CN105069311B - 一种远程火箭发射初态误差传播估计方法 - Google Patents

Abstract

一种远程火箭发射初态误差传播估计方法，本发明涉及远程火箭发射初态误差传播估计方法。本发明的目的是为了解决现有发射初态误差引起的关机点位置偏差、速度偏差以及落点纵向偏差和横向偏差的计算效率低、无法充分分析出在弹道设计过程中发射初态误差的传播机理的问题。通过以下技术方案实现的：步骤一、建立动力学摄动方程；步骤二：求解远程火箭推力加速度偏差、气动加速度偏差、正常引力加速度偏差、科氏加速度偏差和离心加速度偏差；步骤三、根据步骤一和步骤二，得到远程火箭发射初态误差引起关机点位置偏差、速度偏差的近似解析解以及落点纵向偏差、横向偏差的近似解析解。本发明应用于远程火箭或运载火箭飞行动力学领域。

Description

一种远程火箭发射初态误差传播估计方法

技术领域

本发明涉及远程火箭发射初态误差传播估计方法。

背景技术

远程火箭在弹道设计和计算中一般建立在地面发射坐标系中，然而由于发射初态误差的存在，使得实际发射坐标系与标称发射坐标系存在偏差。发射初态误差包括初始定位误差(大地经纬偏差、高程偏差)和初始定向误差(垂线偏差、发射方位角偏差)。发射初态误差会带来发射坐标系中各加速度的偏差，即引力加速度偏差、推力加速度偏差、气动加速度偏差、科氏加速度偏差、离心加速度偏差，进而引起关机点状态偏差和落点偏差。根据资料表明：对于10000km射程的远程火箭，机动发射时初态误差造成的落点偏差可达到千米量级。因此，开展发射初态误差的研究对于分析远程火箭命中精度具有十分重要的意义。

虽然发射初态误差可以通过数值计算，但发射初态误差引起的关机点位置偏差、速度偏差以及落点纵向偏差和横向偏差的计算效率低，因此需要对发射初态误差的传播机理进行理论分析，而目前针对发射初态误差的研究大多集中在导航误差方面，无法充分分析出在弹道设计过程中发射初态误差的传播机理。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有发射初态误差引起的关机点位置偏差、速度偏差以及落点纵向偏差和横向偏差的计算效率低、无法充分分析出在弹道设计过程中发射初态误差的传播机理的问题，而提出了远程火箭发射初态误差传播估计方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、建立动力学摄动方程；

步骤二：根据步骤一得出的动力学摄动方程，求解远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差；

步骤三、根据步骤一得出的动力学摄动方程和步骤二中得出的远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差，得到远程火箭发射初态误差引起关机点位置偏差、速度偏差的近似解析解以及落点纵向偏差、横向偏差的近似解析解。

发明效果

本发明在弹道设计过程中在标称发射坐标系中采用小扰动假设建立动力学摄动方程，分析各发射初态误差的传播机理，获得发射初态误差的传播规律。

为便于计算效率的比较，仿真采用的计算机配置为：CPU为i3-2100，主频为3.1GHz，内存3GB。仿真结果表明：数值解耗时12.69s，利用动力学摄动方程求解出的近似解析解耗时0.12s。因此，近似解析解可以显著提高发射初态误差引起的关机点速度偏差和位置偏差以及落点纵向偏差和横向偏差的计算效率。

通过传播矩阵不仅可以得出发射初态误差引起的关机点位置偏差、速度偏差以及落点纵向偏差和横向偏差的影响量级，还可以更充分地分析出发射初态误差的传播机理。

从图3a、图3b、图4a、图4b、图5a和图5b中看出，利用本发明提出的关机点速度偏差和位置偏差近似解析解公式(56)和发射初态误差引起落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ的近似解析解公式(58)得出的结果能够与数值解(弹道求差法)吻合的很好，其产生的关机点速度偏差和位置偏差如表1所示，利用近似解析解得到的关机点速度偏差与数值解相差0.0036m/s，相对误差为3.1％，现有技术相对误差为10％，精度提高了6.9％；得到的关机点位置偏差与数值解相差0.786m，相对误差为0.4％，现有技术相对误差为1％，精度提高了0.6％。

这表明，采用本发明所提出的发射初态误差传播模型相比于数值解不仅可以提高计算效率，而且能够分析出发射初态误差的传播规律。

表2得出了远程火箭落点偏差、射程、射程角以及球面方位角。可以看出，通过数值解计算出发射初态误差产生的落点纵向偏差和横向偏差分别为1505.5m和-102.8m，利用传播矩阵C_T求解出的纵向偏差和横向偏差分别为1624.3m和-85.6m，距离相差120.1m，相对误差为7.9％，现有技术相对误差为15％，精度提高了7.1％。

这表明对于射程接近10000km的远程火箭，本文所提出的发射初态误差传播模型得出的落点纵向偏差和横向偏差与数值解相比较，相对误差较小，精度较高。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为具体实施方式二中地面发射坐标系偏差示意图；

图3a为实施例中发射初态误差产生的主动段x方向位置偏差图，横坐标为主动段飞行时间，单位为秒，纵坐标为x轴方向位置偏差，单位为米；

图3b为实施例中发射初态误差产生的主动段x方向速度偏差图，横坐标为主动段飞行时间，单位为秒，纵坐标为x方向速度偏差，单位为米每秒；

图4a为实施例中发射初态误差产生的主动段y方向位置偏差图，横坐标为主动段飞行时间，单位为秒，纵坐标为y方向位置偏差，单位为米；

图4b为实施例中发射初态误差产生的主动段y方向速度偏差图，横坐标为主动段飞行时间，单位为秒，纵坐标为y方向速度偏差，单位为米每秒；

图5a为实施例中发射初态误差产生的主动段z方向位置偏差图，横坐标为主动段飞行时间，单位为秒，纵坐标为z方向位置偏差，单位为米；

图5b为实施例中发射初态误差产生的主动段z方向速度偏差图，横坐标为主动段飞行时间，单位为秒，纵坐标为z方向速度偏差，单位为米每秒。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，一种远程火箭发射初态误差传播估计方法，其特征在于，一种远程火箭发射初态误差传播估计方法具体是按以下步骤进行的：

步骤一、建立动力学摄动方程；

步骤二：根据步骤一得出的动力学摄动方程，求解远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差；

步骤三、根据步骤一得出的动力学摄动方程和步骤二中得出的远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差，得到远程火箭发射初态误差引起关机点位置偏差、速度偏差的近似解析解以及落点纵向偏差、横向偏差的近似解析解。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中建立动力学摄动方程；具体过程为：

设标称发射坐标系为o₁-x₁y₁z₁，o₁为标称发射坐标系原点，x₁为标称发射坐标系x轴，y₁为标称发射坐标系y轴，z₁为标称发射坐标系z轴，实际发射坐标系为o₂-x₂y₂z₂，o₂为实际发射坐标系原点，x₂为实际发射坐标系x轴，y₂为实际发射坐标系y轴，z₂为实际发射坐标系z轴，如图2所示；

标称发射坐标系和实际发射坐标系的差别反映了发射初态误差，发射初态误差包括初始定位误差和初始定向误差，其中，初始定位误差为大地经度偏差Δλ₀、大地纬度偏差ΔB₀和高程偏差ΔH₀，初始定向误差为垂线偏差子午方向分量ξ、垂线偏差卯酉方向分量η和发射方位角偏差ΔA₀；为了便于误差传播分析，将实际发射坐标系动力学方程与标称发射坐标系动力学方程作差后，得到动力学摄动方程在标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中的表达式为

式中，为正常引力加速度偏差，为推力加速度偏差，为气动力加速度偏差，为科氏加速度偏差，为离心加速度偏差，为速度偏差对时间的导数，为位置偏差对时间的导数，为速度偏差向量；

和为发射初态误差Δλ₀、ΔB₀、ΔH₀、ξ、η、ΔA₀的函数，因此有

式中，为标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中的位置向量；为标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中的速度向量；为正常引力加速度向量；为位置偏差向量；λ₀为发射点大地经度；Δλ₀为发射点大地经度偏差；B₀为发射点大地纬度；ΔB₀为发射点大地纬度偏差；H₀为发射点高程；ΔH₀为发射点高程偏差；A₀为发射方位角；ΔA₀为发射方位角偏差；ξ为垂线偏差子午方向分量；η为垂线偏差卯酉方向分量；为科氏加速度向量；为标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中速度向量；为速度偏差向量；为离心加速度向量。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中根据步骤一得出的动力学摄动方程，求解远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差；具体过程为：

(1)推力加速度偏差和气动加速度偏差

式中，ΔΓ₂₁为实际发射坐标系o₂-x₂y₂z₂到标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁的转换矩阵偏差；为推力加速度向量；为气动加速度向量；为发射初态误差向量；G_D为引起推力加速度偏差、气动加速度偏差的传递矩阵，分别表示为的函数；

的表达式为

式中，为的转置矩阵，a_Px、a_Py、a_Pz分别为的三个方向分量；

式中，为的转置矩阵，a_Rx、a_Ry、a_Rz分别为的三个方向分量。

(2)正常引力加速度偏差

正常引力加速度在标称地面发射坐标系中的矢量形式为

式中，为标称发射坐标系中的位置向量；为地心指向标称发射点的向量；为地球自转角速度向量；ω_e为地球自转角速度大小；r为导弹所处的地心距大小，g_r为引力加速度沿导弹地心矢径方向的分量；g_ω为引力加速度沿地球自转角速度方向的分量；正常引力加速度是一个3×1的向量；

其中，

式中：μ为地球引力常数；a_e为地球长半轴，为a_e＝6378137m；J为地球扁率修正项，J₂为带谐系数，为1.08263×10^-3；φ为当前点的地心纬度；为导弹地心距矢量，为sinφ为的函数，用f表示：

和的表达式为

式中，为发射点地心矢径在地心固联坐标系中的向量；N₀为酉半径；e²为第二偏心率，e²＝6.7395018×10^-3；G_E为地心固联坐标系到发射坐标系的转换矩阵；

式(7)中酉半径N₀的表达式为

由于e²sin²B₀是一个小量，这里

因此，结合式(5)至式(8)，可得正常引力加速度向量是λ₀、B₀、H₀、A₀、的函数，下面求解对各项的偏导数表达式；

1)

对中求偏导数为：

式中，为对的偏导数，I₃为一个三维的单位阵，为r对的偏导数；

其中，

式中，μ为地球引力常数，μ＝3.9860047×10¹⁴；

由于J项而导致的误差是微小的，因此可忽略J项的影响，此时有

定义弹道角速度n_b为

则将公式(11)进一步简化整理为

2)

对中λ₀求偏导数为

式中

其中

将公式(18)至(20)代入(17)，结合(14)，得到

3)

对中求偏导数为

式中，

其中

将(23)-(26)代入(22)，并结合(14)，得到

4)

对中H₀求偏导数为

式中

将(29)代入(28)，并结合(14)，得到

5)

对中A₀求偏导数为

式中

将(32)、(33)代入(31)，并结合(14)，得到

6)

对中ξ求偏导数为

7)

对中ηA₀求偏导数为

因此，将1)～7)中各偏导数矩阵的表达式代入(2)中的即可得到正常引力加速度偏差的表达式。

(3)科氏加速度偏差

科氏加速度向量为

式中，为标称发射坐标系中的速度向量，ω_e ^×为的反对称矩阵，即

式中，ω_ex、ω_ey、ω_ez分别为的三个坐标分量；

因此

其中，

另外，对ξ的偏导数为

因此，将(39)至(41)各偏导数矩阵代入(2)中即可得到科氏加速度偏差的表达式；

(4)离心加速度向量为

式中，为相对速度向量；

由于因此，对偏导数为

对λ₀偏导数为

对B₀偏导数为

对H₀偏导数为

对A₀偏导数为

对ξ的偏导数为

对η的偏导数为

因此，将(43)至(49)中各偏导数矩阵代入(2)中即可得到离心加速度偏差的表达。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一、二或三不同的是：所述步骤三中根据步骤一得出的动力学摄动方程和步骤二中得出的远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差，得到远程火箭发射初态误差引起关机点位置偏差、速度偏差的近似解析解以及落点纵向偏差、横向偏差的近似解析解；具体过程为：

将公式(1)、(2)进行整理，写出状态方程的形式为

式中，G_v为速度偏导数矩阵，G_ρ为位置偏导数矩阵，0_3×3为一个3×3零矩阵，G_Δ为发射初态误差偏导数矩阵，0_3×6为一个3×6的零矩阵，为发射初态误差向量。

其中

从图1标称发射坐标系和实际发射坐标系得出，系统仅存在初始位置偏差，初始速度误差为零。因此，

系统状态的初始值为

式中，为初始速度向量，为初始位置向量，L_ρ0为引起初始位置误差的转换矩阵，L_ρ0表达式为

式中，R_e为地球平均半径，R_e＝6371004m；

根据微分方程理论，公式(50)的解为

式中，为关机点速度偏差向量，为关机点位置偏差向量，Φ(t_k)为发射时刻到关机点时刻t_k的状态转移矩阵，Φ(t_k,τ)为某时刻τ到关机点时刻t_k的状态转移矩阵，t_k为关机点时刻，τ为飞行中某时刻；

记

式中，C_A为发射初态误差引起的关机点速度偏差和位置偏差传播矩阵，C_Δ为G_Δ引起的关机点速度偏差和位置偏差传播矩阵，C_aP为推力加速度偏差引起的关机点速度偏差和位置偏差传播矩阵，C_aR为气动加速度偏差引起的关机单速度偏差和位置偏差传播矩阵；

因此，远程火箭发射初态误差引起关机点速度偏差和位置偏差近似解析解为

公式(58)即在标称发射坐标系中建立了发射初态误差引起的关机点速度偏差和位置偏差

设主动段关机点在标称发射坐标系的状态量为则状态偏差量为因此，落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ与的关系为

式中，ΔL为落点纵向偏差，ΔZ为落点横向偏差，为关机点状态偏差量，T为转置，L为纵向射程，为关机点状态向量，Z为横向射程，C_X为关机点状态偏差引起落点纵向偏差和横向偏差的传播矩阵，为纵向偏差对关机点状态偏差的偏导数，为横向偏差对关机点状态偏差的偏导数；

因此，远程火箭发射初态误差引起落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ的近似解析解为

式中，C_T为发射初态误差引起落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ的传播矩阵。

实施例1：

对于射程为10000km的远程远程火箭，发射点大地经度为117.3°，大地纬度为39.9°，高程为10m，发射方位角为30°。选择大地经度偏差Δλ₀为-5″、纬度偏差ΔB₀为5″，高程偏差ΔH₀为10m，垂线偏差子午方向分量ξ和卯酉方向分量均为-20″，发射方位角偏差ΔA₀为10″。

具体实施方式一：对关机点状态的影响

利用公式(52)得到关机点状态偏差的传播矩阵C_A、C_Δ、C_aP和C_aR为

将发射初态误差通过传播矩阵C_A、C_Δ、C_aP和C_aR产生的关机点速度和位置偏差进行整理，如表1所示。然后将各传播矩阵得到的关机点状态偏差求和，得到了近似解析解产生的关机点状态偏差，并与数值解进行对比。

表1数值解、近似解析解以及各传播矩阵产生的关机点状态偏差

从传播矩阵和表1中看出，发射初态误差产生的关机点速度、位置偏差的数值解和近似解析解能够很好的吻合。从上面的分析得出如下结论：

(1)发射初态误差主要通过C_A和C_aP产生关机点状态偏差，而通过C_Δ和C_aR产生的关机点状态偏差较小，可以忽略。

(2)关机点速度偏差主要由C_aP作用产生，通过C_aP产生的关机点位置偏差是由于速度偏差导致产生的位置偏差。发射初态误差在C_aP中会产生较大的影响因子，这表明由于发射初态误差的作用导致产生的推力加速度偏差是误差传播过程中一个很重要的影响因素。

(3)由于C_A产生的关机点速度偏差较小，因此其产生的关机点位置偏差主要是初始定位误差部分。在C_A产生的关机点偏差中，大地经度偏差Δλ₀、大地纬度偏差ΔB₀是造成关机点x、z方向位置偏差的主要因素，高程偏差ΔH₀是造成y方向位置偏差的主要因素。而ξ、η和ΔA₀主要通过C_aP进行传播，在C_A中的影响因子为零。

从图3a、图3b、图4a、图4b、图5a和图5b中看出，利用本文提出的发射初态误差传播模型在主动段飞行的过程中能够与数值解吻合的很好，其产生的关机点状态偏差如表1所示。利用近似解析解得到的关机点速度偏差与数值解相差0.0036m/s，相对误差为3.1％，现有技术相对误差为10％，精度提高了6.9％；得到的关机点位置偏差与数值解相差0.786m，相对误差为0.4％，现有技术相对误差为1％，精度提高了0.6％。这表明，采用本文所提出的发射初态误差传播模型的正确性。

具体实施方式二：对落点偏差的影响

由发射初态误差的传播模型得到了关机点的状态偏差，再通过公式(54)、(55)就可以得到传播权值C_X、C_T，即

将发射初态误差通过传播矩阵C_T计算出的落点偏差进行整理，并与数值解进行对比，如表2所示。

表2导弹落点偏差参数

表2得出了远程火箭落点偏差、射程、射程角以及球面方位角。可以看出，通过数值解计算出发射初态误差产生的落点纵向偏差和横向偏差分别为1505.5m和-102.8m，利用传播矩阵C_T求解出的纵向偏差和横向偏差分别为1624.3m和-85.6m，距离相差120.1m，相对误差为7.9％，现有技术相对误差为15％，精度提高了7.1％。

这表明对于射程接近10000km的远程火箭，本文所提出的发射初态误差传播模型得出的落点纵向偏差和横向偏差与数值解相对误差较小，精度较高。

Claims (1)

1.一种远程火箭发射初态误差传播估计方法，其特征在于，一种远程火箭发射初态误差传播估计方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立动力学摄动方程；具体过程为：

设标称发射坐标系为o₁-x₁y₁z₁，o₁为标称发射坐标系原点，x₁为标称发射坐标系x轴，y₁为标称发射坐标系y轴，z₁为标称发射坐标系z轴，实际发射坐标系为o₂-x₂y₂z₂，o₂为实际发射坐标系原点，x₂为实际发射坐标系x轴，y₂为实际发射坐标系y轴，z₂为实际发射坐标系z轴；

标称发射坐标系和实际发射坐标系的差别反映了发射初态误差，发射初态误差包括初始定位误差和初始定向误差，其中，初始定位误差为大地经度偏差Δλ₀、大地纬度偏差ΔB₀和高程偏差ΔH₀，初始定向误差为垂线偏差子午方向分量ξ、垂线偏差卯酉方向分量η和发射方位角偏差ΔA₀；将实际发射坐标系动力学方程与标称发射坐标系动力学方程作差后，得到动力学摄动方程在标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中的表达式为

式中，为正常引力加速度偏差，为推力加速度偏差，为气动力加速度偏差，为科氏加速度偏差，为离心加速度偏差，为速度偏差对时间的导数，为位置偏差对时间的导数，为速度偏差向量；

和为发射初态误差Δλ₀、ΔB₀、ΔH₀、ξ、η、ΔA₀的函数，因此有

式中，为标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中的位置向量；为标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中的速度向量；为正常引力加速度向量；为位置偏差向量；λ₀为发射点大地经度；Δλ₀为发射点大地经度偏差；B₀为发射点大地纬度；ΔB₀为发射点大地纬度偏差；H₀为发射点高程；ΔH₀为发射点高程偏差；A₀为发射方位角；ΔA₀为发射方位角偏差；ξ为垂线偏差子午方向分量；η为垂线偏差卯酉方向分量；为科氏加速度向量；为标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁中速度向量；为速度偏差向量；为离心加速度向量；

步骤二：根据步骤一得出的动力学摄动方程，求解远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差；具体过程为：

(1)远程火箭推力加速度偏差和远程火箭气动加速度偏差

为发射初态误差向量的函数，T为转置，可表示成

式中，ΔΓ₂₁为实际发射坐标系o₂-x₂y₂z₂到标称发射坐标系o₁-x₁y₁z₁的转换矩阵偏差；为推力加速度向量；为气动加速度向量；为发射初态误差向量；G_D为引起推力加速度偏差、气动加速度偏差的传递矩阵，分别表示为的函数；的表达式为

式中，为的转置矩阵，a_Px、a_Py、a_Pz分别为的三个方向分量；

式中，为的转置矩阵，a_Rx、a_Ry、a_Rz分别为的三个方向分量；

(2)远程火箭正常引力加速度偏差

正常引力加速度在标称地面发射坐标系中的矢量形式为

式中，为标称发射坐标系中的位置向量；为地心指向标称发射点的向量；为地球自转角速度向量；ω_e为地球自转角速度大小；r为导弹所处的地心距大小，g_r为引力加速度沿导弹地心矢径方向的分量；g_ω为引力加速度沿地球自转角速度方向的分量；

其中，

式中：μ为地球引力常数；a_e为地球长半轴，为a_e＝6378137m；J为地球扁率修正项，J₂为带谐系数，为1.08263×10^-3；φ为当前点的地心纬度；为导弹地心距矢量，为sinφ为的函数，用f表示：

和的表达式为

式中，为发射点地心矢径在地心固联坐标系中的向量；N₀为酉半径；e²为第二偏心率，e²＝6.7395018×10^-3；G_E为地心固联坐标系到发射坐标系的转换矩阵；

式(7)中酉半径N₀的表达式为

取N₀的一阶近似，则N₀的高阶项为

结合式(5)至式(8)，可得正常引力加速度向量是λ₀、B₀、H₀、A₀、的函数，下面求解对各项的偏导数表达式；

1)

对中求偏导数为：

式中，为对的偏导数，I₃为一个三维的单位阵，为r对的偏导数；

其中，

式中，μ为地球引力常数，μ＝3.9860047×10¹⁴；

忽略J项的影响，此时有

定义弹道角速度n_b为

则将公式(11)进一步简化整理为

2)

对中λ₀求偏导数为

式中

其中

将公式(18)至(20)代入(17)，结合(14)，得到

3)

对中B₀求偏导数为

式中，

其中

将(23)-(26)代入(22)，并结合(14)，得到

4)

对中H₀求偏导数为

式中

将(29)代入(28)，并结合(14)，得到

5)

对中A₀求偏导数为

式中

将(32)、(33)代入(31)，并结合(14)，得到

6)

对中ξ求偏导数为

7)

对中ηA₀求偏导数为

因此，将1)～7)中各偏导数矩阵的表达式代入(2)中的即可得到正常引力加速度偏差的表达式；

(3)远程火箭科氏加速度偏差

科氏加速度向量为

式中，为标称发射坐标系中的速度向量，ω_e ^×为的反对称矩阵，即

式中，ω_ex、ω_ey、ω_ez分别为的三个坐标分量；

其中，

另外，对ξ的偏导数为

将(39)至(41)各偏导数矩阵代入(2)中即可得到科氏加速度偏差的表达式；

(4)远程火箭离心加速度向量为

式中，为相对速度向量；

由于因此，对偏导数为

对λ₀偏导数为

对B₀偏导数为

对H₀偏导数为

对A₀偏导数为

对ξ的偏导数为

对η的偏导数为

将(43)至(49)中各偏导数矩阵代入(2)中即可得到离心加速度偏差的表达；

步骤三、根据步骤一得出的动力学摄动方程和步骤二中得出的远程火箭推力加速度偏差、远程火箭气动加速度偏差、远程火箭正常引力加速度偏差、远程火箭科氏加速度偏差和远程火箭离心加速度偏差，得到远程火箭发射初态误差引起关机点位置偏差、速度偏差的近似解析解以及落点纵向偏差、横向偏差的近似解析解；具体过程为：

将公式(1)、(2)进行整理，写出状态方程的形式为

式中，G_v为速度偏导数矩阵，G_ρ为位置偏导数矩阵，0_3×3为一个3×3零矩阵，G_Δ为发射初态误差偏导数矩阵，0_3×6为一个3×6的零矩阵，为发射初态误差向量；

其中

系统状态的初始值为

式中，为初始速度向量，为初始位置向量，L_ρ0为引起初始位置误差的转换矩阵，L_ρ0表达式为

式中，R_e为地球平均半径，R_e＝6371004m；

根据微分方程理论，公式(50)的解为

式中，为关机点速度偏差向量，为关机点位置偏差向量，Φ(t_k)为发射时刻到关机点时刻t_k的状态转移矩阵，Φ(t_k,τ)为某时刻τ到关机点时刻t_k的状态转移矩阵，t_k为关机点时刻，τ为飞行中某时刻；

记

式中，C_A为发射初态误差引起的关机点速度偏差和位置偏差传播矩阵，C_Δ为G_Δ引起的关机点速度偏差和位置偏差传播矩阵，C_aP为推力加速度偏差引起的关机点速度偏差和位置偏差传播矩阵，C_aR为气动加速度偏差引起的关机单速度偏差和位置偏差传播矩阵；

远程火箭发射初态误差引起关机点速度偏差和位置偏差近似解析解为

公式(58)即在标称发射坐标系中建立了发射初态误差引起的关机点速度偏差和位置偏差

设主动段关机点在标称发射坐标系的状态量为则状态偏差量为因此，落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ与的关系为

式中，ΔL为落点纵向偏差，ΔZ为落点横向偏差，为关机点状态偏差量，T为转置，L为纵向射程，为关机点状态向量，Z为横向射程，C_X为关机点状态偏差引起落点纵向偏差和横向偏差的传播矩阵，为纵向偏差对关机点状态偏差的偏导数，为横向偏差对关机点状态偏差的偏导数；

因此，远程火箭发射初态误差引起落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ的近似解析解为

式中，C_T为发射初态误差引起落点纵向偏差ΔL和横向偏差ΔZ的传播矩阵。