CN105094970A - 一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，通过建立可分任务多趟调度新模型，并利用遗传算法求解该模型，得到任务的最短完成时间。本发明推导得到了任务分配方案关于处理机调度顺序，调度趟数和参与计算的处理机数目的函数表达式，从而建立了以任务完成时间最短为目标的可分任务多趟调度模型。本发明提出的求解该模型的遗传算法能够高效准确地求出最优的处理机调度顺序、调度趟数和参与计算的处理机数目，从而得到最优的任务分配方案和任务的最短完成时间。

Description

一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法

技术领域

本发明属于信息技术相关领域，涉及一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法。

背景技术

现有的可分任务调度模型分为两类：单趟调度和多趟调度。对于单趟调度，主处理机将任务分成与从处理机个数相同的子任务，主处理机依次为从处理机传输任务，每个处理机仅接收并计算一次任务。由于后分配任务的处理机存在较长的空闲等待时间，因此，单趟调度并不适合大规模的数据应用问题。对于多趟调度，任务被划分为大于处理机数目的子任务，并由主处理机分多趟逐一发送给各从处理机完成计算。由于处理机的空闲等待时间变短，因此相比于单趟调度，多趟调度可以缩短整个任务的完成时间。对于多趟调度，难点在于确定最优的处理机调度顺序、最优的调度趟数、参与计算的最优处理机数目和最优的任务分配方案。

Hsu等人^[1]提出将g_i/(g_i+w_i)递增的顺序作为处理机的调度顺序，其中g_i为通信链路传输单位任务所需的时间，w_i为处理机计算单位任务所需的时间。Shokripour等人^[2]提出了两种处理机调度顺序：按照通信链路传输单位任务所需时间g_i渐增的顺序作为调度顺序，以及按照处理机计算单位任务所需时间w_i渐增的顺序作为调度顺序。Suresh等人^[3]提出了一种混合实数编码遗传算法用于求解处理机的调度顺序和任务分配方案。而且随着处理机数目的增加，该算法的复杂度以指数形式增加。当处理机数目很大时，算法很难收敛到全局最优解。

综上所述，现有的可分任务多趟调度算法并未找到最优的处理机调度顺序、最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目，导致任务的完成时间没有达到全局最优解。为达到这一目的，本发明所设计的一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法显得尤为重要。

发明内容

针对上述现有技术存在的缺陷或不足，本发明的目的在于，提出了一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，包括以下步骤：

步骤1，构建任务分配方案A＝(a_ij)_n×m关于处理机调度顺序调度趟数m和参与计算的处理机数目n的函数表达式：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m式19

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}$ 式22

其中，P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；(σ₁,σ₂,...,σ_N)为1,2,...N的排列，为处理机的调度顺序；α_ij为主处理机P₀在第j趟调度分配给从处理机的任务大小，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；为从处理机的计算启动开销，为从处理机计算单位任务所需的时间；为P₀到从处理机的通信链路，为链路的通信启动开销，为链路传输单位任务所花费的时间，其中，i＝1,2,...,N；m为调度趟数，n为参与计算的从处理机的数目，其中，n＝1,2,...,N；W_total为总任务量；

步骤2，构建任务完成时间T关于任务分配方案A＝(a_ij)_n×m的函数表达式：

$\begin{array}{c}T\left(A\right)=\max \left\{T_i\right|i=1,2,...,n\}\\ =T_1=T_2=...=T_n\\ =m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_{{\mathrm{\σ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}+s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{nm}\end{array}$ 式23

其中，T为总的任务完成时间，T_i为处理机P_i的任务完成时间；

步骤3，以任务完成时间最短为目标，以处理机调度顺序、调度趟数和处理机数目为变量，建立可分任务的多趟调度模型：

$\underset{m,n,\mathrm{\σ}}{\min }T=\underset{m,n,\mathrm{\σ}}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{o}_{{\mathrm{\σ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{g}_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}+s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{nm})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式20、式21和式22；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

步骤4，利用遗传算法求解可分任务多趟调度模型

利用遗传算法求解可分任务多趟调度模型，得到最优的处理机调度顺序、最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目和任务的最短完成时间。

具体地，所述的步骤4的具体实现步骤如下：

步骤4.1：初始化

确定种群大小PopSize，交叉概率p_cros、变异概率p_mut和最大进化代数；个体用N+2维的整数向量(n,m,a₁,a₂,...,a_N)来标识；根据个体初始化规则产生PopSize个个体，根据个体修正规则修正所有个体组成初始种群P(t)，令进化代数t＝0；

步骤4.2：交叉

以概率p_cros从P(t)之中选择父代个体，按照交叉规则进行交叉，交叉获得的全部后代个体定义为集合O₁；

步骤4.3：变异

以概率p_mut从集合O₁中选择个体，按照变异规则进行变异，新的后代个体定义为集合O₂；

步骤4.4：局部搜索

对集合O₁∪O₂中的每个个体，先按照个体修正规则进行修正，然后按照局部搜索规则进行局部搜索，优化后的个体定义为集合O₃；

步骤4.5：选择

对集合P(t)∪O₃中每个个体求其适应度值，选择适应度值最大的E个个体直接保留到下一代种群P(t+1)中以加快收敛速度；使用轮盘赌选择操作从集合P(t)∪O₃中选择PopSize-E个个体保留到下一代种群P(t+1)中，令t＝t+1；

步骤4.6：终止条件

若未达到最大进化代数，则转向步骤4.2；否则终止算法，并将适应度值最大的个体作为最优解。对最优解进行解码得到最优的处理机调度顺序，以及最优解对应的最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目和任务的最短完成时间。

具体地，所述的步骤4.1的个体初始化编码规则如下：

输出：初始化后的个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

步骤4.1.1：令n＝N，m＝2；令临时变量i＝1；

步骤4.1.2：随机生成一个整数k满足0≤k≤j-1，令a_i＝k；

步骤4.1.3：令i＝i+1；若i＞n，算法终止；否则转到步骤4.1.2。

具体地，所述的步骤4.1的个体修正规则如下：

步骤4.1.4：按照解码规则对个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)进行解码得到排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)；

步骤4.1.5：将n、m和σ带入式20、式21和式22，分别求得γ_ij、η_ij、α_nm，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤4.1.6：将γ_ij、η_ij、α_nm代入式19，计算任务分配方案A＝(a_ij)_n×m；

步骤4.1.7：若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，转向步骤4.1.5；否则算法终止。

具体地，所述的步骤4.1.4的解码规则如下：

输入：个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)

步骤4.1.4.1：令临时变量i＝N；

步骤4.1.4.2：从排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)的最后一位向前寻找第a_i+1个未被赋值的位，将其赋值为i；

步骤4.1.4.3：令i＝i-1，若i≥1，转到步骤4.1.4.2；否则，算法终止。

具体地，所述的步骤4.2的交叉规则如下：

输入：父代个体 $I^1=(n^1,m^1,a_1^1,a_2^1,...,a_N^1)$ 和 $I^2=(n^2,m^2,a_1^2,a_2^2,...,a_N^2)$

输出：后代个体 $I^3=(n^3,m^3,a_1^3,a_2^3,...,a_N^3)$ 和 $I^4=(n^4,m^4,a_1^4,a_2^4,...,a_N^4)$

步骤4.2.1：令I³＝I¹，I⁴＝I²，n³＝n⁴＝N，m³＝m⁴＝2；

步骤4.2.2：随机生成两个整数p和q满足3≤p＜q≤N+2，将其作为交叉点；

步骤4.2.3：将后代个体I₃和I₄交叉点之间的基因进行交换。

具体地，所述的步骤4.3的变异规则如下：

输入：父代个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：后代个体I′＝(n′,m′,a₁′,a₂′,...,a′_N)

步骤4.3.1：令I′＝I，n′＝N，m′＝2；

步骤4.3.2：随机生成一个整数j满足3≤j≤N+2，并将其作为变异点；

步骤4.3.3：随机生成一个整数k满足0≤k≤j-1，令a_j′＝k。

具体地，所述的步骤4.4的局部搜索规则如下：

输入：父代个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：优化后的个体I′＝(n′,m′,a₁′,a₂′,...,a′_N)

步骤4.4.1：根据适应度值求解规则，计算个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)的适应度值f；令I′＝I；

步骤4.4.2：令m′＝m′+1，n′＝N；

步骤4.4.3：根据个体修正规则修正个体I′＝(n′,m′,a₁,a₂,...,a_N)，然后根据适应度值求解规则，计算个体I′的适应度值f′；若f′＜f，则令I＝I′，并转向步骤4.4.2；否则，令I′＝I，算法终止。

具体地，所述的步骤4.4.1中的适应度值求解规则如下：

输入：个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：个体的适应度值f

步骤4.4.1.1：按照解码规则对个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)进行解码得到排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)；

步骤4.4.1.2：将n、m和σ代入式20、式21和式22，分别求得γ_ij、η_ij、α_nm，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤4.4.1.3：将γ_ij、η_ij、α_nm代入式19，计算任务分配方案A＝(a_ij)_n×m；

步骤4.4.1.4：将任务分配方案A＝(a_ij)_n×m代入式23，计算任务的完成时间T；

步骤4.4.1.5：令f＝1/T，输出适应度值f。

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：

1、本发明针对可分任务的多趟调度问题，推导得到任务分配方案关于处理机调度顺序、调度趟数和参与计算的处理机数目的函数表达式。

2、本发明针对推导得到的任务分配方案，建立了以任务完成时间最短为目标，以处理机调度顺序、调度趟数和处理机数目为变量的可分任务多趟调度新模型。相比现有技术，该模型更加合理且有效。

3、本发明针对建立的可分任务多趟调度模型，设计了遗传算法对该模型进行求解。求解该模型的遗传算法能够高效准确地求出最优的处理机调度顺序、调度趟数和参与计算的处理机数目，从而得到最优的任务分配方案和任务的最短完成时间。

附图说明

图1为满足问题描述的星型网络示意图；

图2为本发明方法的流程图；

图3为满足约束的可分任务多趟调度图；

图4为五种算法的任务完成时间关于不同任务量的实验结果图；

下面结合附图和实施例对本发明的方案作进一步详细地解释和说明。

具体实施方式

实施例一

遵从上述技术方案，本实施例的一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，参见图2，具体包括以下步骤：

步骤1，构建任务分配方案A＝(a_ij)_n×m关于处理机调度顺序调度趟数m和参与计算的从处理机数目n的函数表达式。

参见图1，N+1个处理机按星型拓扑网络相互连接，其中，P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机。参见图3，(σ₁,σ₂,...,σ_N)为1,2,...N的排列，为处理机的调度顺序；α_ij为主处理机P₀在第j趟调度分配给从处理机的任务大小，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m。为从处理机的计算启动开销，为从处理机计算单位任务所需的时间，所述的单位任务的大小可根据需要确定，本发明中设为1MB。为P₀到从处理机的通信链路，为链路的通信启动开销，为链路传输单位任务所花费的时间，其中，i＝1,2,...,N；m为调度趟数，n为参与计算的从处理机的数目，其中，n＝1,2,...,N；W_total为总任务量。则任务分配方案α_ij满足下式：

$\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_{ij}=W_{total},{\mathrm{\α}}_{ij}>0.---\left(1\right)$

对于给定的处理机调度顺序为使任务的完成时间最短，最后一趟调度中所有参与调度的处理机必须同时完成计算。因此可得：

$s_{{\mathrm{\σ}}_i}+w_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{im}=o_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+s_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+(g_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+w_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}){\mathrm{\α}}_{i+1,m},i=1,2,...,n-1---\left(2\right)$

整理式(2)，可得：

${\mathrm{\α}}_{im}=\frac{o_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+s_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}-s_{{\mathrm{\σ}}_i}}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}}+\frac{g_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+w_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}}{\mathrm{\α}}_i{{}_{+1}}_{,m}.---\left(3\right)$

令 ${\mathrm{\μ}}_i=\frac{o_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+s_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}-s_{{\mathrm{\σ}}_i}}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}},{\mathrm{\λ}}_i=\frac{g_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}+w_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}}{w_{{\mathrm{\σ}}_{i+1}}}.$ 则公式(3)可以表示为：

α_im＝μ_i+λ_iα_i+1,m,i＝1,2,...,n-1.(4)

由公式(4)可得，每个处理机在最后一趟调度所分配的任务量α_im可以用α_nm来表示，即：

α_im＝γ_im+η_imα_nm,i＝1,2,...,n-1.(5)

其中,

${\mathrm{\γ}}_{im}=\underset{h=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\μ}}_h\underset{k=i}{\overset{h-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\λ}}_k\right)=\underset{h=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{o_{{\mathrm{\σ}}_{h+1}}{\mathrm{+s}}_{{\mathrm{\σ}}_{h+1}}-s_{{\mathrm{\σ}}_h}}{w_{{\mathrm{\σ}}_h}}\×\frac{g_{{\mathrm{\σ}}_{k+1}}{\mathrm{+w}}_{{\mathrm{\σ}}_{k+1}}}{w_{{\mathrm{\σ}}_k}})---\left(6\right)$

${\mathrm{\η}}_{im}=\underset{h=i}{\overset{n-1}{\Π}}{\mathrm{\λ}}_j=\underset{h=i}{\overset{n-1}{\Π}}\left(\frac{g_{{\mathrm{\σ}}_{h+1}}+w_{{\mathrm{\σ}}_{h+1}}}{w_{{\mathrm{\σ}}_h}}\right)---\left(7\right)$

为使任务完成时间最短，除了最后一趟调度，每个处理机在任意相邻的两趟调度之间都不能存在时间间隔。因此可以得到：

$s_{{\mathrm{\σ}}_i}+w_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}=\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\α}}_{kj})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\α}}_{k,j+1})---\left(8\right)$

其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,m-1。

将i＝n和j＝m-1代入公式(8)，可以得到：

$s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{n,m-1}=\underset{k=1}{\overset{n-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\α}}_{km})---\left(9\right)$

整理公式(9)，可得α_n,m-1可以重新表示为：

${\mathrm{\α}}_{n,m-1}=\frac{1}{w_{{\mathrm{\σ}}_n}}[\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{km}})-s_{{\mathrm{\σ}}_n}]---\left(10\right)$

将公式(5)代入公式(10)，可得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{n,m-1}=\frac{1}{w_{{\mathrm{\σ}}_n}}\{\underset{k=1}{\overset{n-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}({\mathrm{\γ}}_{km}+{\mathrm{\η}}_{km}{\mathrm{\α}}_{nm})\]-s_{{\mathrm{\σ}}_n}\}\\ =\frac{\underset{k=1}{\overset{n-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{km})-s_{{\mathrm{\σ}}_n}}{w_{{\mathrm{\σ}}_n}}+\frac{\underset{k=1}{\overset{n-1}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{km}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_n}}{\mathrm{\α}}_{nm}\end{array}---\left(11\right)$

令 ${\mathrm{\γ}}_{n,m-1}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{n-1}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{km})-s_{{\mathrm{\σ}}_n}}{w_{{\mathrm{\σ}}_n}},{\mathrm{\η}}_{n,m-1}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{n-1}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{km}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_n}}.$ 则公式(11)可以表示为：

α_n,m-1＝γ_n,m-1+η_n,m-1α_nm(12)

同理，将i＝n-1和j＝m-1代入公式(8)，可以得到：

$s_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}+w_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}{\mathrm{\α}}_{n-1,m-1}=o_{{\mathrm{\σ}}_n}+g_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\α}}_{km})---\left(13\right)$

将公式(5)和公式(11)代入公式(13)得：

${\mathrm{\α}}_{n-1,m-1}=\frac{o_{{\mathrm{\σ}}_n}+g_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\γ}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{km})-s_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}}{w_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}}+\frac{g_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\η}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{km}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}}{\mathrm{\α}}_{nm}---\left(14\right)$

令 ${\mathrm{\γ}}_{n-1,m-1}=\frac{o_{{\mathrm{\σ}}_n}+g_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\γ}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{km})-s_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}}{w_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}},{\mathrm{\η}}_{n-1,m-1}=\frac{g_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\η}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{km}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_{n-1}}}.$

则公式(14)可以重新表示为：

α_n-1,m-1＝γ_n-1,m-1+η_n-1,m-1α_nm(15)

因此，处理机在第m-1趟调度分配的任务量α_i,m-1可以用α_nm表示为：

α_i,m-1＝γ_i,m-1+η_i,m-1α_nm,i＝1,2,...,n-1(16)

其中， ${\mathrm{\γ}}_{i,m-1}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{k,m-1})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{km})-s_{{\mathrm{\σ}}_i}}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}},$ ${\mathrm{\η}}_{i,m-1}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{k,m-1}\right)+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{km}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}}.$

同样地，处理机在第m-2趟调度分配的任务量α_i,m-2可以用α_nm表示为：

α_i,m-2＝γ_i,m-2+η_i,m-2α_nm,i＝1,2,...,n-1(17)

其中， ${\mathrm{\γ}}_{i,m-2}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{k,m-1})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{km})-s_{{\mathrm{\σ}}_i}}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}},$ ${\mathrm{\η}}_{i,m-2}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{k,m-1}\right)+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{km}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}}.$

递推下去，处理机(i＝n-1,n-2,...,1)在第j趟调度(j＝m-1,m-2,...,1)分配的任务量可以用α_nm表示为：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm(18)

其中 ${\mathrm{\γ}}_{ij}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{kj})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}(o_{{\mathrm{\σ}}_k}+g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_{{\mathrm{\σ}}_i}}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}},{\mathrm{\η}}_{ij}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{kj}\right)+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\Σ}}\left(g_{{\mathrm{\σ}}_k}{\mathrm{\η}}_{k,j+1}\right)}{w_{{\mathrm{\σ}}_i}}.$

结合公式(5)和公式(18)，当i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m时，任务分配方案α_ij可以表示为：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm(19)

其中，

${\mathrm{\α}}_{nm}=\frac{W_{total}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{ij}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{ij}}---\left(22\right)$

步骤2，构建任务完成时间T关于任务分配方案A＝(a_ij)_n×m的函数表达式。

任务完成时间T关于任务分配方案A＝(a_ij)_n×m可以表示为：

$\begin{array}{c}T\left(A\right)=\max \left\{T_i\right|i=1,2,...,n\}\\ =T_1=T_2=...=T_n\\ =m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_{{\mathrm{\σ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}+s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{nm}\end{array}---\left(23\right)$

其中，T为总的任务完成时间，T_i为处理机P_i的任务完成时间，为使得任务完成时间最短，所有处理机同时完成计算，即T₁＝T₂＝...＝T_n。

步骤3，以任务完成时间最短为目标，以处理机调度顺序、调度趟数m和参与计算的处理机数目n为变量，建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n,\mathrm{\σ}}{\min }T=\underset{m,n,\mathrm{\σ}}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{o}_{{\mathrm{\σ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{g}_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}+s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{nm})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足公式(20)、公式(21)和公式(22)；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

步骤4，利用遗传算法求解可分任务多趟调度模型

利用遗传算法求解可分任务多趟调度模型，得到最优的处理机调度顺序、最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目和任务的最短完成时间。

步骤4.1：初始化

确定种群大小PopSize，交叉概率p_cros、变异概率p_mut和最大进化代数。个体用N+2维的整数向量(n,m,a₁,a₂,...,a_N)来标识。根据个体初始化编码规则产生PopSize个个体，根据个体修正规则修正所有个体组成初始种群P(t)，令进化代数t＝0；

个体初始化编码规则如下：

输出：初始化后的个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

步骤4.1.1：令n＝N，m＝2。令临时变量i＝1；

步骤4.1.2：随机生成一个整数k满足0≤k≤j-1，令a_i＝k；

步骤4.1.3：令i＝i+1。若i＞n，算法终止；否则转到步骤4.1.2。

个体修正规则如下：

步骤4.1.4：按照解码规则对个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)进行解码得到排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)。

解码规则如下：

输入：个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)

步骤4.1.4.1：令临时变量i＝N；

步骤4.1.4.2：从排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)的最后一位向前寻找第a_i+1个未被赋值的位，将其赋值为i；

步骤4.1.4.3：令i＝i-1，若i≥1，转到步骤4.1.4.2；否则，算法终止。

步骤4.1.5：将n、m和σ代入式20、式21和式22，分别求得γ_ij、η_ij、α_nm，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤4.1.6：将γ_ij、η_ij、α_nm代入式19，计算任务分配方案A＝(a_ij)_n×m；

步骤4.1.7：若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，转向步骤4.1.5；否则算法终止。

步骤4.2：交叉

以概率p_cros从P(t)之中选择父代个体，按照交叉规则进行交叉，交叉获得的全部后代个体定义为集合O₁；

交叉规则如下：

输入：父代个体 $I^1=(n^1,m^1,a_1^1,a_2^1,...,a_N^1)$ 和 $I^2=(n^2,m^2,a_1^2,a_2^2,...,a_N^2)$

输出：后代个体 $I^3=(n^3,m^3,a_1^3,a_2^3,...,a_N^3)$ 和 $I^4=(n^4,m^4,a_1^4,a_2^4,...,a_N^4)$

步骤4.2.1：令I³＝I¹，I⁴＝I²，n³＝n⁴＝N，m³＝m⁴＝2；

步骤4.2.2：随机生成两个整数p和q满足3≤p＜q≤N+2，将其作为交叉点；

步骤4.2.3：将后代个体I₃和I₄交叉点之间的基因进行交换。

步骤4.3：变异

以概率p_mut从集合O₁中选择个体，按照变异规则进行变异，新的后代个体定义为集合O₂；

变异规则如下：

输入：父代个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：后代个体I′＝(n′,m′,a₁′,a₂′,...,a′_N)

步骤4.3.1：令I′＝I，n′＝N，m′＝2；

步骤4.3.2：随机生成一个整数j满足3≤j≤N+2，并将其作为变异点；

步骤4.3.3：随机生成一个整数k满足0≤k≤j-1，令a_j′＝k。

步骤4.4：局部搜索

对集合O₁∪O₂中的每个个体，先按照的个体修正规则进行修正，然后按照局部搜索规则进行局部搜索，优化后的个体定义为集合O₃；

局部搜索规则如下：

输入：父代个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：优化后的个体I′＝(n′,m′,a₁′,a₂′,...,a′_N)

步骤4.4.1：根据适应度值求解规则，计算个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)的适应度值f；令I′＝I；

适应度值求解规则如下：

输入：个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：个体的适应度值f

步骤4.4.1.1：按照解码规则对个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)进行解码得到排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)；

步骤4.4.1.2：将n、m和σ代入式20、式21和式22，分别求得γ_ij、η_ij、α_nm，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤4.4.1.3：将γ_ij、η_ij、α_nm代入式19，计算任务分配方案A＝(a_ij)_n×m；

步骤4.4.1.4：将任务分配方案A＝(a_ij)_n×m代入式23，计算任务的完成时间T；

步骤4.4.1.5：令f＝1/T，输出适应度值f。

步骤4.4.2：令m′＝m′+1，n′＝N；

步骤4.4.3：根据个体修正规则修正个体I′＝(n′,m′,a₁,a₂,...,a_N)，然后根据适应度值求解规则，计算个体I′的适应度值f′；若f′＜f，则令I＝I′，并转向步骤4.4.2；否则，令I′＝I，算法终止。

步骤4.5：选择

对集合P(t)∪O₃中每个个体求其适应度值，选择适应度值最大的E个个体直接保留到下一代种群P(t+1)中以加快收敛速度。使用轮盘赌选择操作从集合P(t)∪O₃中选择PopSize-E个个体保留到下一代种群P(t+1)中，令t＝t+1；

步骤4.6：终止条件

若未达到最大进化代数，则转向步骤4.2；否则终止算法，并将适应度值最大的个体作为最优解。对最优解进行解码得到最优的处理机调度顺序，以及最优解对应的最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目和任务的最短完成时间。

实验结果

针对提出的可分任务多趟调度模型和算法，进行了多组对比实验。实验参数设置如下：从处理机总数N＝15。表1给出了异构并行与分布式系统下从处理机的相关参数，包括链路的通信启动开销o，处理机的计算启动开销s，链路传输单位任务所需时间g，以及处理机计算单位任务所需时间w。遗传算法的实验参数如下：种群大小PopSize＝100，交叉概率p_cros＝0.6，变异概率p_mut＝0.02，精英保留个数E＝5，终止条件为进化代数T＝200。

表1.异构并行与分布式系统下从处理机的相关参数

P	o	s	g	w
					p1	14.11	11.59	0.44	4.82
p2	6.04	1.28	0.65	12.48
					p3	16.29	1.91	0.59	6.90
p4	17.25	7.47	0.66	15.04
					p5	17.43	18.99	0.16	6.06
p6	10.50	2.07	0.64	9.90
					p7	9.37	12.45	0.25	10.80
p8	5.28	16.60	0.23	13.64
					p9	11.78	18.22	0.82	3.78
p10	13.90	5.88	0.82	9.92
					p11	3.13	13.52	0.83	2.62
p12	11.50	3.06	0.18	13.12
					p13	5.69	5.92	0.14	6.36
p14	6.02	19.60	0.79	6.68
					p15	5.57	4.26	0.19	10.48

表2给出五种算法的任务完成时间关于不同任务量的实验结果。其中，Hsu’salgorithm代表了参考文献[1]中提出的算法，即处理机按照g_i/(g_i+w_i)递增的顺序作为调度顺序。IG和IW代表了文献[2]中提出的算法，IG表示处理机按照传输单位任务所需时间g_i渐增的顺序作为调度顺序，IW表示处理机按照其计算单位任务所需时间w_i渐增的顺序作为调度顺序。RCGA代表了参考文献[3]中提出的多趟调度混合实数编码遗传算法，DLS-GA代表了本发明提出的一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法。

表2.五种算法的任务完成时间关于不同任务量的实验结果

通过表2可以看出，对于同样大小的任务，五种调度算法求得的参与计算的处理机数目、调度趟数和处理机调度顺序各不相同，因此对应的任务完成时间也不相同。为方便观察，图4给出了五种调度算法的任务完成时间随任务大小的变化趋势。从图4可以看出，对于同样大小的任务，本发明求得的任务完成时间要明显小于所有其他调度算法，而且随着任务量的增大，任务完成时间逐渐增大，各种算法之间的差异也越来越大。可见，参与计算的处理机数目、调度趟数和处理机调度顺序会较大程度地影响任务的最短完成时间。本发明通过构建可分任务多趟调度的优化模型，并设计了相应的遗传算法对模型进行求解，得到了比已有调度算法更短的任务完成时间。因此，本发明提出的算法在求解可分任务的多趟调度问题上比现有算法更加有效。

参考文献

[1]C.H.Hsu,T.L.Chen,andJ.H.Park.Onimprovingresourceutilizationandsystemthroughputofmasterslavejobschedulinginheterogeneoussystems.TheJournalofSupercomputing,vol.45,no.1,pp.129-150,2008.

[2]A.Shokripour,M.Othman,H.Ibrahim,S.Subramaniam.Newmethodforschedulingheterogeneousmulti-installmentsystems.FutureGenerationComputerSystems,vol.28,no.8,pp.1205-1216,2012.

[3]S.Suresh,H.Huang,H.J.Kim.Hybridreal-codedgeneticalgorithmfordatapartitioninginmulti-roundloaddistributionandschedulinginheterogeneoussystems.AppliedSoftComputing,vol.24,pp.500-510,2014.

Claims (9)

1.一种求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，构建任务分配方案A_＝(a_ij)_n×m关于处理机调度顺序调度趟数m和参与计算的处理机数目n的函数表达式：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m式19

其中，

${\mathrm{\α}}_{nm}=\frac{W_{total}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{ij}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{ij}}$ 式22

其中，P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；(σ₁,σ₂,...,σ_N)为1,2,...N的排列，为处理机的调度顺序；α_ij为主处理机P₀在第j趟调度分配给从处理机的任务大小，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；为从处理机的计算启动开销，为从处理机计算单位任务所需的时间；为P₀到从处理机的通信链路，为链路的通信启动开销，为链路传输单位任务所花费的时间，其中，i＝1,2,...,N；m为调度趟数，n为参与计算的从处理机的数目，其中，n＝1,2,...,N；W_total为总任务量；

步骤2，构建任务完成时间T关于任务分配方案A＝(a_ij)_n×m的函数表达式：

$\begin{array}{c}T\left(A\right)=\max \left\{T_i\right|i=1,2,...,n\}\\ =T_1=T_2=...=T_n\\ =m\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{o}_{{\mathrm{\σ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{g}_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}+s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{nm}\end{array}$ 式23

其中，T为总的任务完成时间，T_i为处理机P_i的任务完成时间；

步骤3，以任务完成时间最短为目标，以处理机调度顺序、调度趟数和处理机数目为变量，建立可分任务的多趟调度模型：

$\underset{m,n,\mathrm{\σ}}{\min }T=\underset{m,n,\mathrm{\σ}}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{o}_{{\mathrm{\σ}}_i}+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{g}_{{\mathrm{\σ}}_i}{\mathrm{\α}}_{ij}+s_{{\mathrm{\σ}}_n}+w_{{\mathrm{\σ}}_n}{\mathrm{\α}}_{nm})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式20、式21和式22；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

步骤4，利用遗传算法求解可分任务多趟调度模型

利用遗传算法求解可分任务多趟调度模型，得到最优的处理机调度顺序、最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目和任务的最短完成时间。

2.如权利要求1所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4的具体实现步骤如下：

步骤4.1：初始化

确定种群大小PopSize，交叉概率p_cros、变异概率p_mut和最大进化代数；个体用N+2维的整数向量(n,m,a₁,a₂,...,a_N)来标识；根据个体初始化规则产生PopSize个个体，根据个体修正规则修正所有个体组成初始种群P(t)，令进化代数t＝0；

步骤4.2：交叉

以概率p_cros从P(t)之中选择父代个体，按照交叉规则进行交叉，交叉获得的全部后代个体定义为集合O₁；

步骤4.3：变异

以概率p_mut从集合O₁中选择个体，按照变异规则进行变异，新的后代个体定义为集合O₂；

步骤4.4：局部搜索

对集合O₁∪O₂中的每个个体，先按照个体修正规则进行修正，然后按照局部搜索规则进行局部搜索，优化后的个体定义为集合O₃；

步骤4.5：选择

对集合P(t)∪O₃中每个个体求其适应度值，选择适应度值最大的E个个体直接保留到下一代种群P(t+1)中以加快收敛速度；使用轮盘赌选择操作从集合P(t)∪O₃中选择PopSize-E个个体保留到下一代种群P(t+1)中，令t＝t+1；

步骤4.6：终止条件

若未达到最大进化代数，则转向步骤4.2；否则终止算法，并将适应度值最大的个体作为最优解；对最优解进行解码得到最优的处理机调度顺序，以及最优解对应的最优调度趟数、参与计算的最优处理机数目和任务的最短完成时间。

3.如权利要求2所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.1的个体初始化编码规则如下：

输出：初始化后的个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

步骤4.1.1：令n＝N，m＝2；令临时变量i＝1；

步骤4.1.2：随机生成一个整数k满足0≤k≤j-1，令a_i＝k；

步骤4.1.3：令i＝i+1；若i＞n，算法终止；否则转到步骤4.1.2。

4.如权利要求2所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.1的个体修正规则如下：

步骤4.1.4：按照解码规则对个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)进行解码得到排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)；

步骤4.1.5：将n、m和σ带入式20、式21和式22，分别求得γ_ij、η_ij、α_nm，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤4.1.6：将γ_ij、η_ij、α_nm代入式19，计算任务分配方案A＝(a_ij)_n×m；

步骤4.1.7：若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，转向步骤4.1.5；否则算法终止。

5.如权利要求4所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.1.4的解码规则如下：

输入：个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)

步骤4.1.4.1：令临时变量i＝N；

步骤4.1.4.2：从排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)的最后一位向前寻找第a_i+1个未被赋值的位，将其赋值为i；

步骤4.1.4.3：令i＝i-1，若i≥1，转到步骤4.1.4.2；否则，算法终止。

6.如权利要求2所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.2的交叉规则如下：

输入：父代个体 $I^1=(n^1,m^1,a_1^1,a_2^1,...,a_N^1)$ 和 $I^2=(n^2,m^2,a_1^2,a_2^2,...,a_N^2)$

输出：后代个体 $I^3=(n^3,m^3,a_1^3,a_2^3,...,a_N^3)$ 和 $I^4=(n^4,m^4,a_1^4,a_2^4,...,a_N^4)$

步骤4.2.1：令I³＝I¹，I⁴＝I²，n³＝n⁴＝N，m³＝m⁴＝2；

步骤4.2.2：随机生成两个整数p和q满足3≤p＜q≤N+2，将其作为交叉点；

步骤4.2.3：将后代个体I₃和I₄交叉点之间的基因进行交换。

7.如权利要求2所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.3的变异规则如下：

输入：父代个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：后代个体I′＝(n′,m′,a′₁,a′₂,...,a′_N)

步骤4.3.1：令I′＝I，n′＝N，m′＝2；

步骤4.3.2：随机生成一个整数j满足3≤j≤N+2，并将其作为变异点；

步骤4.3.3：随机生成一个整数k满足0≤k≤j-1，令a′_j＝k。

8.如权利要求2所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.4的局部搜索规则如下：

输入：父代个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：优化后的个体I′＝(n′,m′,a′₁,a′₂,...,a′_N)

步骤4.4.1：根据适应度值求解规则，计算个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)的适应度值f；令I′＝I；

步骤4.4.2：令m′＝m′+1，n′＝N；

步骤4.4.3：根据个体修正规则修正个体I′＝(n′,m′,a₁,a₂,...,a_N)，然后根据适应度值求解规则，计算个体I′的适应度值f′；若f′＜f，则令I＝I′，并转向步骤4.4.2；否则，令I′＝I，算法终止。

9.如权利要求8所述的求解分布式系统下可分任务多趟调度模型的方法，其特征在于，所述的步骤4.4.1中的适应度值求解规则如下：

输入：个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)

输出：个体的适应度值f

步骤4.4.1.1：按照解码规则对个体I＝(n,m,a₁,a₂,...,a_N)进行解码得到排列σ＝(σ₁,σ₂,...,σ_N)；

步骤4.4.1.2：将n、m和σ代入式20、式21和式22，分别求得γ_ij、η_ij、α_nm，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤4.4.1.3：将γ_ij、η_ij、α_nm代入式19，计算任务分配方案A＝(a_ij)_n×m；

步骤4.4.1.4：将任务分配方案A＝(a_ij)_n×m代入式23，计算任务的完成时间T；

步骤4.4.1.5：令f＝1/T，输出适应度值f。