根据文中状态空间状态方程(10)，选取李雅普诺夫函数如下：
Figure GDA00023540000200001011
其中，ka,kb均表示时变约束界，w为理想神经网络权重向量，Λ1为正定对称矩阵，因此V2的导数可以写成如下形式：
Figure GDA0002354000020000111
步骤4.4、令
Figure GDA0002354000020000112
因为Mb未知，b未知但有界，因此H1(X1)未知，采用神经网络来逼近该函数：
H1(X1)＝w1 Tφ1 T(X1)+ε1 (50)
其中，w1＝[w11,w12…w1L]T∈RL为理想神经网络权重向量，L1为神经网络的节点数，
Figure GDA0002354000020000113
是神经网络的输入向量，
Figure GDA0002354000020000114
为Gaussian基函数，ε1为逼近误差并且有界
Figure GDA0002354000020000115
其中
Figure GDA0002354000020000116
表示逼近误差ε的最大值，令
Figure GDA0002354000020000117
为神经网络的权重估计误差；
步骤4.5、基于杨氏不等式和步骤4.3，4.4，可知
Figure GDA0002354000020000118
我们可以进一步得到
Figure GDA0002354000020000119
步骤4.6、选取如下的参数自适应律和死区控制器
Figure GDA00023540000200001110
Figure GDA00023540000200001111
其中，c2＞0,n2＞0是设计参数，另外，λ2(t)为时变增益，具体形式为
Figure GDA0002354000020000121
其中，β2＞0是一个参数，该增益可用来确保控制器的有界性，m(t)＞0有界并且已知，把(22)，(23)带入(18)中得到：
Figure GDA0002354000020000122
在考虑具有状态约束的情况下，给出如下定义
Figure GDA0002354000020000123
其中，|e1|≤ka(t),|e2|≤kb(t)，这里ka(t),kb(t)是时变约束界，我们可以得到
Figure GDA0002354000020000124
进一步求得V2的导数为
Figure GDA0002354000020000125
其中n>0；
步骤4.7、式(27)写成为
Figure GDA0002354000020000126
其中ρ＝min{2c1,2c2/Mbmaxx,n1λmin(Λ1)}，
Figure GDA0002354000020000127
对
Figure GDA0002354000020000128
求积分有
Figure GDA0002354000020000129
根据式(26)，得到如下不等式
Figure GDA00023540000200001210
Figure GDA00023540000200001211
得到-h≤ei≤h,i＝1,2其中，
Figure GDA00023540000200001212
因此，误差信号e1，e2可以被限制在如下的紧集内；
Figure GDA0002354000020000131
步骤4.8、通过调节参数c1，c2，n1，Λ1，误差ei被限制在零的小邻域内，同时，由于x1＝e1+yd(t)，
Figure GDA0002354000020000132
和
Figure GDA0002354000020000133
可知
Figure GDA0002354000020000134
其中，
Figure GDA0002354000020000135
为
Figure GDA0002354000020000136
最大值，即
Figure GDA0002354000020000137
采取时变位移和速度约束和死区输入控制器的作用效果：
本实施例应用该控制器，明显的提升了主动悬架执行器抑制车体扰动的能力，增强了整个汽车的乘坐舒适性和驾驶安全性。
采取时变位移和速度约束和死区输入的控制器的主动悬架系统与被动悬架系统进行对比，可以发现该控制器的优越性。如图2，图3，图4所示，比较了汽车在同样的垂直外部扰动下，车体垂直运动的位移和速度，发现了位移和速度曲线被明显抑制，这极大的提高了车辆的乘坐舒适性。
如图5所示，从控制器的输出结果可以发现，控制器十分敏感，调节悬架执行器的能力增强。总之，该控制器在主动悬架系统中的应用，使得主动悬架系统明显优于其他悬架系统，提高了汽车整体性能和使用价值。
最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解；其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；因而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。

Claims (1)

1.一种具有状态约束与死区输入的主动悬架系统的控制方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：建立主动悬架系统中的带有非线性输入的执行器模型；其中带有死区的非线性输入的执行器模型如下：
Figure FDA0003863432790000011
式中，u(t)代表死区输入，mr和ml分别代表死区特征的右斜率和左斜率，br和bl分别代表右截点和左截点；
通过数学变换处理，上述带有死区的非线性输入的执行器模型转化为如下形式：
Du(t)＝m(t)u(t)+b (2)
式中，
Figure FDA0003863432790000012
Figure FDA0003863432790000013
其中设m(t)>0且已知，b未知但是有界，其上界为
Figure FDA0003863432790000014
即
Figure FDA0003863432790000015
步骤2：建立具有时变位移和速度约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型；
步骤2中所述具有时变位移和速度约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型具体为：
Figure FDA0003863432790000016
其中：
Figure FDA0003863432790000017
式中，Du(t)代表1/4车的主动悬架系统模型的死区输入，Mb，Mus分别代表车身质量和非簧载质量，Zs，Zw分别代表车身位移及非簧载位移，Zr代表地面扰动，ka，kt代表弹簧的弹性系数，la，lt代表阻尼系数，
Figure FDA0003863432790000021
分别代表车身垂直的速度和轮胎垂直速度，Fa代表弹簧输出力，Fs代表阻尼输出力，Fw代表簧下轮胎的弹力，Fr代表簧下轮胎的阻尼力，
Figure FDA0003863432790000022
Figure FDA0003863432790000023
分别代表簧上质量加速度和簧下质量加速度；
步骤3：利用状态约束与死区输入的1/4车的主动悬架系统模型设计相应的控制器；
所述步骤3包括：
步骤3.1、定义车辆主动的悬架系统状态变量x1＝Zs，
Figure FDA0003863432790000024
x3＝Zw，
Figure FDA0003863432790000025
其中x1表示车身的位移，x2表示簧载速度，x3表示非簧载位移，x4表示非簧载速度，则其状态空间表达式为：
Figure FDA0003863432790000026
对于
Figure FDA0003863432790000027
存在常数
Figure FDA0003863432790000028
和
Figure FDA0003863432790000029
其中i＝1,2，满足
Figure FDA00038634327900000210
及其导数满足
Figure FDA00038634327900000211
由于存在位移和速度约束，则簧载位移和速度的时变约束如下：
Figure FDA00038634327900000212
式中，k1(t),k2(t)是已知的时变约束界；
步骤3.2、为了采用自适应的控制方法来设计控制器，定义跟踪误差
Figure FDA00038634327900000213
式中e1表示的是x1的误差即车辆位移的误差，e2表示的是x2的误差即车辆速度的误差，
Figure FDA00038634327900000214
为虚拟控制器，yd(t)为期望轨迹，是连续和可导的，即
Figure FDA00038634327900000215
其中A1为正的参数；
步骤4：采用李雅普诺夫函数对1/4车中采取了状态约束和死区输入主动悬架系统进行验证，即完成了一种具有时变位移和速度约束与死区输入的主动悬架系统的自适应控制方法；
所述步骤4包括：
步骤4.1、根据车辆悬架系统经过数学建模后得到的模型形成的状态方程选取李雅普诺夫函数，其中状态方程为：
Figure FDA0003863432790000031
其中，Fz＝Fa+Fs，根据式(9)求得误差e1的导数为
Figure FDA0003863432790000032
选取李雅普诺夫函数如下：
Figure FDA0003863432790000033
其中ka表示状态约束的约束界；
对(11)求导得到
Figure FDA0003863432790000034
步骤4.2、设计虚拟控制器如下式所示：
Figure FDA0003863432790000035
其中，c1为正的设计参数，另外λ1(t)为时变增益，其定义为
Figure FDA0003863432790000036
β1>0确保
Figure FDA0003863432790000037
是有界的参数，因此有：
Figure FDA0003863432790000038
把(13)(14)带入(12)经过放缩得到：
Figure FDA0003863432790000039
根据e2的定义和相应的状态方程(10)，得到
Figure FDA00038634327900000310
步骤4.3、根据文中状态空间状态方程(10)，选取李雅普诺夫函数如下：
Figure FDA00038634327900000311
其中，ka,kb均表示时变约束界，w为理想神经网络权重向量，Λ1为正定对称矩阵，因此V2的导数写成如下形式：
Figure FDA0003863432790000041
步骤4.4、令
Figure FDA0003863432790000042
因为Mb未知，b未知但有界，因此H1(X1)未知，采用神经网络来逼近该函数：
Figure FDA0003863432790000043
其中，w1＝[w11,w12…w1L]T∈RL为理想神经网络权重向量，L1为神经网络的节点数，
Figure FDA0003863432790000044
是神经网络的输入向量，
Figure FDA0003863432790000045
为Gaussian基函数，ε1为逼近误差并且有界
Figure FDA0003863432790000046
其中
Figure FDA0003863432790000047
表示逼近误差ε的最大值，令
Figure FDA0003863432790000048
为神经网络的权重估计误差；
步骤4.5、基于杨氏不等式和步骤4.3，4.4，知
Figure FDA0003863432790000049
进一步得到
Figure FDA00038634327900000410
步骤4.6、选取如下的参数自适应律和死区控制器
Figure FDA00038634327900000411
Figure FDA00038634327900000412
其中，c2>0,n2>0是设计参数，另外，λ2(t)为时变增益，具体形式为
Figure FDA0003863432790000051
其中，β2>0是一个参数，该增益用来确保控制器的有界性，m(t)>0有界并且已知，把(22)，(23)带入(18)中得到：
Figure FDA0003863432790000052
在考虑具有状态约束的情况下，给出如下定义
Figure FDA0003863432790000053
其中，|e1|≤ka(t),|e2|≤kb(t)，这里ka(t),kb(t)是时变约束界，得到
Figure FDA0003863432790000054
进一步求得V2的导数为
Figure FDA0003863432790000055
其中n>0；
步骤4.7、式(27)写成为
Figure FDA0003863432790000056
其中ρ＝min{2c1,2c2/Mbmaxx,n1λmin(Λ1)}，
Figure FDA0003863432790000057
对
Figure FDA0003863432790000058
求积分有
Figure FDA0003863432790000059
根据式(26)，得到如下不等式
Figure FDA00038634327900000510
Figure FDA00038634327900000511
得到-h≤ei≤h,i＝1,2，其中，
Figure FDA00038634327900000512
因此，误差信号e1，e2被限制在如下的紧集内；
Figure FDA00038634327900000513
步骤4.8、通过调节参数c1，c2，n1，Λ1，误差ei被限制在零的小邻域内，同时，由于x1＝e1+yd(t)，
Figure FDA0003863432790000061
和
Figure FDA0003863432790000062
知
Figure FDA0003863432790000063
其中，
Figure FDA0003863432790000064
为
Figure FDA0003863432790000065
最大值，即
Figure FDA0003863432790000066
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