CN105159089A - 一种双容水槽的鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及液位自动控制系统，具体涉及一种双容水槽的鲁棒控制方法，包括以下步骤：步骤1，建立基于双容水槽的数学模型；步骤2，选取参量，设计控制器；步骤3，设计状态反馈控制器增益；步骤4，检验闭环系统控制效果，本发明通过设立一种简单而有效的控制器，将一个复杂的液位控制系统简化成一个水槽的鲁棒控制问题，不仅简单快捷第完成对水位的控制，而且相对于常规PID控制来说，在液位刚开始上升或大幅度提降设定值时，不会引起系统过量的超调和不停的震荡，液位控制系统也不易受外界干扰，液位波动平稳。

Description

一种双容水槽的鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及液位自动控制系统，具体涉及一种双容水槽的鲁棒控制方法。

背景技术

双容水槽是工业生产过程中的常见控制对象，它是由两个具有自平衡能力的单容水槽上下串联而成，通常要求对其下水槽液位进行定值控制，双容水槽中的下水槽液位即为这个系统中的被控量，通常选取上水槽的进水流量为操纵量。此模型在现实中也有着很广泛的应用。

鲁棒性是指控制系统在一定的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。由于工况变动、外部干扰以及建模误差的缘故实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性。

人们生活以及工业生产经常要使用水槽，水槽中的液位需要维持合适的高度，太满容易溢出造成浪费，过少则无法满足需求。因此，需要设计合适的控制器自动调整水槽的进出流量，使得水槽内液位保持正常水平，以保证产品的质量和生产效益。不同背景的实际问题都可以简化为某种水箱的液位控制问题。因此，液位是工业控制过程中一个重要的参数。特别是在动态的状态下，采用适合的方法对液位进行检测、控制，能收到很好的生产效果。对其液位的控制通常采用模拟仪表、计算机、PLC等单回路控制。单回路反馈控制原理以及PID控制原理是计算机控制技术的基础。传统的常规PID控制虽然可以简单快捷地完成对水位的控制，但在液位刚开始上升或大幅度提降设定值时，会引起系统过量的超调和不停的震荡。其次，液位控制系统易受外界干扰，液位波动比较频繁。

综上，控制对象的动态特性和数学模型是分析和设计控制系统的基础资料和基本依据。有必要设计一种简单而有效的控制器，可以把一个复杂的液位控制系统简化成一个水槽的鲁棒控制问题。

发明内容

本发明主要针对现有技术的不足，提供一种双容水槽的鲁棒控制方法，不仅可以自动调整水槽的进出流量，使得水槽内液位保持正常水平，而且相对于常规PID控制来说，不易受外界干扰，液位波动平稳。

本发明采用如下技术方案：一种双容水槽的鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立基于双容水槽的数学模型；

步骤2，选取参量，设计控制器；

步骤3，设计状态反馈控制器增益；

步骤4，检验闭环系统控制效果。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：本发明通过设立一种简单而有效的控制器，将一个复杂的液位控制系统简化成一个水槽的鲁棒控制问题，不仅简单快捷第完成对水位的控制，而且相对于常规PID控制来说，在液位刚开始上升或大幅度提降设定值时，不会引起系统过量的超调和不停的震荡，液位控制系统也不易受外界干扰，液位波动平稳。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明的双容水槽示意图；

图2是本发明离散闭环周期系统状态x¹,x²的响应曲线图；

图3是本发明液位的增量图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一种双容水槽的鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立基于双容水槽的数学模型；

步骤2，选取参量，设计控制器；

步骤3，设计状态反馈控制器增益；

步骤4，检验闭环系统控制效果。

工作原理如下：

步骤一：建立基于双容水槽的数学模型：

设双容水槽由两个串联单容水槽构成，如图1所示，水流通过调节阀1不断流入水槽，同时通过负载阀2、3不断流出储水槽。水流入量Q_i由控制阀1开度加以控制，第1个水槽的输出流量Q_i和第2个水槽的输出流量Q_i由用户根据需要通过负载阀2、3来改变。双容水槽水位控制系统的输入量为调节阀1产生的阀门开度变化量Δu,输出量为两个水槽的液位增量ΔR₁、ΔR₂。

在水流量增量ΔQ、水槽液位增量Δh及液阻R之间，经平衡点线性化后，可以导出如下关系式:

${\mathrm{\ΔQ}}_1-{\mathrm{\ΔQ}}_2=C_2\frac{{\mathrm{d\Δh}}_2}{dt}---\left(1\right)$

${\mathrm{\ΔQ}}_2=\frac{{\mathrm{\Δh}}_2}{R_2}---\left(2\right)$

${\mathrm{\ΔQ}}_1=\frac{{\mathrm{\Δh}}_1}{R_1}---\left(3\right)$

${\mathrm{\ΔQ}}_i-{\mathrm{\ΔQ}}_1=C_1\frac{{\mathrm{d\Δh}}_1}{dt}---\left(4\right)$

ΔQ_i＝K_uΔu(5)

设各量定义如下：

Q_i—输入水流量的稳态值，m³/s；

ΔQ_i—输入水流量的增量，m³/s；

Q₁、Q₂—输出水流量的稳态值，m³/s；

ΔQ₁、ΔQ₂—输出水流量的增量，m³/s；

h₁、h₂—液位的稳态值，m；

Δh₁、Δh₂—液位的增量，m；

u—调节阀的开度，m²；

Δu—调节阀的开度变化，m²；

C₁、C₂—两液槽的容量系数；

R₁、R₂—两液槽的液阻；

K_u—水流量增量与调节阀门开度的比例系数。

把(2)(3)(5)带入(1)(4)整理得：

$\frac{{\mathrm{d\Δh}}_1}{dt}=-\frac{1}{R_1{C}_1}{\mathrm{\Δh}}_1+\frac{K_u}{C_1}\mathrm{\Δ}u$

$\frac{{\mathrm{d\Δh}}_2}{dt}=\frac{1}{R_1{C}_2}{\mathrm{\Δh}}_1-\frac{1}{R_2{C}_2}{\mathrm{\Δh}}_2$

令Δh₁＝x₁；Δh₂＝x₂。

则：

$\stackrel{\·}{x_1}=-\frac{1}{R_1{C}_1}{x}_1+\frac{K_u}{C_1}\mathrm{\Δ}u$

$\stackrel{\·}{x_2}=\frac{1}{R_1{C}_2}{x}_1-\frac{1}{R_2{C}_2}{x}_2$

即：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x_1}\\ \stackrel{\·}{x_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{R_1{C}_1}& 0\\ \frac{1}{R_1{C}_2}& -\frac{1}{R_2{C}_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{K_u}{C_1}\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\Δ}u$

为双容水槽的状态空间表达式。简记成

$\stackrel{\·}{x}=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right)---\left(6\right)$

其中，A为系统状态矩阵，B为输入矩阵，分别有如下形式：

$A=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{R_1{C}_1}& 0\\ \frac{1}{R_1{C}_2}& -\frac{1}{R_2{C}_2}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}\frac{K_u}{C_1}\\ 0\end{array}\right]$

步骤二：选取合适的参量，设计控制器。令K代表要采取控制的周期数目，令T代表相应的采样周期，那么线性连续系统的离散化周期系统为

x(t+1)＝A(t)x(t)+B(t)u(t)(7)

其系统矩阵可以显式的计算出来

$A\left(k\right)=e^{AT}=A^{*},B\left(k\right)={\∫}_{kT}^{(k+1)T}{e}^{A\[(k+1)T-\mathrm{\τ}\]}B\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}=B^{*},k=\stackrel{\‾}{0,T-1}$

针对线性连续系统(6)设计周期状态反馈控制律

$d_y\left(k\right)=K\left(k\right)x\left(k\right),k\∈\stackrel{\‾}{0,T-1}$

使得闭环系统的极点为

s_1,2＝a±bi

根据状态反馈极点配置的结果，对系统(7)做参数化极点配置，其步骤如下：

1.将周期状态反馈控制律应用到系统(7),得到的闭环系统也是一个以T

为周期的线性离散周期系统，容易求得闭环系统单值性矩阵为

Ψ_c＝A_c(T-1)A_c(T-2)…A_c(0)

其中，

$A_c\left(i\right)=A\left(i\right)+B\left(i\right)K\left(i\right),i\∈\stackrel{\‾}{0,T-1}$

和线性周期系统(7)相联系的是它的提升时不变系统：

x^L(t+1)＝A^Lx^L(t)+B^Lu^L(t)

其中，

A^L＝A(T-1)A(T-2)…A(0)＝(A^*)^T

B^L＝[A(T-1)A(T-2)…A(1)B(0)…A(T-1)B(T-2)B(T-1)]＝[(A^*)^T-1B^*…A^*B^*B^*]

即：提升系统的状态和输入分别是由系统(6)的状态和输入经过有规则的取样和排列构成的。

此时，引入多项式矩阵右互质分解的概念。多项式矩阵和被称为是右互质的，如果对任意的

$rank\left[\begin{array}{c}N\left(\mathrm{\λ}\right)\\ D\left(\mathrm{\λ}\right)\end{array}\right]=r$

接下来进行多项式矩阵分解

(sI-A^L)^-1B^L＝N(s)D^-1(s)

其中，N(s)∈R^n×Tr，D(s)∈R^Tr×Tr是关于s的右互质矩阵多项式。在这里，我们记

N(s)＝[n_ij(s)]_n×Tr,D(s)＝[d_ij(s)]_Tr×Tr

ω＝max{ω₁,ω₂}

其中，

${\mathrm{\ω}}_1\underset{i,j\∈\stackrel{\‾}{1,Tr}}{\max }\left\{\mathrm{deg}\left(d_{ij}\left(s\right)\right)\right\},{\mathrm{\ω}}_2=\underset{i\∈\stackrel{\‾}{1,n},j\∈\stackrel{\‾}{1,Tr}}{\max }\left\{\mathrm{deg}\left(n_{ij}\left(s\right)\right)\right\}$

进一步，N(s),D(s)就可以重新写成如下形式

$\left\{\begin{array}{c}N\left(s\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ω}}{\Σ}}{N}_i{s}^i,N_i\∈C^{n\×Tr}\\ D\left(s\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ω}}{\Σ}}{D}_i{s}^i,D_i\∈C^{Tr\×Tr}\end{array}\right.$

有了以上的准备工作，对于给定目标系统的实约当标准型矩阵F,令

$\left\{\begin{array}{c}V\left(Z\right)=N_{0}Z+N_{1}ZF+\mathrm{...}+N_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{ZF}}^{\mathrm{\ω}}\\ W\left(Z\right)=D_{0}Z+D_{1}ZF+\mathrm{...}+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{ZF}}^{\mathrm{\ω}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

这里的Z∈R^Tr×n是一个任意的参数矩阵；记

$\mathrm{\Γ}=\left\{Z|\det \left(\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ω}}{\Σ}}{N}_i{\mathrm{ZF}}^i\right)\≠0\right\}$

和

$\mathrm{\κ}\{\left(\begin{array}{c}K\left(0\right)\\ K\left(1\right)\\ .\\ .\\ .\\ K\left(T-1\right)\end{array}\right)\left\{\begin{array}{c}X\left(Z\right)=W\left(Z\right)V^{-1}\left(Z\right),Z\∈\mathrm{\Γ}\\ K\left(0\right)=X_1,\det \left(A_c\left(0\right)\right)\≠0\\ K\left(i\right)=X_{i+1}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\Π}}{A_c}^{-1}\left(j\right),\det \left(A_c\left(i\right)\right)\≠0,\\ i\∈\stackrel{\‾}{1,T-1}\end{array}\right\}---\left(9\right)$

步骤三：设计状态反馈控制器增益。当任意给定一组自由参数时，所给出的控制器设计算法可以求解出相应的控制器。由于这些控制器是基于离散模型得到的，因此他们都可以来控制离散之后的系统。但是由于在实际运行中，会存在一些不确定因素和外界干扰，加上离散化模型和原来连续系统之间的的误差，随机选取的控制器往往控制效果不是很好。这就需要我们设计一个鲁棒控制器，使得闭环系统对潜在的不确定扰动尽可能的不敏感。

根据鲁棒控制器的设计原则，量测周期反馈增益的大小，我们可以引入下面的指标函数

$J\left(Z\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\mathrm{\κ}}_F\left(V\right)\underset{l=0}{\overset{T-1}{\Σ}}\left|\right|A_c\left(l\right)|{|}_F^{T-1}$

其中，F是一个实矩阵，拥有欲配置的特征值。记约束优化问题

MinimizeJ(Z)

$s.t.\left\{\begin{array}{c}Z\∈\mathrm{\Γ}\\ \det \left(A_c\left(i\right)\right)\≠0,i\∈\stackrel{\‾}{1,T-1}\end{array}\right.$

的解为优化决策矩阵Z_opt。其中，记Z＝Z_opt。利用优化决策矩阵Z_opt和(8),计算出V_opt和W_opt。将其代入(9),计算矩阵所得即为所求鲁棒控制器。

步骤四：检验闭环系统控制效果。将所得控制器产生的状态反馈控制律施加到线性离散周期系统(7)上，并选取初始状态。在Matlab上可以得到关于控制效果的曲线图。同时，为了量测这组周期状态反馈控制器的有效性，需要将该控制器代入到原始连续系统(6)中进行仿真。从仿真结果可以看出，周期状态反馈控制律能够很好地对双容水槽进行控制。本方法对于决定欲配置的闭环系统特征值的矩阵F和自由参数Z并没有同样的约束。换言之，本方法可以实现极点的任意配置。

本发明的实验验证：

双容水槽系统的各参数设置如下：

两液槽容量系数:C₁＝1,C₂＝1；

两液槽的液阻：R₁＝1、R₂＝2；

水流量增量与调节阀门开度的比例系数：K_u＝1。

系统为： $\stackrel{\·}{x}=Ax+B\mathrm{\Δ}u$

带入参数得： $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -0.5\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right].$

其系统矩阵可以显式的计算出来

$A\left(k\right)=e^{AT},B\left(k\right)={\∫}_{kT}^{(k+1)T}{e}^{A\[(k+1)T-\mathrm{\τ}\]}B\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}$

在这里，我们取K＝2，给出离散化后相应的系统矩阵

$A\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}-0.4161& -0.9093\\ 0.9093& -0.4161\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{A}^{*},B\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}0.9093\\ 1.4161\end{array}\right]=B^{*},k=0,1$

根据状态反馈极点配置的结果，对系统(7)做参数化极点配置，其步骤如下：

1.令A^L＝(A^*)²,B^L＝[A^*B^*B^*]；计算可得

$A^L=\left[\begin{array}{cc}-0.6536& 0.7568\\ -0.7568& -0.6536\end{array}\right],B^L=\left[\begin{array}{cc}-1.6661& 0.9093\\ 0.2375& 1.4161\end{array}\right]$

2.解右互质分解(sI-A^L)_- ¹B^L＝N(s)D_- ¹(s),根据求得的N(s)和D(s),进一步求得N₀,D₀和D₁如下

$N_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],D_0=\left[\begin{array}{cc}0.6469& -0.0922\\ 0.3531& 0.5499\end{array}\right],D_1=\left[\begin{array}{cc}0.3531& -0.5499\\ 0.6469& 0.0922\end{array}\right]$

3.选取

$F=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.4\\ 0.4& 0.5\end{array}\right]$

随机选取一个2×2的实矩阵Z,根据

V＝N₀Z,W＝D₀Z+D₁ZF

求得矩阵V，W，并进一步计算

X＝WV^-1

4.将X按行分块

$X={\left[\begin{array}{cc}{X}_1^T& X_2^T\end{array}\right]}^T$

也就是说将X的第一行记为X₁,第二行记为X₂。

5.根据关系式

K(0)＝X₁

K(1)＝X₂(A^*+B^*K(0))

求得控制器K(0)，K(1)。记

K(0)＝[-0.22601.0516]

K(1)＝[-0.76370.6325]

将这组控制器产生的状态反馈控制律施加到离散化后的系统(7)上，并选取初始状态为x(0)＝[-1010]^T,得到的闭环系统状态响应如图2示。同时，为了测试这组周期状态反馈控制器的有效性，需要将该控制器代入到原始连续系统中进行仿真。图3给出了周期状态反馈控制律对双容水槽的控制效果。

以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (5)

1.一种双容水槽的鲁棒控制方法，其特征在于：

包括以下步骤：

步骤1，建立基于双容水槽的数学模型；

步骤2，选取参量，设计控制器；

步骤3，设计状态反馈控制器增益；

步骤4，检验闭环系统控制效果。

2.根据权利要求1所述的双容水槽的鲁棒控制方法，其特征在于：步骤1所述的建立基于双容水槽的数学模型，具体如下：

步骤1.1,设双容水槽由两个串联单容水槽构成，水流通过调节阀1不断流入水槽，同时通过负载阀2、3不断流出储水槽，水流入量Q_i由控制阀1开度加以控制，第1个水槽的输出流量Q_i和第2个水槽的输出流量Q_i由用户根据需要通过负载阀2、3来改变,双容水槽水位控制系统的输入量为调节阀1产生的阀门开度变化量Δu,输出量为两个水槽的液位增量ΔR₁、ΔR₂,

在水流量增量ΔQ、水槽液位增量Δh及液阻R之间，经平衡点线性化后，可以导出如下关系式:

${\mathrm{\ΔQ}}_1-{\mathrm{\ΔQ}}_2=C_2\frac{{\mathrm{d\Δh}}_2}{dt}---\left(1\right)$

${\mathrm{\ΔQ}}_2=\frac{{\mathrm{\Δh}}_2}{R_2}---\left(2\right)$

${\mathrm{\ΔQ}}_1=\frac{{\mathrm{\Δh}}_1}{R_1}---\left(3\right)$

${\mathrm{\ΔQ}}_i-{\mathrm{\ΔQ}}_1=C_1\frac{{\mathrm{d\Δh}}_1}{dt}---\left(4\right)$

ΔQ_i＝K_uΔu(5)

步骤1.2，设各量定义如下：

Q_i—输入水流量的稳态值，m³/s；

ΔQ_i—输入水流量的增量，m³/s；

Q₁、Q₂—输出水流量的稳态值，m³/s；

ΔQ₁、ΔQ₂—输出水流量的增量，m³/s；

h₁、h₂—液位的稳态值，m；

Δh₁、Δh₂—液位的增量，m；

u—调节阀的开度，m²；

Δu—调节阀的开度变化，m²；

C₁、C₂—两液槽的容量系数；

R₁、R₂—两液槽的液阻；

K_u—水流量增量与调节阀门开度的比例系数；

把(2)(3)(5)带入(1)(4)整理得：

$\frac{{\mathrm{d\Δh}}_1}{dt}=-\frac{1}{R_1{C}_1}{\mathrm{\Δh}}_1+\frac{K_u}{C_1}\mathrm{\Δ}u$

$\frac{{\mathrm{d\Δh}}_2}{dt}=\frac{1}{R_1{C}_2}{\mathrm{\Δh}}_1-\frac{1}{R_2{C}_2}{\mathrm{\Δh}}_2$

令Δh₁＝x₁；Δh₂＝x₂；

则：

${\stackrel{\·}{x}}_1=-\frac{1}{R_1{C}_1}{x}_1+\frac{K_u}{C_1}\mathrm{\Δ}u$

${\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{1}{R_1{C}_2}{x}_1-\frac{1}{R_2{C}_2}{x}_2$

即：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{R_1{C}_1}& 0\\ \frac{1}{R_1{C}_2}& -\frac{1}{R_2{C}_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{K_u}{C_1}\\ 0\end{array}\right]\mathrm{\Δ}u$

为双容水槽的状态空间表达式。简记成

$\stackrel{\·}{x}=Ax\left(t\right)+Bu\left(t\right)---\left(6\right)$

其中，A为系统状态矩阵，B为输入矩阵，分别有如下形式：

$A=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{R_1{C}_1}& 0\\ \frac{1}{R_1{C}_2}& -\frac{1}{R_2{C}_2}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}\frac{K_u}{C_1}\\ 0\end{array}\right]$

3.根据权利要求1所述的双容水槽的鲁棒控制方法，其特征在于：步骤2所述的选取参量，设计控制器的过程具体如下：

步骤2.1，令K代表要采取控制的周期数目，令T代表相应的采样周期，那么线性连续系统的离散化周期系统为

x(t+1)＝A(t)x(t)+B(t)u(t)(7)

其系统矩阵可以显式的计算出来

$A\left(k\right)=e^{AT}=A^{*},B\left(k\right)={\∫}_{kT}^{(k+1)T}{e}^{A\[(k+1)T-\mathrm{\τ}\]}B\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}=B^{*},k=\stackrel{\‾}{0,T-1}$

针对线性连续系统(6)设计周期状态反馈控制律

$d_y\left(k\right)=K\left(k\right)x\left(k\right),k\∈\stackrel{\‾}{0,T-1}$

使得闭环系统的极点为

s_1,2＝a±bi

步骤2.2，根据状态反馈极点配置的结果，对系统(7)做参数化极点配置，其步骤如下：

2.2.1，将周期状态反馈控制律应用到系统(7),得到的闭环系统也是一个以T为周期的线性离散周期系统，容易求得闭环系统单值性矩阵为

Ψ_c＝A_c(T-1)A_c(T-2)…A_c(0)

其中，

$A_c\left(i\right)=A\left(i\right)+B\left(i\right)K\left(i\right),i\∈\stackrel{\‾}{0,T-1}$

和线性周期系统(7)相联系的是它的提升时不变系统：

x^L(t+1)＝A^Lx^L(t)+B^Lu^L(t)

其中，

A^L＝A(T-1)A(T-2)…A(0)＝(A^*)^T

B^L＝[A(T-1)A(T-2)…A(1)B(0)…A(T-1)B(T-2)B(T-1)]＝[(A^*)^T-1B^*…A^*B^*B^*]

即：提升系统的状态和输入分别是由系统(6)的状态和输入经过有规则的取样和排列构成的。

2.2.2，多项式矩阵和被称为是右互质的，如果对任意的

$rank\left[\begin{array}{c}N\left(\mathrm{\λ}\right)\\ D\left(\mathrm{\λ}\right)\end{array}\right]=r$

接下来进行多项式矩阵分解

(sI-A^L)^-1B^L＝N(s)D^-1(s)

其中，N(s)∈R^n×Tr，D(s)∈R^Tr×Tr是关于s的右互质矩阵多项式。在这里，我们记

N(s)＝[n_ij(s)]_n×Tr,D(s)＝[d_ij(s)]_Tr×Tr

ω＝max{ω₁,ω₂}

其中，

${\mathrm{\ω}}_1=\underset{i,j\∈\stackrel{\‾}{1,Tr}}{\max }\left\{\mathrm{deg}\left(d_{ij}\right(s\left)\right)\right\},{\mathrm{\ω}}_2=\underset{i\∈\stackrel{\‾}{1,n},j\∈\stackrel{\‾}{1,Tr}}{\max }\left\{\mathrm{deg}\left(n_{ij}\right(s\left)\right)\right\}$

进一步，N(s),D(s)就可以重新写成如下形式

$\left\{\begin{array}{c}N\left(s\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ω}}{\Σ}}{N}_i{s}^i,N_i\∈C^{n\×Tr}\\ D\left(s\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ω}}{\Σ}}{D}_i{s}^i,N_i\∈C^{Tr\×Tr}\end{array}\right.$

有了以上的准备工作，对于给定目标系统的实约当标准型矩阵F,令

$\left\{\begin{array}{c}V\left(Z\right)=N_{0}Z+N_{1}ZF+...+N_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{ZF}}^{\mathrm{\ω}}\\ W\left(Z\right)=D_{0}Z+D_{1}ZF+...+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{ZF}}^{\mathrm{\ω}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

这里的Z∈R^Tr×n是一个任意的参数矩阵；记

$\mathrm{\Γ}=\left\{Z\right|\det \left(\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\ω}}{\Σ}}{N}_i{\mathrm{ZF}}^i\right)\≠0\}$

和

$\mathrm{\κ}=\{\left(\begin{array}{c}K\left(0\right)\\ K\left(1\right)\\ .\\ .\\ .\\ K(T-1)\end{array}\right)\left\{\begin{array}{c}X\left(Z\right)=W\left(Z\right)V^{-1}\left(Z\right),Z\∈\mathrm{\Γ}\\ K\left(0\right)=X_1,\det \left(A_c\right(0\left)\right)\≠0\\ K\left(i\right)=X_{i+1}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\Π}}{A}_c^{-1}\left(j\right),\det \left(A_c\right(i\left)\right)\≠0,\\ i\∈\stackrel{\‾}{1,T-1}\end{array}\right\}---\left(9\right)$

4.根据权利要求1所述的双容水槽的鲁棒控制方法，其特征在于：步骤3所述的设计状态反馈控制器增益，具体如下：

根据鲁棒控制器的设计原则，量测周期反馈增益的大小，我们可以引入下面的指标函数

$J\left(Z\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\mathrm{\κ}}_F\left(V\right)\underset{l=0}{\overset{T-1}{\Σ}}\left|\right|A_c\left(l\right)|{|}_F^{T-1}$

其中，F是一个实矩阵，拥有欲配置的特征值；记约束优化问题

$\begin{array}{cc}Minimiz& J\left(Z\right)\\ s.t.& \left\{\begin{array}{c}Z\∈\mathrm{\Γ}\\ \det \left(A_c\right(i\left)\right)\≠0,i\∈\stackrel{\‾}{1,T-1}\end{array}\right.\end{array}$

的解为优化决策矩阵Z_opt，其中，记Z＝Z_opt，利用优化决策矩阵Z_opt和(8),计算出V_opt和W_opt。将其代入(9),计算矩阵所得即为所求鲁棒控制器。

5.根据权利要求1所述的双容水槽的鲁棒控制方法，其特征在于：步骤4所述的检验闭环系统控制效果，具体如下：将所得控制器产生的状态反馈控制律施加到线性离散周期系统(7)上，并选取初始状态，在Matlab上可以得到关于控制效果的曲线图，同时，为了量测这组周期状态反馈控制器的有效性，将该控制器代入到原始连续系统(6)中进行仿真。