CN104889829A - 一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，根据加工轨迹和步长确定XOY截面加工轨迹方程；利用波函数发生器的编程软件编程，将超声椭圆振动轨迹按加工轨迹方程的加工点处的切线与X轴的夹角旋转一个角度，使超声椭圆振动轨迹相对加工点法向姿态在加工过程中保持一致；补偿超声椭圆振动轨迹随加工点的变化而产生的不同程度的振幅衰减，使得超声椭圆振动轨迹在每一个加工点处的自身形状不变；由变幅杆输出跟踪控制信号所控制的具有相应振幅、频率和相位的超声振动；最终两个超声振动叠加合成为所需姿态的超声椭圆振动轨迹，使得每个加工点振动效果保持一致，获得光学非球面工件表面分布一致的加工效果，从而提高光学非球面工件的表面质量和加工精度。

Description

一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及一种加工技术，特别涉及一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法。

背景技术

磨削加工是精密加工的关键工序，磨削质量往往决定着工件的最终加工精度。其中超声振动辅助加工可以获得非常高的表面质量和加工精度。传统的超声切削振动多采用单向振动方式，但这种方法对曲面元件，如光学非球面元件的加工存在一定的不足，单一的振动方向无法为加工曲面提供姿态一致的振动轨迹，无法实现工件表面振动效果一致，因此传统一维加工无法很好的应用在曲面加工中。二维超声振动辅助加工是近年来出现的新加工技术，已被证实能取得较好的加工质量，更重要的是，二维超声椭圆振动辅助加工能够克服上述单向振动的缺点，通过跟踪非球面工件表面的法向变化，实时控制二维超声椭圆振动的合成轨迹变化，可以在整个加工过程中使超声椭圆振动轨迹与工件法向保持相对不变的姿态关系，获得表面分布一致的加工效果，因此，对于超声椭圆振动辅助磨削，振动轨迹的准确形成和可控调整具有重要意义。超声椭圆振动在每个加工点处的振动效果不变，使得每一个加工点获得相同的加工效果，从而提高非球面工件的表面质量和加工精度。但是目前还未见到利用电信号，根据光学非球面加工工件表面变化，实现可控超声椭圆振动轨迹跟踪控制方法。

发明内容

本发明是针对如何实现二维超声椭圆振动辅助加工的问题，提出了一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，获得超声辅助加工中超声椭圆振动在每个加工点处具有相同的振动效果，实现超声椭圆振动轨迹与工件法向保持相对姿态和形状不变的跟踪控制算法。

本发明的技术方案为：一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，具体包括如下步骤：

1)将待磨削光学非球面元件安装在磨床工作台的超声振子上，根据加工轨迹和步长确定XOY截面加工轨迹方程，确定加工轨迹方程：

设非球面方程y＝F(x，z)，选取XZY坐标系中XOY截面上的第i条砂轮加工轨迹，则该条砂轮加工轨迹方程为：

y＝F(x，z_i)，z_i＝-l/2+d×i；

其中i为步长进给数；d为步长长度；l为工件在Z轴向的长度；

2)旋转超声椭圆振动轨迹计算：

以保持每个加工点处的当前超声椭圆振动轨迹与工件法向相对角度不变，根据工艺设超声椭圆振动轨迹与加工轨迹相切，选定初始超声椭圆振动轨迹的上顶点为切点，超声椭圆振动轨迹的长轴始终和加工点法向垂直，即保持了超声椭圆振动轨迹与加工点的相对姿态不变；采用椭圆绕坐标原点O做逆时针旋转的方法，该旋转利用旋转公式获得，其中旋转角θ就是旋转后的椭圆长轴和坐标轴X轴的夹角，该夹角由加工点处的切线斜率k计算得到，对任意加工点，设其为第i个加工点处的超声椭圆振动轨迹，计算加工点超声椭圆振动轨迹；

3)超声振动振幅补偿：通过对超声激励电压U的控制来实现对超声振动振幅补偿，弥补从振动源传播到加工点的过程中衰减掉的振幅；

4)超声控制信号输出：

获得随非球面表面方程面形变化的超声椭圆振动轨迹跟踪控制方程：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_3=({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\cos \mathrm{\θ}-({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\sin \mathrm{\θ}\\ Y_3=({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\sin \mathrm{\θ}+({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.$

其中R为加工点与振动源的直线距离，μ为衰减系数，f为超声频率，α为两向超声的相位差

λ₁、λ₂为超声振幅与超声激励电压线性关系式中常数，X₃、Y₃是最终两相超声波输出的合成波的分量，U₀′、U₀″分别是X、Y向初始输出振幅为预定振幅时的超声激励电压；

利用两相波函数发生器的编程功能，对λ₁、λ₂、f、α、R、θ采用上面的跟踪控制方程进行编程，由两相波函数发生器将计算结果X₃、Y₃通过两个输出端子将相应电信号输出至两相功率放大器，使得两相功率放大器所连接的两个超声振动发生装置终端变幅杆获得相应的振幅、频率和相位，最终这两个超声振动叠加合成为所需姿态的超声椭圆振动轨迹，实现在整个工件加工表面上超声椭圆振动轨迹与各加工点法向的相对姿态不变。

所述步骤2)旋转超声椭圆振动轨迹计算，具体步骤如下：

A:未做旋转变化前的初始超声椭圆振动轨迹方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\\ y=A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\end{array}\right.$

上式中x、y为X、Y向振动轨迹分量；A₁、A₂为X、Y向振动源振幅；f为超声频率；α为两向超声的相位差

B:根据切点处斜率计算旋转角，加工点处的斜率k为加工轨迹曲线在切点处的偏导数：旋转角计算式如下：

$\mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{\∂F}{\∂x}\right)$

C:绕原点逆时针旋转的旋转公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_1=x\cos \mathrm{\θ}-y\sin \mathrm{\θ}\\ Y_1=x\sin \mathrm{\θ}+y\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.$

上式中X₁为旋转变换后的X向振动波轨迹分量；Y₁为旋转变换后的Y向振动波轨迹分量；把A中振动轨迹方程代入旋转公式可获得旋转后的椭圆方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_2=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\cos \mathrm{\θ}-A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\sin \mathrm{\θ}\\ Y_2=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\sin \mathrm{\θ}+A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right..$

所述步骤3)超声振动振幅补偿，为了确保每个加工点处的超声振动振幅A₀在加工过程中不变，通过对超声激励电压U的控制来实现对超声振动振幅补偿，总激励电压公式： $U=U_0+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{{\mathrm{\λ}}_{1}R},$

其中，U₀是当输出振幅为A₀时的超声激励电压，振动源补偿后的超声振动振幅A′为： $A^{\′}={\mathrm{\λ}}_1{U}_0+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R}.$

本发明的有益效果在于：本发明二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，对光学非球面元件的二维超声振动辅助磨削，只要给出待加工工件的面形和加工步长，利用本发明即可根据非球面工件表面的法向变化和加工点的位置变化，实时控制二维超声椭圆振动轨迹，使得整个加工过程中超声椭圆振动轨迹与工件法向保持相对姿态与形状不变，确保每个加工点超声振动效果相同，从而使超声椭圆振动辅助磨削工件获得表面分布一致的加工效果。

附图说明

图1是本发明实施例超声椭圆轨迹跟踪控制方法的流程示意图；

图2是本发明实施例超声椭圆振动辅助磨削加工原理XOY截面示意图；

图3是本发明实施例超声椭圆振动辅助磨削加工原理YOZ截面示意图；

图4是本发明实施例超声椭圆振动轨迹跟踪控制结果的示意图。

具体实施方式

本发明为了获得超声辅助加工中超声椭圆振动在每个加工点处具有相同的振动效果，实现超声椭圆振动轨迹与工件法向保持相对姿态和形状不变的跟踪控制算法。使超声椭圆振动轨迹跟随加工轨迹而变化，当砂轮运动到加工轨迹上各加工点时，根据光学非球面加工控制的需要，始终保持超声椭圆振动轨迹相对于工件表面当前加工点的法向垂直，且相对振动轨迹形状不变，从而获得表面分布一致的加工效果。该辅助控制方法通过两相波函数发生器对两相功率放大器的输入电信号进行控制，再通过功率放大器将两个超声波发生装置的输出超声波传递至变幅杆，最终实现X、Y两相波形在工件加工点处合成所需要的超声椭圆振动轨迹。

如图1超声椭圆轨迹跟踪控制方法的流程示意图所示，本发明的光学非球面元件超声椭圆振动辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，步骤包括：

步骤一：确定加工轨迹方程：

设非球面方程y＝F(x，z)，选取XZY坐标系中XOY截面上的第i条砂轮加工轨迹，则该条砂轮加工轨迹方程为：

y＝F(x，z_i)   (1)

上式中z_i＝-l/2+d×i；

i为步长进给数；d为步长长度；l为工件在Z轴向的长度。

步骤二：旋转超声椭圆振动轨迹

旋转超声椭圆振动轨迹，以保持每个加工点处的当前超声椭圆振动轨迹与工件法向相对角度不变。根据工艺需要设超声椭圆振动轨迹与加工轨迹相切，选定初始超声椭圆振动轨迹的上顶点为切点，那么超声椭圆振动轨迹的长轴始终和加工点法向垂直，即保持了超声椭圆振动轨迹与加工点的相对姿态不变。采用椭圆绕坐标原点O做逆时针旋转的方法，该旋转利用旋转公式获得，其中旋转角就是旋转后的椭圆长轴和坐标轴X轴的夹角，该夹角由加工点处的切线斜率计算得到。对任意加工点，设其为第i个加工点处的超声椭圆振动轨迹。

该加工点的超声椭圆振动轨迹具体计算步骤如下：

①未做旋转变化前的初始超声椭圆振动轨迹方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\\ y=A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

上式中x、y为X、Y向振动轨迹分量；A₁、A₂为X、Y向振动源振幅；f为超声频率；α为两向超声的相位差

②根据切点处斜率计算旋转角，加工点处的斜率k为加工轨迹曲线在切点处的偏导数：旋转角计算式如下：

$\mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{\∂F}{\∂x}\right)---\left(3\right)$

③绕原点逆时针旋转的旋转公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_1=x\cos \mathrm{\θ}-y\sin \mathrm{\θ}\\ Y_1=x\sin \mathrm{\θ}+y\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(4\right)$

上式中X₁为旋转变换后的X向振动波轨迹分量；Y₁为旋转变换后的Y向振动波轨迹分量；其中旋转角θ由公式(3)计算。

把方程(2)代入旋转公式(4)可获得旋转后的椭圆方程，得到新的椭圆方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_2=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\cos \mathrm{\θ}-A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\sin \mathrm{\θ}\\ Y_2=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\sin \mathrm{\θ}+A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right..---\left(5\right)$

步骤三：超声振动振幅补偿

设每个加工点处的超声振动振幅为A₀，振动源的超声振动振幅为A，超声振动从振动源传播到加工点的过程中衰减掉的超声振动振幅为AL，那么

AL＝A-A₀   (6)

为了确保A₀在加工过程中不变，通过对超声激励电压U的控制来实现对超声振动振幅补偿。具体方法如下：

①超声振幅A与超声激励电压U呈线性关系如下:

A＝λ₁U+λ₂   (7)

上式中λ₁、λ₂为常数。

②为简化计算，将用于固定工件的振子和工件视为相同材质，机械波衰减公式如下：

$\mathrm{AL}=\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R}---\left(8\right)$

上式中R为加工点与振动源的直线距离；μ为衰减系数。

③第i个加工点I(x_i,y_i,z_i)与振动源Q(m,n,h)之间的距离R的关系式如下：

(x_i-m)²+(y_i-n)²+(z_i-h)²＝R²   (9)

振动源在超声振子与变幅杆的接触点处，该位置始终不变，因此m，n，h是常数。

联立公式(6)、(7)、(8)、(9)得到激励电压补偿式为：

$\mathrm{\ΔU}=\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{{\mathrm{\λ}}_{1}R}---\left(10\right)$

其中， $R=\sqrt{{(x_i-m)}^2+{(y_i-n)}^2+{(z_i-h)}^2},$ ΔU＝U-U₀。

④总激励电压公式：

U＝U₀+ΔU   (11)

其中，U₀是当输出振幅为A₀时的超声激励电压:U₀＝(A₀-λ₂)/λ₁

将公式(10)带入公式(11)得：

$U=U_0+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{{\mathrm{\λ}}_{1}R}---\left(12\right)$

那么将公式(12)带入公式(7)得振动源补偿后的超声振动振幅A′为：

$A^{\′}={\mathrm{\λ}}_1{U}_0+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R}---\left(13\right)$

步骤四：超声控制信号输出

将公式(13)带入到公式(5)中，获得随非球面表面方程面形变化的超声椭圆振动轨迹跟踪控制方程：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_3=({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\cos \mathrm{\θ}-({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\sin \mathrm{\θ}\\ Y_3=({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\sin \mathrm{\θ}+({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，X₃、Y₃是最终两相超声波输出的合成波的分量，U₀′、U₀″分别是X、Y向初始输出振幅为预定振幅时的超声激励电压。

利用两相波函数发生器的编程功能，对λ₁、λ₂、f、α、R、θ采用公式(14)的数学关系进行编程，由两相波函数发生器将计算结果X₃、Y₃通过两个输出端子将相应电信号输出至两相功率放大器，使得两相功率放大器所连接的两个超声振动发生装置终端变幅杆获得相应的振幅、频率和相位，最终这两个超声振动叠加合成为所需姿态的超声椭圆振动轨迹，实现在整个工件加工表面上超声椭圆振动轨迹与各加工点法向的相对姿态不变。

加工时，根据加工轨迹和步长对光学非球面工件表面各加工点采用上述1、2、3、4步骤，即可完成光学非球面元件超声椭圆振动辅助磨削的振动轨迹跟踪控制。

以下为本发明的一个实施例：

如图2、3为超声椭圆振动辅助磨削加工的原理示意图所示，加工时，将待磨削光学非球面元件1安装在磨床工作台的超声振子7上，根据加工轨迹和步长对光学非球面工件1表面各加工点采用上述步骤一、二、三、四，最终获得步骤四的公式(14)；利用两相波函数发生器的编程功能，对步骤四中公式(14)的数学关系式进行编程；由两相波函数发生器将计算结果通过两个输出端子将相应电信号输出至两相功率放大器，使得两相功率放大器所连接的两个超声振动发生装置终端X向变幅杆5和Y向变幅杆6获得相应的振幅、频率和相位；最终这两个超声振动叠加合成与加工点法2向相垂直的超声椭圆振动轨迹3，实现如图4超声椭圆振动轨迹跟踪控制结果的示意图所示，在整个工件加工表面上跟踪控制的超声椭圆振动轨迹8与各加工点法向的相对姿态不变；在圆弧砂轮4对工件的整个加工过程中产生超声椭圆振动轨迹加工点跟踪曲线9。由上述实施方式保证每个加工点振动效果的一致性，获得光学非球面工件表面分布一致的加工效果，从而提高光学非球面工件的表面质量和加工精度。

Claims (3)

1.一种二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

1)将待磨削光学非球面元件安装在磨床工作台的超声振子上，根据加工轨迹和步长确定XOY截面加工轨迹方程，确定加工轨迹方程：

设非球面方程y＝F(x，z)，选取XZY坐标系中XOY截面上的第i条砂轮加工轨迹，则该条砂轮加工轨迹方程为：

y＝F(x，z_i)，z_i＝-l/2+d×i；

其中i为步长进给数；d为步长长度；l为工件在Z轴向的长度；

2)旋转超声椭圆振动轨迹计算：

以保持每个加工点处的当前超声椭圆振动轨迹与工件法向相对角度不变，根据工艺设超声椭圆振动轨迹与加工轨迹相切，选定初始超声椭圆振动轨迹的上顶点为切点，超声椭圆振动轨迹的长轴始终和加工点法向垂直，即保持了超声椭圆振动轨迹与加工点的相对姿态不变；采用椭圆绕坐标原点O做逆时针旋转的方法，该旋转利用旋转公式获得，其中旋转角θ就是旋转后的椭圆长轴和坐标轴X轴的夹角，该夹角由加工点处的切线斜率k计算得到，对任意加工点，设其为第i个加工点处的超声椭圆振动轨迹，计算加工点超声椭圆振动轨迹；

3)超声振动振幅补偿：通过对超声激励电压U的控制来实现对超声振动振幅补偿，弥补从振动源传播到加工点的过程中衰减掉的振幅；

4)超声控制信号输出：

获得随非球面表面方程面形变化的超声椭圆振动轨迹跟踪控制方程：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_3=({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\cos \mathrm{\θ}-({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\sin \mathrm{\θ}\\ Y_3=({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\sin \mathrm{\θ}+({\mathrm{\λ}}_1{U_0}^{\′\′}+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R})\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.$

其中R为加工点与振动源的直线距离，μ为衰减系数，f为超声频率，α为两向超声的相位差

λ₁、λ₂为超声振幅与超声激励电压线性关系式中常数，X₃、Y₃是最终两相超声波输出的合成波的分量，U₀′、U₀″分别是X、Y向初始输出振幅为预定振幅时的超声激励电压；

利用两相波函数发生器的编程功能，对λ₁、λ₂、f、α、R、θ采用上面的跟踪控制方程进行编程，由两相波函数发生器将计算结果X₃、Y₃通过两个输出端子将相应电信号输出至两相功率放大器，使得两相功率放大器所连接的两个超声振动发生装置终端变幅杆获得相应的振幅、频率和相位，最终这两个超声振动叠加合成为所需姿态的超声椭圆振动轨迹，实现在整个工件加工表面上超声椭圆振动轨迹与各加工点法向的相对姿态不变。

2.根据权利要求1所述二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤2)旋转超声椭圆振动轨迹计算，具体步骤如下：

A:未做旋转变化前的初始超声椭圆振动轨迹方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\\ y=A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\end{array}\right.$

上式中x、y为X、Y向振动轨迹分量；A₁、A₂为X、Y向振动源振幅；f为超声频率；α为两向超声的相位差

B:根据切点处斜率计算旋转角，加工点处的斜率k为加工轨迹曲线在切点处的偏导数：旋转角计算式如下：

$\mathrm{\θ=arctan}\left(\frac{\∂F}{\∂x}\right)$

C:绕原点逆时针旋转的旋转公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_1=x\cos \mathrm{\θ}-y\sin \mathrm{\θ}\\ Y_1=x\sin \mathrm{\θ}+y\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.$

上式中X₁为旋转变换后的X向振动波轨迹分量；Y₁为旋转变换后的Y向振动波轨迹分量；把A中振动轨迹方程代入旋转公式可获得旋转后的椭圆方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{X}_2=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\cos \mathrm{\θ}-A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\sin \mathrm{\θ}\\ Y_2=A_1\sin (2\mathrm{\πf}+\mathrm{\α})\sin \mathrm{\θ}+A_2\sin \left(2\mathrm{\πf}\right)\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right..$

3.根据权利要求2所述二维超声辅助磨削的振动轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤3)超声振动振幅补偿，为了确保每个加工点处的超声振动振幅A₀在加工过程中不变，通过对超声激励电压U的控制来实现对超声振动振幅补偿，总激励电压公式：

其中，U₀是当输出振幅为A₀时的超声激励电压，振动源补偿后的超声振动振幅A′为： $A^{\′}={\mathrm{\λ}}_1{U}_0+{\mathrm{\λ}}_2+\frac{{10}^{\frac{-\mathrm{\μ}}{20}R}}{R}.$