CN105095989A - 一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法 - Google Patents

Abstract

一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法，具体步骤如下：1)根据一年中同一时刻的有功功率得到该时刻的概率分布；2)利用傅里叶级数来拟合该时刻的概率分布，将所得的傅里叶级数的参数代入误差方程，计算出对应的结果；3)根据结果判断其精度要求，从而得到风电功率概率密度函数。本发明采用3阶傅里叶级数模型拟合同时刻下功率分布，相比于其它函数拟合效果，该概率模型拟合精度更高，验证了所建立模型的可行性和有效性。

Description

一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法

技术领域

本发明属于风电功率预测技术领域，具体涉及一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法。

背景技术

近年来随着风力发电技术的日益成熟，风电功率占电力系统总发电功率的比例也随之增加。然而，风电输出功率具有随机性、间歇性、波动性等特点。研究表明，当风电穿透功率超过一定比例时，风功率的波动性将严重影响电力系统的安全、稳定运行以及电能质量。因此对风电场风速和有功出力的概率特性进行研究，有助于平抑风功率波动，并且对风电场的规划设计和电力调度部门联合运行策略具有重要意义。

目前，对于风电的概率特性研究主要集中在连续时间统计分析上，关于在同一时刻的风功率概率分布目前缺乏相应研究。风速概率分布的拟合模型有威布尔分布(Weibull)、瑞利分布(Rayleigh)和对数正态分布等，其中较为常用的是双参数的威布尔分布模型。在假定风电场风速满足威布尔分布模型后，基于风速-功率曲线可得到风功率概率分布，但风功率概率分布的规律性不强，难以用初等函数来表示。多数文献都为风电功率在连续时刻下的概率分布和波动特性，较少涉及风电功率在同一时刻的概率分布特性的研究。因此，研究一种同时刻下风功率概率分布的拟合方法，对风电的建设与规划都具有重要意义。

发明内容

本发明提出了风功率同时刻概率分布的概念，得出同时刻下有功出力风功率的概率分布具有其固有的属性，并针对现有拟合方法的不足，提出了一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法，该方法采用3阶傅里叶级数模型拟合同时刻下功率分布，相比于其它函数拟合效果，该概率模型拟合精度更高，验证了所建立模型的可行性和有效性。所得出同时刻下风功率的概率分布对风电的规划、调度计划制定、旋转容量配置等方面都具有实际的参考意义。

本发明所采用的技术方案为：

提出了风功率同时刻概率分布的概念，利用所提一种基于傅里叶级数的拟合方法对同时刻下风功率概率分布进行拟合，得出该概率分布是风功率固有的属性，具体包括以下步骤：

步骤1：对同时刻下风电功率概率特征分析，统计每个功率间隔范围内有功出力的出现次数，则该时刻各功率段的有功出力概率为：

$r_i=\frac{N_i}{N}(i=1,2,...,10)---\left(1\right)$

式中：r_i为概率；N为该时刻有功出力个数，本文取N＝365；i为功率段。当i＝0时，N_i为有功出力为0时出现的次数；当i取其他值时，N_i为有功出力在P∈{ΔP(i-1),ΔPi}范围内出现的次数，其中ΔP为功率间隔，一般取ΔP＝0.1P_N，P_N为风电场的额定容量。

依此方法，分别求得各个时刻有功出力的概率分布。

步骤2：初始化傅里叶级数的阶数和频率；

步骤3：利用傅里叶级数来拟合概率分布，风电功率同时刻的概率分布为一组离散变量，将其用傅里叶级数来表示：

$y=f\left(x\right)=a_0+\underset{n=1}{\overset{m}{\Σ}}\[a_{n}cos\left(n\mathrm{\ω}x\right)+b_{n}sin\left(n\mathrm{\ω}x\right)\]---\left(1\right)$

式中，ω为傅里叶级数的频率，a₀,a_n,b_n(n＝1,2,…,m)为系数，m为傅里叶级数的阶数；未知数个数为2(m+1)个，即a₀,a₁,…,a_m，b₁,b₂,…,b_m和ω；

根据已知的概率分布数值组成如下的观测方程：

y_i＝a₀+a₁cos(ωt_i)+b₁sin(ωt_i)+…+a_mcos(mωt_i)+b_msin(mωt_i)+ε_i(2)；

步骤4：由误差矩阵确定傅里叶级数拟合方程的参数：

误差方程写成矩阵形式为：

V＝AX-Y(3)

式中：

V＝[v₁,v₂,…,v_i](4)

$A=\left[\begin{array}{cccccc}1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_1\right)& \sin \left(\mathrm{\ω}t\right)& ...& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_1\right)& \sin \left({\mathrm{m\ωt}}_1\right)\\ 1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_2\right)& \sin \left({\mathrm{\ωt}}_2\right)& ...& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_2\right)& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_2\right)\\ \·& \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& \·& & \·& \·\\ 1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)& \sin \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)& ...& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_i\right)& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_i\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

X＝[a₀,a₁,b₁…a_m,,b_m]^T(6)

Y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T(7)

利用最小二乘法求解参数向量X：

X＝(A^TA)^-1A^TY(8)

由式即可得出傅里叶级数拟合方程的参数；

步骤5：采用均方根误差、和误差与确定系数，作为拟合准确度的指标，对拟合效果及其适用性进行定量评估。

(1)和方差(Thesumofsquaresduetoerror，SSE)

$e_{SSE}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{({\hat{x}}_i-x_i)}^2---\left(9\right)$

(2)确定系数(Coefficientofdetermination)

$R-square=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{({\hat{x}}_i-{\stackrel{\‾}{x}}_i)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(x_i-{\stackrel{\‾}{x}}_i)}^2}---\left(10\right)$

(3)均方根误差(Rootmeansquarederror，RMSE)

$e_{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{({\hat{x}}_i-x_i)}^2}---\left(11\right)$

式中，n为拟合点的个数，为拟合数据，x_i为原始数据，为原始数据的平均值。和方差与均方根误差越接近与0，说明拟合效果越好。确定系数介于0～1之间，越接近1，回归拟合效果越好，一般认为超过0.8的模型拟合优度比较高。

步骤3、步骤4中：由误差矩阵确定傅里叶级数，并拟合方程的参数，利用傅里叶级数来拟合概率分布建立拟合方程。

与现有方法相比，本发明一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法，具有以下优点和有益效果：

1)、采用3阶傅里叶级数模型拟合同时刻下功率分布的方法，相比于其它函数拟合效果，该概率模型拟合精度更高，验证了所建立模型的可行性和有效性。

2)、所建立的函数适用于在不同年份下同时刻风险概率分布，具有叫高精度及适用性。

附图说明

图1是本发明同时刻概率分布流程图。

图2是本发明实施例中的某年00:00时刻有功出力图。

图3是本发明实施例中的某年典型时刻有功出力概率分布图。

图4是本发明实施例中的各函数拟合效果图。

图5是本发明实施例中的00:00时刻校验结果图。

具体实施方式

一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法，包括以下步骤：

步骤1：对同时刻下风电功率概率特征分析，统计每个功率间隔范围内有功出力的出现次数，分别求得各个时刻有功出力的概率分布；

步骤2：初始化傅里叶级数的阶数和频率

步骤3：利用傅里叶级数来拟合概率分布，风电功率同时刻的概率分布为一组离散变量，将其用傅里叶级数来表示：

$y=f\left(x\right)=a_0+\underset{n=1}{\overset{m}{\Σ}}\[a_{n}cos\left(n\mathrm{\ω}x\right)+b_{n}sin\left(n\mathrm{\ω}x\right)\]---\left(2\right)$

式中，ω为傅里叶级数的频率，a₀,a_n,b_n(n＝1,2,…,m)为系数，m为傅里叶级数的阶数。未知数个数为2(m+1)个，即a₀,a₁,…,a_m，b₁,b₂,…,b_m和ω。

根据已知的概率分布数值组成如下的观测方程：

y_i＝a₀+a₁cos(ωt_i)+b₁sin(ωt_i)+…+a_mcos(mωt_i)+b_msin(mωt_i)+ε_i(3)

步骤4：由误差矩阵确定傅里叶级数拟合方程的参数

误差方程写成矩阵形式为：

V＝AX-Y(4)

式中：

V＝[v₁,v₂,…,v_i](5)

$A=\left[\begin{array}{cccccc}1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_1\right)& \sin \left(\mathrm{\ω}t\right)& ...& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_1\right)& \sin \left({\mathrm{m\ωt}}_1\right)\\ 1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_2\right)& \sin \left({\mathrm{\ωt}}_2\right)& ...& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_2\right)& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_2\right)\\ \·& \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& \·& & \·& \·\\ 1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)& \sin \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)& ...& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_i\right)& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_i\right)\end{array}\right]---\left(6\right)$

X＝[a₀,a₁,b₁…a_m,,b_m]^T(7)

Y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T(8)

利用最小二乘法求解参数向量X：

X＝(A^TA)^-1A^TY(9)

由式即可得出傅里叶级数拟合方程的参数。

步骤5：采用均方根误差、和误差与确定系数，作为拟合准确度的指标，对拟合效果及其适用性进行定量评估。

步骤3、步骤4中：由误差矩阵确定傅里叶级数，并拟合方程的参数，利用傅里叶级数来拟合概率分布建立拟合方程。

实施例：

选取某省某风电场：第一年度、第二年度的实测风速数据进行分析，该数据的采样周期为10min。根据风电场所选用的风电机组的功率-风速特性，计算风电场输出功率。风电场风机额定功率为2500kw，仿真实验在Matlab环境下编程实现。

基于实测数据，对某省某风电场在一年内每天的各时刻有功出力进行统计，该时间序列的分辨率为10min，则一天中共有144个时刻。该风电机组在一年中00：00时刻的有功出力图如图2所示：

从图中可以明显的看到在特定时刻输出功率随时间波动十分剧烈。假定风电场风速分布均匀，整个风电场功率输出的概率分布按单台风电机组的功率输出功率概率考虑，风电场的输出功率为单台风电机组的输出功率乘以风电机组的个数。利用公式得到对应时刻的风电场有功出力概率分布结果，限于篇幅本文只给出4个典型时刻的概率分布图，如图3所示。从图3中的直方图可以看出，各时刻风机出力为和出力比为0-0.1时概率较大，概率约为50％。

1)、同时刻风电出力概率拟合：

为描述分布结果进而提炼各时刻有功出力的规律及其本质属性，分别对各时刻出力概率非0部分进行函数拟合。利用3阶傅里叶级数对同时刻风电出力概率分布进行拟合，则该地区风电场风电出力在同时刻波动特性拟合关系式如下：

f(x_i)＝a₀+a₁cos(ωx_i)+b₁sin(ωx_i)+a₂cos(2ωx_i)+b₂sin(2ωx_i)+a₃cos(3ωx_i)+b₃sin(3ωx_i)(10)

为对比分析，本文还采用了数十种函数进行定量分析后，选取精度较高的3阶多项式函数、有理函数和高斯函数等进行比较，其拟合关系式如下：

(1)、多项式函数：

f(x_i)＝a₁x_i ³+a₂x_i ²+a₃x_i+a₄(11)

(2)、有理函数：

$f\left(x_i\right)=\frac{a_1{x_i}^3+a_2{x_i}^2+a_3{x}_i+a_4}{{x_i}^3+b_1{x_i}^2+b_2{x}_i+b_3}---\left(12\right)$

(3)、高斯函数：

$f\left(x_i\right)=a_1{e}^{-\frac{{(x_i-{\mathrm{\μ}}_1)}^2}{2{{\mathrm{\σ}}_1}^2}}+a_2{e}^{-\frac{{(x_i-{\mathrm{\μ}}_2)}^2}{2{{\mathrm{\σ}}_{{}^2}}^2}}+a_3{e}^{-\frac{{(x_i-{\mathrm{\μ}}_3)}^2}{2{{\mathrm{\σ}}_3}^2}}---\left(13\right)$

式中，f(x_i)表示第i时刻的概率密度函数，x为有功出力比例。

图4为00:00时刻概率分布各函数的拟合图，从图中拟合曲线可以看出，采用3阶傅里叶级数模型拟合效果相对于多项式函数、有理函数和高斯函数的拟合精度更好。表1给出了00:00时刻下3阶傅里叶级数拟合参数。

表13阶傅里叶级数拟合参数

用式(11)、(12)和(13)三种评价指标对各函数的拟合效果进行进一步的评价，其结果如表2所示：

表2各函数拟合评价指标

2)、概率密度函数校验：

通过以上风电出力的同时刻时间序列分析，找出了每天各时刻的风电功率密度函数并求出了相应的参数。为了验证以上各时刻的风电功率概率密度函数的正确性，需要将不同年份相同时刻的概率分布数据代入对应函数校验该函数是否具有实用性。以上概率密度函数是通过计算某省某风电场的第一年度时间段内数据取得，为了校验工作的合理性，取某省某风电场的第二年度全年风速数据进行校验，结果如图4所示。

从图5中可以看出，第一年度00:00时刻概率拟合曲线与第二年度该时刻的概率分布点较为吻合。该时刻的校验误差评价指标是：e_SSE＝0.5998％，R-square＝0.9832，e_RMSE＝2.449％，和方差与均方根误差较小，确定系数接近于1。其它部分时刻的校验结果如表3所示：

表3部分时刻校验结果

从表3可以看出，和方差与均方根误差较小，且大部分时刻的确定系数大于0.8，说明同时刻下风功率的概率分布具有其特有的规律性，用3阶傅里叶级数概率模型的拟合优度比较高，具有一定的适用性。

Claims (2)

1.一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：提出风功率同时刻概率分布的概念，并对同时刻下风电功率概率特征分析，统计每个功率间隔范围内有功出力的出现次数，分别求得各个时刻有功出力的概率分布；

步骤2：初始化傅里叶级数的阶数和频率；

步骤3：利用傅里叶级数来拟合概率分布，风电功率同时刻的概率分布为一组离散变量，将其用傅里叶级数来表示：

$y=f\left(x\right)=a_0+\underset{n=1}{\overset{m}{\Σ}}\[a_{n}cos\left(n\mathrm{\ω}x\right)+b_{n}sin\left(n\mathrm{\ω}x\right)\]---\left(1\right)$

式中，ω为傅里叶级数的频率，a₀,a_n,b_n(n＝1,2,…,m)为系数，m为傅里叶级数的阶数；未知数个数为2(m+1)个，即a₀,a₁,…,a_m，b₁,b₂,…,b_m和ω；

根据已知的概率分布数值组成如下的观测方程：

y_i＝a₀+a₁cos(ωt_i)+b₁sin(ωt_i)+…+a_mcos(mωt_i)+b_msin(mωt_i)+ε_i(2)；

步骤4：由误差矩阵确定傅里叶级数拟合方程的参数：

误差方程写成矩阵形式为：

V＝AX-Y(3)

式中：

V＝[v₁,v₂,…,v_i](4)

$A\left[\begin{array}{cccccc}1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_1\right)& \sin \left(\mathrm{\ω}t\right)& \mathrm{...}& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_1\right)& \sin \left({\mathrm{m\ωt}}_1\right)\\ 1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_2\right)& \sin \left({\mathrm{\ωt}}_2\right)& \mathrm{...}& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_2\right)& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_2\right)\\ .& .& .& & .& .\\ .& .& .& & .& .\\ .& .& .& & .& .\\ 1& \cos \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)& \sin \left({\mathrm{\ωt}}_i\right)& \mathrm{...}& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_i\right)& \cos \left({\mathrm{m\ωt}}_i\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

X＝[a₀,a₁,b₁La_m,,b_m]^T(6)

Y＝[y₁,y₂,…,y_n]^T(7)

利用最小二乘法求解参数向量X：

X＝(A^TA)^-1A^TY(8)

由式即可得出傅里叶级数拟合方程的参数；

步骤5：采用均方根误差、和误差与确定系数，作为拟合准确度的指标，对拟合效果及其适用性进行定量评估；

(1)和方差：

$e_{SSE}=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{({\hat{x}}_i-x_i)}^2---\left(9\right)$

(2)确定系数：

$R-square=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{({\hat{x}}_i-{\stackrel{\‾}{x}}_i)}^2}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{(x_i-{\stackrel{\‾}{x}}_i)}^2}---\left(10\right)$

(3)均方根误差：

$e_{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{({\hat{x}}_i-x_i)}^2}---\left(11\right)$

式中，n为拟合点的个数，为拟合数据，x_i为原始数据，为原始数据的平均值，和方差与均方根误差越接近与0，说明拟合效果越好，确定系数介于0～1之间，越接近1，回归拟合效果越好，一般认为超过0.8的模型拟合优度比较高。

2.根据权利要求1所述一种基于傅里叶级数的同时刻下风功率概率分布的拟合方法，其特征在于，步骤3、步骤4中：由误差矩阵确定傅里叶级数，并拟合方程的参数，利用傅里叶级数来拟合概率分布建立拟合方程。